Rèn lyện kĩ năng giải toán bất đẳng thức và bất phương trình cho học sinh thpt bằng phương pháp hàm số

Rèn lyện kĩ năng giải toán bất đẳng thức và bất phương trình cho học sinh thpt bằng phương pháp hàm số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THU HÀ MÔNG THÙY LINH

ĐỖ THỊ HUYỀN TRANG

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH THPT

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THU HÀ MÔNG THÙY LINH

ĐỖ THỊ HUYỀN TRANG

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH THPT

Sư  phạm  Thái  Nguyên  đã  tạo  điều  kiện  thuận  lợi  cho  chúng  em  trong  quá trình học tập, nghiên cứu. 

Cuối  cùng,  chúng  em  xin  bày  tỏ  lòng  biết  ơn  sâu  sắc  tới  những  người thân  trong  gia  đình  và  bạn  bè  đã  luôn  bên  chúng  em,  động  viên  và  giúp  đỡ chúng em hoàn thành đề tài. 

Dù  đã  có  nhiều  cố  gắng,  tuy  nhiên  đề  tài  không  thể  tránh  khỏi  những thiếu  sót  cần  được  góp  ý,  sữa  chữa.Chúng  em  rất  mong  nhận  được  những  ý kiến, nhận xét của các thầy cô giáo và bạn đọc. 

Thái Nguyên, tháng 3 năm 2015

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Thu Hà Mông Thùy Linh 

Đỗ Thị Huyền Trang 

MỤC LỤC

Trang

Trang bìa phụ   i 

Lời cảm ơn   ii 

Mục lục   iii 

Danh mục chữ viết tắt   v 

MỞ ĐẦU   1

1. Lí do chọn đề tài   1

2. Mục đích nghiên cứu   3

3. Nhiệm vụ nghiên cứu  3

4. Phương pháp nghiên cứu   3

5. Khách thể nghiên cứu và đối tượng nghiên cứu   3

6. Giả thuyết khoa học   3

7. Dự kiến cấu trúc của đề tài   4

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN   6

1.1 Kỹ năng và kỹ năng giải toán cho HS THPT   6

1.1.1. Kỹ năng   6

1.1.2. Kỹ năng giải toán   9

1.2 Hàm số và quan điểm hàm số trong dạy học toán ở trường THPT   14

1.2.1. Khái niệm hàm số   14

1.2.2. Quan điểm hàm số trong dạy học toán ở trường phổ thông   15

1.3.  Thực  tiễn  rèn  luyện  kỹ  năng  giải  bài  toán  BĐT  và  BPT  cho  HS  THPT  theo quan điểm hàm số.   16

1.3.1.  Thực  trạng  việc  dạy  học  giải  BPT  và  BĐT  theo  quan  điểm  hàm  số  ở  trường phổ thông.   16

1.3.2. Những khó khăn sai lầm thường gặp của HS trong khi giải BPT và BĐT  theo quan điểm hàm số   17

1.4. Kết luận chương 1   20

Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH

THÔNG THEO QUAN ĐIỂM HÀM SỐ   21

2.1. Tổng quan về bất đẳng thức và bất phương trình trong chương trình Toán  THPT   21

2.1.1. Định nghĩa bất đẳng thức và bất phương trình   21

2.1.2. Các phương pháp thông thường để giải bất phương trình và chứng minh  bất đẳng thức   23

2.1.3. Các kỹ năng cần rèn luyện cho HS khi học nội dung này.   27

2.2. Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải bài toán bất đẳng thức theo quan  điểm hàm số.   29

2.2.1. Rèn luyện kỹ năng vận dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức   29

2.2.2. Rèn luyện kỹ năng sử dụng hàm số đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức.   44 

2.2.3. Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN-GTNN của  biểu thức bằng phương pháp hàm số   48

2.3. Rèn luyện một số kỹ năng giải bất phương trình  theo quan điểm hàm.   50

2.3.1.  Rèn  luyện  kỹ  năng  giải  bất  phương  trình  bằng  phương  pháp  vận  dụng  khái niệm TXĐ và tập giá trị.   50

2.3.2. Rèn kỹ năng giải bất phương trình thông qua sử dụng tính đơn điệu của  hàm số   52

2.3.3. Rèn kỹ năng giải bất phương trình bằng phương pháp sử dụng đạo hàm  và xét sự biến thiên   56

2.4. Kết luận chương 2.   59

KẾT LUẬN   60

TÀI LIỆU THAM KHẢO   61

CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI

STT Chữ viết tắt Chữ viết đầy đủ

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Ngày nay, nước ta đang trên đà thực hiện công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước.  Trải  qua  hơn  20  năm  đổi  mới,  nền  giáo  dục  nước  ta  đã  có  những  thay  đổi đáng kể. Tuy nhiên, công cuộc đổi mới giáo dục vẫn luôn là một nhiệm vụ cấp bách 

và được đặt lên trên hết.  Nghị quyết 29.NQ/TW  về đổi  mới căn bản và toàn diện 

giáo dục đã chỉ ra cần: “tiếp tục đổi mới mạnh mẽ và đồng bộ các yếu tố cơ bản của giáo dục, đào tạo theo hướng coi trọng phát triển phẩm chất và năng lực người học” Chính  vì  vậy,  giáo dục  và  đào tạo luôn được Đảng  và Chính  phủ ta coi là 

quốc sách hàng đầu,  là sự nghiệp của Đảng, Nhà nước và của toàn dân. Đầu tư cho giáo dục là đầu tư cho phát triển, được ưu tiên đi trước trong các chương trình, kế hoạch phát triển kinh tế-xã hội. 

