Hướng dẫn ôn luyện thi môn toán tập 2 đại số NXB đại học quốc gia 2002

Các bài toán GTLN, GTNN của biểu thức đại số trong bộ đề €.. Các bài toán GTLN, GTNN của biểu thức đại số trong để thị tuyển sinh của các trường... Bài toán mình họa phương pháp giải

NHÓM GIẢNG VIÊN TUÁN - ĐHSP HÀ NỘI VŨ VIỆT YÊN- TRIỆU KHUÊ

HUONG DAN ON LUYEN TH

MON TOAN

ALP i DAI SO

NHÓM GIẢNG VIÊN TOẠN - ĐHSP HÀ NOI

VU VIET YEN - TRIBU KHUE

Chịu trách nhiệm xuất bản:

Giám đốc NGUYÊN VĂN THÓA Tổng biên tập NGUYÊN THIỆN GIÁP

Biến tập:

TRƯỜNG GIANG

Sửa bản in va trinh bay bia:

DINH QUANG HUNG

EN THI MON TOAN - TAP II - ĐẠI SỐ

MỤC LỤC

Lời nói đầu

Một số sai sót thường mắc của thí sinh qua các

ky thi tuyển sinh

Chủ để 1 Bất đẳng thức

1 Kiến thức cơ bản

Il, Cac bat toan

A Bai toan mmh hoa phuong phap giai

B Các bài toán chọn lọc trong bộ để

€ Các bài toán trong để thì tuyển sinh các

trường ĐH, CÐ từ 1999 đến 2001

THỊ: Hướng dẫn giải các bài toán của chủ đề 1

Chủ đề 3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

biểu thức đại số

1 Kiến thúc cơ bản

1L Các bài toán

A Bài toán mình họa phương pháp tìm

GTLN GTNN của biểu thức đại số

B Các bài toán GTLN, GTNN của biểu thức

đại số trong bộ đề

€ Các bài toán GTLN, GTNN của biểu thức

đại số trong để thị tuyển sinh của các trường

THỊ: Hướng dân giải các bài toan cúa chu dé

Chủ đề 3 Phương trình, bát phương trình bậc

nhất

1 Kiến thức cơ bản

1L Các bài toán

A Bài toán mình họa phương pháp giải

B, Các bài toán chọn lọc trong bộ để

€ Các bài toán trong dé thi tuyển sinh của

các trường ĐH, CÐ từ 1999 đến 2001

III, Hướng dẫn giải các bai toan cua chu dé WI

Chủ đề 4 Phương trình, bất phương trình bac 2

§1 Phương trình bạc 3

1L Kiến thức cơ bản

1I Các bài toán

A Bài toán mình họa phương pháp giải

B Các bài toán chọn lọc trong bộ đề

C Các bài toán trong để thị tuyển sinh của

các trường ĐH CÐ từ năm 1999 đến 3001

THỊ Hướng dân giải

§9 Hệ phương trình hữu tý bác 2 có 9 ẩn số

1 Kiến thức cơ bản

II Các bài toán

Các bài toán mình họa phương pháp giải

B Các bài toán chọn lọc tronz bộ để

> Các bài toán trong dễ thị tuyển sinh của

€ Các bài toán trong dé thi tus 1

CHU viet TAT VA CAC KY HIEU

DUNG TRONG SACH

— BDT (B.C.S): Bat dang thite (Bu nhi-a— cép—xki)

~ BBth: Bang bién thién

~ CMR: Chứng minh rang

= ĐK: Điều kiện

~ Đpem: Điều phải chứng minh

~— DS, HD: Dap sé, hudng dan

— GT (gt), KL (kl): giả thiết, kết luận

LOI NOI DAU

Trong những đợt ôn luyện thì môn Toán để tham dự các

ky thi tốt nghiệp THPT và thì vào các trường Đại học, Cao đăng, mỗi thí sinh đếu mong muôn có một tài liệu được biên soạn đầy đủ về nội dụng, phong phú về phương pháp giải và

