Giải bài tập giải tích 12 chương trình chuẩn NXB đại học quốc gia 2009

Việc sử dụng sách nên thực hiện theo trình tự như sau: Sau khi hoc ly thuyét, cac em hay tu minh guái các bài tập có trong sách giáo khoa, nếu gặp khó khăn có thể tham khảo lời giải bài

5 PGS TS NGUYÊN VĂN LỘC ( Chủ biên) : TRẤN QUANG TÀI - TRẦN ANH DUONG - NGUYÊN HỮU TỚI - TRẤN QUANG TIÊN

PGS-TS NGUYỄN VĂN LỘC (Chủ biên)

TRẤN QUANG TÀI - TRẤN ÁNH DƯƠNG

NGUYÊN HỮU TỚI - TRẤN QUANG TIẾN

Loi abi dau

(yon sach “Giai bài tập giải tích 12 chuong trình chuẩn” có nội dung cương ting vai sách giáo khoa Giáut Tịch T2 chương trunh chưữn được

tự dung ti nam 2008 — 20009

Met muc Cý) của chương gồm bon phan

I Tom tắt lý thuyết

1L Bài tập căn ban

THỊ Cau hoi trac nghiém

Phan HI Trinh bay các câu hỏi trắc nghiệm nhằm giúp các em ôn

tuyên lạt kiến thức đã học

Phần IV Trinh bay đáp án các câu hói trắc nghiệm nêu ở phản II

Việc sử dụng sách nên thực hiện theo trình tự như sau:

Sau khi hoc ly thuyét, cac em hay tu minh guái các bài tập có trong sách

giáo khoa, nếu gặp khó khăn có thể tham khảo lời giải bài tập trình bày 6 phản !Ì, hơn nữa ngay cả khi giải được bài tập của sách giáo khoa, các em cũng sên so sánh lời giải của mình tới lời giải được trình bày trong sách nay để hiểu sâu sắc, đây đủ kiến thức uù phương pháp giải toán Tiếp theo các em nên dành thời gian giải các câu hỏi trắc nghiệm ở phản II để củng

có kiến thức

Để uiệc sử dụng cuốn sách đạt hiệu quả cao, các em nên hết hợp sử dung sác cuốn sách khác của cùng tác giả như: Các dạng bài tập va phương pháp giải Giải Tích 12; Kiến thức chuẩn va nâng cao Giải Tích 12; Toán bối dường trác nghiệm 0à tự luận Gidi Tich 12; Cac chu dé bam sat ~ nang cao (ải Tích 12; 1250 câu hỏi trắc nghiệm khách quan toán 12

11\ uọng cuốn sách sẽ là tài liệu hỗ trợ tích cực giúp các em học tốt hình

§7 đự đồng bién, ughich bién aia ham sé

1 TOM TAT LY THUYET

1 Tính đơn điệu của hàm số

a) Định nghĩa: Giả sử hàm số y = fx) xác định trên K (K là khoảng (a;

b) hoặc đoạn [a; b] hoặc các nửa đoạn [a; b), (a; b])

+ Ham số y = fx) đồng biến trên K nếu với mọi cặp xị, x2 thuéc K ma x;

nhỏ hơn x; thì fx¡) nhỏ hơn fx;), tức là: xị < x; = ẨXị) < Ñ¿)

« Hàm số y = ftx) nghịch biến trên K nếu với mọi cặp xị, x¿ thuộc K mà

x; nho hon xp thi f(x,) lớn hơn fx¿), tức là xị < xạ = flx,) > fixe)

b) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

s Định lí: Cho hàm số y = ftx) có đạo hàm trên K

- Nếu f {x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = fx) đồng biến trên K

- Nếu f (+) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên K

s Chú ý: Giả sử hàm số y = fx) có đạo hàm trên K

- Néu f (x) > 0 (f (x) < o) vx e K và f {x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn

điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a; b)

92 Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số bằng đạo hàm

a) Quy tắc:

1⁄ Tìm tập xác định Tính f %x)

3/ Chizra các điểm tại đó f (x) bằng 0 hoặc f 1x) không xác định

3/ Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu đạo hàm

4/ Nêu kết luận về các khoảng đông biến, nghịch biến của hàm số

b) Chú ý: Ta nên lập bảng xét dấu đạo hàm để tiện cho việc chỉ ra các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số