Trong  những  năm  gần  đây,  việc  nâng  cao  chất  lượng  dạy  học  đang  là  một yêu cầu cấp bách đối với nghành giáo dục nước ta.Một trong những khâu then chốt 

để  thực  hiện  yêu  cầu  này  là  đổi  mới  nội  dung  và  phương  pháp  dạy  học.  Điều 28

khoản 2 Luật Giáo Dục có nêu: ”phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy

tính tích cực chủ động, sáng tạo của HS phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện

kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS.”

Môn Toán là một môn học có vị trí đặc biệt quan trọng so với các môn học khác  ở  trường  Phổ  thông.  Bởi  một  mặt  Toán  học  có  nguồn  gốc  từ  thực  tiễn.  Mặt khác môn Toán được coi như môn học cơ sở, là công cụ cho nhiều môn học khác. Trong  thực  tế  rất  nhiều  vấn  đề  của  các  nghành  khoa  học  kĩ  thuật  được  giải  quyết nhờ sự giúp đỡ đắc lực của toán học. 

Trong các nội dung dạy học môn Toán ở trường phổ thông, chủ đề BPT và BĐT là một nội dung quan trọng. Kiến thức và kĩ năng trong chủ đề này sẽ là chiếc chìa khóa tốt nhất để giải quyết nhiều vấn đề thuộc hầu hết các chủ đề kiến thức vể đại số, giải tích và hình học. Chính vì vậy, bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lí thuyết về chủ đề BPT và BĐT một cách đầy đủ theo quy định của chương trình dạy 

Bên cạnh đó, kiến thức hàm số cũng chiếm một vị trí rất quan trọng. Hàm số giữ vai trò trung tâm, việc bảo đảm vị trí trung tâm của hàm số sẽ tăng cường tính thống nhất của  giáo trình Toán phổ thông, góp phần xóa bỏ ranh giới  giả tạo  giữa các phần khác nhau của chương trình. 

Theo  Nguyễn  Bá  Kim  ([9]),  quan  điểm  hàm  được  thể  hiện  trong  chương trình Toán ở trường trung học phổ thông như sau: 

- Nghiên cứu hàm số được coi là nhiệm vụ chủ yếu suốt chương trình bậc phổ thông ;

- Phần lớn chương trình Đại số và Giải tích giành cho việc trực tiếp nghiên cứu hàm số ;

- Cấp số cộng và cấp số nhân được nghiên cứu như những hàm số của đối

tư tưởng hàm số có tác dụng tốt cho việc phát triển tư duy hàm cho HS. Đồng thời 

có thể rèn luyện nhiều kĩ năng giải toán và ứng dụng kiến thức toán cho HS trong sự kết hợp phát triển tư duy hàm. 

Tuy nhiên, có thể nói rằng thực tế dạy học ở trường THPT hiện nay, chủ đề BPT và BĐT vẫn là một chủ đề khó đối với HS. Các em vẫn thường mắc phải một 

số sai lầm trong quá trình giải BPT hay BĐT . Đa số các em chưa có kĩ năng thành thạo  để  giải  BPT  và  BĐT  theo  quan  điểm  hàm.  Đồng  thời  phương  pháp  hàm  số được thể hiện thế nào cho hợp lí vẫn luôn gây khó khăn cho các em. 

Để góp phần tăng cường  khả năng  giải các bài toán liên quan đến BĐT  và BPT, chúng em chọn đề tài: 

“Rèn luyện kĩ năng giải bất phương trình và bất đẳng thức cho HS trung học phổ thông theo quan điểm hàm số”

Tổng  kết  kiến thức  về tư duy hàm  và quan điểm phát triển tư duy hàm cho 

HS trong dạy học toán. 

3.2 Đề  xuất  một  số  biện  pháp  sư  phạm  nhằm  giúp  HS  phát  triển  năng  lực 

giải BĐT  và BPT theo quan điểm hàm số thông qua  việc phân loại bài tập  và quá trình dạy học giải BPT và BĐT theo quan điểm hàm số. 

3.3 Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của 

các nội dung đã đề xuất. 

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các đề tài  về dạy 

học theo quan điểm hàm, phương pháp dạy học môn toán và các tài liệu khác liên 

quan đến đề tài

- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: quan sát, điều tra và khảo sát thực trạng 

dạy học Toán chủ đề BPT và BĐT theo quan điểm hàm số ở THPT hiện nay

5 Khách thể nghiên cứu và đối tượng nghiên cứu

 Khách thể nghiên cứu: Tình hình dạy học toán ở trường THPT hiện nay

 Đối tượng nghiên cứu: Quá  trình  dạy  học  bất  phương  trình  và  bất  đẳng 

thức và phương pháp giải toán bất phương trình và bất đẳng thức bằng phương pháp 

hàm số ở trường trung học phổ thông hiện nay

6 Giả thuyết khoa học

Nếu  xây  dựng  được  các  biện  pháp  sư  phạm  và  sử  dụng  các  biện  pháp  đó nhằm rèn luyện kỹ năng giải bài toán bất đẳng thức và bất phương trình  theo quan điểm  hàm  số  cho  HS  THPT  trong  quá  trình  dạy  học  sẽ  góp  phần  nâng  cao  chất lượng dạy học môn toán và đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay. 