định ra được hướng ôn luyện sát với chương trình đòi hỏi

cho từng kỷ thì tuyển Đáp ứng yêu cầu đó tập thể nhóm

n thì môn Toán của trường ĐHSP Hà Nội ách "ướng dẫn ôn luyện thì môn Toán theo tác giả dạy luyé

biển soạn bộ

chủ để", Bộ sách này được chia thành nhiều tập và đây là

tap 1- DAI SO

Nội dụng tập sách này bao gồm:

1 Một số sai sót của thí sinh thường mắc phải qua các

kỳ tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng do không

nắm vững kiến thức cơ bản của Toán học

2 Những kiến thức cơ bản, trọng tâm cần thiết nhất để hiểu và giải đúng để toán theo từng chủ để

3 Các dạng đề toán đại số được chọn lọc xếp theo từng chủ để Mỗi chủ đề gồm các bài toán minh hoạ phương pháp

giải; Các bài toán điển hình, hay được chọn lọc trong bộ để

luyện thi của Bộ Giáo dục - Đào tạo xuất bản; Các bài toán

thi tuyển sinh vào các trường Đại học Cao đẳng trong cả

nước của những năm gần đây Tất cả các bài toán đều có

phương pháp giải hoặc hướng dẫn cách giải tóm tắt hoặc

7

cho đáp số, thí sinh tự giải để kiểm tra chính mình Phản

này được thể hiện ở cuối mỗi chủ đề

Với kinh nghiệm tích luỹ qua nhiều năm hướng dẫn học sinh luyện thi, chúng tôi soạn bộ sách này hy vọng sẽ giúp

ích nhiều cho bạn đọc, đặc biệt là học sinh luyện thi vào Đại học, Cao đẳng và các bạn đồng nghiệp cũng như phụ huynh

học sinh có khả năng kèm luyện con em mình

Rất mong nhận được sự góp ý của bạn đọc

CÁC TÁC GIẢ

MOT SO SAI SOT THUGNG MAC PHẢI CỦA HỌC

SINH QUA CAC KY THI TUYEN SINH

Những năm ôn luyện thi và chấm thí vào các trường

ĐH và CÐ môn Toán phần đại số, đã thấy một số thí sinh

bdc lộ những sai lầm sau đây, xin nêu lên để bạn đọc lưu ý

1 Biện luận số nghiệm của phương trình:

Vậy y¡.y¿ = (x + 2)(x* + 1) 1a ham số đồng biến trên R

s Vế phải phương trình là hàm số nghịch biến trên R

s Rõ ràng x = 0 thoả mãn phương trình

® Vậy: x = 0 là nghiệm duy nhất

* Sai lam ở chỗ: “Tích hai hàm đồng biến là một hàm đồng biến”, Điều đó chưa hẳn như vậy

Vi du: y, = x, y = 2x là các hàm đồng biến trên R

Nhung y = y,.y,= 2x" chỉ đồng biến trên (0, +22)

* Phương trình đã cho được giải như sau:

Pt © x'+ 2x) + 3x = 0 x(x? + 2x? +3) = 0

Căn cứ bảng biến thiên trên đây có:

Vì limf(x) = - = trong khoảng (—~, 3), f(x) = 0 còn có

một nghiệm xạ duy nhất nữa (Thu gọn hơn, chẳng hạn có

113 f(-8) = ~6, {-2) = ar

= f(x) = 0 có duy nhất nghiệm xạ thuộc (- 3, ~8).):

Vậy: phương trình có 2 nghiệm:

x;€C 3,2) và x,=0

9 Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt

10

* Gó thí sinh gi: (1) có 2 nghiêm phân biệt khi a.e <0

Nguyên nhân dẫn đến sai sót trên do thí sinh hiểu:

~ Tích a.e < 0 là điều kiện cần và đủ để ax? + bx +e= 0

có 2 nghiệm phân biệt Thực ra đó chỉ là một điều kiện đủ

€ó vô số trường hợp a.c >0 vẫn cho A(A) >0, do đó phương trình ax? + bx +c = 0 cõ 2 nghiệm phần biệt Hoặc lại quên điều rất quan trọng là: "Khi gặp hệ số của số hạng luỹ thừa cao nhất trong phương trình thì việc đầu tiên phải đặt điều

kiện hệ số đó # 0, sau đó mới giải tiếp ” Do đó lời giải đã thừa kết quả m = 2 trong tập ce , too),

Với m = 3, phương trình chỉ có 1 nghiệm x = “TR

3 Gọi xị, x; là các nghiệm của

i

f(x) = 2x* + 2(m +1)x + m? + 4m +3 Q)

Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A= |x,x, — 2x, - 2x,|

* Thi sinh giai:

Theo địnhlý Viét đối với (1) ta có:

dụng cho phương trình bậc 2 chỉ khi phương trình (tam

thức) bậc hai đó có nghiệm Vậy việc đầu tiên phải đặt điều

kiện có nghiệm xạ, x; cho (1) Cụ thể như sau:

(1) có nghiệm x¿, x; khi và chỉ khi A¿ >0

= (m+ 1)(m + 5) <0 = -5<m <-1

¢ Khi d6 theo dinh ly Viét ta có:

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu

m—teo

* Do quên chưa đặt điểu kiên có nghiệm (x,y) của hệ (1, (2) cho nén két qua

Phải giải như sau: Đặt Ñ=x+v.P=xy

= hệ © { „ Ÿ = 4 ss

§?~9P=-m?+6 |P=m?-3

= (x,y) là nghiệm của phương trình t? ~ mt + m”~ 3= 0

với điều kiện §? - 4P >0

© -3m? + 12 >0 œ |m|< 9

Vậy xét F(x,y) trên [-2.2]

2 minƑ =f(—1) may = -4; t5) axF = F@) =5

* Cách giải đúng như sau;

« (b ~ a)(d ~ e) >0 đúng do giả thiết

Kết quả này có thể mở rộng cho n số hạng:

O<a, Sa, Sa¿<

sinh khi giải toán liên quan đến các chủ để trong tập đầu

của bộ sách "Hướng dẫn ôn luyện thì môn Toán theo chủ

để", tập I— Đại số để các bạn cùng ghỉ nhớ

16

Chi dé 1 BAT PANG THUC

I KIẾN THUC CO BAN

1, Dinh nghia

Bất đẳng thức (BĐT) là một hệ thức có một trong các dang sau: A> B, A< B, A> B.A <B, trong dé A, B 1a céc biểu thức chữ hay số

3 Phương pháp thường dùng để chứng minh BĐT

1) Biến đổi tương đương

9) Định nghĩa, tính chất cơ bản của BĐT

3) Bất đẳng thức cổ điển, BĐT về trị số tuyệt đối

6A +BỊ <IAI te tBí Dấu *=” xảy ra khy A, B cùng đấu

e {A — B) > JA] — JB) Dau “=" xay ra khy A, B cing dấu

Giả sử BĐT phải chứng mình là không đúng Bằng

các phép biến đổi tương đương đưa đến điều trái với giả thiết hoặc trái với chân lý, hoặc mâu thuẫn ngay với kết quả đã chứng mình được trong bước trước đó

5 Quy nap

Phải chứng minh “mệnh để M có tính chất T liên quan đến số tự nhiên n >n,° (n,= 0, 1, ), tiến hành theo các bước,

~ Bước 1: Chứng minh (CM) điều đó đúng với n = n,

~ Bước 3

+ Giả sử điều đó đúng với n = k > n, (giả thiết quy nạp)

+ Chứng minh điều đó đúng với n= k + 1

~ Bước 3: Kết luận “Mệnh để M có tính chất T đúng

với Vn”