Il BAI TAP CAN BAN

Bai 1 Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số;

3 —

6

Vay ham sé đồng biến trên khoảng | 9

Su: ra hàm số (1) nghịch biến trên các khoảng (—-z; -3), (-3; 3) và (3; +=)

Bài 3 Chứng minh rằng hàm số y = ES ; đồng biến trên khoảng (-1; 1) x? +

vanghich bién trén cdc khodng (-»; —1) va (1; +2)

Từ bảng xét dấu ta có hàm số đồng biến trên khoang (-1; 1), ngkich

biến trên khoảng (—œ; —1) và (1; +)

Bài 4 Chứng minh rằng hàm số y = V2x- x? đồng biến trên khoảng (6; 1)

và nghịch biến trên khoảng (1; 2)

Vay hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1), nghịch biến trên khoảng (1; 2)

Bài 5 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

sy =0e1l-x=0exel

a) tanx > x(U<x< 2} b) tanx'> x + — (0<x< 2)

Giải

a) Xét hàm số f{x) = tanx - x trên khoảng [0:3]

Ta cé f (x) = 1 + tan’x — 1 = tan’x > 0 Vx € (0:3): = Ham sy ding

biến trên khoảng (0:3) do đó fx) > Ñ0)

«& tanx - x > 0 © tanx > x Vx € (0:3) =

3

b) Xét hàm số g(x) = tanx - x — = trên khoảng K8

g(x) = 1+ tan’x — 1 - x” = tan’x — x = (tan x - x)(tanx + x)

Xét hàm số h(x) = tanx - x trên khoảng (0:3)

hx) = 1+ tan?x +15 tan’x > 0 vx € (0:3

+ h(x) đồng biến trên khoảng [0:3] do dé: h(x) > h(0) «> tanx - x > 0

(1) và tanx +x>0VWxe€ [0:3] (2)

"Từ (1) và (2) ta có (tanx - x)(tanx + x) > 0 Vx € [s2] = g(x) >0 Vxe€

(93) => ham số g(x) đồng biến trên khoảng [0:5]

Do do g(x) > g(0) tanx ~ x— * 50 tanx>x+ a"

Ill CAU HOI TRAC NGHIEM

1 Hàm số nào sau đây đồng biến trên khodng (—»; +2)?

Đápán | B® | © | w | Mm | w |

§2 Cue tei cia ham số

I TOM TAT LY THUYET

1 Khái niệm cực đại, cực tiểu:

a) Định nghĩa: Cho hàm số y = ffx) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a = —, b = +) và điểm xọ e (a; b)

« Nếu tổn tai sé h > 0 sao cho f{x) < flxo) với mọi x e (xo - h; xo + h) và

X # Xo, thì ta nói hàm số fx) đạt cực đại địa phương tại xạ

s Nếu tôn tại số h > 0 sao cho f{x) > f(xo) với mọi x e (xo - h; xo + h) và

x # xo thì ta nói hàm số ftx) đạt cực tiểu địa phương tại xọ

b) Chú ý:

s Cực đại (cực tiểu) địa phương gọi tắt là cực đại (cực tiểu) Nếu hàm số ftx) đạt cực đại (cực tiểu) tại xo thi x» được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu), fxạ) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiéu 1A fop (for), còn điểm MŒxạ; fxo)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị

* Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị và các giá trị cực đại, cực tiểu được gọi chung là cực trị của hàm số

2 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

« Định lí: Giả sử hàm số y = fx) trên khoảng (xạ - h; xạ + h) và có đạo

hàm trên khoảng đó, có thể trừ tại xo

- Néu f (x) > 0 trên khoảng (xạ - h; xo) va f (x) < 0 trên khoảng (xo; Xạ +

h) thì xạ là một điểm cực đại của hàm số ftx)

- Néu f (x) trén khoảng (xạ - h; xo) và f (x) > 0 trén khodng (xo; xo + h) thì xo là một điểm cực trị của hàm số f(x)

4/ Từ bảng xét dấu đạo hàm suy ra các điểm cực trị

b) Định lí 2 Giả sử hàm số y = fx) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng (xe - h; xo + h), khi đó:

- Nếu f xe) = 0, f “(xạ) > 0 thi xo là điểm cực tiểu;

