Phân loại các hệ phương trình trong toán học phổ thông

LUẬN VĂN THẠC SĨ“PHÂN LOẠI CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG TOÁN HỌC PHỔ THÔNG” HỌC VIÊN: LÊ VĂN LƯU CHUYÊN NGÀNH: Phương pháp toán sơ cấp MÃ SỐ: 60460113 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS... Tôi xin gửi l

LUẬN VĂN THẠC SĨ

“PHÂN LOẠI CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG TOÁN

HỌC PHỔ THÔNG”

HỌC VIÊN: LÊ VĂN LƯU

CHUYÊN NGÀNH: Phương pháp toán sơ cấp

MÃ SỐ: 60460113

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS TS Nguyễn Minh Tuấn

HÀ NỘI - 2015

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Minh Tuấn Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Từ tận đáy lòng em xin cảm bày tỏ sự biết ơn sâu sắc đến thầy.

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới: các thầy cô khoa Toán-Cơ-Tin học; Phòng sau đại học Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội; Các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy khóa cao học chuyên ngành phương pháp toán cơ cấp khóa 2013-2015; Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Siêu Hưng Yên đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn của mình.

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều và rất nghiêm túc trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên những nội dụng được trình bày trong luận văn còn rất khiêm tốn và không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy tác giả rất mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.

Hà Nội, tháng 9 năm 2015

Tác giả

Lê Văn Lưu

Mở đầu 3

1.1 Phương trình đại số bậc ba 4

1.2 Phương trình đại số bậc bốn 8

1.2.1 Phương trình dạng (x − a)4+ (x − b)4 = c 8

1.2.2 Phương trình dạng 8

1.2.3 Phương trình với hệ số phản hồi 9

1.2.4 Phương trình dạng t 4 = αt 2 + βt + λ 10

1.2.5 Phương trình dạng ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 , a 6= 0 11

2 Hệ phương trình thường gặp 12 2.1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 12

2.2 Hệ phương trình đối xứng 15

2.2.1 Hệ phương trình đối xứng loại một 15

2.2.2 Hệ phương trình đối xứng loại hai 31

2.3 Hệ phương trình đẳng cấp 41

2.3.1 Hệ phương trình chứa một phương trình đẳng cấp 41

2.3.2 Hệ phương trình đẳng cấp 43

2.4 Hệ phương trình bậc hai tổng quát 51

2.5 Hệ phương trình bậc cao nhiều ẩn số 58

2.5.1 Hệ phương trình hoán vị vòng quanh 58

2.5.2 Hệ phương trình bậc cao nhiều ẩn số 67

2.6 Hệ phương trình chứa căn, hệ phương trình mũ và logarit 73

2.6.1 Hệ phương trình chứa căn 73

2.6.2 Hệ phương trình mũ và logarit 79

3 Hệ phương trình không mẫu mực 83 3.1 Phương pháp biến đổi tương đương 88

3.1.1 Phương pháp cộng 89

3.1.2 Phương pháp thế 94

3.1.3 Phương pháp phân tích thành nhân tử 97

3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 102 3.3 Phương pháp hàm số 107 3.4 Phương pháp đánh giá 112

Hệ phương trình là một trong những nội dung trọng tâm, phổ biến có vị trí đặcbiệt quan trọng trong chương trình toán học phổ thông Nó xuất hiện nhiều trongcác kỳ thi học sinh giỏi cũng như kỳ thi tuyển sinh vào đại học và cao đẳng Họcsinh phải đối mặt với rất nhiều những dạng toán về hệ phương trình mà việc phânloại chúng chưa được liệt kê đầy đủ trong sách giáo khoa Đó là các hệ phươngtrình bậc nhất, hệ phương trình đối xứng loại một, hệ phương trình đối xứng loạihai, hệ phương trình đẳng cấp, hệ phương trình bậc hai tổng quát,

Việc phân loại các hệ phương trình cũng như việc tìm lời giải các hệ và việc xây

dựng các hệ là niềm đam mê của không ít người, đặc biệt những người trực tiếpgiảng dạy Chính vì vậy để đáp ứng nhu cầu giảng dạy và học tập, tác giả đã chọn

đề tài "Phân loại các hệ phương trình trong toán học phổ thông" làm đề tài nghiêncứu của luận văn Đề tài nhằm một phần nào đó đáp ứng mong muấn của bản thân

về một đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho việc giảng dạycủa mình trong nhà trường phổ thông

Luận văn này đề cập đến việc phân loại các hệ phương trình trong chương trình

toán phổ thông, từ đó giúp học sinh có cách nhìn nhận sâu sắc hơn về các bài toánliên quan đến hệ phương trình Luận văn được chia thành ba chương Chương 1 đềcập đến hương trình bậc ba và phương trình bậc bốn Chương 2 phân loại có hệthống một số hệ phương trình thường gặp Chương 3 nêu một số phương pháp giảiđiển hình cho hệ phương trình không mẫu mực Hy vọng đây sẽ là một tài liệu hữuích trong giảng dạy cũng như học tập của thầy, cô và các em học sinh

Lời giải Theo giả thiết

2) Nếu ∆ ≥ 0 thì phương trình có nghiệm là

x1 = x0, x2 = −(ax0+ b) + √

∆ 2a , x3=

−(ax0+ b) − √

∆

Nhận xét 1.1 1) Nếu x0 là nghiệm của (1.1) thì điều kiện cần và đủ để (1.1) có

ba nghiệm phân biệt là:



ax20+ (ax0+ b)x0+ ax20+ bx0+ c 6= 0

∆ > 0.