6 BDT trong tam giác

Tam giác có số đo các cạnh a, b, e thì:

la =b|<œ<a+b,

19

¢ CM: b?— 4ac > 0 = Dat f(x) = ax? t bx +c,

ea be œc R sao cho af(a) <0

Tim œ.Be R sao cho f(œ)f(B) <0

s Nếu coi xị, x; là 2 nghiệm của phương trình

9 Lượng giác hóa

s Biến số có điều kiện |x| < K & >0) =

bạt |XT Keint với It sẽ

x=keost với 0<t<m

« Biến số có điều kiện xỶ + yŸ = k?=

20

10, Phương pháp véc tơ, tọa độ, hình học

© Chú ý: Trong một bàitoán có thể sử dụng riêng rẽ

một phương pháp trên đây, song cũng có nhiều bài toán phải sử dụng phối hợp nhiều phương pháp một lúc

II CÁC BÀI TOÁN

A BÀI TOÁN MINH HỌA PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH

21

Bài 2: a) CMR: Với mọi x y > 0 thỏa mãn điều kiện xy < 1

Bài 8: a) CMR: Với V ay, a,

Dấu “=' khya,=a;=.:.= 8y

b) CMR: Với V xạ, Xo, X,> OvAaS =x, +x t+ +x,

Bai 9: Cho hinh chop 8 ABC c6 vor tam điện đỉnh 8 vuông

Goi $, 8), 8.14 dién teh 3 mat ben va h la chiéu cao SH

cua hinh chop

Am h t - b b) CMR: S,+ 8, + 8,2 2h? 2 ()

(a, b, ¢ 1a dé dai 3 canh bên cua hình chóp)

Bai 10: CMR: V6i Yay as, ., a, thoa man điều kiện

ab+be+ca>0 (1) và -L+-L +-L »ọ, (2)

ab be ca Bài 15: CMR: Với Vn nguyên dương thì có

Bài 17: Cho dãy số {a„} thỏa mãn điều kiện:

(Thi Vô địch Toán Liên X6 — 1989)

Bài 20: CMR: Nếu a, b, e là độ đài 3 cạnh một tam giác thì có

a’ +b? +c?

ogee 3° (atbte)* ed 2

Bai21: Cho a, b, e là số đo Ä8 cạnh một tam giác, còn x v, z là

3 số thỏa mãn điều kiện

3 gfe DA od

c) cos — —sin— >—

2 2 8

Bài 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình

hành, K là trung điểm canh SC Mat phang (P) qua AK song song với BD, cắt SB, SD lan lugt tai M, N Dat V,

Bai 32: CMR: Va? —1+Vb?-1<Vab qd)

với Va, b thỏa mãn điều kiện lai, |b| > 1

Bài 33: CMR: Với Vx ta có:

Bai 34: Biét a, b, c, d thoa man diéu kiện:

28

B CÁC BÀI TOÁN TRONG BỘ ĐỀ

1 Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương

Bai 36: Dé 7/Vb Chitng minh rang (CMR): Néu a +b 20 thi

(a + b) (a" + b’) (a® + b*) < 4 (a® + b’)

Bài 37: Đề 35/11I, CMR: Với 3 số dương bất kỳ luôn có:

ae + bt ắc e > a+b+e

a“+ab+b° b°+be+c c+ca+a 3 q)

Bài 38: Dé 62/II, Cho a + b = 2 CMR: at + b’ > 2

Bài 39: Đẻ 106/11, Cho a b.e là 3 số tùy ý thuộc đoạn [0, 1]

a?(®Ẻ - c°®) + b°(c? =a?) + e°(a?~ b?) < 0 Qa)

Bai 42: Dé 136/II,, CMR: Néu a, b, e là độ đài 3 cạnh một

Bài 49: Dé 85/III, Goi a, b c 1a dé dai 3 canh, x, y, 2 1a dé

đài các đường phan giac trong cua AABC CMR:

Cs yg Ca, be | a

Bai 50: Dé 128/T, a, b, ¢ 1A 3 86 thy y thudc đoạn [0, 2], thỏa

man diéu kién a + b +c = 3 CMR:

a+b? +c? si

Bài 51 Đề 139/111 Cho a, b,c, d> 0 CMR:

fete a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b

Cho a, b, e là 3 cạnh một tam giác, 8S là điện tích tam

giác đó Hãy tìm số thực p nhỏ nhất thỏa mãn:

a ay +h, Ma, 4 b, ) [A, +b,) 2 Yay.ay.a, +9 bu, bị

Bai 60: Dé 127/11, Cho a,b © > 0 thoa man :

CMR: a?+b°+c°>4SV3

Khi nào thì có dấu “=" ?

