Kiến thức cơ bản và nâng cao hình học 12 NXB đại học sư phạm 2013

Hinh bat dien deu chinh la hai hinh chop t ii giac deu chung day ABCD CO dien tich day m6i chop la a^ ABCD la hinh vu6ng canh a ASCS' cung la hinh vu6ng canh a nen SS' = a-\/2... Hinh no

£^ ndi ttdiL

Cu6'n sach Kien thiJtc ca ban vcl ndng cao Hinh hoc 12 nay nham

giiip cac em hoc sinh lop 12 nSm viing noi dung ca ban va nang cao kien thiJc Hinh hoc

Ke't ca'u cudn sach duac chia thanh 3 chuang:

Chuang I : Khoi da dien vd the tich ciia chimg

Chirong I I : Mat non, mat tin, mat can

Chuang I I I : Phuang phdp tga do trong kbong gian

Bai on tap cua cac chuang vd on tap ciioi nam duac ddnh so thi'nu tifddu cho den hit (1,2 , 148)

Wd'i ket ca'u tren, cuon sach chiia dung 2 noi dung chinh: Li tluiyet

- Bai tap va Huang dan gidi

t

Trong moi chuang gom 3 noi dung chinh:

A Ly thuyet can nha;

B Vidu;

C De bai tap

Trong m6i ph^n l i thuyet c6 cac muc 16n dugc k i hieu bang cac chu so La Ma ( I , I I , ) , cac muc I6n nay iJng v6i $1, $2, trong sach giao khoa Hinh hoc 12

Khi lam bai tap a noi dung C, neu gap vu6ng m k , ban dpc nan xem

ki noi dung B, vi trong do cac tac gia da dua ra nhung vi du mau cung vdi viec phan tich c6 tinh hudng d i n cho hoc sinh suy luan khi giai cac bai tap tuang tir

Bai vay, cuon sach khong nhung giiip cho cac em hoc sinh c6 dieu

kien thuan Igfi trong viec hoc tap va on thi Hinh hoc 12, ma con la tai'

lieu tham khao tin cay cho cac thAy c6 giao giang day mon hoc nay

Cuon sach Kien thAc ca ban vd ndng cao Hinh hoc 12 tai ban Vkn

nay c6 chinh l i va bo sung, xin duac g i ^ i thieu v6i cac em hoc sinh,

Cling cac vi phu huynh va thiy c6 giao

C A C T A C G I A

1 Hinh chop, hinh Idng tru, hinh chop cut la hinh da dien

PhSn ban trong cua mo hinh da dien (ke ca hinh da dien) goi la khoi da dien

2 Tong quat: Hinh da dien (goi tat la da dien) la hinh khSng gian dugfc

tao bcri mot s6' huu han mien da giac phang thoa man hai tinh chat sau:

a Hai mi^n da giac phan hiti hoac khong c6 diem chung, hoac c6 mot

dinh chung, hoac c6 m6t canh chung

b M 6 i canh ciia m6t da giac nao cung la canh chung ciia dung hai mien

da giac

3 M 6 i kh6'i da dien c6 th^ phan chia dugc thanh nhieu kh6'i tii didn

4 Kh6'i da dien loi la khoi da dien c6 tinh chat doan thang noi hai diem

bat ky cua no luon thu6c ve khoi da dien 66, hoac la toan bo khoi da dien

luon nam ve mot phia d6'i vdi mat phang chiia m6t mat ctia khoi da dien

II K H O I DA DifiN D ^ U

1 Kh6'i da dien loi dugfc ggi la deu loai (a,b) ne'u m6i mat ciia no la mot

mien da giac deu a canh va dinh ctia no la dinh chung ciia dung b canh

2 Nguofi ta chiing minh dugc chi c6 5 loai khoi da dien deu

Kh6'i 4 mat deu (tii dien deu) Loai (3,3)

Khoi 6 mat deu (Khoi lap phuong) Loai (4,3)

Khoi 8 mat deu Loai (3,4)

Kh6'i 12 mat d^u Loai (5,3)

Khd'i 20 mat d^u I Loai (3,5)

3 M 6 i khoi da dien deu lu6n t6n tai m6t mat c^u di qua cac dinh cua

khoi (mat ciu ngoai tiep khoi da dien deu)

I I I T H £ T I C H K H O I DA DifiN

1 Th^ tich cua khd'i da dien la m6t s6 duong thoa man cac tinh chat sau:

a Kh6'i lap phuong c6 canh la mot don vi thi so V = 1

b Hai khoi da dien bMg nhau se c6 s6 V nhu nhau

c Neu khoi da dien diirac phan chia thanh hai khoi da dien thi tdng th^

tich hai kh6'i da ditn nho 66 bang the tich kh6'i ban dSu V, + = V

2 The tich khoi hop chfi nhat bang tich ba kich thudc V = a b c

3 The tich khoi lang tru bang dien tich day nhan vdi chi^u cao V = B.h

4 Thi tich kh6'i chop bang ^ dien tich day nhan vdi chi^u cao V = ^ Bh

5 The tich khoi chop cut bang tong the' tich ba hinh chop c6 cung chieu

cao v6i chop cut, c6 day bang day Idti, day nho va trung binh nhan 2 day

5mat - 5dinh - 8canh, do 5

mien da giac hop thanh trong do

mien tam giac hoac c6 1 dinh

chung, hoac c6 1 canh chung, cac

mien tam giac va mien tii: giac deu

CO 1 canh chung

Hinh 1

b) 4 canh bdn, 4 canh day d6u la canh chung cual dung 2 mien da giac

(tam giac va tii giac) Vay ca 2 tinh chat cua hinh da dien deu dugrc thoa

an

V i du 2:

Chiing minh hinh ve trong hinh

2 khong la hinh da dien

a Hinh 2 do ba miin da giac

ABCD, DCEF, EFMN hop thanh

ABCD va EFMN khong giao nhau

DCEF giao vdi 2 mi^n con lai

Of 1 canh chung, tinh chat a) duac thoa man

b Tinh cha't b) khdng thoa man

vi cac canh AB, AD, BC, DE, CF,

FM, M N , NE chi la canh cua m6t mien da giac

V i du 3: Hinh dugc ve d hinh 3 cung kh6ng la hinh da dien vi AB

la canh chung cua 3 mien da giac, ABCD, ABEF, ABMN Cac canh con lai la canh cua 1 mi^n da giac

Tinh chat b) khong duoc thoa man

V i du 4 Trong cac hinh sau, hinh nao la hinh da dien? hinh nao kh6ng

la hinh da dien? Neu la hinh da dien hay de'm s6' dinh D, s6 canh C, s6' mat

M va tinh cac so X = D + M - C

Hinh 3

Hinh 7

Hinh 9

Hinh 4 la kh6'i da dien lOi cu th^ la hinh chop ngu giac ABCDEF

Co so dinh D = 6, s6 canh C = 10, s6' mat M = 6 => X(H) = 6 + 6 - 10 = 2

ffinh 5 la khd'i da dien I6i c6 D = 12 so canh C = 18, s6 mat M = 8,

ffinh 6 la khoi da dien kh6ng I6i, D = 9, C = 14, M = 8,

X (H, = 9+8-14 = 3

ffinh 7 khong la kh6'i da dien

ffinh 8 khong la kh6'i da dien

Vi du 5 Cung cSu hoi trSn vdi cac hinh sau

Hinh 10 Khdng la khoi da dien

A / / /

D = 12,C = I8,M = 8

=>X(f^) =2 Hinh 11

N T

Hinh 12 Khong Id khoi da dien / 2

Hinh 18

D = 24.C = 48,M = 24

sau va dan lai thanh khd'i da dien diu:

Khoi 4 mat deu loai (3,3)

1

1

1

Kh6'i 6 mat diu loai (4,3)

Khoi 8 mat deu loai (3,4)

Khoi 12 mat deu loai (5,3)

Khoi 20 mat deu loai (3,5)

Hinh 19

V i du 7: Cho hinh tarn mat diu canh a Tmh th^ tich khoi bat dien deu

do Chung minh rang tarn cac mat cua hinh bat dien d^u la cac dinh ciia hinh

lap phuong Tinh thi tich kh6'i lap phuong nay:

1 Hinh bat dien deu chinh la hai hinh chop t ii giac deu chung day ABCD

CO dien tich day m6i chop la a^ (ABCD la hinh vu6ng canh a) ASCS' cung la hinh vu6ng canh a nen SS' = a-\/2 Do do chieu cao cua m6i

chop tu" giac deu la — a ^f2 VSy th^ tich kh6'i 8 mat do la:

V , = 2.^a 1 2 ay/2 _ a 'V2

2 Goi tarn ciia 4 mat ben SAB, SAC, SCD, SDA la M , N , P, Q Goi trung die'm ciia AB, BC, CD, DA la M ' , N ' , F , Q' Ap dung dinh ly Talet ta de

^ V 2

3 K h i do the tich ciia hinh lap

phuong la V = MN^ =

2

27 a' ^2 don vi the tich

Ti so the tich hinh lap phuong va kh6'i 8 mat d^u la:

V i du 8 Cho hinh lap phuomg ABCDA'B'C'D' canh a, bang g6 Got kh6'i lap

phuong de lay khoi 8 mat deu noi tiep no, nghia la dinh ciia khoi 8 mat

deu la tam cua 6 mat cua

n

C

I

khoi lap phuong Tinh

the tich kh6'i 8 mat do

Tinh the tich ph^n g6 bo

di

a Do tinh cha't cua hinh

lap phuong ta dl dang

khoi OMNPQO' deu la

tam giac deu canh 2

b Th^ tich hinh lap phucfng la a^

c The tich kh6'i 8 mat diu canh

' ' ^ /

H i n h 2 1

a 4 i theo v i du 4 se la

V = 41 raV2 \ 4a^

24 The tich g6 bo di la

V i du 9 Hay phan chia h6p ABCD.A'B'C'D' thanh cac khoi tii dien,

thuc hien theo 3 budc sau:

1 Chia hop ABCD A ' B ' C ' D ' thanh 2 lang tru tam giac ABC.A'B'C va

CBD.CD'B'

2 Chia m6i lang tru thanh tii dien va m6t hinh chop tii giac

3 Chia hinh chop tii giac thanh 2 tii dien Vay se c6 6 hinh tii dien

Hinh 22

C BAI T A P

1 a Hay chiing minh kh6'i da dien c6 cac mat la nhirng hinh da giac c6 so

canh la le thi tong s6' cac mat phai la s6' chSn

b Trong khoi da dien ne'u m6i dinh la dinh chung ciia mot s6' le mat thi tdng so cac dinh cua no phai la mot s6' chan

2 Chia kh6'i lap phuomg thanh 6 khoi tii dien bang nhau

3 Chirng minh tam ciia cac mat cua tir dien deu lai la 4 dinh ciia mot tii dien d^u Tim ti s6' the tich cua 2 kh6'i tii dien mdi va cu

4 Cho khd'i tii dien ABCD, E va F iSn luot la trung di^m cua AB va CD

Hai mat phang (ABF) va (CDE) chia kh6'i tii dien ABCD thanh 4 khoi tii

dien Ke ten cac khoi tii dien va chiing minh th^ tich 4 khd'i tii ditn do

bang nhau, neu ABCD la khoi tii dien deu thi 4 kh6'i tu didn trdn c6 bang

nhau khong?

