Bài 35,0 điểm: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O.. Chứng minh tứ giác BDEC; BDHK nội tiếp.. Chứng minh KA là phân giác của góc ·DKE 4.. Gọi M, N lần lượt là
Trang 1SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC
PHÒNG GD&ĐT BÙ ĐĂNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 HUYỆN BÙ ĐĂNG
NĂM HỌC 2015-2016
Đề thi môn : Toán Ngày thi: /1/2016
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
Bài 1(5,0 điểm):
x
4
−
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A;
b) Tính giá trị của A, biếtx 16 8 3= −
2 Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình: x2=y2+ +y 1
Bài 2(5,0 điểm):
1 Giải hệ phương trình: y y x xy x
2 Cho phương trình x2+2mx m+ 2− =1 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm
Bài 3(5,0 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O Ba đường
cao AK; BE; CD cắt nhau ở H (K BC E AC D AB∈ , ∈ , ∈ ).
1 Chứng minh tứ giác BDEC; BDHK nội tiếp
2 Chứng minh AD AB AE AC =
3 Chứng minh KA là phân giác của góc ·DKE
4 Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và DE Chứng minh: OA//MN
Bài 4(2,0 điểm):
Cho tứ giác lồi ABCDcó AB và CD không song song với nhau Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của các cạnh BC và AD Chứng minh rằng: AB CD+ > 2MN
Bài 5(3,0 điểm):
1 Cho a, b, c là các số nguyên dương Chứng minh (a3+b3+c3) (− + +a b c) chia hết cho 6
2 Cho x y, >0 và x y 1+ ≤ Tìm giá trị nhỏ nhất của P xy
xy
x2 y2
Hết
-Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: ………
Chữ ký của giám thị 1: ……….……
Chữ ký của giám thị 2: ……….………
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI-THANG ĐIỂM
ĐỀ THI HSG TOÁN 9 HUYỆN BÙ ĐĂNG NĂM HỌC 2015-2016
1
x
4
−
+) ĐK:
0
0
4
≥
≥
− ≠
x
x x
x
b) Tính giá trị của A khi x 16 8 3= −
Ta có x=16 8 3 (2 3 2)− = − 2⇒ x =2 3 2− 0,50
2 Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình: x2 =y2+ +y 1
Vìy 0≥ và y nguyên ⇒y2 <y2+ + ≤y 1 (y2+ + + = +y 1) y (y 1)2 0,50
y2 y 1 (y 1)2 y 0 x 1
Vậy pt đã cho có nghiệm ( ; ) (1;0)x y = 0,50
2
(5đ) 1.Giải hệ phương trình: y y x xy x
Pt (1) ⇔(y2−2xy x+ 2) (− − = ⇔ −y x) 0 (y x)2− − =(y x) 0
y x
+) y x= thế vào (2) ta được x2+2x 3 0 = ⇒ =x x 13 y y1 3
0,50 +) y x 1= + thế vào (2) ta được x x y
Vậy hpt đã cho có 4 nghiệm ( ; ) : (1;1),(3;3),( 3;1x y + 3),( 3;1− 3) 0,25
2 Cho phương trình x2+2mx m+ 2− =1 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi m
Ta có ∆ =4m2−4(m2− = > ∀1) 4 0, m nên pt (1) có nghiệm với mọi m 1,00
b) Tìm m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm
Vì pt (1) có nghiệm với mọi m nên pt (1) có hai nghiệm đều âm S
P 00
<
Trang 31 2
0
− >
m
m
m
m
0
1
1 1
>
⇔ < − ⇔ >
>
0,50
Suy ra m 1≤ thì pt (1) có ít nhất một nghiệm không âm 0,50
3
(5đ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O Ba đường cao AK; BE; CD cắt nhau ở H (K BC E AC D AB∈ , ∈ , ∈ ).
Vẽ đúng hình nền cho 0,5 điểm
O A
E
H
K D
x
N
M
0,50
1.Chứng minh tứ giác BDEC; BDHK nội tiếp.
2 Chứng minh AD AB AE AC =
Ta có: µA chung và · ADE BCA=· (cùng bù ·BDE) ⇒∆ADE : ∆ACB (g.g) 0,50
AD AE = AD AB AE AC
3 Chứng minh KA là phân giác của góc ·DKE
+) tứ giác BDHK nội tiếp ⇒· DKH DBH=· (1)
+) tứ giác BDECnội tiếp ⇒· DBH ECH=· (2)
+) tứ giác KHECnội tiếp ⇒· EKH ECH=· (3) 0,75
Từ (1), (2) và (3) suy ra · DKA EKA=· ( do H KA∈ )
4 Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và DE Chứng minh: OA//MN.
· CAx CBA · ( 1sd AC » )
2
Lại có · CBA DEA=· ( cùng bù góc ·DEC)
· CAx DEA ·
+ Mặt khác: Trung điểm M là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDEC
mà N là trung điểm của dây DE ( DE không đi qua tâm M)
Trang 4Từ (4) và (5) suy ra MN //OA (đpcm) 0,25
4
(2đ)
Bài 4(2,0 điểm): Cho tứ giác lồi ABCDcó AB và CD không song song với nhau Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AD Chứng minh rằng: AB CD+ >2MN
A
B
C
D N
M
Gọi I là trung điểm của AC, khi đó MI và NI lần lượt là đường trung bình của tam
giác ABC và ACD nên MI 1AB
2
2
MI NI 1 (AB CD) AB CD 2(MI NI)
2
Mặt khác: Tam giác MNI có MN MI NI< + ⇒2MN <2(MI NI+ )=AB CD+
0,50 Vậy AB CD+ > 2MN
5
(3đ) Bài 5(3,0 điểm): 1 Cho a, b, c là các số nguyên dương Chứng minh (a3+b3+c3) (− + +a b c) chia hết cho 6
Đặt M =(a3+b3+c3) (− + + =a b c) (a3− +a) (b3− +b) (c3−c)
Ta có : a3− =a a a( −1)(a+1)là tích của ba số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết
cho 2 và một số chia hết cho 3, mà (2;3) 1= nên a a( −1)(a+1) chia hết cho 6.
0,25 0,50
Tương tự : (b3−b) và (c3−c) chia hết cho 6 0,25
2 Cho x y, >0 và x y 1+ ≤ Tìm giá trị nhỏ nhất của P xy
xy
x2 y2
x2 y2
xy
4
Dấu " "= xảy ra x y 1
2
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của P bằng 11 tại x y 1
2
Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác mà đúng giám khảo vẫn cho điểm theo thang tương ứng.
Hết