7 Dự kiến cấu trúc của đề tài

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, nội dung của đề tài gồm 3 chương: 

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Kỹ năng và kỹ năng giải toán cho HS THPT

2.1 Tổng quan về bất đẳng thức và bất phương trình trong chương trình Toán THPT

2.1.1. Định nghĩa bất đẳng thức và bất phương trình 

2.1.2.  Các  phương  pháp  thông  thường  để  giải  bất  phương  trình  và  chứng minh bất đẳng thức 

2.1.3. Các kỹ năng cần rèn luyện cho HS khi học nội dung này. 

2.2 Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải bài toán bất đẳng thức theo quan điểm hàm số

2.2.1. Rèn luyện kỹ năng vận dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức 

2.2.3. Rèn luyện kỹ năng sử dụng hàm số đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức. 

2.2.3.  Rèn  luyện  kỹ  năng  chứng  minh  bất  đẳng  thức  và  tìm  GTLN-GTNN của biểu thức bằng phương pháp hàm số 

2.3 Rèn luyện một số kỹ năng giải bất phương trình theo quan điểm hàm

2.3.1. Rèn luyện kỹ năng giải bất phương trình bằng phương pháp vận dụng khái niệm TXĐ và tập giá trị. 

2.3.1.  Rèn  kỹ  năng  giải  bất  phương  trình  thông  qua  sử  dụng  tính  đơn  điệu của hàm số 

2.3.3.  Rèn  kỹ  năng  giải  bất  phương  trình  bằng  phương  pháp  sử  dụng  đạo hàm và xét sự biến thiên 

2.4 Kết luận chương 2

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Kỹ năng và kỹ năng giải toán cho HS THPT

1.1.1 Kỹ năng

1.1.1.1 Khái niệm kỹ năng

Có nhiều cách định nghĩa khác nhau. Những định nghĩa này thường bắt nguồn từ quan niệm chuyên môn và góc nhìn cá nhân của mỗi người viêt. Tuy nhiên tất cả chúng ta đều thừa nhận rằng kỹ năng được hình thành khi chúng 

ta áp dụng kiến thức vào thực tiễn. Kỹ năng học được do quá trình lặp đi lặp lại  một  hoặc  một  nhóm  hành  động  nhất  định  nào  đó.  Kỹ  năng  luôn  có  chủ đích và định hướng rõ ràng. 

Theo Tâm lý học đại cương: ”Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khả năng sẵn có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định” (xem [  8 ]). 

Theo  Tâm  lý  học  lứa  tuổi  và  Tâm  lý  học  sư  phạm:  ”Kỹ  năng  là  khả năng  vận  dụng  kiến    thức  (khái  niệm,  cách  thức,  phương  pháp…)  để  giải quyết một nhiệm vụ mới. 

Từ điển Tiếng Việt khẳng định: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” (xem [6  ]). 

Trong  Toán  học  thì  kỹ  năng  được  hiểu  là  khả  năng  giải  các  bài  toán, thực hiện các chứng  minh cũng như phân tích, có phê phán các lời giải cũng như chứng minh nhận được. 

Như vậy, dù phát triển dưới góc độ nào thì kỹ năng vẫn là khả năng của chủ  thể  thực  hiện  thuần  thục  một  hay  một  chuỗi  hành  động  trên  cơ  sở  hiểu biết (kiến thức hoặc kinh nghiệm)  nhằm tạo ra kết quả mong đợi.  Nói đến kỹ năng  là  nói  đến  cách  thức,  trình  tự  thực  hiện  các  thao  tác  hành  động  để  đạt được mục đích đã định. Kỹ năng chính là kiến thức trong hành động. 

Tuy  nhiên,  trong  thực  tế  dạy  học,  HS  thường  gặp  khó  khăn  trong  việc vận  dung  kiến  thức  (khái  niệm,  cách  thức, phương  pháp…)  để  giải  quyết  các bài tập cụ thể. HS thường khó tách ra những chi tiết thứ yếu, không bản chất ra khỏi đối tượng nhận thức,  không phát hiện những thuộc tính, mối quan hệ vốn 

có  giữa  kiến  thức  và  đối  tượng.    Sở  dĩ  như  vậy  là  do  kiến  thức  không  chắc chắn,  khái niệm cũng trở nên khó hiểu, không gắn liền với cơ sở của kỹ năng. 

1.1.1.2 Sự hình thành và các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng

a) Sự hình thành kỹ năng

 Bất  cứ  một  kỹ  năng  nào  cũng  được  hình  thành  trên  cơ  sở  của  các kiến thức đã biết. Chính vì vậy, để có kỹ năng, trước hết HS cần có các kiến thức  cơ  sở.  Kỹ  năng  được  hình  thành  nhanh  hay  chậm  là  do  khả  năng  nhận thức và vốn kiến thức của người học. Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua 

quá trình tư duy để giải quyết nhiệm vụ đã đặt ra

 Một kỹ năng sẽ được hình thành trong quá trình thực hiện nhiều lần, 

lặp đi lặp lại một khái niệm, cách thức hay phương pháp nào đó Nên để hình thành kĩ năng cho HS cần cho HS luyện tập nhiều lần để hình thành kỹ năng. 

b) Các đặc điểm cơ bản của kỹ năng:

Theo [7], kỹ năng có các đặc điểm cơ bản sau: 

 Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó là kiến thức, bởi 

vì cấu trúc của kỹ năng bao gồm: hiểu mục đích, biết cách thức đi đến kết quả, hiểu những điều kiện để triển khai các cách thức đó. 

 Kiến thức là cơ sở của các kỹ năng khi các kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thực nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách của hành động. 

 Kỹ năng của con người không phải là yếu tố bất biến trong suốt cuộc đời mà phụ thuộc  vào người học thông qua hoạt động  của họ trong  mối  quan  hệ của họ  với cộng đồng. 

Giải một bài toán cần tiến hành một hệ thống các hành động có mục đích. Do 

đó chủ thể giải toán cần phải nắm vững tri thức về hành động thực hiện hành động 

Để hình thành được kỹ năng trước hết cần có kiến thức làm cơ  sở cho việc hiểu  biết,  luyện  tập  từng  thao  tác  riêng  rẽ  cho  đến  khi  thực  hiện  được  hành  động theo đúng  mục đích yêu cầu.  Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để  giải quyết những nhiệm  vụ đặt ra.  Sự dễ dàng hay  khó  khăn  khi  vận dụng kiến thức (hình thành kỹ năng ) tùy thuộc vào khả năng nhận dạng kiểu toán, phát hiện  nhìn  thấy  trong  các  dữ  liệu  đã  cho  của  bài  toán,  có  những  thuộc  tính  những quan hệ là bản chất để thực hiện giải bài toán đã cho. 

c) Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng 

Trong  DH  Toán,  các  nhà  nghiên  cứu  đã  chỉ  ra  các  yếu  tố  ảnh  hưởng đến sự hình thành kỹ năng là (xem [ 8 ]): 

  Nội dung bài toán: Nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hóa hay bị che phủ bởi  những  yếu tố phụ  làm  lệch  hướng tư duy có ảnh  hưởng đến sự  hình thành kỹ năng. 

  Tâm  thế  và  thói  quen  cũng  ảnh  hưởng  đến  sự  hình  thành  kỹ  năng. Việc  tạo  ra  tâm  thế  thuận  lợi  cho  HS  sẽ  giúp  HS  dễ  dàng  trong  việc  hình thành kỹ năng. 

  Khả năng khái quát nhìn đối tượng ở mức độ cao hay thấp. 

1.1.2 Kỹ năng giải toán

1.1.2.1 Khái niệm kỹ năng giải toán

 Giải  một bài toán là tiến hành hành động có mục đích, vì thế chủ thể bài toán còn phải nắm vững tri thức về hành động, thực hiện hành động theo yêu cầu cụ thể của tri  thức đó, biết  hành động có  hiệu quả trong  những điều kiện khác nhau. Trong giải toán, theo tôi kỹ năng giải toán của HS đó là khả năng  vận dụng có  mục đích  những tri thức và kinh  nghiệm đã có vào  những bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải toán để đi đến lời giải bài toán một cách khoa học. 

 Để thực hiện tốt môn Toán ở trường THPT, một trong những yêu cầu được đặt ra là: “Về tri thức, kĩ năng, cần chú ý những tri thức, phương pháp, đặc biệt là tri thức có tính chất thuật toán và những kĩ năng tương ứng. Chẳng hạn: tri thức và kĩ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, tri thức, kĩ năng chứng minh toán học, kĩ năng hoạt động và tư duy hàm.” . 

 Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài tập toán bằng suy luận hay chứng minh. 

 Cần chú ý là tùy theo nội dung kiến thức toán học mà có những yêu cầu rèn luyện kĩ năng khác nhau. 

1.1.2.2 Vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS THPT

Theo  Nguyễn  Bá  Kim ([   9  ])  một  trong  các  mục  tiêu  quan  trọng  của việc DH Toán ở trường phổ thông là “Trang bị tri thức, rèn luyện kĩ năng, đặc 

biệt  là  kĩ  năng  tư  duy  cho  HS”.  Như  vậy,  việc  truyền  đạt  kiến  thức  và  rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS THPT được coi là nhiệm vụ quan trọng. Rèn luyện kỹ năng nói chung và kỹ năng toán học nói riêng là  một yêu cầu quan trọng, nó đảm bảo mối liên hệ giữa học và hành. Thực tiễn cho thấy, việc dạy học sẽ không đạt kết quả cao  nếu  HS chỉ  biết  học thuộc  lòng các khái  niệm, 

định nghĩa, định lý mà không biết áp dung để giải các bài toán khác nhau

Tuy  nhiên,  để  rèn  luyện  tốt  kỹ  năng  giải  toán  cho  HS THPT  chúng  ta cần trang bị cho HS  một khối lượng kiến thức nhất định, gọi là kiến thức cơ 

sở.  Bởi lẽ, bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở của lý thuyết, đó là kiến thức tối thiểu mà người học cần có khi học các nội dung đó. Kiến thức là 

cơ sở của kỹ năng là những kiến thức phản đúng và đầy đủ các thuộc tính bản chất,  đồng  thời  được  thử  nghiệm  và  áp  dụng  thường  xuyên,  từ  đó  sẽ  hình thành lên kỹ năng. 

 Dạy  toán  là  dạy  kiến  thức,  kỹ  năng,  tính  cách  cho  HS.  Việc  hình thành  và  rèn  luyện  cho  HS các  kỹ  năng  giải  toán  nhằm  đạt  được  những  yêu cầu sau : 

 Giúp  HS  hình  thành  và  nắm  vững  những  mạch  kiến  thức  cơ  bản xuyên suốt chương trình. 

 Giúp HS phát triển năng lực trí tuệ 

 Coi trọng  việc rèn  luyện khả  năng tính toán trong  giờ  học. Đó là sự phát triển trí tuệ cho HS qua môn toán gắn liền với việc rèn luyện các kỹ năng thực hành. 

 Giúp HS rèn luyện các phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ: tính kiên trì, cẩn thận, chính xác, và các thói quen tự kiểm tra đánh giá để có tự mình hạn chế các sai lầm. 

 Trong  dạy  học  Toán  cần  rèn  luyện  cho  HS  các  nhóm  kiến  thức  cơ bản sau: 

 Nhóm kỹ năng chung 

 Nhóm kỹ năng thực hành 

 Nhóm kỹ năng tư duy 

 Kỹ năng suy luận, dự đoán 

 Kỹ năng tổng hợp: Liên hệ các dữ kiện trong bài toán, tóm tắt nội dung bài toán, đề xuất định hướng giải quyết bài toán. 



 (x-1) 6 4

1

x x



  (x-1) 

 7x-3    6x -4 

 x  -1 Đối chiếu với điều kiện có nghiệm của phương trình là: 

x  (-1; 1)   (1;  ) 

Thực  tế  HS  đã  mất  cảnh  giác  khi  nhân  2  vế  của  phương  trình  (1)  với f(x) = x – 1 mà không quan tâm tới dấu của f(x) điều này ảnh hưởng trực tiếp đến chiều của BPT dẫn tới kết quả bài toán sai. 

Như vậy  việc nắm  vững các định  lý  về biến đổi  BPT là quan trọng  và cần thiết . Cần đưa ra những bài tập để HS có thể vận dụng các phép biến đổi tương đương này thành thạo. 

Làm  rõ  sự  giống  nhau  và  khác  nhau  giữa  phép  biến  đổi  tương  đương BPT bới phép biến đổi tương đương trong phương trình và tránh sai lầm khi 

áp dụng. 

Thật vô nghĩa nếu yêu cầu HS học thuộc lòng các định lý về các phép biến đổi tương đương hoặc cách áp dụng nó.   

 Có  thể  rèn  luyện  kỹ  năng  giải  toán  cho  HS  theo  các  con  đường  khác nhau 

 Con đường thứ nhất:  Sau  khi  cung  cấp  và  truyền  thụ  cho  HS  vốn 

kiến thức cần thiết thì yêu cầu HS áp dụng để gải các bài toán khác nhau theo mức độ tăng dần. 

 Con đường thứ hai: Dạy những dấu hiệu đặc trưng, từ đó đưa ra các 

Hướng 1 : Nhận thấy đây là phương trình vô tỉ có hai vế không âm nên 

để khử dấu căn ta bình phương hai vế, hướng làm này có thể ra đáp số nhưng chắc chắn khá phức tạp và dễ nhầm lẫn trong tính toán. 

Hướng  2  :  Nhận  xét  các  số  hạng  ở  từng  vế  của  BPT.  Từ  đó,  đặt  BPT dưới góc nhìn theo quan điểm hàm. Tức là, có thể sử dụng công cụ hàm số dể giải quyết BPT này không ?. 

Rèn luyện kỹ năng toán học cho HS cần quan tâm chú trọng đến những vấn đề sau:   

 Cần hướng cho HS biết cách tìm tòi để nhận xét ra những yếu tố đã cho và yếu tố phải tìm và các mối quan hệ giữa chúng. Nói cách khác, hướng cho HS biết 

+  Nhìn  nhận  bài  toán  dưới  nhiều  khía  cạnh  khác  nhau,  từ  đó  so  sánh các cách giải với nhau để hiểu sâu sắc và vận dụng hợp lý kiến thức. 

+ Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm bài toán. 

+  Tích  cực  suy  nghĩ,  tìm  tòi  cách  giải  ngắn  gọn  trong  khi  giải  toán. Thực tế, trong học tập HS không chỉ gặp những bài toán đơn giản, tuân theo phương  pháp  và  các  bước  làm  rõ  ràng  mà  còn  gặp  khá  nhiều  bài  toán  phức tạp,    không  có  phương  pháp  sẵn.  Đòi  hỏi  HS  phải  suy  nghĩ  tìm  ra  cách  giải ngắn gọn, chặt chẽ và độc đáo. 

Vì  vậy,  song  song  với  việc  truyền  thụ  tri  thức  toán  học  thì  việc  rèn luyện các kỹ năng cũng đóng một vai trò hết sức quan trọng, nó góp phàn bồi dưỡng tư duy Toán học cho HS. 

1.2 Hàm số và quan điểm hàm số trong dạy học toán ở trường THPT

1.2.1 Khái niệm hàm số

 Khái niệm hàm số đã được nhắc đến ở chương trình môn Toán cấp THCS,  và  đến  chương  trình  cấp  THPT  thì  vấn  đề  này  vẫn  tiếp  tục  được nghiên  cứu.  Ở  lớp  10  HS  vẫn  tiếp  tục  được  nghiên  cứu  về  hàm  số.  Ở  đây SGK giới thiệu lại khái niệm hàm số 1 cách chính xác hơn, có đề cập đến tập xác  định  của  hàm  số,  đồng  thời  đưa  ra  các  khái  niệm  hàm  số  đồng  biến, nghịch biến,  hàm số chẵn,  lẻ,  và  giới thiệu thêm 1 phương pháp  nghiên cứu hàm số là khảo sát sự biến thiên  và  vẽ đồ thị của chúng. SGK trình bày đầy 

 Định  nghĩa  trang  32-  SGK  Đại  số  10  “Giả  sử  có  2  đại  lượng  biến thiên  x  và  y,  trong  đó  x  nhận  giá  trị  thuộc  tập  D.  Nếu  với  mỗi  giá  trị  của  x 

ta có một hàm số. Ta gọi x là biến số, y là hàm số của x. Tập D được gọi là tập xác định của hàm số. 

 Định  nghĩa  trang 35-  SGK  Đại số 10  nâng cao  : “Cho  tập  hợp khác rỗng là tập con của R. Hàm số f xác định trên D là một quy tắc tương ứng mỗi số 

x thuộc D với  1 và chỉ 1 số, kí hiệu là f(x), số f(x) được gọi là giá trị của hàm số 

f tại x. Tập hợp D gọi là tập xác định, x là biến số hay đối số của hàm số. 

 Sau khi trình bày định nghĩa, SGK  đưa ra các ví dụ về hàm số trong thực tế đó là các hàm số cho bằng bảng. Về cách cho hàm số, SGK Đại số 10 trình bày 3 cách cho  hàm số  :  hàm số cho bằng bảng,  hàm số cho bằng biểu 

đồ, hàm số cho bằng công thức. 

Ví dụ 4 :Khi học về phần hàm số ở lớp 10, giáo viên có thể trình bày 1 

trong số những cách cho hàm số là hàm số cho bằng công thức, ví dụ như cho hàm số s = 50t, trong đó vận tốc trung bình của xe máy là 50 km /h, t là thời gian xe đi được trong quãng đường s. Từ hàm số trên ta thấy được mối quan 

hệ giữa các đại lượng s và t. 

1.2.2 Quan điểm hàm số trong dạy học toán ở trường phổ thông

Do  đặc  tính  biểu  thị  quan  hệ  phụ  thuộc  lẫn  nhau  giữa  các  đại  lượng, một  quan  hệ  phổ  biến  phản  ánh  bản  chất  của  hầu  như  mọi  hiện  tượng  trong khoa  học  cũng  như  trong  cuộc  sống,  hàm  số  không  chỉ  xuất  hiện  trong  toán học  mà  còn  dung  để  giải  quyết  các  vấn  đề  thực  tiễn.  Trong  các  giáo  trình, sách  giáo  khoa  toán,  hàm  số  xuất  hiện  trước  hết  với  tư  cách  là  đối  tượng nghiên  cứu,  sau  đó  là  công  cụ  để  giải  quyết  nhiều  bài  toán  thuộc  những  nội dung  toán  học  khác  như:  BĐT và  BPT…  Cũng  vì  vai trò quan trọng của  nó 

mà hàm số là một chủ đề xuyên suốt các chương trình toán bậc trung học của nhiều thập kỉ qua. Chúng ta biết, trong môn Toán ở THPT,  một hàm số có thể được  biểu  thị  bằng  những  hệ  thống  biểu  đạt  khác  nhau.  Tuy  nhiên  sử  dụng một  biểu  thức  Toán  học  (hàm  số  cho  bởi  công  thức)  và  đồ  thị  là  hai  trong những hệ thống biểu đạt phổ biến nhất. Khi đã biết biểu thức xác định hàm số, 

ta có thể dùng công cụ của giải tích đại số để nghiên cứu các tính chất và phác 

thảo đồ thị của nó. Ngược lại, nhìn vào đồ thị ta có thể đọc được các tính chất của  đồ  thị  như  :  chiều  biến  thiên  trong  từng  khoảng,  tính  chẵn  lẻ,  tính  tuần hoàn, tính bị chặn, giá trị cực đại, cực tiểu… 

1.3 Thực tiễn rèn luyện kỹ năng giải bài toán BĐT và BPT cho HS THPT theo quan điểm hàm số. 

1.3.1 Thực trạng việc dạy học giải BPT và BĐT theo quan điểm hàm số ở trường phổ thông

 Do  số  tiết  học  chủ  đề  BĐT  và  BPT  ở  trên  lớp  còn  ít  nhưng  khối lượng  tri  thức  cần  truyền  đạt  nhiều  đồng  thời  phải  đúng  lịch  phân  phối chương  trình  theo  quy  định  nên  việc  mở  rộng,  khai  thác,  ứng  dụng  sáng  tạo các kiến thức đã học chưa được triệt để sâu sắc. Điều này ảnh hưởng đến việc huy động vốn kiến thức của HS, hạn chế việc rèn luyện tính tích cực, độc lập, sáng tạo, của HS trong học tập, cũng như giáo viên không có nhiều thời gian 

để giúp đỡ HS. 

 Trong thực tế, cách dạy phổ biến hiện nay là giáo viên với tư cách là người ngồi điều khiển đưa ra kiến thức rồi giải thích chứng minh, sau đó đưa 

ra một số bài tập ứng dụng, làm cho HS cố gắng tiếp thu vận dụng.  

 Chất lượng đại trà của HS còn yếu. Nhiều HS bị mất căn bản từ cấp THCS dẫn đến tình trạng các em nhận thấy chủ đề này là một chủ đề rất khó hiểu, trừu tượng  nên không có  hứng thú trong  việc  học  và không có phương pháp  học phù  hợp cho  bản thân. Các em  hầu  như không  làm bài tập  về  nhà, lười  suy  nghĩ,  lười  tính  toán,  chưa  tích  cực  tư  duy  hoạt  động  trí  não  tìm  tòi phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề. 

 Trong giờ học, HS chưa chú ý nghe giảng,  không tích cực phát biểu, xây dựng bài, chủ yếu nghe giảng, tiếp thu kiến thức một cách thụ động nên 

dễ quên, không hiểu được bản chất vấn đề. 

 Tuy nhiên, trong dạy học toán ở trường phổ thông. Việc phát triển tư duy hàm cho HS không có nghĩa là thầy giáo lên lớp và giảng 1 bài giảng về 

tư duy hàm. Nhiệm vụ tư duy hàm không tồn tại độc lập so với các nhiệm vụ truyền  thụ  kiến  thức  khác.  Muốn  phát  triển  khả  năng  tư  duy  hàm  cho  HS thầy giáo phải thông qua nội dung kiến thức đã quy định. Trên cơ sở đó tìm 

ra giải pháp phát triển tư duy hàm cho HS. Có thể nói, phát triển tư duy hàm 

là mục đích kép. 

 Thực  tiễn  giáo  dục  tư  duy  hàm  cho  HS phổ  thông  hiện  nay  còn  gặp khá nhiều những khó khăn như : trình độ HS còn hạn chế và không đồng đều, khối lượng kiến thức nhiều trong khi số tiết học dành cho môn toán lại không nhiều. Hơn thế, những tri thức về hoạt động tư duy hàm không được quy định 

rõ ràng trong chương trình nên không được giảng dạy một cách tường  minh. 

Mà trong toán học, việc xem xét các đối tượng toán học một cách cô lập trong trạng  thái  rời  rạc  sẽ  không  thấy  hết  được  những  mối  liên  hệ  phụ  thuộc  hay mối quan hệ nhân quả làm cho HS còn lúng túng trong việc giải quyết các bài toán. Bên cạnh đó, các tài liệu viết về vấn đề này nói chung còn hạn chế,  khó tiếp cận. Vì vậy còn gây ra không ít những khó khăn cho cả giáo viên và HS. 

