hệ phương trình, phương trình cực hay môn toán

chuyên đề cực hay tài liệu pt hpt bpt chuyên đề cực hay tài liệu pt hpt bpt chuyên đề cực hay tài liệu pt hpt bpt chuyên đề cực hay tài liệu pt hpt bpt chuyên đề cực hay tài liệu pt hpt bpt chuyên đề cực hay tài liệu pt hpt bpt chuyên đề cực hay tài liệu pt hpt bpt chuyên đề cực hay tài liệu pt hpt bpt

Những câu hệ của Huỳnh Kim Kha, Công phá kì thi Trung học Phổ Thông Quốc gia

2 (5 x  4) 3 x   2 5 2   x (6 x  1) x  3 ( Châu Thanh Hải- ĐHKH Huế)

3 2

1 2 2 3 ( 1)( 2)

x  x  x x  (Đề thi thử ĐH Vinh 2014)

Điều kiện: x 1

Nhận thấy x 1 thoả mãn phương trình

Xét x 1, phương trình tương đương

Do đó phương trình tương đương: x   3 0 x 3

Vậy phương trình có 2 nghiệm x 1; x3

Dấu “=” xảy ra ở (3) khi x0;x 2

Từ (2) và (3) chúng ta có nghiệm của phương trình (1) là x0;x 2

Vậy phương trình trên có 3 nghiệm x0;x 2

7    2  (*)

1 x1 2x 2x   1 x 1 x x

(Huỳnh Kim Kha) Điều kiện: x0

Xét x0 không là nghiệm phương trình

Xét x0 Phương trình tương đương

x x x

x

x x

8

2 3

y  x x y 

       y x y2 1 2 y   x y (5)

Từ (4) và (5), ta suy ra x  y

Dấu “=” xảy ra các bất đẳng thức khi x y 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; )x y (1;1)

y x PT

TH2: x 0;1 2

2 x 7 x 1 0

    mà VP (4) 0     y 2 0 Nên (2  y x )(   1) 0 (5)

Từ (3) và (5) ta suy ra y  2; x  1

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) x y  (1; 2)

 

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; y)x (1; 2)

2 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  y

Thay x  y vào phương trình 1 của hệ, ta có:

18

2 2

y y

x x

x a

x a b x ab xab b

2 3

34  

2 2

35

3

2 2 2

37

2 2

2 2

38

3

2 2 2

y y x a

y y

b x

a

a b

y y

y  x  x  vào PT(2), ta có:

 

2 2

Dấu “=” xảy ra khi x0

Vậy phương trình có nghiệm x0

47

2 3

x x

x x

x

x x

2 2 2

2( 1)

Dấu “=” xảy ra khi x    1 y 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) (1;2) x y 

x x

02

57

3 2

3 3 3

59  2

2(1  x ) 1    x (1 x ) 1    x 1 x   1 2

(Trích Đề số 35 của ĐTN-Mathlinks) Điều kiện:   1 x 1

Phương trình 1 tương đương:

a x y

y x b

4 8

4 2







61 2016 2015 2016 2015 2016 2015 2016 2015

(3x15)  (9 3 ) x  15 ( x4)  9 ( x4) (Trích Đề số 36 của ĐTN-Mathlinks)

Điều kiện xác định: x    5;3 

Xét hàm số: 2016 2015 2016 2015

f t  t  t ,    t  15;9 Suy ra:

2016 20162015

… Suy ra hàm số f t( ) đồng biến trên ( 15; 3)  ; nghịch biến trên ( 3;9)

Khi đó phương trình tương đương

2016(3x15) 2016(9 3 ) x 2016 15 ( x4) 2016 9 ( x4) (1)

Với: x     5;1, phương trình (1) tương đương 3x x 4  x 2 (thoả)

Với: x    1;3 , phương trình (1) tương đương 3x x 4  x 2 (loại)

Vậy phương trình có nghiệm x 2

Từ (1) và (2) để dấu bằng xảy ra khi chỉ khi x1

Vậy nghiệm của bất phương trình x1

63

3 3

3 3

42

0 2

x y xy

2 2

11

71

2 2

y y

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x1 Vì bất phương trình dấu lớn hơn

Vậy tập nghiệm bất phương trình S  \ 1  

2 61

1

211

2

u x u v y

u v

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x   y 1

Ta thay vào PT(2) thấy luôn thoả mãn

80

2 2

1

x x

Nên x    1;0  là nghiệm của bất phương trình

Xét TH2: x2 Bất phương trình tương đương:    

2 2

2 2

( 1)1

a b

11

2 2

Kết hợp với điều kiện

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S     1 3;3  13  