2) Nếux0 là nghiệm của (1.1) thì có thể phân tích ax3+ bx2+ cx + d = f (x) (x − x0) ,

trong đó f (x) là tam thức bậc hai

3) Nếu x 1 , x 2 , x 3 là các nghiệm của (1.1) thì

Bài toán 1.2 Giải phương trình 4x3− 3x = mvới |m| ≤ 1.

Lời giải Đặt m = cosα = cos(α ± 2π) Khi đó

Do vậy phương trình có ba nghiệm: x1 = cosα3, x2 = cosα+2π3 , x3= cosα−2π3 .

Bài toán 1.3 a) Đặt x = 12 a + 1a
, a 6= 0 Chứng minh đẳng thức

b) Ta chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất Thật vậy, phương trình không

có nghiệm x0∈ [−1; 1] vì nếu x0 ∈ [−1; 1] thì đặt x0= cosϕsuy ra

4x3− 3x = 4cos3ϕ − 3 cos ϕ = |cos3ϕ| ≤ 1 < |m|

Giả sử phương trình có nghiệm x 1 , |x 1 | > 1, 4x31− 3x 1 = m. Khi đó

4x3− 3x = 4x31− 3x1; (x − x1) 4x2+ 4xx1+ 4x21− 3

x = 12

Bài toán 1.4 Giải phương trình: 4x3+ 3x = m.

Lời giải Nhận xét rằng x = x0 là nghiệm của phương trình thì đó là nghiệm duynhất Thật vậy, xét x > x0, khi đó 4x3+ 3x > 4x31+ 3x1 = m. Tương tự, với x < x0

Bài toán 1.5 (xem [3]) Giải và biện luận phương trình t3+ at2+ bt + c = 0.

Lời giải Đặt t = y − a3 Khi đó viết phương trình thành



d + 1d



= 12



d − 1d



= 12

1.2 Phương trình đại số bậc bốn

Trong phần sẽ nêu phương pháp chung để phân tích đa thức bậc bốn tổng quátthành tích hai tam thức bậc hai Đối với một số dạng đa thức bậc bốn đặc biệt cónhững phép biến đổi phù hợp và đơn giản hơn, không đòi hỏi phải vận dụng toàn

bộ thuật toán tổng quát

1.2.1 Phương trình dạng (x − a)4 + (x − b)4 = c.

Đặt x = t +a+b2 , α = a−b2 . Khi đó phương trình trở thành

(t + α)4+ (t − α)4= c;

2t4+ 12α2t2+ 2α4− c = 0.

Đây là phương trình đã biết cách giải

Bài toán 1.6 Giải phương trình (x − 3)4+ (x − 5)4= 82.

Lời giải Đặtx = y + 4 Khi đó phương trình đã cho trở thành các phương trình sau

(y + 1)4+ (y − 1)4 = 82;

y4+ 6y2− 40 = 0.

Giải phương trình tìm được y = 2 và y = −2

Do vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 2, x = 6.

1.2.2 Phương trình dạng

(x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = m, a + d = b + c.

Đặt u = (x + a) (x + d) suy ra (x + b) (x + c) = u + bc − ad. Khi đó phương trình trởthành u (u + bc − ad) = mhay u2+ (bc − ad) u − m = 0. Đây là phương trình đã biếtcách giải

Bài toán 1.7 Giải phương trình x (x + 1) (x + 2) (x + 3) = 8.

Lời giải Đặt u = x (x + 3) suy ra (x + 1) (x + 2) = u + 2 Khi đó phương trình trởthành

2 Do vậy phương trình có nghiệm x = −3±

√ 17

2 1.2.3 Phương trình với hệ số phản hồi.

ax4+ bx3+ cx2+ dx + e = 0, e

a =



d b

Bài toán 1.8 Giải phương trình: x4+ 3x3− 6x 2 + 6x + 4 = 0.

Lời giải Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình Xét x 6= 0 chia hai vếphương trình cho x2 ta được

2

Do vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = −5±

√ 17

2 1.2.4 Phương trình dạng t4 = αt2 + βt + λ.

Trường hợp:∆ = β2−4αλ = 0, biến đổi vế phải thành bình phương đúng Trườnghợp: ∆ 6= 0 Ta sử dụng

Bài toán 1.9 Giải phương trình x4= 3x2+ 10x + 4.

Lời giải Viết phương trình dưới dạng

√

1+4 √ 5

√

1+4 √ 5

2 1.2.5 Phương trình dạng ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 , a 6= 0

Đặt x = −4ab + t.Khi đó phương trình trở thành t4= αt2+ βt + λ.Đây là phươngtrình đã biết cách giải

Bài toán 1.10 Giải phương trình: x4− 8x 3 + 20x2− 12x − 9 = 0.

Lời giải Đặtx = t + 2 Khi đó phương trình đã cho trở thành các phương trình sau

a b

a0 b0

... Khi phương trình trởthành u (u + bc − ad) = mhay u2+ (bc − ad) u − m = 0. Đây phương trình biếtcách giải

Bài tốn 1.7 Giải phương trình. .. Khi phương trình trởthành

2 Do phương trình có nghiệm x = −3±

√ 17

2 1.2.3 Phương trình với hệ số... t.Khi phương trình trở thành t4= αt2+ βt + λ.Đây phươngtrình biết cách giải

Bài tốn 1.10 Giải phương trình: x4−