1.3.2 Những khó khăn sai lầm thường gặp của HS trong khi giải BPT và BĐT theo quan điểm hàm số

1.3.2.1 Khó khăn

 Trong  chương  trình  toán  trung  học  phổ  thông,  các  bài  toán  về  phần BĐT  và BPT là một chủ đề khó, nó gây ra nhiều trở ngại đối với các em HS trong việc chiếm lĩnh tri thức. Điều này cũng dẫn đến việc giải các bài tập của 

HS rất khó khăn, các em còn tỏ ra lúng túng, chưa được rèn luyện về kỹ năng giải toán, chưa kích thích được sự ham mê tìm tòi khám phá của HS.  

 Từ đó HS tiếp thu kiến thức  một cách hình thức và hời hợt quá trình bồi dưỡng kiến thức toán học theo hướng nâng cao của chủ đề BĐT và BPT 

dễ hụt hỏng về kiến thức, việc khai thác một bài toán còn gặp nhiều khó khăn, việc dạy học của giáo viên chủ yếu dựa vào kinh nghiệm của bản thân. 

 Một số khó khăn chủ yếu là : 

 HS không biết cách phân chia các trường hợp để giải quyết bài toán. 

 HS không biết phải xuất phát từ cơ sở nào để phân chia các trường hợp riêng thích hợp cho việc giải quyết bài toán. 

 HS  không  biết  nhìn  nhận  các  bài  toán  bất  phương  trình,  bất  đẳng thức trong mối liên hệ với các bài toán hàm số. 

1.3.2.2 Một số sai lầm của học sinh trong giải toán BĐT và BPT theo quan điểm hàm

Nội dung BĐT và BPT là một nội dung quan trọng trong chương trình THPT. Tuy  nhiên, cả GV và  HS đều chưa thật sự chú trọng đến  vấn đề  này. 

Vì vậy, đa số HS chỉ làm các bài tập một cách  máy móc mà chưa hiểu được bản chất của vấn đề dẫn đến mắc phải một số sai lầm đáng tiếc trong khi giải các bài toán bất phương trình cũng như chứng minh BĐT. 

Tóm lại những sai lầm của học sinh cần được thầy cô chỉ ra hoặc hướng dẫn nhận ra từ đó sửa chữa sai lầm của mình. Thầy cô cần có biện pháp khi giảng dạy như nhấn mạnh kiến thức, ra nhiều bài tập ở nhiều dạng khác nhau. Cần có sự kết hợp nhiều phương pháp và nhiều ví dụ minh họa cho công thức một cách hợp lý. Sử dụng các công cụ dạy học có hiệu quả. 

1.4 Kết luận chương 1 

Trong chương 1, đề tài đã trình bày một số cách hiểu biết về khái niệm 

kỹ  năng, kỹ  năng toán  học,  hàm số  và quan điểm  về  hàm số. Việc rèn  luyện 

kỹ  năng  giải    bài  toán  bất  đẳng  thức  và  bất  phương  trình  cho  HS  là  rất  cần thiết  bởi  qua  đó  giúp  HS  học  tập  tích  cực,  kích  thích  tính  sáng  tạo  của  HS trong học tập và trong cuộc sống. 

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH

THÔNG THEO QUAN ĐIỂM HÀM SỐ

2.1 Tổng quan về bất đẳng thức và bất phương trình trong chương trình Toán THPT

2.1.1 Định nghĩa bất đẳng thức và bất phương trình

2.1.1.1 Bất đẳng thức

 Một  bất  đẳng  thức  là  một  phát  biểu  về  quan  hệ  thứ  tự  giữa  hai  đối tượng 

Ký hiệu ab  có nghĩa là a nhỏ hơn b và 

Ký hiệuab   có nghĩa là a lớn hơn b. 

Những quan hệ nói trên được gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt; ngoài 

ra  ta  còn  cóab có  nghĩa  là a   nhỏ hơn hoặc bằng b và  abcó  nghĩa 

là a lớn hơn hoặc bằng b. 

Người ta còn dùng  một ký hiệu khác để chỉ ra rằng  một đại  lượng  lớn hơn rất nhiều so với một đại lượng khác. 

Ký hiệu a >> b có nghĩa là a lớn hơn b rất nhiều. 

 Các ký hiệu a, b ở hai vế của một BĐT có thể là các biểu thức của các biến.  Sau  đây  ta  chỉ  xét  các  BĐT  với  các  biến  nhận  giá  trị  trên  tập  số  thực hoặc các tập con của nó. 

Nếu  một  BĐT  đúng  với  mọi  giá  trị  của  tất  cả  các  biến  có  mặt  trong 

BĐT , thì bất đẳng thức  này được gọi là  BĐT tuyệt đối hay không điều kiện. 

Nếu  một  bất  đẳng  thức  chỉ  đúng  với  một  số  giá  trị  nào  đó  của  các  biến,  với các giá trị khác thì nó bị đổi chiều hay không còn đúng nữa thì nó được gọi là một  BĐT  có  điều  kiện.  Một  BĐT  đúng  vẫn  còn  đúng  nếu  cả  hai  vế  của  nó được  thêm  vào  hoặc  bớt  đi  cùng  một  giá  trị,  hay  nếu  cả  hai  vế  của  nó  được nhân hay chia với cùng một số dương. Một BĐT sẽ bị đảo chiều nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia bởi một số âm. 

 Bất phương trình nhiều ẩn: Định nghĩa bất phương trình nhiều ẩn có thể  được  suy  ra  từ  mở  rộng  của  bất  phương  trình  một  ẩn  với  n  biến  trên   hoặc trên tập bất kì của biến x nhưng các hàm f(x) và g(x) phải nhận các giá trị trên tập sắp thứ tự toàn phần. 

 Việc  giải  BPT  hay  một  hệ  BPT  là  quá  trình  biến  đổi  các  BPT  đó thành những BPT ở dạng tương đương mà đơn giản hơn những BPT ban đầu. Tuy nhiên, quá trình này thường phức tạp hơn đối với các bất phương trình vô 

tỉ hay bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, BPT logarit, lượng giác, … 

 Để  trách  nhầm  lẫn,  khi  giải  các  bất  phương  trình  HS  cần  xác  định một  cách  chính  xác  và  đầy  đủ  các  điều  kiện  xác  định  để  bất  phương  trình 

nhận được  luôn  tương  đương  với  bất phương trình  đã cho. Khi  gộp các điều kiện đó với bất phương trình mới ta nhận được một hệ bất phương trình  mới tương  đương  với  bất  phương  trình  đã  cho.  Từ  đó  chúng  ta  có  thể  đưa  ra  kết luận đầy đủ nhất về tập nghiệm của bất phương trình. 

2.1.2 Các phương pháp thông thường để giải bất phương trình và chứng minh bất đẳng thức

 Việc  xem  xét,  nghiên  cứu  các  bài  toán  trong  toán  học  sơ  cấp  bằng cách  ghép  thành  từng  lớp  bài  toán  có  thể  giải  được  bằng  cùng  một  phương pháp là  một việc làm cần thiết và có ý nghĩa. Trên cơ sở lý thuyết và bài tập trong  sách  giáo  khoa  cũng  như  một  số  sách  tham  khảo  khác.  Có  thể  liệt  kê một số phương pháp giải bất phương trình như sau: 

Ví dụ 9:.  Cho  , ,x y z   là  ba  số  dương  và  x y z    1.  Chứng  minh 

  và  2 12

z z

Như  vậy  biết  nhìn  bài  toán  dưới  nhiều  góc  độ,  khía  cạnh  khác  nhau không những củng cố được kiến thức mà còn rèn luyện, bồi dưỡng thêm khả năng huy động kiến thức ở HS. 

Nhận xét:  Qua  lời  giải  trên  cho  thấy  nếu  biết  nhìn  nhận  vấn  đề  theo 

nhiều hướng, người giải toán biết liên tưởng, huy động kiến thức phù hợp sẽ mang lại một cách giải quyết vấn đề tốt đẹp nhất. 

Như  vậy  biết  nhìn  bài  toán  dưới  nhiều  góc  độ,  khía  cạnh  khác  nhau không những củng cố được kiến thức mà còn rèn luyện, bồi dưỡng thêm khả năng huy động kiến thức ở HS. 

 Khi đứng trước một bài toán giải bất phương trình hay chứng minh bất 

đẳng  thức  bất  kỳ  nào  đó  thì  việc  định  hướng  phương  pháp  giải  bài  toán  đó đóng vai trò quyết định để thực hiện lời giải bài toán đó. Tuy nhiên, việc định hướng phương pháp giải các dạng toán này rất đa dạng, có những bài toán có thể  giải bằng  nhiều phương pháp  khác  nhau. Vấn đề chỉ  là  lựa chọn phương pháp nào là tối ưu nhất để trình bày lời giải cho bài toán một cách ngắn gọn 

 Đối  với  việc  chứng  minh  các  bất  đẳng  thức,  sai  lầm  thường  bắt nguồn  từ  việc  vận  dụng  các  bất  đẳng  thức  cổ  điển  mà  không  chú  ý  đến  các điều  kiện  để  bất  đẳng  thức  đúng.  Hoặc  sử  dụng  sai  sót  các  quy  tắc  suy  luận khi từ bất đẳng thức này suy ra bất đẳng thức kia. 

 Có nhiều kiểu phân chia kỹ năng phù hợp với từng mảng kiến thức, từng  nội  dung  môn  học.  Tuy  nhiên,  tựu  trung  lại  HS  cần  được  rèn  luyện những  kỹ  năng cơ bản  như kỹ  năng  nhận  biết, kỹ  năng  nhắc  lại, kỹ  năng dự đoán, kỹ năng phân loại và kỹ năng thực hành vận dụng, …Đây là những kỹ năng  vô  cùng  quan  trọng,  nó  không  chỉ  cần  thiết  cho  việc  học  tập  tốt  môn toán mà còn cần thiết trong suốt chương trình phổ thông, ở tất cả các nội dung 

và tất cả các môn học. 

 Sự  phân  chia  các  kỹ  năng  như  trên  chỉ  mang  tính  chất  tương  đối. Thực tế, trong dạy học, ta không chỉ dạy cho HS từng kỹ năng đơn lẻ ở trên 

mà cần phải rèn luyện kỹ năng phức hợp. Tức là, ở từng nội dung, từng mảng kiến thức cụ thể ta không chỉ rèn luyện từng mảng kỹ năng cơ bản đơn lẻ vì một kỹ năng có thể là hỗn hợp của nhiều kỹ năng cơ bản. Chẳng hạn như, kỹ năng vẽ đồ thị bao gồm cả kỹ năng nhận thức, kỹ năng phân loại và kỹ năng thực hành. Vì để vẽ được một đồ thị hàm số hoàn chỉnh HS cần phải nhận biết được đó là loại hàm số nào ( kỹ năng phân loại ), Vẽ đồ thị hàm số đó như thế nào (kỹ năng nhận biết ), Và các bước để vẽ nên đồ thị ( Kỹ năng thực hành ). Ngoài ra, cũng rèn được cho HS tính cẩn thận, kiên trì để vẽ nên đồ thị hàm 

số đẹp và chính xác. 

 Đối với đề tài bất phương trình và bất đẳng thức, cần chú trọng rèn luyện  cho  HS  các  kỹ  năng  thuộc  nhóm  kỹ  năng  nhận  thức  và  kỹ  năng  vận dụng. Có thể kể ra một số kỹ năng như :