5 Cho chop S.ABC c6 ducmg cao SA = a Day la tarn giac vu6ng can c6

AB = BC = a Goi B' la trung diim SB, C la chan duomg cao A C cua

ASAC

a Tinh the tich cua khoi chop S.ABC

b Chiing minh SC vu6ng goc A B ' C

c Tinh the tich cua kh6'i chop S.AB'C

6 Hay chi ra each chia mot khoi tii dien thanh hai kh6'i tii dien sao cho th^

tich ciia hai khoi tii dien nay c6 ti so bang — > 0 cho tnrdrc

n

I Cho kh6'i lang tru ABC.A'B'C c6 day la tarn giac deu canh a, dinh A '

each deu 3 dinh A, B, C canh ben A A ' tao vdri mat day goc 60°

a Tinh the tich khoi lang tru

b Chiing minh mat ben BCC'B' la mdt hinh chu nhat

c Tinh tong dien tich cac mat ben ciia lang tru (goi la dien tich xung

quanh ciia lang tru)

8 Cho khoi chop SABC Tren 3 canh SA, SB, SC lay 3 diem A ' , B', C khac

\&v S Goi V la the tich chop SABC, V la thd tich chop S'A'B'C

^ V SA SB SC

Chung minh — = —

V SA' SB' SC

9 Cho khoi lang tru diing ABC.A'B'C c6 day la tam giac vuong tai A,

ACB = 60° AC = b BC tao v6i (AA'CC) goc 30° Tinh d6 dai A C va

tinh the tich V cua khoi lang tru da cho:

10 Cho hop ABCD.A'B'C'D' c6 tat ca cac canh la a, cac goc

A ^ = B A D = A ^ = a (a < 90°) Hay tinh th^ tich cua h6p

I I Cho h6p ABCD.A'B'C'D' c6 day ABCD la hinh chii nhat canh la a, b,

hai mat ben (ABB'A') va (ADD'A') tao vdi day ABCD goc 45° va 60°

Tinh th^ rich ciia h6p n^u canh ben A A ' la c

12 Hay tim th^ tich kh6'i h6p n6u d6 dai canh ben la a, dien tich hai mat

cheo la S, va Sj, goc giffa 2 mat cheo la a

13 Cho S.ABCD la chop deu, khoang each tir A den mat phang (SBC) la 2a, goc giua mat ben va mat day la a Tinh the tich V cua khoi chop, v6i a bang bao nhieu thi V c6 gia tri nho nhat?

14 Cho t i i dien ABCD, khoang each giCra AB va CD la a, a la goc giiia hai

1 ducmg thang do Chiing minh VABCD = - AB.CD.a.sir\ a

6

15 Tinh the tich kh6'i tii dien ABCD biet AB = CD = a, AC = BD = b va

A D = BC = c

16 Cho khoi lap phucmg ABCD.A'B'C'D' Cac diem E va F Hn luot la trung

diem cua C B ' va C D ' Dung thie't dien ciia lap phuong bi cat bcri (AEF) Tinh t i s6' the tich hai ph^n ciia kh6'i lap phucmg do mat phang (AEF) cat ra

17 Cho chop SABCD c6 day la hinh binh hanh Goi B', D ' lan luot la trung

diem ciia SB, SD Mat phang (AB'D') cat SC tai C Tim ti s6' the tich hai

khd'i chop SABCD' va SABCD

18 Cho t i i dien ABCD c6 didm O nam trong tir dien va each deu 4 mat cua tii dien m6t khoang d Goi hA, hg, he, ho la khoang each tilt cac dinh den

mat doi dien Chiing minh:

+ — + — +

d hg hp hp

19 Cho chop S.ABC, M la mot diem nam trong day ABC, cac du5ng thang

qua M song song vdfi SA, SB, SC Mn luot cat (BCS), (CAS), (ABS) tai

A', B', C Chung mmh —ALSCS ^ ^ ^ khong doi

21 Cho khdi chop S.ABCD c6 day ABCD la hinh chff nhat, canh ben SA

vu6ng goc vdi day, mat phang (a) qua A va vuong goc SC cat SB, SC,

S D a B ' , C ' , D '

a Chiing minh AB'C'D' c6 2 goc dd'i dien la vudng

b Chiing minh khi S chay trfen du6ng thing vu6ng goc vol day tai A thi

(AB'C'D') lu6n di qua mot du5ng thing cd dinh va cac di^m A, B, B', C,

C, D, D cung each m6t d'dm c6 dinh m6t khoang kh6ng d6i

c Gia sur goc giua SC va (SAB) la x Tinh th^ tich cua chop S.AB'C'D' va

S.ABCD bid't AB = BC

22 Cho tii dien ABCD:

a Chiing minh neu chSn ducmg cao H cua tur dien xua't phat tiif A triing

vdfi true tarn tam giac BCD va AB vuOng goc AC thi AC vu6ng goc AD

va AD vuong goc vdfi AB

b Gia sit BC = CD = DB, AB = AC = AD H la chdn duomg vudng goc

ha tir A de'n (BCD), J la chan ducmg vu6ng goc ha tiir H xudng AD Dat

AH = h, HJ = d Tinh th^ tich tii dien theo d va h

c Chiing minh neu AABC va AABD c6 dien tich bang nhau thi ducmg

vu6ng goc Chung cua AB va CD di qua trung di^m cua CD

23 Cho hinh chop diu day la da giac diu n canh, canh day Ik a

a Tinh th^ tich va didn tich xung quanh neu goc giiia canh bSn va day

la a

b tinh th^ tich va dien tich xung quanh n^u g6c gitta mat ben wk diy

la]3

24 Cho hinh chop cut d6u day la da giac d^u n canh, canh day la a, b (a > b)

a Tinh the tich va dien tich xung quanh chop cut ne'u goc giiia canh ben

va day la a

b Tinh th^ tich va dien tich xung quanh chop cut n^u goc giiia mat ben

va day la p

25 Day hinh chop SABCD la hinh chff nhat, c6 AB = a, AD = b, SA vu6ng

goc day va SA = 2a La'y M e SA vdi AM = x (0 < x < 2a)

a (MBC) cat hinh chop theo thie't dien gi? Tun dien tich thiet dien a'y

b Xac dinh x d^ (MBC) chia hinh chop ra hai phdn c6 th^ tich bang

nhau

(DH Y Duoc Thanh ph6' H6 Chi Minh, nam hoc 1996, chucmg tiinh

phan ban;

26 Cho tii dien ABCD, chiing minh:

a Cac ducmg thang noi m6i dinh vdi trong tam mat doi diien dong quy tai m6t die'm G

b Cac hinh chop dinh G c6 day la cac mat ciia tii dien c6 the tich bang nhau

27 Cho tii dien SABC c6 cac goc phang d dinh S deu vuong

a Chiing minh V3 SABC ^ SSAB + SSBC +

^SAC-b Cho SA = a, SB + SC = k, SB = x Tinh the tich tii dien theo a, k, x

va xac dinh SB, SC de the tich tii dien SABC lorn nhat (DH Quoc gia Thanh ph6' Ho Chi Minh, nam hoc 1996)

28 Cho hinh chop tii giac d^u SABCD c6 tat ca cac canh bang a

a Tinh the tich cua no

b Tinh khoang each tii tam day de'n cac mat ben

(DH Da Nang, khdi D, nam 1997)

29 Cho hinh chop OABC vdi OA, OB, OC vu6ng goc vdi nhau tutng doi

c Tinh dien tich tam giac ABC theo a, b, c

d Chiing minh: a^ tgA = b^tgB = e^tgC '' (DH Ngoai Ngfl Ha N6i, 1997, theo phan ban)

30 Cho hinh h6p ehff nhat ABCD.A'B'C'D' c6 A'A = a, AB = b, AD = e

Tinh thd tich tii dien ACB'D theo a, b, c

(Hoc vien Quan he qu6c te' nam 1997)

31 AB la du5ng vuong goc chung ciia hai dudfng thing cheo nhau x, y Lay

A e X, B e y, AB c6' dinh va AB = d Me x, N e y, M, N thay d6i va

AM = m, BN = n (m, n > 0) Gia sir c6 m^+ n^ = k > 0, k khong doi

a Xac dinh m, n d^ d6 dai doan thang MN dat gia tri Idn nhat, nho nhat

b Trong trilcmg x vu6ng y va mn ^ 0, hay xac dinh m, n theo k va d d^

the tich tii dien ADMN dat gia tri iom nha't va tinh gia tri do

(DH Qudc gia Ha N6i, nam 1997, khoi A)

32 Cho tarn giac ABC can dinh A Mot dilm M thay ddi tren duofng thang

vu6ng goc v6i mp (ABC) tai A (M A)

a Tim quy tich trong tarn G va true tam H cua tam giac MBC

b Goi O la true tam tam giac ABC Hay xac dinh vi tri cua M de the

tich tur dien OHBC dat gia tri Idn nha't

(DH Quoe gia Ha Noi, nam 1997, kh6'i B)

33 Cho hinh chop tii giac d6u S.ABCD c6 day ABCD la hinh vu6ng canh a

va SA = SB = SC = SD = a

a Tinh dien tich toan ph^n va the tich ciia hinh chop theo a

b Tinh cosin cua goc nhi diSn [(&45), (&4Z))

(DH Su pham TP Ho Chi Minh, khoi D - E - 2000)

34 Cho hinh chop d^u SABCD Day ABCD la hinh vu6ng c6 canh bang 2a

Canh ben SA = aVs Mat phang (P) di qua AB va vuong goc v6i mat

phang (SCD) (P) Ian lugft cat SC va SD tai C va D'

a Tinh dien tich ciia tii giac ABCD'

b Tinh the tich ciia hinh da dien ABCDO'C

(Dai hoc Nong nghiep I - Kh6'i A - 2000)

Chuang II

M A T N O N ; M A T T R U , M A T C A U

I MAT NON, HINH NON, KHOI NON

A L Y T H U Y E T C A N N H6

1. Su tao thanh m^t tron xoay

Trong khong gian cho mat phang a, chiia ducmg thang A va dudng r

Khi quay mat phang a xung quanh ducmg thang A thi tap hop cac diem cua duofng r tao nen mot mat tron xoay nhan ducmg thang A lam true Ducmg

r sinh ra mat tron xoay nen dugfc goi la ducmg sinh cua mat tron xoay

2 Tinh chat ciia mdt tron xoay

* Ne'u cat mat tron xoay bed mot mat phang vuong goc vdi true A thi giao tuyen la m6t ducmg tron c6 tam nam tren true A

* M6i diem M thu6c mat tron xoay d^u nam tren mot ducmg tron thu6c

mat tron xoay va c6 tam tren true A

(Cho nen ngudi ta con noi mat tron xoay la tap hgfp cac ducmg tron nam tren cac mat phang vuong goc vdfi ducmg thang A c6' dinh va c6 tam nam tren ducmg thang A)

3 Mat non tron xoay

Dinh nghia: Cho 2 ducmg thang d va A cat nhau tai O tao thanh goc cp

vdfi 0 < 9 < 90" Khi quay ducmg thang d xung quanh true A sao cho goc cp khOng thay ddi thi tao ra mat non tron xoay (goi tat la mat non) (h.23)

O goi la dinh ciia mat non va goc is dinh bang 2(p, d goi la ducmg sinh

cua mat non

4 Hinh non

Hinh 23 Hinh 24

Cho tam giac vuong OAB vuong a A

Khi quay tam giac nay quanh canh OA thi ducmg gS'p khiic OBA tao

thanh mot hinh tron xoay (con goi tk la hinh non) Hinh tron tam A do canh

AB tao ra trong khi quay goi la mat day ciia hinh non

O goi la dinh ciia hinh non, d6 dai doan OA goi la chieu cao, 66 dai

doan OB goi la dudng sinh ciia hinh non

Canh OB trong khi quay tao thanh mat xung quanh ciia hinh non

5 Khoi non tron xoay

Ph^n khong gian gidi han bdi hinh non va ca hinh non gpi la khoi non

tron xoay (goi tk la khd'i non)

Dinh, chi^u cao, ducmg sinh cua hinh non cung la dinh, chi^u cao,

dircmg sinh ciia khoi non do

6 Dien tich xung quanh ciia hmh non, the tich cua khoi non

= u r/ (Sxq la dien tich xung quanh, r la ban kinh hinh tron day, / la

duomg sinh)

V = - 7t r'h (V la the tich, h la chieu cao, r la ban kinh hinh tron day)

B Vf DU

Vi du 1: Mot hinh vuong canh a noi tiep trong day hinh non Mat phang

qua dinh hinh non va canh hinh vuong cat hinh non theo m6t thiet dien la

tam giac can c6 goc a dinh bang a Tim dien tich xung quanh ciia hinh non

l A = IB = I va SI vuong goc AB, (do Hinh 25

tam giac SAB la tam giac can);

Vi du 2 Thiet dien qua true ciia

hinh non la mot tam giac deu canh a

Tim dien tich xung quanh ciia hinh non

va the tich ciia khoi non

R6 rang ducmg sinh SB = / = a, ban kinh day r = ^ = ^

Theo cong thiic tinh dien tich xung quanh hinh non:

S,^ = ml suy ra S^^ = TI ^ a = ^.a^

SO la ducmg cao ciia tam giac deu canh a, nen SO = — y

-Theo cong thiic tinh the tich khS'i n6n:

35 Trong mat phang (P) cho O co dinh Mot ducmg thang / thay doi lu6n di

qua O sao cho goc giiJa / va mat phing (P) luon bang cp kh6ng d6i

Chiing minh rang / luon nam tren m6t mat tron xoay xac dinh

36 Ducmg sinh cua hinh non c6 do dai 5m va tao v6i mat day mot goc bang

30° Tinh dien tich thiet dien qua true cua hinh non a'y

37 Cho hinh non c6 thiet dien qua true la mot tam giac deu, ban kinh day

la R; tinh dien tich ciia thiS't dien qua hai dudng sinh tao thanh m6t

goc a

38 Ban kinh day cua hinh non bang 3m, chieu cao bang 4m

a Tinh do dai ducmg sinh va goc tao hbi ducmg sinhvoi mat day

b Tinh dien tich xung quanh

c Tinh the tich cua khoi non

39 Cho hinh vuong ABCD canh a noi tiep day hinh non c6 dinh S sao cho

goc SAB = 60°

a Chung minh rang SABCD la hinh chop tu: giac deu

b Tinh the tich hmh chop SABCD theo a

^ c Tinh ti s6' th^ tich ciia hinh chop va hinh non

40 Cho hinh chop tam giac deu SABC canh ben nghieng v6i day goc (p, canh day AB = a Mot hinh non dinh S c6 day la hinh tron noi tiep tam giac ABC

a Tinh dien tich xung quanh ciia hinh non theo a va 9

b Tinh ti s6' the tich cua khoi non va kh6'i chop da cho theo a va cp

II MAT T R U , HINH T R U , K H 6 I T R U

A LY THUYET CAN NHCl

1 Mat tru tron xoay

* Dinh nghia: Cho hai ducmg thang A va £ song song vdi nhau va each

nhau mot khoang r thi mat tron xoay sinh ra bcfi ducmg thang £ quay quanh Agoi la mat tru tron xoay (goi tat la mat tru)

A goi la true ciia mat tru, £ goi la ducmg sinh cua mat tru do (h.27)

1||||P * cat mat tru boi m6t mat phang vuong goc vod A thi thiet dien la m6t du5ng tron c6 tam nam tren A va c6 ban kinh r

2 Hinh tru

23

Cho hinh chO nhat ABCD, khi quay hinh chff nhat nay quanh canh A B

thi ducmg gap kJuic ADCB tao thanh mot hinh tru tron xoay (goi tat la hinh

tru) (hinh 28)

Khi quay canh A D va EC se sinh ra hai ducmg tron bang nhau goi la hai

mat day cua hinh tru

Khi quay canh DC sinh ra mot mat tru tron xoay goi la mat xung quanh

cua hinh tru

A D = BC goi la Mn kinh day cua hinh tru

A B la true cua hinh tru, d6 dai doan DC la d6 dai ducmg sinh cua hinh

tru, cung la chilu cao cua hinh tru

3 Khoi tru trrjn xoay

Phan khong giain gidi han boi hinh tru va ca hinh tru goi la khoi tru trdn

xoay (goi tat la khoi tru)

Ban kinh day, dttdng sinh, chieu cao, mat xung quanh ctia hinh tru cung

la ban kinh day, ducmg sinh, chieu cao, mat xung quanh cua kh6'i tru

4 Dien tich xung quanh hinh tru, the tich khoi tru

= 2 ;T rh (S^^, la dien tich xung quanh, r la ban kinh day, h la chilu

cao cua hinh tru)

V = ;r r'h (V thd tich kh6'i tru) ^

B VI DU:

Mot hinh tru c6 ducmg cao

bang ban kinh day va bang a La'y

M , N la diem thupc ducmg tron hai

day sao cho M N tao vdi true hinh

tru goc a

a Tinh khoang each tiif true Hinh 29

hinh tru den du&ng thang M N

b Mat phang (P) song song true, cat hinh tru theo m6t thie't dien la hinh

vuong Ti'nh khoang each tOr true hinh tru den mp (P)

e Mat phang (Q) khong song song vdi true hinh tru, cat no theo mot

thie't dien la hinh vu6ng Tinh goc tao bcri true hinh tru va mp (Q)

b Theo ddu bai thi ABCD la hinh vudng nen A B = a Lap luan gidng

cau a thi OK la khoang each tuf true hinh tru den mp (P), vdi K la trung diem

AB OK la dudng cao cua tam giae d^u BAO canh a nen K O =

c Ke ir vudng day dudi thi 11' song

song va bang O'O, I'F la hinh chie'u cua IF tren day dirdi ma IF vudng gdc FE (gt) nen I'F vudng gdc FE theo dinh l i ba dudng vudng gdc:

PFE = I v suy ra I'E la dudng kinh

Do EF vudng gdc IF va I'F nen

Tilr hai tarn giac vudng IFF va EFI' c6 cung canh goc vuong I' F, cho:

IF' - ir' = I'E' - EF' suy ra IF' - a' = 4a' - IF' » IF = 2

C B A I T A P

41 Cho mat phang (P), mot di^m A nSm tren (P), m6t diem B nSm ngoai (P)

sao cho hinh chieu B' cia B tren (P) khOng triing v6i A Mot di^m M

chay trong (P) sao cho luon c6 ABM = BMB' Chiing minh rang diem

M luon nam tren m6t mat tru tron xoay c6 true la AB

42 Mot hinh tru c6 chieu cao bang ban kfnh day, ngucri ta ke trdn hai day

ban kfnh lam thanh m6t goc 30" Tinh goc giua true ciia hinh tru va

ducmg thang n6'i hai diem miit cua hai ban kinh tren

43 Chieu cao cua hinh tru bang 2m, ban kinh day bang 7m, mot hinh vuong

ndi ti6p hinh tru sao cho b6'n dinh cua no deu nam tren hai ducmg tron

day, tinh canh ciia hinh vuong

44 Chiing minh rang hai tiep dien ciia hinh tru hoac song song hoac cat

nhau theo mot giao tuy6'n song song vdi true hinh tru

45 Trong hinh chop tii giac deu, canh day bang a va goc nhi dien thu6c day

bang a, CO mot hinh tru noi tiep ma ducmg cao va ban kfnh ciia no bang

trong kh6ng gian each diem O m6t Ichoang bang r (r > 0) goi la mat

ciu tam O ban kinh r Ki hi6u la

(O; r), CO khi viet la (O)

Nhu vay ( O ; r) = {M| O M = r'

2 Diem ndm tren, ndm trong, n^m ngoai mdt cau

Cho di^m M va mat c^u ( O ; r)

* N6'u OM = r thi M nam trdn mat cdu

* Neu OM < r thi M nam trong mat c^u

* Neu OM > r thi M nam ngoai mat cSu

3 Vi tri tuong doi gi&a mat c^u va mat phang

Cho mat ciu (O; r) va mat phang (P) Goi h la khoang each tir O den (P)

(OH ± (P), H e (P) va dat OH = h)

* Neu h > r thi (P) khdng cat mat cSu

* Ne'u h = r thi (P) va mat cdu c6 mot diem chung duy nha't H Khi do ta n6i (P) tie'p xuc vdi mat cau (O, r) tai H

Die'm H goi la tie'p di^m, (P) goi la tie'p dien ciia mat c^u

* Neu h < r thi (P) cat mat ciu theo m6t ducmg tron tarn H ban kinh

r = V P ^ Truomg hop dac biet khi h = 0, khi d6 (P) di qua O, mat phang (P) cat

mat ciu (O, r) theo ducmg tron tam O ban kinh r Dircmg tron nay goi la

<lurcmg tron 1dm

Mat phang di qua tam mat cSu goi la mat phang kfnh cua mat cSu do

4 Vi t r i tuong ddi giura mdt cAu va ducmg thdng

Cho mat cSu (O; r) va ducxng thing A Goi (P) la mat phang chiia A va

tam O Goi duomg tron C la giao cua mat cau (O; r) va mat phang (P) di

nhien C la ducmg tron I6n (O; r)

Giao ciia du6ng thing A va mat ciu (O; r) chinh la giao ciia dudng

thing A va dudng tron C

Goi d la khoang each tix O den A , ta c6 cac tnrcfng hgrp sau:

* Neu d > r thi A khong c6 diem chung vdi C suy ra A khong c6 diem

chung vdi mat c5u (O; r)

* Neu d = r thi A tiep xiic vdi C tai H va H la di^m chung duy nha't cua

mat c^u va A Khi do ta noi A la tiep tuyen cua mat cau, H la tiep diem

* Neu d < r, A cit C tai M va N thi hai diem nay chinh la giao diem cua

A va mat cSu (O; r)

Dac biet neu A di qua tam ciia C va cit C tai hai diem A, B thi A B la

ducmg kinh ciia mat cau (O; r)

5 Nhan xet:

Qua mot diem M bat ky tren mat c^u c6 v6 s6' tiep tuyen ciia mat cau,

cac tiep tuyen nay deu vu6ng goc v6i O M Cac tiep tuyen nay deu thuoc mot

tiep dien vuong goc v6i O M tai M

Qua mat diem M n i m ngoai mat c^u (O; r) c6 v6 so tiep tuyen vdi mat

ciu da cho cac tiep tuyen nay tao thanh mot mat non tron xoay dinh M , khi

do do dai doan thing n6'i tCr A den tiep diem deu bang nhau

6 Cong thijfc tinh dien tich mat cau va the tich khoi cau

S = 47tr'

B Vf DU

V i du 1: Cho hinh non c6 ban kinh day bang r, ducmg sinh tao vdi day

tndt goc a Mot hinh cau tam I nam trong hinh non va mat c l u tiep xiic vdi mat xung quanh va day hinh non

Tim dien tich ciia mat c i u va th^ tich ciia khdi ciu

Giai: A

Thiet dien qua true ciia hinh non la

tam giac can ABC va cit hinh ciu tam I

theo dudng tron tam I ban kinh 10 = R tiep xiic vdi 3 canh ciia AABC

Hi^n nhien I la giao ciia cac dudng phan giac trong ciia AABC

Trong tam giac vudng OIC, do CI

1

nen ICO = - C ma goc C la goc tao bdi

dudng sinh va day nen C = a ICO = - , O C = r n e n I O = R = r t a n — ' a a

2 2

Theo cdng thiic tinh dien tich mat cSu S = 4TtR^

\ Vay S = 47t rtan — a

V i du 2: Cho tam giac ABC thuoc mat phing (P) va Ax ± (P) La'y S

tren Ax Goi H , K la hinh chieu vudng goc ciia A tren SB va SC

a) Chiing minh cac diem A, B, C, H , K ciing nam tren mot mat c^u

b) Tinh ban kinh mat c i u biet A B = 2, A C = 3, BAC = 60°

Giai

a) Gpi O la tarn ducmg tron ngoai

tiep tam giac ABC Ke ducmg kinh AD ta

c6: BD ± AB ma SA ± (P) suy ra

(SAB) 1 (P), BD c (P) va BD 1 AB =>

BD 1 (SAB) => BD ± AH, ta lai c6

AH 1 SB (-t) suy ra A H ± (SBD)

AH 1 HD Chiing minh tuofng tu ta c6

AK ± KD Nhu vay cac diem A, B, C, H,

AD

K each O CO dinh m6t khoang bang

Hinh 33

AD

khong doi Vay chiing nSm tren mat c^u tam O bdn kinh (AD la ducmg

kinh ciia dudng tron ngoai tiep AABC)

b) Ap dung dinh ly ham s6' cosin va han s6' sin vao AABC ta c6:

B C = AB' + AC' - 2AB ACcosA

46 Tim the tich ciia m6t hinh lang tru diing c6 day la hinh thoi ma goc nhon

bang a, ngoai tie'p hinh cSu c6 th^ tich V

47 Cho m6t tii dien c6 cac canh bang a Tim ban kinh hinh c5u ti^p xiic vdd

tat c^ cac ranh ciia tii dien

48 Trong mat phSng (P), cho hinh vu6ng ABCD Tren ducmg thang Ax vuong goc vdi mat phang (P) lay diem S bat ky, dung mat phang (Q) di

qua A va vuong goc vdi SC Mat phang (Q) cat SB, SC, SD lin luot tai

B', C, D' Chiing minh rang cac diem A, B, C, D, B', C, D' cung nam tren mot mat cau

49. Trong mp (P) c6 ducmg thang d c6 dinh va mot diem co dinh A g d Goc xOy = Iv thuoc (P) quay quanh A, Ax va Ay cat d tai B, C Cho d' 1 (P) tai A Lay S e d' Goi H va K la cac hinh chie'u vuong goc cua A tren SB va SC

a) Chiing minh cac die'm A, B, C, H, K cCing nam tren m6t mat c^u

b) Tinh ban kinh mat ciu bie't AB = 2, AC = 3, BAC = 60°

c) Cho AABC vuong tai A Chiing minh mat c^u ngoai tiep kh6'i da dien ABCKH luon di qua m6t ducmg tron c6' dinh khi S chay tren d'

d) Tim quy tich tam I (tam mat c^u ngoai tiep tii dien SOAB khi goc vuong xOy quay quanh O) Chiing minh mat c^u (I) luon lu6n di qua

? m6t dudng tron cd dinh

0. Cho tii dien ABCD vdi AB = AC = a, BC = b Hai mat phang (BCD) va (ABC) vuong goc vdi nhau va BDC = 90° Xac dinh tam va ban kinh mat c^u ngoai tie'p tii dien ABCD theo a va b

Cho hai hinh chu nhat ABCD (AC la dudng cheo) va ABEF (AE la

"t; dudng cheo) khdng ciing nam trong mot mat phang va thoa man cac

I dieu kien AB = a, AD = AF = ayfl; dudng thang AC vudng goc vdi

dudng thang BP Goi HK la dudng vudng goc chung cua AC va BF (H thuoc AC, K thudc BF)

a) Goi I la giao diem ciia dudng thang DF vdi mat phang chiia AC va song song vdi BF Tinh ty so' —

DF 2) Tinh do dai doan HK

3) Tinh ban kinh mat cau ndi tiep tii dien ABHK

(DHSP Ha Ndi - Khd'i A, 2001)

cos a cos a sin a sin a

53 The tich cua khdi non tao bcri hinh non tren la:

Tir^tana 7ir^ n r»

3 3sina 3cosa 3cotga

54 M6t hinh tru c6 ban kinh day la r, chi6u cao la h

Dien tich xung quanh ciia hinh non tr6n la:

56 Mot hinh tru c6 ban kinh bang a, chieu cao bang b M6t mat phang song

song vdi true each true mot khoang la c cat hinh tru theo m6t thi^t dien

CO dien tich bang bao nhieu?

A.b7c' - a' B ab C be D 2h^a^ - c'

I I BAI T A P

57 Day hinh chop SABCD la hinh chfi nhat, canh ben SA vu6ng goc vdi

day Mat phdng qua A vuong goc SC, cat SB, SC, SD tai B', C, D'

a) Chiing minh tii giac AB'C'D' eo hai goc ddi dien la goc vu6ng

b) S chay tran Ax J- day tai A Chiing minh mp AB'C'D' lu6n di qua mo; ducmg thang cd dinh va bay di^m A, B, B', C, C, D, D' cung thupc mot mat c^u cd dinh

c) Goi a < Iv la goc tao boi SC va mp (SAB) Cho ABCD la hinh vu6ng, hay tinh ti so the tich giua hai khdi chop SAB'C'D' va SABCD

58 Cho hinh chop deu S.ABCD c6 cac canh ben bang a va mat cheo SAC la tam giac d^u

a) Tim tam va ban kinh cua mat cSu ngoai tiep hinh chop

b) Qua A dung mat phang (a) vudng goc vdi SC Tinh den tich thiet dien tao bdi mat phang (a) va hinh chop

59 Mot hinh cSu ban kinh R tiep xuc vdi mat phang (P) Mdt hinh non c6 day nam tren (P) cd chieu cao h va ban kinh cung la R, (h < 2R),

Ngudi ta cat hai hinh do bang mat phang (Q) song song vdi (P) dugc hai thiet dien va goi x la khoang each giiia hai mat phang (P) va (Q) (x < 2R, X < h) Hay tinh tdng dien tich cua hai thidt dien do theo R, h va x

Bieu thu-c a'y con thich hop cho trudng hop h < x < 2R, neu ta keo dai cac dudng sinh ciia hinh non de chiing cat mat phang (Q)

Cho tur dien ABCD cd AB = BC = CA = AD = BD = aV2 , CD = 2a

a) Chiing minh AB 1 CD Xac dinh dudng vudng goc chung ciia AB va CD

b) Tinh the tich tir dien ABCD

c) Xac dinh tam I mat c^u ngoai tiep tii dien ABCD

d) H la hinh chie'u vudng gdc ciia I tren mp ABC Chimg minh H la true tam AABC

(Trfch de thi vao trudng DH Su pham Quy Nhon nam 1979, khong phan ban)

61 Cho hinh chop tam giac deu S.ABC cd canh day bang 2^6 va dudng cao SO = 1 Goi M, N Ian lugt la trung diem ciia AC, AB

Tinh the tich hinh chop SAMN va ban kinh hinh cau ndi tiep hinh chop do

(Trich de thi vao DH Kinh te qudc dan, 1979)

33

62 Cho hinh tru c6 cac day la hinh tron tarn O vh tarn O', ban kinh ddy bang

chi^u cao va bang a

Tren ducmg tron day tarn O la'y diem A, trdn ducmg tron day tarn O' la'y

diem B sao cho AB = 2a

Tinh the tfch kh6'i tir dien OO'AB

(Trich de thi Dai hoc - Khoi A - 2006)

ChUffng in

PHl/ONG PHAP TOA D O TRONG K H O N G GIAN

I Ht TOA DO TRONG KHONG GIAN

A L t THUYfeT CAN N H 6

1 Toa do cua diem va cua vecta

/ He tog do: Trong khong

gian CO ba true toa d6 vuong goe

vdi nhau doi mot va c6 dinh hudng

Ba true nhu vay duac goi la ht

toa d6 vuong goc trong kh6ng gian Didm O goi la g6'c toa d6

- True hoanh, dinh hudmg

duang X Ox, c6 vecta don vi

o

Hinh 34

i = (l;0;0) True tung, dinh hudng duong y'Oy, eo vecta dan vi

Vi i , } , it la cac vecta dan vi tren true, ma cac true vu6ng goc nhau d6i

va T.J =0; i.k =0; j k = 0

Trong khdng gian vori he toa dp O x y z con dupe gpi la khong gian O x y z

2 Toa dp mot diem

Trong khong gian O x y z cho

m6t diem M tuy y, m6i diem M

hoan toan xac dinh boi vecta OM

V i 3 vecto i , j , k la 3 vecta

khong dong phang nen c6 b6 3 so

duy nha't (x, y, z) sao cho:

3 Toq do cua vecta

Trong khong gian Oxyz, cho vecto u , ta luon c6:

M = a,, i + 3.2-j +a3 k

Bp ba so (a,, a2, a,) xac dinh duy nhat va gpi la toa dp ciia vecto u, ki

hieu la u (a,, aj, a,)

2 Bieu thirc toa do cua cac phep toan vecto

/ Dinh U Trong kldong gian Oxyz cho cac vec ta a (a,; aa; aj)

S (bi; b2; bj) k h i do

d) a ± b = (a,± b,; a2± bj; a j i b,)

b) k a = (ka,; kaj; k-a,) = k(a,; di^; aj) (k la so thuc)

2 He qua a) a = h « a, = b,, a2 = b2, a, = bj

b) 0 = ( 0 ; 0 ; 0 )

c) a va b ciing phuong c6 mot so k: a, = kb,, aj = kbj, a, = kbj

d) Trong khong gian O x y z c6 A ( a , ; a2; a,) va B(b,; b2; b,) thi 45 = ( b - a , ; b2-a2; bj-aj)

3 T i c h v6 hudmg

1) Bieu thAc toq do

Dinh If Trong khong gian Oxyz tich v6 hudng cua hai vecto a (aj; a.^, a-,;

va A (b,; bj; h^) la m Or sty duac xac dinh bcfi cong thiic:

a b = a,b| + a2b2 + ajbj 2) Ifng dung

* Do dai cua vecto

* Khoang each giua hai diem A A ( X A ; yA; Z A ) B ( X B ; yg; Zg) la

A B = 7(XB - x^f + (ye - yj' + (z^ - z^f

* G p i 9 la goc giiia 2 vecta a va b

a,b, +a2b2 +a3b3

cos 9 =

^ / a f + a f + a ^ -^/bf+bf+b

=> a J b <=> aib] + a2b2 + a3b3 = 0

4 T i c h CO hudng cua hai vecto (hay tich vecto)

/) Dinh nghia: Tich c6 hu6ng (hay tich vecto) cua hai vecta a (ai, a2, a,)

Va b (b„ b2, bj) la mot vecto duac k i hieu \di[a,b] hay a A 6 va c6 toa

d6 duac xac dinh nhu sau:

f a, a, a, a,

V b,b3 3

b3b, >

b,b, ) 2) Tinh chat

[a,b]=0 o a =k.S

{a,b] l a va[a, 6]I.6(ra,b].a = 0; ra,b1.b = 0)

a,b = a sin(a,b)

3)Apdung

J Tick dien tick cua hinh binh hanh va thetich khoi hdp

• ABCD la hinh binh hanh SABCD = AB A D sin A

A B , A D

• A B C D A B C ' D ' la hinh hop

• VABCD.A'B'C'D'= T A B , A D AA

Ba vecta a, c, bdong phang <=> a,b c = 0

Ba vecta a, b, c khdng d6ng phing <» a,b

I

5 Phuong trinh mdt c^u

* Dinh li: Trong khong gian Oxyz,

mat cau (s) tarn I(a;b;c) va ban kinh r

CO phuong trinh:

(x-a)^ + (y-b)2 + (z-c)2 = r2

Nhdn xet:

Phuong trinh

x'+y'+z' + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0v6i: ' Hinh 36

A^ + B^ + - D > 0 la phuong trinh mat c^u tarn I(-A;-B;-C) va

b) Goi M la die'm chia dudng trung tuyen AA, ciia mat phang ABC theo

Cdnh 2: Bien ddi ve phai:

Cho tur dien deu ABCD canh d,

M va N Ian luot la trung di^njL AG '

va BD

1) Tim do dai MN

2) Tim goc giua MN va AB

3) Chiing minh MNl AC, MN 1 BD

U m toa d6 hinh chie'u cua die'm A ( l ; -3; -5) trdn:

1) mp Oxy; 2) mp Oxz 3) mp Oyz;

4) True hoanh; 5) True tung 6) True cao

A 1

5) Tren true tung Oy thi hoanh do x = 0, do cao z = 0 nen toa do hinli

chieu ciia A la A,(0; - 3 ; 0)

6) Tren true cao Oz thi hoanh do x = 0, tung do y = 0 nen toa do hinh

chieu ciia A la A^iO; 0; -5)

Vi du 4: Cho A(-3; 2; -1) Tim toa do diem doi xiing cua A qua gdc toa

d6, qua eac true toa do, qua cac mat phang toa d6

Giai: Qua gdc toa do: toa do diem doi xiJng ciia A la: (3; - 2 ; 1)

Qua true hoanh x' Ox: toa dd di^m ddi xiing ciia A la: (-3; 2; - 1 )

Qua true tung y'Oy: toa do di^m ddi xiing etia A la: (3; 2; 1)

Qua true cao z'Oz: Toa do di^m ddi xiing cua A la: (3; - 2 ; - 1 )

Qua mat phang Oxy: toa do diem ddi xiing ciia A la: (-3; 2; 1)

Qua mp Oyz: toa dd diem ddi xiing cua A la: (3; 2; - 1 )

Qua mp Oxz: toa do di^m ddi xiing ciia A la: (-3; - 2 ; - 1 )

Cho tii dien ABCD c6 A ( l ; - 2 ; -1), B(-5; 10; -1), C(4; 1; 11), D(-8; - 2 ; 2)

ViS't phuang trinh mat ciu ngoai tie'p tii dien ABCD

Khoang each l A = = -^{l-xf +(2 + >;)' + ( l + z ) ' = 9 Mat e^u

ngoai tiep tii dien ABCD c6 tarn I(-2;4;5) va c6 ban kinh r = l A = 9

Vay phuong trinh mat cau la:

(x+2)' +(y-4)' + (y-5)' = 8 1

V i d u 8

Cho a = (3,;2;2)va 6 = (18;-22;-5) Tim cbie't

c tao vdfi true tung goc tu

Chirng minh rling b6'n diem A, B, C, D la 4 dinh ciia hinh tii dien

I Tinh ^AO (O la trong tam ciia mat BCD ciia hinh tii dien)

Giai: a Neu bon di^m A, B, C, D la b6n dinh cua m6t hinh tir diSn thi

ba vector AB, AC, AD khong ddng phang

A B = (-4;4;1), AC = (2;2;2) =2(1;1;1),AD = ( - 3 ; - 5 ; 3 ) Cdch I: Xet bieu thirc [AC,AD].AB

1 1 1 1 1 1

- 4 -5 3 3 -3 -3 -5 + 4 1 1 + 1 1

= -4.8 - 4.6-2 = -58 9^ 0 (dpcm)

Cdch 2 Ta khong tim dugc cap so x, y thoa man A B = xAC + y A D ,

nghia la he sau v6 nghiem:

- 4 = X - 3>'

4 = X - 5y ^ he nay v6 nghiem

1 = X + 3y

b Goi 0(x, y, z) ta c6:

AO = AB + BO

AO = AC + CO AO=AD+DO 3AO = AB + AC + AD-(OB + OC + OD)

Vi O la irong tarn tarn giac BCD ntn OB + OD + OC = 0

Chiing minh di^m O la dilm duy nha't

64 Cho tii dien ABCD Goi A', B', C , D' la cac di^m theo thir tu chia cac

doan thang AB, BC, CD, DA theo ty s6 k:

A ' A B B C C D D

= k

A B B C C D D A

1 CMR vdfi moi di^m O bat ky trong kh6ng gian, ta lu6n c6:

OA + OB + OC + OD = OA' +OB+OC' +OD'

2 Vol gia tri nao ciia k thi b6'n diem A',B',C,D' d6ng phing?

65 Cho a = S,b =l,(a,6) = 30" Tinh goc tao bdi tdng va hifu hai

vecta a,b

66 Tarn giac ABC c6 toa d6 cac dinh A(3; -1;6); B(-l;7; -2), C ( l ; -3;2)

Chiing minh tam giac ABC la tam gidc vu6ng

67 Toa d6 trung diem cac canh cua tam giac ABC la (1;3;2), (0;2;0) (2; -2; 4) Tim toa do cua cac dinh tam giac ABC

68 Tim tren true hoanh mot diem each deu hai diem A(l; -3;7) va B(5;7;- -5)

69 AABC CO A(l;2; -1), B(2; -1;3), C(-4;7;5) Tim d6 dai ducmg phan giac trong BD

70 AABC CO A(-4; -1;2), B(3;5; -10) Tim toa d6 dinh C bie't trung di^m canh AC thu6c true tung,^ trung diem canh BC thu6c mpOxz

71 AABC CO A(6;2;3), goc toa d6 la trung diem canh AC Trong tam G ciia AABC thu6e true tung Tim toa do B, C

72 AABC CO A(-l;2;3), trong tam G trung vdi g6c toa do, Be Ox,

C e mpOyz Tim toa d6 B, C

73 Tim the tich tii dien ABCD biet toa d6 cac dinh A(2; -1;1), B(5;5;4), C(3;2;-1),D(4;1;3)

74 Cho hinh hop ABCD.A'B'C'D', biet A(-1,0,1), B(2;l;2), D(l;l;2), C'(4,-5;l)

a) Tim toa d6 cac di^m eon lai ciia hinh h6p

b) Tim the tich hinh hop tren

75 Cho lang tru diing ABCA,B,C, c6 day ABC la tam giac vudng

AB = A C = a, AA, = aV2 Goi M, N 1^ lugt la trung diem ciia doan

AA, va BC, Chiing minh MN la dirdng vu6ng goc chung cua cac ducmg thing AA,va BQ.Tinh VMA,BC, •

76 Trong khong gian toa d6 Oxyz cho 0(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; 1; 0), O' (0,0,a) la bon dinh ciia hinh hop chu nhat OBCD.O'B'CD'

Tim add 'BD L^T:

(Trich d6 thi DHXD, 1999)

77 Trong kh6ng gian toa d6 Oxyz cho hinh tii dien ABCD, bie't toa d6 cac dinh A(2; 3; 1), B(4; 1; -2) C(6; 3; 7), D(-5; -4; 8)

Tinh do dai ducmg cao ciia tii dien xua't phat tur A

(Trieh de thi DH Duoc, 1999)

II M A T P H A N G

A THUYfeT CAN NH6

1 Phuofng trinh long quat cua mat phdng

* Vector phap tuyen: Vecta n^O vu6ng goc vol mat phang («) goi la

vecta phap tuyen cua mat phang (a)

Dinh ly: Trong kh6ng gian Oxyz ne'u m|t phang (a) c6 cap vecto chi

phaang la a (a,; a^, a,) va b (b,; h^, b,) thi ( a ) c6 m6t vecta phap tuy^fn

V > J

= (ajbj - ajbj-, ajb, - a,b3;a,b2 - a^hi)

Nhuvay n =

Dinh nghia: Phuong trinh c6 dang Ax + By + Cz + D = 0 trong d6 A, B, C

khong d6ng thcri bang 0 (A^+ B^+ 0) dugrc goi la phuong trinh t6ng quat

cua mat phang

* Nhan xet

* Neu mat phang ( a ) c6 phirong trinh t6ng quat laAx + By + Cz + D = ti

thi vecta phap tuyen cua no la n (A,B,C)

n (A,B,C) 0 lam vecto phap tuySn la:

A(x - Xo) + B(y - yo) + C(z- ZQ) = 0

* Cac truorng hop rieng

Trong khong gian Oxyz cho (or): Ax + By + Cz + D =0 (1)

* Neu D = 0 thi (or) di qua gd'c toa do va ngugfc lai

* Neu trong phuomg trinh (1) khong c6 mat x(A = 0) thi mat phang

tuong ung se song song hoac chiia true Ox

Tuomg tu vdri y va z

* N6'u plijong trinh mat phang c6 dang Cz + D = 0

Kh6ng CO mat x va y (A = 0, B = 0) thi mat phing do song song hoac Itrung voi mat phang Oxy Tuong tu mat phang Ax +D = 0 song song hoac ttrung vdi mat phang Oyz, mat phang By + D = 0 song song hoac triing v6i

lat phang Oxz

f * Ne'u A,B,C,D khac 0, bang each dat a = -—,b = -—,c = -— ta c6

Phuomg trinh (2) la phuang trinh ciia mat phang theo doan chan

2 Vi trf tuong doi cua hai mat ph^ng Cho hai mat phang (or,): A,x + B,y + C,z + D, = 0

3 Khoang each tiir mot diem den mot mat phang

each tiir diem MQ de'n mat phang a, duac tinh theo c6ng thiic:

AXQ + Byo +Czo+D

d(Mo,a) = ^A'+B'+C

* Khoang each gifia hai mat phang song song la khoang each tiir m6t

49

B Vf DU

V i du 1: Viet phuong trinh mat phang di qua diem ( 2 ; - l ; - 1 ) va vu6ng

goc vdi true eao

Giai: Mat phang phai tim vu6ng goc vdi true cao nen nhan veeto

k = (0;0;1) lam vecta phap tuydn Vay phuong trinh mat phang phai tim la:

(Trich de thi vao D H LuSt Ha Noi, 1999)

Giai: Veeto phap tuye'n ciia (P): = (1; 0; 0)

Veeto phap tuye'n cua (Q): = (1; 1; -1)

nABC = 0 2

= (0;5;0) = 5(0;1;0) Vay mp(ABC) c6 phuang trinh y + 1 = 0

Khoang each tir D den mp (ABC) la:

2 + 1 d(D, (ABC)) =

The tfch tir didn DABC la:

80 Viet phuang trinh mat phang qua true tung va di^m A(l;4;-3)

81 Viet phuong trinh mat phang qua hai diem A(7;2;-3), B(5;6;-4) va song song vdi true hoanh

82 Tim dien tich tam gidc do mp (P): 5x - 6y + 3z +120 =0 cat mp Oxy

83 Tim the tich tii dien do mp(P): 2x - 3y + 6z - 12 = 0 cat cac mat phang

88 Xet xem diem A ( 2 ; - l ; l ) va goc toa do O c6 nkm cung phia, hay khac

phia dd'i vdi mp.(P), mp(Q)

(P): 3 x - 2 y + 2 z - 7 =0 ( Q ) : 5 x - 3 y + z - 1 8 =0

89 Xet xem dia'm A(2; - 1 ; 3) va goc toa do O ciing n^m trong goc ciia nhi

ditn (P; Q) hay nam trong hai goc ke nhau cua nhi dien nay?

1 (P): 2 x - y + 3 z - 5 = 0 2 (P): 2x + 3 y - 5 z - 1 5 =0

(Q): 3x + 2 y - z + 3 =0 (Q): 5 x - y - 3 z - 7 = 0

90 Viet PT mp phan giac ciia goc nhi dien (P; Q) biet P:

2x -14y +6z - 1 = 0, Q : 3x+5y -5z +3 = 0 va g6c toa do thudc goc nhi

didn CO mp phan giac

91 Tim m de hai mp c6 PT: 3x -5y + mz - 3 = 0 va x + 3y + 2z + 5 = 0

vuong goc voi nhau

92 Trong khong gian Oxyz cho hinh lang tru diing ABC.A,B|C, v6i

A(0;-3;0), B(4;0;0); C(0;3;0); B,(4;0;4)

a) Tim toa do cac dinh A, va C, Viet phuofng trinh mat c^u c6 tarn la A

va tiep xiic vdi mat phang (BCC,B,)

b) Goi M la trung diem ciia A,B, Viet phuong trinh mat phang (P) di

qua hai diem A, M va song song vdi BC,

III PHUONG TRINH O U O N G T H A N G

A L t T H U Y ^ T C A N N H 6

1 Phirong trinh tong quat cua^ircmg thang

Ta da biet giao tuyen cua hai mat phang phan biet cat nhau la mot dudng thang Vay trong khdng gian Oxyz ta xem ducmg thang (d) la giao cua hai

mat phang phan biet (a) va (a') wdi:

( a ) : Ax + By + Cz + D = 0 (a'): A'x + B'y + C'z + D = 0 'Ax + By + Cz + D = 0

A'x + B'y + C'z + D'=0 (1)

A'+B'+C^^ 0, A ' +B'' +C'' ^ Ova A : B : C ^ A' : B': C

He phuong trinh (1) la phuong trinh tdng quat ciia ducmg thang

2 Phuong trinh tham so cua ducmg thdng

• Dinh ly: Trong khong gian Oxyz cho ducmg thang A di qua diem M() (xo; Yo; Z()) va nhan vecto a (a; b; c) 0 lam vecta chi phucmg Di^u

kien can va du de diim M (x; y; z) nam tren A la c6 mot s61 sao cho:

Khi do A di qua diem (XQ; yo; z^) va vecto chi phuong la a (a, b, c)

3 Phucmg trinh chinh tic cua ducmg thang

Tit (2) va neu a, b, c deu khac 0, khii t d cac phuong trinh tren ta c6:

^ - ^ 0 y-yo 2 - ^ 0 (3)

a b c

Dinh nghla: Phuomg trinh (3) v6i a, b, c 0 duoc goi la phuomg trinh

chinh tic cua ducmg thang

4 Vi trf tuong doi gifia ducmg thang va mat phdng

Cho duomg thing A:

x = XQ+at

y = yo+bt

Z = ZQ+Ct

va mat phang ( « ) : Ax + By + Cz + D = 0

De tim so giao di^m cua A va (a) ta giai he phuong trinh g6m cac

phuong trinh cua A va (a) va cho ta phuomg trinh

(Aa + Bb + Cc) t + Axo + Byo + CZo + D = 0 (*) M6i nghiSm ciia phuong trinh(*) ^n t umg vdi 1 giao di^m cua A va (a):

1) Ne'u Aa + Bb + Cc 7i 0 thi phuong trinh (*) c6 nghiem duy nha't =>

Trong Ichong gian Oxyz cho ducmg thang A di qua M va c6 vecto chi

phuong a , duomg thang A' di qua diem M' va c6 vecto chi phuomg a', ta c6:

1) A va A' cheonhau o

2) A va A' cat nhau o •

a,a

a,a MM' =0 a,a ^ 0

3) A// A' <=>

4) A = A' ^

a,a a,MM

1) Khoang tic mot diem din mot ducmg thang

Cach 1: Mu6'n tim khoang each tut mdt diem M de'n duomg thang (A) ta lam nhu sau:

• Viet pt mat phang (a) qua M va vu6ng goc vdi duomg thing A

• Tim toa do giao di^m H ciia (A) va (a)

• Tinh d6 dai MH, do chinh la khoang each tir M de'n A ky hieu la d(M, A)

Cdch 2: Sit dung c6ng thirc d(M, A) = M H = (Mo € ( A), a

vecto chi phuomg ciia (A)

2) Khoang cdch giita dudng thing vd mat phang song song

De tinh khoang each gifia duomg thing A va mat phing (a) ta lam nhu sau:

• La'y m6t diim tuy y MQ e A

• Tinh khoang each d(Mo, a) tiif Mo den A Khoang each nay chinh la khoang each giua A va (a) va duoc ky hieu la d(A, a)

3) Khoang cdch giQa hai ducmg thang cheo nhau Cdch I Di tinh khoang each gifia hai ducmg thing cheo nhau A va A' ta

lam nhu sau:

• Lap phuong trinh mat phang a chfia A va song song \di A'

• Lay m6t di^m M tuy y trdn A' r6i tfnh khoang each tiir M d6n a

Khoang each nay chmh la khoang each gifla hai ducmg thang cheo nhau A va

A' ky hidu la d(A A')

a,d MM'

a,a Cdch 2: S\x dung cong thiic: d( A ;A') = h =

(M e A, a la vecta chi phuofng ciia A M ' e A', a'la vecto chi phuong

l 2 x - ; ; + 5 z - 4 = 0

Giai: Ta c6:

+

x + y - z + 3 = 0 2x - y + 5z - 4 = 0

(1) (2)

1 4 3x + 4 z - 1 = 0 <:> x = - - - z

3 3

1 4 Datz = t,thayvao(1): - - - t + y - t + 3 = 0<::> y =

10 7 + - r

^ Giai: Mat phang Oxy c6 vecto phap tuyen k = (0; 0; 1) va di qua goc

toa d6 nen c6 phuorng trinh: z = 0

Vay pt ducmg thing phai tim la:

f 5 x - 7 y + 2 z - 3 = 0

t z = 0

V f d u S Viet phuong trinh ducmg thang song song voi hai mp:

Giai: Ducmg tiiang (A) piiai tim la giao tuye'n cua liai mp (P) ^'a mp(Q)

M p (P) cluia (d,): x + 5 _ y-3 _ z + 1 di qua di^m (-5; 3; -1) va c6 vecto

2 - 4 3

ciii phuong = (2; -4; 3) V i (A) la giao tuye'n ciia mp (P) va mp (Q),

ma (P) // (P'), (Q) // (Q') nen (P) c6 cung vecto phap tuyen vdi (P);

3x + 12y - 3z - 5 = 0 ^ = (3; 12; -3) = 3(1; 4; -1), va (Q) c6 cung

vecto phap tuye'n vdfi ( Q ) : 3x - 4y + 9z + 7 = 0

^ = ( 3 ; - 4 ; 9 ) Vecto chi phuong u^ ciia (A) la tich c6 hudng ciia n, va n ^

=^ Vecto chi phuong

X + 3;; + 2z + 1 = 0 va song song v6i true Ox

Giai, M p phai tim thudc chum mp:

Chon m = n = 1, ta C O mp phai tim la: 3x - 2y + 6z + 21 = 0

Chpn m = 19, n =85, ta c6 mp phai tim la: 189x + 28y + 48z - 591 = 0

Vf du 8 Tim toa do giao didm cua ducmg thang:

.x-1 y-A z - 5

va mp 3 x - y + 2 z - 5 = 0

Giai: PT ducmg thartg c6 thi vie't dudri dang tham s6:

h^7 + 5t

y = 4 + t

z = 5 + 4t

Thay chung vao PT mp: 3(7 + 5 t ) - (4 + t) + 2(5 + 4t) - 5 = 0 o t = - l

Thay lai vao PT dudng thang, ta dugc toa do giao di^m (2; 3; 1)

Vi du 9

Tim diim Q doi xiJng vdi P(4; 1; 6) qua dudng thang:

'x-y-4z + l2 = 0 2x + y-2z + 3 = 0

Giai: Vie't PT ducmg thang (d) da cho

du6i dang tham so:

u = (2; - 2 ; 1) Viet PT mp (a) qua P(4;l;6) va vu6ng goc v6i (d) nSn

nhan u ciia (d) lam vecta phap tuydn

V a y P T m p ( a ) l a : 2 ( x - 4 ) - 2 ( y - l ) + z - 6 = 0 o 2 x - 2 y + z - 1 2 = 0

Tim toa d6 giao diem A cua (d) va ( « ) bang each thay PT tham s6' ciia

(d) vao PT ( a ): 2(-5 + 2t) - 2(7 - 2t) + 1 - 12 = 0

t = 4 Thay lai vao PT tham s6' ciia (d) dugc toa d6 A(3; - 1 ; 4)

Theo tinh chat doi xiing thi A la trung die'm PQ, de dang c6:

^A = T ( 2 / ' + Z O )

3 = ^ ( 4 + ^ , )

4 = ^ ( 6 + Z e )

Vi du 10 Tim diem B doi xiing v6i A ( l ; 3; - 4 ) qua mp: 3x + y - 2z = 0

Giai: Trudc het, tim PT ducmg thang

y^B Theo tinh chat d6'i xiing, ducmg thang AB di qua A va vuong goc vdi (P) ndn nhan vecta phap tuyen

n = (3; 1; - 2 ) ciia (P) lam vecto chi phucng, suy ra phuong trinh ducmg thang

x = \ 3t

AB la: • y = 3 + t Toa do giao di^m I

z = - 4 - 2 / ciia AB va (P) la nghiem ciia he PT:

x = l + 3t

y = 3 + t

z = - 4 - 2 t • 3x + y - 2 z = 0

-2x + 4y + 8z - 1 = 0

'-2x + 4y + 8z-l = 0

FT hinh chieu cua ducmg thang phai tim la:

2x-y + z-l = 0

V i du 12 (Dai hoc su pham thanh pho Ho Chi Minh - A, B - 20(X))

Trong khSng gian vdi he true toa d6 Oxyz cho cae ducmg thing:

• 1 " 2 " 3 '

x + 2y-3 = 0 2x-y + 3z-5 = 0

Tinh khoang each giiJa (D,) va (Dj)

Giai M , e D„ M , = (1; 2; 3) vecta chi phuong ciia (D,): ui = (1; 2; 3)

2) Chiing minh (d) tao vdi true Oz m6t goe kh6pg phu thu6e a

3) Viet PT hinh ehi^i (d') ciia (d) trdn mp Oxyj 4) Chiing minh vdd moi gia tri a ducmg thing (d') lu6n tiS'p xuc vdi mdt dudng tr5n e6' dinh thu6e mp Oxy

' x + h.-k = ^

94 Dudng thing (d,) CO pt:

[(1 -k)x-ky = ^

ring khi k thay ddi dudng thing d^ ludn:

1) D i qua 1 diem cd' dinh

2) Thudc mdt mp cd dinh

vdi k 0, bat ky Chiing minh

95 Viet PT mat phang chiia ducmg thang

v6i mat phang: x - 2y | f z + 5 = 0

x-2z^0 3x-2y + z-3^0

Cling thuoc mot mp, vijet PT mp do

97 Tim PT hinh chieu cua ducmg thang ^ ^ ^

100 Tim tap hop cac dien'^ M trong khong gian each deu ba diem A ( l ; 1; 1),

thang — ^ = - Y ducmg thang •

2) Cho A ( l ; 2; - 1 ) , B('[7; - 2 ; 3) va duomg thang (d) c6 PT:

x^\\_y-2 _z-2

3 '~ -2 ~ 2 ^ •

a) Chiing minh rangi ducmg thang (d) va dudng thang A B cung nam

trong mot mp |

b) Tim diem I e (d) sao cho A I + BI nho nha't

102 Cho mat phang (P): 2x + y + z - 1 = 0, va du6ng thang (d): = y =

Viet PT ctia ducmg, thang qua giao diem ciia (d) va (P), vu6ng goc vdi

2) Tinh khoang each gifla chiing

3) Vie't PT ducmg thang qua M(2; 3; 1) va cat (d,), (dz)

5 Cho hai ducmg thing : (d,)

1) Chiing to rang (d,), (d2) la hai ducmg thang cheo nhau

2) Tinh khoang each gifla (dj) va (d2)

(Dai hoc tong hop Ha Noi, khoi A, nam 1994)

/ Trong khong gian v6i hd toa do Oxyz cho diem M ( l ; 2; -1) va ducmg

(Dai hoc Bach khoa Ha Noi, nam 1997)

Trong khong gian, cho hinh binh hanh ABCD c6 hai dinh C(-2; 3; -5),

7 D(0; 4; - 7 ) va giao diem hai duomg cheo M ( l ; 2; - - )

1) Viet PT ducmg thing chiia canh AB

2) Tinh khoang each tiir goc toa do den mp chiia hinh binh hanh

(Dai hoc dan lap Dong D6 Ha Noi, khdi A, 1997)

108 A ABC CO A ( l ; 2; 5) va PT hai trung tuye'n 1^:

x-3 _ y-6 _ z - 1 x-4 ^ y-2 ^ z-2

- 2 2 1 1) Viet PT chinh tac cac canh ciia AABC

2) Viet PT chinh tdc duomg phan giac trong goc A

(Hoc vien Ky thuat quan su B6 Qu6'c phong)

109 Trong khong gian vdi he toa do Decac vu6ng goc Oxyz cho hai'ducmg

thang:

Ix-2y+z-4=0

[x + 2y-2z + 4 = 0 va A, y = 2 + t z = \ 2t

a) Vie't phuong trinh mat phang (P) chiia ducmg thang A, va song song

vdi ducfng thang A2

b) Cho diem M (2; 1; 4) Tim toa d6 diem H thu6c ducmg thang A2 sao

cho doan thang M H c6 do dai nho nha't

(Trich de thi vao dai hoc khoi A - 2002)

110 Trong khong gian vdi he toa do Oxyz cho hinh chop S.ABCD c6 day

ABCD la hinh thoi, AC cat BD tai goc toa do O Biet A(2; 0; 0), B(0; 1; 0),

S(0; 0; 2 \/2 ) Goi M la trung diem ciia canh SC

a) Tinh goc va khoang each gifla hai ducmg thang SA,

BM-b) Gia sir mat phang (ABM) cat ducmg thang SD tai di^m N Tinh the'

tich khoi chop S.ABMN

(Trich de thi vao dai hoc khoi A - 2004)

111 Trong khong gian Oxyz cho 2 du5ng thing:

'x = -l + 2t vad.,: \ = \ t

1) Chung minh d, va 02 cheo nhau

2) Viet phucmg trinh dudng thang d vu6ng goc vdi mat phang (P):

7x + y - 4z = 0 va cat hai ducmg thang d, va d2

(Trich de thi vao dai hoc khoi A - 2007)

112 Trong khong gian vdi h6 tea d6 Oxyz, cho mat cSu (S): + y^ + - 2x + 4y + 2z - 3 = 0 va mat phSng

(P): 2x - y + 2z - 14 = 0 1) Vie't phuong trinh mat phang (Q) chiia true Ox va cat (S) theo mot ducmg tron c6 ban kinh bang 3

2) Tim toa do diem M thuoc mat cSu (S) sao cho khoang each tiir M den

mat phang (P) Idn nha't

(Trich d^ thi vao dai hoc khoi B - 2007)

ON TAP CHl/ONG III

1. CAU HOI T R A C NGHlfiM

113 Trong khong gian Oxyz, toa do cua vecto a = 3 i + 2 k la

A Hinh binh hanh B Hinh vuong

C ffinhthoi D Hinh chu nhat

116 Tim tam va ban kinh hinh ciu c6 phuong trinh la:

+ + + 4x - 2y - 20 = 0 A.(1;-2;0);R = 5, B (-2; 0; 1); R = 5,

118 Tinh Idioang each tir diem M ( l ; - 1 ; 2) den mat phing (P) c6 phuong

trinh lOx + lOy + 5z + 2 = 0

120 Cho phuong trinh tham so ciia ducmg thang ( A )

phuong trinh chinh tSc cua dudng thang (A) la:

>1 Cho 3 diem M(3; 6; -7), N(-5; 2; 3), P(4; -7; -2) The thi phuong trinh

^ • duomg thang QP, Q la trung diem cua MN la:

A Cat nhau; B Cheo nhau; C Song song; D Triing nhau

II BAI TAP

5 Cho tii dien ABCD E, F, I theo thu tu la trung diem ciia AB, CD, EF

I a) Chiing minh lA + IB + IC + ID = 0

b) Vdi diem M bat ky trong khong gian, hay chiing minh:

4 MI = MA + MB + MC + MD

'124 Cho tii dien ABCD ma M la diem di dpng trong khong gian, G,, G2 Ian

lugt la trong tam tii dien va trong tam tam giac BCD 1) Chung minh G,C +G,5 +G,D = 0

2) Chvoig minli GA + GB + GC+ GD = 0

Ghi chu: Trong tarn cua tiJ dien la giao didm cac ducmg ndi m6i dinh ciia

tii didn tdi trong tftm cij a mat doi dien

3) Tim tap hop diem M thoa man he thiic:

MA+ MB + MC + MD = 4MB + MC + MD

125 Trong khong gian vdi he toa do Oxyz, cho tii dien ABCD voi

A(3; 2; 6;), B(3, -1, 0), C(0, -7, 3), D(-2, 1, -1)

a) Chiing minh tur dien c 6 cac cap canh d6'i vuong goc v6i nhau

b) Tim goc giua dirong ithang (d) di qua hai diem A, B va mp (a) di qua

badiemA,B,C

c) Thiet lap PT mat ciu ingoai tiep tii didn

(Dai hoc Bach khoa Ha ]Noi, nam 1996)

126 Cho mat ciu (S) c6 PT: (x - 1)^ + (y - 1)^ + z^ = 6 va hai duofng thing:

(di): X = 1 + 2t, y = 3 - 2t, z = 1 + 2t (dj): X = 1 - t, y = 2 + 2t, z = 1 - 3t

Viet PT mp tidp xuc mat c^u (S) dong thdi song song vdi (dj) va (d2)

127 Trong kh6ng gian vcti l?^ toa do Oxyz cho ba diim A(l; 0; 0),

B(0; 2; 0) va C(0; 0; 3)

1) Viet 0iuong tnnh tong quat cua cac mp (OAB), (OBQ, (OCA) va (ABQ

2) Xac dinh toa d6 tam I ciia mat ciu n6i tiep tii dien OABC

3) Tim toa d6 diem J d6'i xiing vdi I qua mat phang ABC

(Dai hoc Hue'-2000)

128 Trong khdng gian vdi he toa d6 Oxyz, cho diem A(l; 2; 1) va ducmg

thang (d) CO PT: - = — = z + 3 3 4

1) Vict PT mp di qua A va chiJa ducmg thang (d)

2) Tinh khoang each tilt die'm A da'n ducmg thang (d)

(Dai hoc Kien true Ha Noi, nam 1997)

19 Trong khdng gian v6i ht toa d6 Oxyz cho ba diem H -;0;0

a) Viet PT giao tuya'n ciia mp (KHI) va mp x + z = 0 of dang chinh tac b) Tinh cosin cia goc phang tao bdi mp (KHI) va mp Oxy

(Dai hoc Giao thdng Van tai Ha N6i, nam 1997)

T30 Cho hai ducmg thkg c6 PT: (d) j ^ ^ ~ ^

1; (Dai hoc Xay dung Ha Ndi (HS chua phan ban), nam 1997)

r31.,.Viet phuong trinh dudng thang di qua dilm A(3; -2; -4), song song vdi

X — 2 v + 4 z — \

mp 3x - 2y -3z -7 = 0, ddng thdi cat dudng th^g = =

(Dai hoc Thuy Igi Ha Ndi nam 1997)

132 Viet phuong trinh mp chiia gdc toa dd va vudng gdc vdi hai mp cd PT:

(ViSn Dai hoc Md Ha Ndi, khdi A, nam 1997)

133 Cho hai didm A(0; 0; -3), B(2; 0; -1) va mat phang (P) cd phuong trinh la: 3x-8y + 7 z - l =0

1) Tim toa dd giao di^m ciia dudng thang di qua hai di^m A, B vdi mat phang (P)

2) Tim toa dd diem C nam trfen mp(P) sao cho tam giac ABC deu

(Dai hoc Qudc gia Ha Ndi - A - 2000)

7 ^

ON TAP CUOl N A M

134 Mot hinh h6p chu nhat c6 do dai dudng cheo d, no tao vdri day goc a

va mat ben \dn goc p Chiing minh the tich hinh hop bario

d^'sin a sin /? -yjcosia + P) cos(a - P)

135 Day hinh chop la tam giac vuong c6 canh huyen a va goc nhpn a Mat

ben qua canh huyen vuong goc v6i day, hai mat con lai tao vdi day goc

B Chiing minh the tich hinh chop bang — Q sin latgP

24V2sin(a + 45°)

136 (Dai hoc Quoc gia thanh pho Ho Chi M i n h A - 2000)

Cho tam giac din ABC canh a Tren dudng thdng d vuong goc vdi m;ii

phang (ABC) tai A lay diem M Goi H la true tam tam giac ABC, K It

true tam tam giac BCM

1) Chiing minh rang M C 1 (BHK) va H K 1 (BMC)

2) K h i M thay doi tren d, tim gia tri Idn nhat cua the tich tii dien KABC

137 Cho hinh chop tii giac deu S.ABCD vdfi day la hinh vuong ABCD co

canh bang a Mat ben tao vdi day mot goc 60"

Mat phang (P) chiia canh A B va cat SC, SD l^n luot tai M va N Cho biet

goc tao bai mat phang (P) va mat day hinh chop la 30"

1) T i i giac A B M N la hinh gi? Tinh dien tich tii giac A B M N theo a

2) Tinh the tich hinh chop S.ABMN theo a

138 Cho goc tam dien dinh O, cac goc b dinh deu bang 60" Tren cac canh

Ox, Oy, Oz ta lay cac didm A, B, C sao cho OA = a, OB = b, OC = c

1) Cho a = b = c, thi hinh chop OABC co gi dac biet? Tinh khoang each

tir O den mp (ABC) va tinh the tich ciia hinh chop nay

2) V 6 i a 5^ b 9i c, tinh cac canh cua AABC theo a, b, c Chiing minh dien

kien can va du de BAC = I v la be + 2a^ = a (b + c)

3) Cho biet a va b + c = d, BAC = Iv Tinh the tich cua hinh chop the(

a va d Lap phuong trinh de tinh b, c trong truomg hop nay Tim diei

kien de tinh dupe b, c

4) Chiing minh rang nS'u di^u kien tren duac nghiSm diing thi mot trong hai so b, c nho hem a, s6' con lai 16n ban 2a

j39 Trong mp (?) cho du6ng thang d co dinh va mot diem c6' dinh O g d, mot goc vuPng Oxy quay quanh O, Ox va Oy cat d tai A va B Cho d' ± P tai O Lay S € d' thoa man SO = ^ , SA = |oA Khoang each t i i O

d€n d bang a va OAB = a

a) Tinh a

b) Ke OE 1 SA, OF 1 SB T i m quy tich E, F khi xOy quay quanh O c) Gpi G la trpng tam A SAB, I la tam mat cau ngoai tiep tii dien SOAB Chiing minh O, G, I thang hang

Cho hinh c^u (O, R) tie'p xiic v6i mat phang (P) Cho hinh non (nam

cdng phia vdi hinh cin doi vdfi (P), day thupc (P), dudng cao h, ban kinh

day bang R Cat hai hinh bang mp (Q) // (P), each nhau mot khoang bang X

a) Cho X < 2R va X < h Tinh t6ng dien tich S cua hai thiet dien Bieu

thiic tim dupe co con thich hop kh6ng n€\x h < x < 2R (keo dai cac

i duofng sinh ciia hinh non dd chiing cat (Q)

\h) Khao sat sir bieh thien va ve do thi S (x la doi so) Bien luan cac

trucmg hpp

141 Cho hinh chop S.ABC co day ABC la tam giac deu canh bang a, SA

vuong goc vori mat phang (ABC); SA = a; I la trung diem ciia BC

a) Tinh khoang each tir A den mat phang (SBC)

b) Viet phuong trinh mat ci\x ngoai tiep tii dien SAIC

•2 Trong khong gian vdri he toa dp Oxyz cho hai diem: A(0; - 2 ; 0), B(2; 1;

4) va mat phang (a): x + y - z + 5 = 0

a) Viet phuong trinh tham so ciia dudng thang d diilqua A va B

b) T i m tren dudng thang d diem M , sao cho khogng each tir M den mat phang (a) bang 2 V3

c) Viet phuong trinh mat cin (S) co dudng kinh AB Xet vi t r i tuong doi

giiia mat c^u (S) va mat phang (a)

nl

143 Trong khdng gian vori he tea d6 Oxyz cho 4 di^m: S(2; 2; 6), A(4; 0; Oj

B(4; 4; 0), C(0; 4; 0)

a) Chung minh rSng hinh chop SABCO la hinh chop Hi giac d^u

b) Tmh th^ tich cua khoi chop SABCO

c) Vie 't phuang trinh mat ciu ngoai tie 'p hinh chop S.ABCO

144 Trong khong gian v6i he toa do Oxyz cho hai ducmg thang c6 phuang

trinh Mn luat la:

A,: \2x-y + 3z-5 = 0 [ x + 2y-z = 0 A , : 2x-2y-3z-n = 0 va diem A(3; 2; 5)

A , : • < va A,: f x + y + z-4 = 0 ^ ^ x-l 2x-y + 5z-2 = 0 -2

2x-y-2z-3 = 0

a) Tim toa do diem A' doi xiing vdi diem A qua ducmg thang A2

b) Lap phuang trinh mat phang di qua ducmg thang Aj va song song vui

ducmg thang A2

c) Tinh khoang each giua hai ducmg thang Aj va A2

145 Trong khong gian vdi he toa do Oxyz cho 2 duotng thing:

y_z-2

3 1

a) Xet vi tri tuang doi cua A, va A 2

b) Cho diem A(0; 1; 3) Tim diem M trtn A 2 sao cho doan AM ng '

nha't

146 Trong khOng gian vdfi he toa d6 De cac vu6ng goc Oxyz cho hai die

A(l; 2; 1), B(2; 1; 3) va mat phang (P): x - 3y + 2z - 6 = 0

a) Viet phuang trinh mat phang (Q) di qua A, B va vuong goc v6i m.'

phang (P)

b) Goi ducmg thang A la giao tuye'n ciia hai mat phang (P) va (Q) Hay

vie't phuang trinh chinh tac cua dudng thang A

c) Goi H la hinh chieu vu6ng goc cua A tren mat phang (P) Tim toa do

la) Vie't phucmg trinh mat phang (P) chiia A, va song song v6i A2

lb) Tinh khoang each giiia A, va Aj

|c) Viet phuang trinh ducmg thang A3 di qua M(2; 3; 1) va cat ca A, fva A 2

l48 Trong khong gian Oxyz cho 2 mat phang:

(«):2x-y + 2 z - l = 0 (/?):x + 6y + 2z + 5 = 0 a) Chiing minh rang ( or) va (/?) vu6ng goc voi nhau

b) Lap phuang trinh t6ng quat cua mat phang (P) di qua goc toa do O va chiia giao tuyen ciia hai mat phang ( a ) va (/?)

HLfdNG D A N G I A I - D A P S O

1 a) Trong khoi da dien m6i

canh la canh chung ciia dung

2 mat

b) Cung sir dung tinh chat

tren

2 Chia khoi lap phuofng thanh 6

khoi tii dien

3 Cho tir dien deu ABCD Tarn

ctia cac mat ABC, BCD,

ACD, ADB la M, N, P, Q Hinh 43

Xet khoi tii dien MNPQ Dung dinh ly Talet ta chimg minh M N = AD

NP = ^ ; M Q = ^ D o d 6 M N = NP = NQ = MQ = MP = PQ= ^

Khoi tii dien deu canh a c6 the tich ^ ~ ^

Khoi tii dien MNPQ canh - c6 M ti'ch V =

4 a) AEDF - AEFC - BEDF - BEFC

b) VAEDF = VAEFC vi S AADF = S A^pcva ciing chidu cao EH Chiing minh

tuong tu ta suy ra:

^AEDF - ^AEFC " ^BEDF " V

BEFC-c) Neu ABCD la tii dien deu khi do ta chimg minl> (EDC) la mat phang

doi xiJng cua hinh, (ABF) cung la mat phang dd'i xiing cua hinh Khi do

ta chimg minh dugc 4 khd'i til dien AEDF, AEFC, BEDF va BEFC bang

nhau theo nghia c6 phep ddi hinh (doi xiing qua mat phang) bien khoi

nay thanh Lhoi kia

c) Cho S.AB'C CO chieu cao SC, day la A AB'C vuong b B' vi

(AB' 1 (SBC) nen AB' 1 B'C) Ta c6 AB' = ^ va A C SC = a.AC

chop CO cung chieu cao Ta dh dang chiing minh