Bài 64: Đề 146/1, CMR: Với Va, b đều có:

3`d+a)+b2) 9 „

Bài 6ã: Đề 148/11; CMR: Với Va, b không âm ta có:

Bai 66: Dé 149/112b CMR: Trong mọi AABC có:

6 Sử dụng BĐT trong tam giác

Bài 69: Để 57/TIT, CMI: Nếu a b,e là độ đài 3 cạnh một tam

giác, với a<b<e thì:(a+b+e)°< 9be (1)

Bài 70: Để 92/111 AABC cé A > B > C, hy hy hy la dé dai

các đường cao xuất phat tir A, B, C CMR:

98x? + 2ãy? + kxy =x—y + = >0, qd)

pˆ+q?~a?—~b?®—c?~ dđ?> 0 qd) CMR: (p? — a? — b’) (q?- ¢* — d?) < (pq ~ ac — bd)* (2) Bai 76: Dé 132/111 Goi a, b,c 1a dé đài 3 cạnh một tam giác

ằng nếu a, b, e là 3 độ đài thỏa

Ngược lại chứng tỏ

mãn (1) với điều kiện (2) thì a, b, e phải là độ dài 3 cạnh

một Lam giác nào đó,

Bai 77: Dé 140/III, Các số a b, c, đ theo thứ tự đó lập thành

một cấp số cộng CMR: nếu lấy số m sao cho

3m >| ad — be |

thì ta có (x— a) (x— b) (x— e) (x-d) + m*20 (1) vdi Vx

8 Phuong phap giải tích

Bài 78: Đề 10/1 CMR: Dé: x' + px'+q20, Vxe R qa)

điều kiện cần và đủ là: 256q > 97p' (2) Bai 79: Dé 15/11 Cho a < 6, b< — 8, ce < 3 CMR:

Bài 8ã: Để 77/1 1) CMR: Bất phương trình x'+ px + q> 0 thỏa

màn với V x khi và chỉ khi: 256q” > 37p" (1)

2) CMR: néu p q théa man (1) thì với V x

ta cing co: qx! + px? +120 (2) Bài 86: Dé 100/1Va CMR: Voi 2 so bat ky ta c6

của một hình nón tròn xoay tùy ý luôn luôn thỏa mãn

6VỶ (28 )

(Š] ie Khi nào đẳng thức xảy ra ?

Bai 89: Dé 143/V,, CMR: Véi t > 0, ta cé Int <vt

9 Sử dụng phương pháp lượng giác hóa

Bài 92: Đề 122/111, CMR: Nếu |x| < 1 và n là số nguyên

dương lớn hơn 1 thì có:

Bài 93: Đề 12/11, CMR: Từ 4 số cho trước luôn luôn có thể

chọn ra được 2 số x, y sao cho:

Vxf+xv+v +Vx”+xz +77 >Vdy °+yz+z2 (1)

Bú 95: Để 21/THI, a, b,e, d và S là độ đài 4 cạnh và diện tích

7 Re ip ete nh ¥: sd

của một tứ giác lồi CMR: 8s ;iab+cd),

Fai 96: Đề 22/11, CMR: Nếu AABC có các cạnh là a, b, e và

1‡+x` l+y 1+z l+x l+y Itz

Tai 98: III; - ĐHAN - Khối D, G - 1999 CMR:

với Va, b Dấu *=" xảy ra khí nào?

lài 100: IV, — ĐHQGHN - Khối D - 1999 CMR:

39.