- Nếu f (xo) = 0, f "(xo) < 0 thì xo là điểm cực đại

II BÀI TẬP CĂN BẢN

Xét dau y’:

MW

Vậy hàm số có một điểm cực tiểu là x = -

Bài 2 Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

Ta có: y”(—1) = 8 >0; y”(0) = -4 < 0; y”(1)=8 >0

Vay hàm số có một điểm cực đại là x = 0 và hai điểm cực tiểu lla x = -1

y'(- = + kn) = -48ina(-" + ka) = 2V3 >0 6 6 Vậ› hàm số đạt cực đại tại các điểm x = : + km (k e Z), đạt cực tiểu tại

va yet + k2n) = -sinC + kẽn) — cos— T5 + + k2n) = oft lls Soo

Vậy hàm số có các điểm cực đại là: x = : + k2n (k € Z) va cdc diém cuc

Vay hàm số có một điểm cực đại là x = —1, một điểm cực tiểu là x = 1

Bài 3 Chứng minh rằng hàm số y = (|x| không có đạo hàm tại x = 0

nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó

Giải Cách 1

* chung minh ham sé y = fx] không có đạo hàm tại x = 0

Hàn số só tập xác định R

Ta 6: ar= gfx| ~ YO = sfx

ve =-0 va lim 4¥ = lim x90 ~(vixi)’ x00 AX x90"

Vậy hàm số không có đạo ham tai x = 0

e Chứng minh hàm số y = vel dat cuc tiéu tai x =0

Nếu x > 0 ta có: y =Vx = y = —Ì— >0vx>0

2ýx

Nếu x< 0 ta có: y =V-x=y'=~— E—~<0vx<0

2V-x

Do đó y` không xác định tại x = 0 va y` đổi dấu từ dấu âm sang dấu

dương khi x qua điểm 0 Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

Bài 4 Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số:

y = x’ — mx’ — 2x + 1 luôn luôn có một điểm cực đại và một điếm cực tiểu

Giải

y = x° — mx” — 2x + 1; Tap xdc dinh: R

y’ = 3x” — 2mx - 2; y’ = 0 <> 3x? - 2mx- 2=0

A’ = m? + 6 > 0 Vm, do dé y’ = 0 luén c6 hai nghiém phân biệt và y` đổi

dấu khi x qua hai nghiệm ấy Vậy hàm số luôn luôn có một điểm cực đại và

một điểm cực tiểu

Bai 5 Tim a va b để các cực trị của hàm số y = B atx’ + 2ax? - 9x + bđều

là những số đương và xạ = -3 là điểm cực đại

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 2 khi và chỉ khi -1 - m = 2 > m= -3

II CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

16

83 Gia tei lon uhat

oa gia tei ahd ahadt cia ham sé

1 TOM TAT LY THUYET

1, Định nghĩa: Cho hàm số y = fx) xác định trên tap D

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = fx) trên tập D nếu ftx) < M với mọi x thuộc D và tổn tại xe e D sao cho ftxạ) =M

II BÀI TẬP CĂN BẢN

Bài 1.Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm, SỐ:

a)y = x’ ~ 3x? — 9x + 35 trên các đoạn [~4; 4] và [0; 5];

Vay max f(x) = 40 khi x =—1; min f(x) = -41 khix =-4

Xét hàm số y = x® - 3x? - 9x + 35 trên đoạn [0; 5]

Ta có y(0) = 3ð; y(3) = 8; y(B) = 40 và —1 #£ [0; ð]

Vậy max f(x) = 40 khi x = 5; min f(x) = 8 khi x = 3

b) Xét y = x‘ - 3x? + 2; Tap xdc dinh: R

Trên (0; 3] ta cé: y(0) -24( (| =-F:¥8) = 56 va 2 eto

Suy ra: ary = 56 khi x = 3, RAY = "7 khi x= 2

Trên đoạn [2; 5] ta c6: y(2) = 6; y(5) = 552

Suy ra: mary = 552 khi x = 5, BH? 6 khi x = 2

Suy ra: mary = 35 khi x = 4, B"N? =0 khi x=2

Trên đoạn [-3; -2] ta có: y(-8) = uc?) =Š

Suy ra: nh khi x = -2, min y = : khi x = -3

suy ra: miny = 1 KH? X= 1, miny = 3 khi x = -1

B:i 2 Trong các hình chữ nhật có cùng chu ví 16cm, hay tim hình chữ nhật

Khi này chu vi: p = 2(x + y)= 16=x+y=B8‹<sy=8—x

Ta có diện tích của hình chữ nhật là: S = x.y = x(8 ~ x) S =-x” + 8x Xét hàm số: S = —x” + 8x trên khoảng (0; 8) ta có:

Vậy hình vuông có cạnh bằng 4em là hình có diện tích lớn nhất

3 Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích 48m”, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất

Vậy hình vuông có cạnh 4 J3 m là hình có chu vi nhỏ nhất

Bài 4 Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-z; 1), nghịch biến trên khoảng (1; +z)

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 va yen = y(1) = 1

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có: max y = 1 khi x = 1

Bai 5 Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

III CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1 3iá trị lớn nhất của hàm số y = x’ - 3x + 2 trên đoạn [Ö; 2] là:

(A) 0; (By -1, 4 «© 1, 4 (D) 2

9 3iá trị lớn nhất của hàm số y = 2xŸ + 3x” - 4 trên đoạn [1; 2] là:

§4 Duong tiém can

1 TOM TAT LÝ THUYẾT

1 Tiệm cận ngang:

a) Định nghĩa: Cho hàm số y = fx) xác định trên một khoảng vô hạn

tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = fx)

b) Chú ý: Nếu chỉ có lim f(x) = y, hoặc lim f(x) = y„ ta cũng gọi đường

thẳng y = yo là tiệm cận ngang (một phía) của đồ thị hàm số y = fx)

2 Tiệm cận đứng:

Định nghĩa: Cho hàm số y = fx) xác định trên K \ {xo} Nếu

lim f() = + hoặc limf(x) =-œ thì đường thang x = xạ được gọi là tiệm

cận đứng của đồ thị hàm số y = Ñx)

II BÀI TẬP CĂN BẢN

Bài 1 Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:

X lim a -1 nên đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị

thing x = —1 1a tiém can dung cua dé thi ham số

x+7 i ~1 nên đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị x+

x: 0 là tiệm cận đứng và lim (2-1}- ~-1 nên đường thẳng y = -1 là

x

tién can ngang

Ba 2 Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số:

T Mê : =1 nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang

II CÂU HỒI TRẮC NGHIỆM

1 Đồ thị hàm số y = = =1 có tiệm cận ngang là đường thẳng:

4x-ð 5x-4

5 Tiệm cận ngang của dé thi ham số y = ¥x* +2x t3-x là đường thang

4 8ø tiệm cán của dé thi ham số y = là:

(Aly ==; (B) y = 2; ()y =1; (D) y=-3

s Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Tính dao ham y’

+ Tìm điểm tại đó y' bằng 0 hoặc y' không xác định

+ Xét dấu đạo hàm ÿy' và suy ra chiều biến thiên của hàm số

se Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm

của đô thị với các trục tọa độ

s Nên lưu ý đến tính đối xứng để vẽ cho chính xác Chẳng hạn, đồ thị

của hàm bậc ba nhận điểm uốn là tâm đối xứng

2 Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức

3 Sự tương giao của các đồ thị:

Giả sử ham s6 y = fix) cé dé thi la (C,) va ham số y = g(x) có đồ thị

la (C2) Dé tim hoanh dé giao điểm của (C¡) và (C;) ta giải phương trình f(x) = g(x) Giá sử phương trình trên có các nghiệm là xo, xị, Khi đó có

các giao điểm của (C¡) và (C;) là Mo(xo; f(x), Mi(xi; flx1)),

II BÀI TẬP CĂN BẢN

Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đô thị của các hàm số bậc ba sau

x 2

® Chiêu biến thiên: y’ = 3x" + 8x + 4: y= 0 | fae? *

Đầu của y` như sau:

Đỏ thị cắt trục Oy tại điểm (0; 0), đồ thị giao với Ox tại điểm có hoành

độ là nghiệm của phương trình: xŸ + 4x? + 4x = 0 < x(x” + 4x + 4) =0

Đồ thị có dạng sau đây:

e)y=x°+x?+ 9x

1) Tập xác định:

2) Sự biến thiên:

« Chiều biến thiên: ý = 3x” + 2x + 9= 2x? +(x+ 1 +8 >0

do đó: ỳ> 0, Wx c R, suy ra hàm số đồng biến trên R

Đồ thị cắt Ox tại điểm (0; 0); cắt Oy tại điểm (0; 0)

Đô thị có tâm đối xứng là điểm có hoành độ là nghiệm của phương

trình: y"= 0 6x+2=0ex= “8: Tâm đối xứng là điểm i(- SP 3}

điểm này là điểm uốn của đô thị

Đô thị đi qua các điểm: Ẵ1; ~9), (3:2)

« Chiều biến thiên: y` = -6x” < 0 Vxe $.y=0<+x= 0, do đó Hàm số

nghịch biến trên x Hàm số không có cực trị

Ì 20 Vi y” = -12x; y= 0 <> x = 0 va y” đổi dấu khi x qua giá trị 0, nên

đồ thị có điểm uốn là I(0; 5)

« Cuc tri: Ham sé dat cuc dai tai x = -2 va x = 2; ycp = yi-2) = y(2) =

15, đạt cực tiểu tai x = 0 va yer = y(0) = -1

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; +),

nghịch biến trên các khoảng (~z; —1) và (0; 1)

Do đó: hàm số đồng biến trên khoảng (0; +z) và nghịch biến trên

khoảng (~z; 0)

3

s Cực trị: yẹy = y(0) = =5

e Các giới hạn tại vô cực:

lim y = tim| "(7+ 3 ~se)Ì**9: lim y = in| x ( x win” vo

đồ thị cắt trục Ox tại các điểm có hoành

độ là nghiệm của phương trình:

e Chiểu biến thiên: y= -4x!— 4x; y'` = 0 -4x (x? + 1)= 0œ =0

Dấu của y' như sau:

H6 thi cé truc déi xuing 1a truc Oy

Do thi co dang sau day:

Bài 4 Tìm số nghiệm của các phương trình sau bằng phương pháp khảo sát

lim y = lim(x® - 3x? +5) =-œ; lim y = lim(x* - 3x? +5) = +00

¢ Bang biến thiên:

Đồ thị cắt Oy tại điểm (0; -2), đồ thị có điểm uốn là [š:- 3}

Với x=-l=y=3; x=2=y=-6

Từ đồ thị ta thấy phương trình -2x' + 3x? - 2 = 0 có một nghiệm duy nhất

Vay ham số đồng biến trên các khoảng (—z; —1) và (0; 1),

nghịch biến trên các khoảng (-1; 0) va (1; +2)

s Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và x = 1, ycp = y(-1) = y(1) = 1, đạt cực tiểu tại x = 0 và yer = y(0) = 0

¢ Giới hạn:

lim y = lim(-x†! + 2x”) = -«; lim y= lim(-x* + 9x?) = -=

37

¢ Bang biến thiên:

Đồ thị cắt Ox tại các điểm (0; 0) và (-J2;0), (V2;0), cắt Oy tại điểm (0; 0

Từ đô thị trên ta thấy đỏ thị cắt đường thẳng y = -1 tại hai điểm

Vậy phương trình 2x” - x' = ~1 có hai nghiệm phân biệt

Bài ð

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = -x” + 3x ~ 1

b) Dựa vào đỗ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau

Giai a)y=-x'+ 3x41

lin y : lim(Cx”+3x+1)= tz; limy = limLx +34 v1) z

Bài 6 ¿ho hàm số y = mt)

2x+m

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trìn mỗi khoảng xác định của nó

b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A( -1; V2),

c) Khao sat su bién thién va vé dé thi cua ham số khi m = 2

nên đường thẳng x = - ` là tiệm cận đứng

Tiệm cận đứng đi qua A(-1;V2) khi và chỉ khi: <= =-Leom=?

2x-1 2x+2 1) Tập xác định: R \ {-1}

Tâm đối xứng: (—1; 1)

Vay hàm số đồng biến trên khoảng (0; +), nghịch biến trên khoảng (—z; 0)

» Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và yer = y(0) = 1

» Giới hạn:

lim y = lim| —x* +=x?+1]=+0; limy = lim] —x*+—x?+1]=+0

» Bang bién thién: