Phát triển năng lực giải toán đại số tổ hợp cho học sinh trung học phổ thông

Phát triển năng lực giải toán đại số tổ hợp cho học sinh trung học phổ thông

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ

THÔNG

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

Thái Nguyên, năm 2015

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ

Thái Nguyên, năm 2015

LỜI CẢM ƠN

Chúng tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS Đỗ Thị Trinh

đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn khoa học để chúng tôi hoàn thành đề tài

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổphương pháp giảng dạy bộ môn Toán, trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên,

đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ chúng tôi trong quá trình học tập và hoànthiện đề tài

Chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban chủ nhiệm khoa cùng cácthầy cô giáo khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Ban giámhiệu cùng các thầy cô giáo trường THPT Đồng Hỷ, THPT Hiệp Hòa 3 – BắcGiang đã tạo điều kiện giúp đỡ trong quá trình học tập và nghiên cứu

Chúng tôi xin gửi tới tất cả người thân và bạn bè lòng biết ơn sâu sắc.Xin chân thành sự quan tâm, giúp đỡ quý báu đó!

Đề tài không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong và nhậnđược và biết ơn các ý kiến đóng góp của thầy, cô giáo và bạn bè

Thái Nguyên, tháng 03 năn 2015

Sinh viên

MỤC LỤC

Trang

Trang bìa phụ i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Bảng các kí hiệu viết tắt v

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trải qua hơn 20 năm đổi mới, nền giáo dục nước ta đã có những thayđổi đáng kể Tuy nhiên, để tiếp tục đẩy mạnh toàn diện công cuộc đổi mới,nước ta phải thực hiện công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước gắn với việcphát triển nền tri thức, tích cực chủ động tham gia học hỏi, hội nhập với nềntri thức thế giới để đến năm 2020 nước ta trở thành nước công nghiệp theohướng hiện đại

Những vấn đề trên đã đặt ra cho giáo dục và đào tạo nước nhà nhữngyêu cầu, nhiệm vụ, thách thức mới Đào tạo nguồn nhân lực có trình độ đápứng yêu cầu phát triển kinh tế tri thức đang là một dấu hỏi lớn cho ngành giáodục nói riêng và toàn Đảng toàn dân nói chung Điều này đòi hỏi phải có địnhhướng phát triển, có tầm nhìn chiến lược ổn định lâu dài cùng những phươngpháp, hình thức tổ chức và quản lí giáo dục, đào tạo cho phù hợp

Trong Luật giáo dục Việt Nam, năm 2005, ở điều 24 khoản 2 đã viết:

“Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo cho học sinh, phù hợp với từng lớp học, môn học, cần phải bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; cần phải đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.

Trong các môn học ở nhà trường phổ thông, môn Toán có một vị trí rấtquan trọng Bởi vì Toán học là môn học cơ bản và là công cụ để học nhiềumôn học khác Môn Toán có vai trò to lớn giúp HS phát triển năng lực, phẩmchất, trí tuệ và rèn luyện cho HS óc sáng tạo, năng lực lập luận, chứng minh,

tư duy logic; giúp HS hình thành và phát triển những phương pháp, phươngthức tư duy và hoạt động

Bài tập toán, đặc biệt là những bài khó và hay thì trong quá trình tìmtòi cách giải có tác dụng giúp HS phát triển tư duy, rèn luyện khả năng suyluận, diễn đạt rõ ràng, chính xác, lập luận chặt chẽ và logic

Thông qua việc giải bài tập HS phải thực hiện những hoạt động nhấtđịnh đó là: hoạt động toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến, hoạtđộng trí tuệ chung, hoạt động ngôn ngữ Việc rèn luyện kỹ năng thực hiện cáchoạt động trong mỗi lĩnh vực có tác dụng củng cố và mở rộng kiến thức, giúp

HS tìm thấy những tác dụng to lớn của kiến thức học được trong việc giảiquyết các tình huống trong thực tiễn và khoa học

Lí thuyết Đại số tổ hợp là ngành khoa học đang giữ vị trí quan trọngtrong các lĩnh vực, được ứng dụng một cách rộng rãi và phong phú trong đờisống hàng ngày Tuy nhiên trong chương trình Toán phổ thông, Đại số tổ hợpluôn được đánh giá là một môn khó, HS thường không hiểu một cách chínhxác về các mối quan hệ giữa các đối tượng được xét mà đôi khi bằng ngônngữ GV khó có thể diễn đạt một cách đầy đủ để HS hiểu cặn kẽ vấn đề

Nhiều công trình nghiên cứu về tâm lí học, phương pháp dạy học… đãkhẳng định sự cần thiết phải rèn luyện một số kĩ năng trong dạy học mônToán nói chung và dạy học Đại số tổ hợp nói riêng cho HS Kiến thức và kĩnăng về chủ đề này có tầm quan trọng to lớn đối với các lĩnh vực khác

Chính vì những lí do trên nên chúng tôi chọn đề tài: “Phát triển năng lực giải toán Đại số tổ hợp cho học sinh trung học phổ thông”.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số vấn đề phát triển năng lực giải toán cho HS THPT,

từ đó đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực giải toáncho HS thông qua dạy học nội dung Đại số tổ hợp ở trường THPT

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu và làm rõ một số vấn đề về việc phát triển năng lực giảitoán cho HS

- Tìm hiểu thực trạng việc dạy và học chủ đề Đại số tổ hợp ở một sốtrường THPT, từ đó xem xét và đánh giá vấn đề phát triển năng lực giảitoán cho HS thông qua chủ đề Đại số tổ hợp

- Đề xuất một số biện pháp nhằm phát triển năng lực giải toán Đại số

tổ hợp cho HS

4 Giả thuyết khoa học

Nếu đề xuất được một số biện pháp sư phạm phù hợp với quá trình dạyhọc chủ đề Đại số tổ hợp cho HS thì sẽ góp phần phát triển năng lực giải toán,phát triển tư duy và nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề này ở trường THPT

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số tài liệu có liênquan đến phương pháp dạy học môn Toán, chủ đề Đại số tổ hợp, phát triểnnăng lực giải toán cho HS và các tài liệu khác liên quan đến đề tài, …

- Phương pháp điều tra quan sát: Dự giờ, phỏng vấn, phát phiếu điều tra,thu thập ý kiến GV, HS ở các trường THPT trong dạy học chủ đề Đại số tổhợp

6 Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần “ Mở đầu ” và “ Kết thúc”, nội dung của đề tài được trìnhbày trong 2 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp nhằm phát triển năng lực giải toán Đại số

tổ hợp cho HS THPT

Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Lý luận về dạy học giải bài Toán

1.1.1 Mục đích, vị trí, vai trò của bài tập Toán

G Polya cho rằng [11]:“ Trong Toán học, nắm vững bộ môn Toán quan trọng hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách tra cứu thích hợp Vì vậy, cả trong trường trung học cũng như các trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến mức độ nào đó nắm vững môn học Vậy thế nào là nắm vững môn học? Đó là biết giải toán!” Trên cơ sở đó, ta có thể thấy rõ hơn mục đích, vị trí, chức năng,

vai trò, ý nghĩa của bài tập toán ở trường THPT

1.1.1.1 Mục đích

Để đào tạo những con người đáp ứng được đòi hỏi của xã hội ngày nay,

đó là những con người năng động, sáng tạo, có tinh thần trách nhiệm, có trítuệ, có khả năng lao động kĩ thuật cao… trong các trường THPT đã đặt ranhiều mục đích, mục tiêu cụ thể cho việc đào tạo

Toán học có vai trò to lớn trong đời sống, trong khoa học và trong côngnghệ hiện đại Kiến thức Toán học là công cụ để HS học tập tốt các môn họckhác, giúp HS hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực Vì vậy, trong dạyToán nói chung, giải bài tập toán nói riêng cần xác định những mục đích cụthể, sát thực Có thể thấy một số mục đích của bài tập ở trường phổ thônghiện nay là:

- Phát triển ở HS những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp HS biếtnhững tri thức khoa học của nhân loại và tiếp thu thành kiến thức của bảnthân, thành công cụ nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạtđộng cũng như trong học tập hiện nay và sau này

- Làm cho HS từng bước nắm được một cách chính xác, vững chắc, có

hệ thống những kiến thức và kỹ năng toán học phổ thông cơ bản, phù hợp vớithực tiễn và có năng lực vận dụng tri thức đó vào những tình huống cụ thể,vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập và các bộ môn khoa họckhác

- Thông qua việc giải bài tập, HS khắc sâu các kiến thức đã học, biếtxâu chuỗi các kiến thức với nhau Ngoài ra, việc giải bài tập còn kích thích sựtìm tòi, sáng tạo các kiến thức mới đối với HS Qua đó rèn luyện tư duy logic,sáng tạo, tính kiên trì, chịu khó, cần cù ở HS

- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành phẩm chấtcủa người lao động mới

1.1.1.2 Vị trí và vai trò của giải bài tập Toán

Trong dạy học Toán ở trường THPT, bài tập toán có vai trò vô cùngquan trọng, theo GS.TSKH Nguyễn Bá Kim [5]: “ Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với HS có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học Các bài tập toán ở trường THPT là một phương tiện rất hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp HS hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng Toán học vào thực tiễn Hoạt động giải Toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ Toán học ở trường phổ thông Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học Toán”.

Cũng theo GS.TS KH Nguyễn Bá Kim[5; tr.386] : “ Bài tập toán có vai trò quan trọng trong môn Toán Điều quan trọng là bài tập có vai trò là giá mang hoạt động của HS Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng, thể hiện định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ”.

Như vậy, bài tập Toán có vị trí, vai trò quan trọng trong dạy học và học

ở trường phổ thông Vì vậy cần lựa chọn các bài tập toán sao cho phù hợp vớiđối tượng và năng lực của HS, như thế mới phát huy được năng lực giải toáncủa HS

1.1.1.3 Ý nghĩa

Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động Toán Đối với HS cóthể xem việc giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Việc giảitoán có nhiều ý nghĩa Cụ thể:

- Đó là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức

và rèn luyện kỹ năng Trong nhiều trường hợp, giải toán là một hình thức rấttốt để dẫn dắt HS tự mình đi tìm hiểu kiến thức mới

- Đó là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào những vấn

đề cụ thể, vào thực tiễn, vào vấn đề mới

- Việc giải toán có tác dụng lớn gây hứng thú học tập cho HS, pháttriển trí tuệ và giáo dục, rèn luyện cho HS về nhiều mặt

1.1.2 Chức năng của bài tập toán

Ở một số nước trên thế giới, trong đó có Việt Nam, cấu trúc truyềnthống của SGK thường có hai phần riêng biệt: Phần lý thuyết và tiếp sau đó làphần bài tập Ngay trong phần lý thuyết (định nghĩa, định lý, công thức, … )chủ yếu vẫn được trình bày trước, sau đó là các ví dụ minh họa hay bài tập ápdụng Dạy học các kiến thức lý thuyết luôn đóng vai trò trung tâm

Cấu trúc này tương thích với mô hình dạy học truyền thống, theo đó

GV thường truyền thụ kiến thức trực tiếp cho HS, cho một vài ví dụ minh họa

và yêu cầu HS làm bài tập ứng dụng theo đúng mẫu mà GV đã trình bày Nóicách khác đây là “ kiểu cầm tay chỉ việc”

Đó có thể là những nguyên nhân chủ yếu dẫn tới quan niệm khiếmkhuyết, đồng nhất bài toán với bài tập và từ đó bó hẹp chức năng của các bàitoán, chỉ là: củng cố và vận dụng các kiến thức đã học, rèn luyện kĩ năng, kĩxảo hay kiểm tra kiến thức của HS

Tuy nhiên những nghiên cứu khoa học về lịch sử Toán học đã chỉ rõràng rằng: hầu hết các khái niệm và lý thuyết Toán học thường nảy sinh từnhu cầu giải quyết các bài toán trong thực tế cuộc sống, trong nội bộ Toánhọc hay trong các ngành khoa học khác Nói cách khác, tri thức Toán họckhông phải có sẵn mà được xây dựng bắt đầu từ việc giải quyết các bài toán.Như vậy, quan hệ thứ tự kiến thức lý thuyết và bài toán không còn là :

Kiến thức lý thuyết → Bài tập áp dụng

Mà chủ yếu là:

Bài toán→ Kiến thức áp dụng→ Bài toán mới

Những nghiên cứu tâm lý học đã cho thấy: Việc học tập chỉ thực sự nảysinh trong sự tác động qua lại của chủ thể (người học ) với môi trường, trong

đó người học thấy được nhu cầu giải quyết các bài toán

Từ đó quan điểm hiện đại về dạy học Toán học đang được áp dụng trênnhiều nước hiện nay là: Tập trung dạy học Toán trên hoạt động của HS (phù hợpvới quan điểm dạy Toán là dạy học hoạt động Toán học) Chính HS tự mình xâydựng các kiến thức Toán học thông qua hoạt động giải các bài toán Nói cáchkhác, giải các bài Toán đóng vai trò trung tâm trong hoạt động dạy học

1.1.3 Phương pháp chung giải bài tập toán theo tư tưởng G.Polya

1.1.3.1 Phương pháp giải toán

Phương pháp: Là con đường, cách thức thực hiện một nhiệm vụ nào đó,nhằm đạt tới kết quả, đạt được mục đích đặt ra

Phương pháp giải toán (hay phương pháp tìm tòi lời giải bài toán) làcách thức và cách ứng xử của người làm Toán khi đứng trước một bài toán đểgây nên những hoạt động tư duy của bản thân nhằm tìm ra lời giải bài toánđó

Những hoạt động tư duy bao gồm: khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương

tự, quy nạp, phân tích, tổng hợp, so sánh,… đặc biệt là suy luận có lý

1.1.3.2 Phương pháp giải bài tập Toán theo tư tưởng G.Polya

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết củaG.Polya về cách thức giải một bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễndạy học, GS.TSKH Nguyễn Bá Kim [5] đã nêu lên phương pháp chung đểgiải một bài toán như sau:

 Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

- Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dungbài Toán

- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh

- Có thể dùng công thức, kí hiệu hình vẽ để minh họa hỗ trợ cho việcdiễn tả đề bài Kỹ năng tìm định hướng lời giải thể hiện rõ nét nhất trongbước này

Theo G.Polya, người giải toán phải tìm hiểu kỹ nội dung đề bài để tìmhiểu: Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thể thỏa mãn các điềukiện cho trước hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn? Phảihiểu rõ nội dung bài toán người học mới có khả năng vận dụng các tri thứcToán học vào việc định hướng lời giải của bài toán Cụ thể là khả năng nắmbắt và vận dụng những tri thức lí thuyết như các khái niệm, định nghĩa, tínhchất, mệnh đề, định lý và hệ quả đã tích lũy được vào việc định hướng lời giảibài toán

Như vậy khi phân tích bài toán và các dữ kiện trong bài toán, người học

có thể xác định được các kiến thức sinh ra bài toán Từ đó xác định các kiếnthức liên quan để có thể vận dụng giải bài toán cũng như xác định được cácthao tác kỹ năng cần sử dụng khi định hướng giải bài toán để có được hướng

đi tốt nhất cho lời giải

 Bước 2: Tìm cách giải

- Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh Liên hệ cái đãcho hay cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với

một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán nào đó có liênquan Sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng bài toán như chứngminh, phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích.

- Kiểm tra lời giải bằng cách xem xét kỹ từng bước thực hiện hoặc đặcbiệt hóa kết quả tìm được Đối chiếu kết quả với một số tri thức liên quan

- Tìm tòi những cách giải khác So sánh chúng để chọn được cách giảihợp lí nhất

Trong bước tìm cách giải, việc định hướng tìm lời giải thể hiện ở khảnăng nắm bắt và vận dụng các thao tác kỹ thuật và các phương pháp giải toán

đã được tích lũy để tìm ra cách giải bài toán Tìm cách giải là bước có tácdụng trực tiếp đến kết quả việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS

Việc định hướng tìm lời giải bài toán được thấy rõ khi HS đã địnhhướng được các kiến thức liên quan đến bài toán Tiếp theo đó, HS sẽ địnhhướng xây dựng các chi tiết của các bước giải bài toán

Việc xác định hướng đi cụ thể của bài toán giúp cho lời giải được thểhiện rõ ràng hơn Đây là một kỹ năng không thể thiếu vì nếu không địnhhướng xây dựng các chi tiết của các bước giải thì HS sẽ không thể đi đến lờigiải bài toán dù rằng HS đã định hướng được chính xác Nhờ việc xem xéthướng đi trước mà có thể giải toán bằng nhiều cách khác nhau, các cách giảiđặc trưng, các khả năng về kết quả Mặt khác, đối với những bài toán mà việctìm đường lối giải không khó, đôi khi đã khá rõ ràng, thì cái khó lại chủ yếuthuộc về kỹ năng thuật giải Do vậy việc nắm bắt và vận dụng những thao tác

kỹ thuật và các phương pháp giải toán đã được tích lũy vào việc định hướnglời giải, đòi hỏi người giải toán không ít sự sáng tạo trong quá trình hoạt độngcủa mình Sự sáng tạo nói trên còn thể hiện ở việc HS biết chọn thao tác kỹthuật nhanh nhất, hiệu quả nhất để xây dựng chi tiết việc tiến hành giải và thểhiện lời giải tối ưu

Một bài toán thông thường không chỉ có duy nhất một cách giải Vì thế,sau khi đã tìm được lời giải ta có thể định hướng để tìm tòi các cách giải khác.

Từ đó, so sánh các cách giải để tìm được cách giải tối ưu Điều này sẽ giúp

HS nâng cao khả năng hiểu và vận dụng các kiến thức, kỹ năng khác nhautrong giải một bài toán, giúp HS mở rộng tầm nhìn về toàn bộ hệ thống kiếnthức của bài toán, củng cố khả năng nắm vững các quan hệ ẩn tàng bên trongcác kiến thức kỹ năng khác nhau kiên quan đến bài toán

 Bước 3: Trình bày lời giải

- Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành mộtchương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước

đó Khả năng trình bày và hoàn thiện lời giải bài toán thể hiện ở khả năng sửdụng ngôn ngữ, kí hiệu và các lập luận toán học nhằm đưa ra một lời giảichính xác của bài toán Thông thường quá trình suy nghĩ tìm tòi lời giải củabài toán là quá trình “phân tích đi lên”, trong khi đó việc trình bày lời giải củabài toán lại là quá trình “phân tích đi xuống”

Thực tế cho thấy có nhiều HS mặc dù đã hiểu và nghĩ ra lời giải của bàitập nhưng không thể trình bày và hoàn thiện chính xác lời giải đó Điều đóảnh hưởng lớn tới kỹ năng giải toán của HS

Như vậy việc rèn luyện kỹ năng trình bày lời giải, nghiên cứu cáchtrình bày lời giải những bài toán tương tự không những giúp HS định hướngđược cách trình bày lời giải mà còn giúp HS biết biết chọn ra cách giải nhanhnhất, lời giải hay nhất và cách giải sáng tạo nhất

Mặt khác khi xem xét tổng thể tất cả các lời giải khác nhau của bàitoán, HS có cách nhìn sâu sắc hơn về bài toán Đồng thời HS tự nâng cao khảnăng giải toán của bản thân, bổ sung những kinh nghiệm hữu ích trong học vàgiải bài tập Khả năng trình bày lời giải thể hiện việc đảm bảo yêu cầu chungcủa một lời giải, đó là: ngôn ngữ kí hiệu rõ ràng, chính xác, quy tắc suy luậnđúng, các bước suy luận hợp logic, cách trình bày ngắn gọn, đầy đủ không

thừa mà cũng không thiếu Kết quả đúng kể cả các bước trung gian, lập luậnchặt chẽ, luận đề phải nhất quán, luận cứ phải đúng, luận chứng phải hợplogic, lời giải đầy đủ, ngôn ngữ chính xác, trình bày rõ ràng đảm bảo mỹthuật, trình bày nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất, nghiêncứu tình bày lời giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.

 Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự

Các kiến thức kỹ năng liên quan tới các bài tập đã cho luôn có quan hệvới nhau và chúng tạo nên cơ sở tìm ra bài tập mới Việc tìm bài toán liênquan cần vận dụng thường xuyên khi giải bài tập Vì khi giải một bài toán nào

đó thì một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: bài toán này có quan hệ gián tiếpvới kiến thức nào hay loại bài nào đó hay không? Trên cơ sở đó hoặc là quybài toán đã cho về bài toán quen thuộc đã biết cách giải, hoặc có thể sử dụngnhững kiến thức liên quan để giải bài toán đã cho Từ đó cũng góp phần rènluyện kỹ năng định hướng tìm lời giải bài toán cho các bài toán tiếp theo.Việc rèn luyện khả năng sáng tạo các bài toán mới là một yêu cầu cần thiết(tuy không dễ) nhưng rất bổ ích

1.2 Lý luận về năng lực giải toán cho học sinh

1.2.1 Năng lực, năng lực giải toán

1.2.1.1 Năng lực

Đã có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực và do vậy, cũng có nhiềukhái niệm khác nhau Có thể xem xét khái niệm năng lực từ nhiều phươngdiện khác nhau

Theo từ điển Tiếng Việt [10]: Năng lực là điều kiện chủ quan hoặc tựnhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó; là phẩm chất tâm lý và sinh

lý tạo cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chấtlượng cao Nói cách khác: “Năng lực là những đặc điểm tâm lý cá nhân của

con người đáp ứng được yêu cầu của một loạt hoạt động nhất định và là điềukiện cần thiết để hoàn thành có kết quả tốt đẹp loại hoạt động đó”[7-tr.87].

Tác giả Phạm Minh Hạc [4] cho rằng: “Năng lực là một tổ hợp tâm lý của một người, tổ hợp này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy”

A.G.Côvaliôp cho rằng: “Năng lực là một tập hợp hoặc tổng hợp những thuộc tính của cá nhân con người, đáp ứng những yêu cầu lao động và đảm bảo cho hoạt động đạt được những kết quả cao” [theo 2].

Theo Xavier Roegiers [18]: “Năng lực là sự tích hợp các kỹ năng tác động một cách tự nhiên lên các nội dung trong một loạt tình huống cho trước

để giải quyết những vấn đề do tình huống này đặt ra”.

Năng lực là một tổ hợp thuộc tính tâm lý phức tạp, là điểm hội tụ củanhiều yếu tố: tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kinh nghiệm, sự sẵn sàng hành động vàtrách nhiệm đạo đức*

Như vậy, năng lực là một vấn đề trừu tượng của Tâm lý học, là hệthống những thuộc tính cá nhân của mỗi người, là khả năng hoàn thành tốtmột hoạt động nào đó của một cá nhân, là một tổ hợp thuộc tính tâm lí phứchợp gồm kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm và nghệ thuật cũng như thái độ củachủ thể đối với đối tượng trong quá trình hoạt động

Năng lực được hiểu theo hai hướng:

Thứ nhất: là năng lực hoạt động sáng tạo trong hoạt động nghiên cứutoán học với tư cách là khoa học Người có năng lực sáng tạo toán học sẽcống hiến cho nhân loại những công trình toán học đầy ý nghĩa đối với hoạtđộng thực tiễn của con người và đối với sự phát triển của khoa học toán học

Thứ hai: là năng lực trong học tập, trong việc nắm vững các kháiniệm, định lí, quy tắc, hệ quả toán học với tư cách là môn học Ở đây nguời

** Theo sách Lý luận dạy học hiện đại của tác giả Prof Bernd Meier thuộc CHLB Đức

học có năng lực học toán sẽ nhanh nhạy trong việc tiếp thu các kiến thức toánhọc và thực hiện thành thạo các kĩ năng, kĩ xảo tương ứng Có thể khẳng định

có năng lực toán học là điều kiện cần của năng lực sáng tạo toán học Bởi vìnăng lực sáng tạo toán học có thể xuất phát từ việc tạo lập ra một định nghĩamới hay một định lí mới, nó hoàn toàn khác so với năng lực hiểu được nhữngđịnh lí toán học đã được chứng minh và thừa nhận trước đó

Tâm lí chia năng lực thành các dạng khác nhau như năng lực chung vànăng lực chuyên môn.năng lực được chia thành 3 mức độ: năng lực, tài năng

“angôritmic”

- Trí tưởng tượng hình học hay là “trực giác hình học”

Tóm lại năng lực Toán học gắn liền với hoạt động trí tuệ của HS, giúp

HS nắm vững và vận dụng tốt tri thức, kĩ năng và kĩ xảo của mình trong họctập môn Toán

1.2.1.2 Năng lực giải toán

Năng lực giải toán là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giảiquyết một vấn đề có tính định hướng cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duytích cực và sáng tạo, nhằm đạt kết quả sau một số bước thực hiện

Như vậy, một người được coi là có năng lực giải toán nếu người đónắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của hoạt động giải toán và đạt được kếtquả cao hơn, tốt hơn so với trình độ trung bình của người khác cũng tiến hànhhoạt động giải toán trong những điều kiện và hoạt động tương đương

Trên cơ sở tán đồng thuyết đa trí tuệ do Gardner đề xướng và líthuyết tương tác văn hóa xã hội của Vư-gốt-x-ki và các nghiên cứu của

Korutecski có thể coi những năng lực sau đây là những năng lực toán học phổthông cần hướng tới:

+ Năng lực thu nhận thông tin toán học: năng lực tri giác hình thức hóa tàìliệu toán học, năng lực nắm cấu trúc hình thành cấu trúc bài toán

+ Chế biến thông tin toán học:

- Năng lực tư duy logic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và khônggian, hệ thống kí hiệu số và dấu, năng lực tư duy bằng các kí hiệu toán học

- Năng lực khái quát hóa nhanh và rộng các đối tượng, quan hệ toánhọc và các phép toán

- Năng lực rút gọn qua suy luận toán học và hệ thống các phép toántương ứng năng lực tư duy bằng các cấu trúc

+ Lưu trữ thông tin toán học:

Trí nhớ toán học(trí nhớ khái quát về: quan hệ toán học, đặc điểm vềloại, sơ đồ suy luận và chứng minh, phương pháp giải toán, nguyên tắc,đường lối giải toán)

+ Năng lực vận dụng toán học vào giải quyết vấn đề:

- Năng lực vận dụng tri thức Toán (chủ yếu là tri thức chuẩn) như công

cụ trong học tập

- Năng lực giải một số bài toán có tính thực tiễn điển hình

- Năng lực vận dụng tri thức Toán, phương pháp tư duy toán vào thực tiễn

- Khả năng toán học hóa các tình huống rút gọn chính là khả năng giảiquyết các bài toán hay nói một cách chính xác là khả năng giải quyêt tìnhhuống trong toán bao gồm các dạng bài đã có mô-tip giải, các dạng chưa cóhoặc phải biến đổi, vận dụng các kiến thức khác Đây là yếu tố bộc lộ sự nhanhnhẹn, sáng tạo, linh hoạt, mềm dẻo, biết khai thác đối với bài toán của HS

1.2.2 Phát triển năng lực giải toán cho học sinh

Trên đây đã nói đến khái niệm năng lực, năng lực giải toán Vậy đểphát triển năng lực giải toán cho HS chúng ta cần phải làm gì ?

Để phát triển năng lực giải toán cho HS chúng ta cần làm những việc sau:

Thứ nhất, cần trang bị tri thức kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học:

Ta biết môn Toán cần cung cấp cho HS những kiến thức, kĩ năng,phương pháp Toán học phổ thông cơ bản, thiết thực (chương trình Giáo dụchọc năm 2002,tr.2 và tr.6)

HS kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng, đó là cơ sở để thực hiện cácmục tiêu về các phương diện khác Để đạt được mục tiêu quan trọng này mônToán cần trang bị cho HS một hệ thống vững chắc những tri thức, kĩ năng,phương pháp toán học phổ thông, cơ bản, hiện đại, sát thực tiễn Việt Nam,theo tinh thần giáo dục kĩ thuật tổng hợp; đồng thời bồi dưỡng cho họ khảnăng vận dụng những hiểu biết toán học vào việc học tập các môn học khác,vào đời sống lao động sản xuất và tạo tiềm lực tiếp thu khoa học kĩ thuật

Thứ hai, cần phát triển năng lực trí tuệ cho HS:

Môn Toán cần góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ,hình thành khả năng suy luận đặc trưng của toán học cần thiết cho cuộc sống(chương trình giáo dục học năm 2002, tr.2 và tr.6)

Môn Toán có khả năng góp phần phát triển năng lực trí tuệ cho HS.Mục tiêu này cần được thực hiện một cách có ý thức, có hệ thống, có kếhoạch chứ không phải là tự phát Muốn vậy, người thầy giáo cần có ý thứcđầy đủ về các mặt sau:

+ Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác

+ Phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng

+ Rèn luyện những trí tuệ cơ bản

+ Những phẩm chất trí tuệ (tính linh hoạt, tính độc lập, tính sángtạo…)

Thứ ba, cần giáo dục chính trị tư tưởng phẩm chất và phong cách lao động khoa học:

Môn Toán cần góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phongcách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí và thói quen tự họcthường xuyên(chương trình gáo dục học năm 2002,tr.2 và tr.26).

Để thực hiện mục tiêu này, môn Toán cần được khai thác nhằm gópphần bồi dưỡng cho HS thế giới quan duy vật biện chứng, rèn luyện cho họnhững phẩm chất và phong cách lao động khoa học trong học tập như làmviêc có mục đích, có kế hoạch, có phương pháp, có kiểm tra, tính cẩn thận, kỉluật, chính xác, có óc thẩm mĩ…

Thứ tư, tạo cơ sở để HS tiếp tục học tập hoặc đi vào cuộc sống lao động.

1.3 Thực trạng dạy học chủ đề Đại số tổ hợp ở trường THPT

1.3.1 Nội dung dạy - học chủ đề Đại số tổ hợp

1.3.1.1 Nhắc lại về tập hợp

Lý thuyết tập hợp là ngành Toán học nghiên cứu về tập hợp Mặc dùbất kỳ đối tượng nào cũng có thể được đưa vào một tập hợp, lý thuyết tập hợpđược dùng nhiều cho các đối tượng phù hợp với toán học

Theo Bách khoa toàn thư mở Widipedia: “Trong toán học , tập hợp có

của tập hợp Tập hợp là một khái niệm nền tảng và quan trọng của toán học hiện đại Ngành toán học nghiên cứu về tập hợp là lý thuyết tập hợp”.

Trong lý thuyết tập hợp, người ta xem tập hợp là một khái niệm nguyênthủy, không định nghĩa Nó tồn tại theo các tiên đề được xây dựng một cáchchặt chẽ Khái niệm tập hợp là nền tảng để xây dựng các khái niệm khácnhư số, hình, hàm số trong toán học

Nếu a làphần tửcủa tập hợp A, ta ký hiệu a A Khi đó ta cũng nói rằngphần tử athuộc tập hợp A

Một tập hợp có thể là một phần tử của một tập hợp khác Tập hợp màmỗi phần tử của nó là một tập hợp còn được gọi làhọ tập hợp

Lý thuyết tập hợp cũng thừa nhận có một tập hợp không chứa phần tửnào, được gọi là tập hợp rỗng, ký hiệu là Các tập hợp có chứa ít nhất mộtphần tử được gọi là tập hợp không rỗng.

Ngày nay, một phần của lý thuyết tập hợp đã được nhiều nước đưavào giáo dục phổ thông, thậm chí ngay từ bậc tiểu học

Hình ảnh của tập hợp

a Biểu diễn tập hợp

Không phải mọi tập hợp đều cần phải liệt kê rành mạch theo thứ tự nào

đó Chúng có thể được mô tả bằng cáctính chất đặc trưngmà nhờ chúng cóthể xác định một đối tượng nào đó có thuộc tập hợp này hay không Có thểbiểu diễn tập hợp theo một số cách sau:

Cách 1:Tập hợp có thể được xác định bằng lời:

Ví dụ 1.1: A là tập hợp bốnsố nguyên dương đầu tiên

B là tập hợp các màu trênquốc kỳ Việt Nam

Cách 2: Có thể xác định một tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của

chúng giữa cặp dấu { }

Ví dụ 1.2: C= {4, 2, 1, 3}

D = {Đ;O;T;R;A;N;G;X;H}

Cách 3: Các tập hợp có nhiều phần tử có thể liệt kê một số phần tử.

Ví dụ 1.3: Tập hợp 1000 số tự nhiên đầu tiên có thể liệt kê như sau: {0, 1, 2,

3, , 999},

Tập các số tự nhiên chẵn có thể liệt kê: {2, 4, 6, 8, }

Tập hợp F của 20 số chính phương đầu tiên có thể cho như sau:

Các tập hợp số

* Quan hệ bằng nhau

Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau nếu A là tập hợp con của B

và B cũng là tập hợp con của A, ký hiệu A = B

Theo định nghĩa, mọi tập hợp đều là tập con của chính nó; tập rỗng làtập con của mọi tập hợp Mọi tập hợp A không rỗng có ít nhất hai tập con làrỗng và chính nó Chúng được gọi là các tập con tầm thường của tập A Nếutập con B của A khác với chính A, nghĩa là có ít nhất một phần tử của Akhông thuộc B thì B được gọi là tập con thực sự hay tập con chân chính củatập A

Phần bù: là hiệu của tập hợp con Nếu AB thì B \ A được gọi là phần

bù của A trong B, ký hiệu (hay )

1.3.1.2 Giai thừa

Trong Toán học, giai thừa là một toán tử một ngôi trên tập hợp các số

tự nhiên Cho n là một số tự nhiên dương, “n giai thừa”, kí hiệu n! là tíchcủa n số tự nhiên dương đầu tiên:

n! = n.(n-1).(n-2) 4.3.2.1

Đặc biệt, với n = 0, người ta quy ước 0! = 1

Ký hiệu n! được dùng lần đầu bởi Christian Kramp vào năm 1808.

Ví dụ về giai thừa :

1! = 1

2! = 1 x 2

…

n! = 1 x 2 x… x n (tích của n số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n )

Ta có thể định nghĩa đệ quy (quy nạp) n! như sau

Định nghĩa : [15] Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai

hành động Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện

Ví dụ 1.5: Có 8 quyển sách khác nhau và 6 quyển vở khác nhau Hỏi có bao

nhiêu cách chọn 1 trong các quyển đó?

n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc

Ví dụ 1.6: Có 18 đội bóng đá tham gia thi đấu Hỏi có bao nhiêu cách trao 3

loại huy chương vàng, bạc, đồng cho 3 đội nhất, nhì, ba, biết rằng mỗi đội chỉ

có thể nhận nhiều nhất là 1 huy chương và đội nào cũng có thể đoạt huychương?

Bài giải:

Đầu tiên, có 18 cách trao huy chương vàng

Sau đó, có 17 cách trao huy chương bạc

Cuối cùng, còn 16 đội có thể nhận huy chương đồng nên có 16 cáchtrao huy chương đồng

Theo quy tắc nhân có 18 x 17 x 16= 4896 (cách trao)

• Hoán vị :

Định nghĩa: [15]Cho tập hợp A gồm n phần tử (n Mỗi kết quả của sự

sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó

Ví dụ 1.7: Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 bạn vào 4 ghế theo hàng ngang?

Bài giải:

Ta sắp xếp thứ tự cho 4 bạn P4 = 4! =24 (cách)

• Chỉnh hợp:

Định nghĩa: [15] Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 1) Kết quả của việc lấy

k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo mộtthứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho

Với quy ước 0! = 1

Ví dụ 1.8: Từ các số 2, 3, 5, 7 có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau

được lập từ 4 số đó?

Định nghĩa:[15] Giả sử A có n phần tử (n ≥ 1) Mỗi tập con gồm k phần

tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho

Số các tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là

và = (0 ≤ k ≤ n)

Ví dụ 1.9 : Cho 7 điểm trên mặt phẳng sao cho không có 3 điểm nào thẳng

hàng Hỏi có bao nhiêu đường thẳng mà mỗi đường thẳng đi qua 2 trong 7điểm nói trên?

- Số hạng tổng quát của nhị thức là: (Đó là số hạng thứ (k+1) trongkhai triển

- Các hạng tử cách đều, hạng tử đầu và hạng tử cuối có hệ số bằngnhau

1.3.2 Thực trạng dạy- học chủ đề Đại số tổ hợp ở trường THPT

1.3.2.1 Thực trạng việc học chủ đề Đại số tổ hợp ở trường THPT

Chúng tôi đã tiến hành khảo sát thực trạng kết quả học chủ đề Đại số tổhợp của 129 học sinh lớp 11– Ban cơ bản trường THPT Đồng Hỷ với hìnhthức ra phiếu điều tra trắc nghiệm (đề kiểm tra được ghi ở phụ lục)

Sau đây là kết quả phiếu điều tra mà chúng tôi đã thu được sau khikhảo sát học sinh lớp 11 – ban cơ bản trường THPT Đồng Hỷ :

1.3.2.2 Thực trạng việc dạy chủ đề Đại số tổ hợp ở trường THPT

Thông qua điều tra, hỏi ý kiến một số GV ở các trường THPT: 2 GVtrường THPT Hiệp Hòa 3- Bắc Giang, 3 GV trường THPT Đồng Hỷ- TháiNguyên, 3 GV trường THPT Bắc Đông Quan– Thái Bình, 3 GV trường THPTLương Thế Vinh– Nam Định, chúng tôi xin trích dẫn một số câu hỏi sau:

Hỏi: Thầy (cô) đã phát triển năng lực giải toán Đại số tổ hợp cho HSnhư thế nào?

GV: Để phát triển năng lực giải toán Đại số tổ hợp cho HS chúng tôi đãtruyền thụ các kiến thức cần thiết qua mỗi tiết đồng thời nhấn mạnh vào cácdấu hiệu đặc trưng để HS nhớ được các kiến thức đó Sau đó cho HS làm bàitập từ dễ đến khó dưới nhiều cách giải và cách hỏi khác nhau

Hỏi: Theo thầy(cô) học sinh thường gặp những khó khăn gì khi giảitoán Đại số tổ hợp?

GV: Khi giải toán Đại số tổ hợp học sinh thường gặp những khó khănsau:

+ Hiểu sai các khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp,…

+ Nhầm lẫn giữa các công thức

+ Không biết phối hợp giữa các công thức

+ Phân chia trường hợp riêng còn chưa đúng

Hỏi: Theo thầy (cô), nguyên nhân nào làm cho HS gặp khó khăn hơnkhi học chủ đề Đại số tổ hợp so với các chủ đề khác trong môn Toán?

GV: Chủ đề Đại số tổ hợp này rất mới mẻ với các em, đa số các em đều

áp dụng một cách máy móc, nếu gặp bài toán lạ là không biết cách xử lý HSthiếu tính chủ động trong việc tiếp thu kiến thức Vì vậy kiến thức dễ quên vàkết quả học tập của các em chưa cao

Hỏi: Vậy thầy (cô) đã có những biện pháp gì để giúp HS hứng thú hơnvới chủ đề này?

GV: Chúng tôi đã tạo ra các tình huống có vấn đề nhằm kích thích sự tò

mò, ham học hỏi của HS Bên cạnh đó trong khi dạy nội dung này chúng tôicũng chỉ ra ứng dụng của Đại số tổ hợp trong thực tiễn Phương pháp dạy họcnày đã được áp dụng thực nghiệm ở 2 lớp 11A1 và 11A3 của trường THPTHiệp Hòa 3 – Bắc Giang và kết quả học tập của các em đã tốt hơn

Như vậy, qua thực tế chúng tôi thấy GV ở các trường THPT đã phát hiệnđược một số sai lầm HS hay mắc phải từ đó có một số biện pháp giúp HS sửachữa sai lầm Bên cạnh đó một số thầy cô giáo cũng đã tạo ra các tình huống cóvấn đề nhằm kích thích sự tò mò, ham học hỏi của HS khi học chủ đề này.

Kết luận

Qua việc tìm hiểu thực tế ở trên chúng ta thấy được chủ đề Đại số tổhợp là một lĩnh vực mới và khó đối với HS THPT Để hiểu được lĩnh vực nàycác em HS cần phải hiểu được bản chất của các khái niệm, nhớ các công thức,biết phối hợp các công thức, làm thật nhiều các bài tập… từ đó tích lũy đượcvốn kiến thức cho bản thân để không mắc sai lầm khi giải toán

Do đó, trong quá trình dạy học đòi hỏi GV nắm bắt được những khókhăn, sai lầm mà HS gặp phải khi gặp chủ đề Đại số tổ hợp, để từ đó xâydựng các biện pháp khắc phục phù hợp nhằm cải thiện và phát triển năng lựcgiải toán Đại số tổ hợp của các em HS ngày càng tốt hơn

1.3.3 Một số khó khăn sai lầm của HS trong khi giải toán Đại số tổ hợp

a, Sai lầm do hiểu sai khái niệm tổ hợp, chỉnh hợp

Theo GS.TSKH Nguyễn Bá Kim [5]: ”Định nghĩa một khái niệm là một thao tác tư duy nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái niệm này và các đối tượng khác, thường bằng cách vạch ra nội hàm của khái niệm đó”.

Trong quá trình học chủ đề Đại số tổ hợp, nhiều HS vẫn chưa hiểu được bảnchất của khái niệm tổ hợp nên thường nhầm lẫn giữa ký hiệu của đối tượng vàđối tượng được định nghĩa

Ví dụ 1.10: Học sinh thường phát biểu : ‘‘Tổ hợp chập k của n là ’’ mà phát

biểu đúng là: ‘‘Số tổ hợp chập k của n là ’’ hoặc ‘‘Chỉnh hợp chập k của n là ’’

mà phát biểu đúng là: ‘‘Số chỉnh hợp chập k của n phân tử là ”

Cũng có những học sinh áp dụng công thức rất thành thạo nhưng lạikhông hiểu ý nghĩa của công thức

Ví dụ 1.11 : Lớp 11A có 40 học sinh, trong đó có 20 học sinh nam Có bao

nhiêu cách bầu ra ban cán sự lớp gồm hai bạn: 1 nam và 1 nữ?

Học sinh giải như sau:

Số học sinh nữ là:

40 – 20 = 20 (học sinh)

Vận dụng quy tắc cộng ta có :

20 + 20 = 40 (cách)

Nguyên nhân sai lầm:

Học sinh đã không hiểu rõ khái niệm vì khi chọn ra hai bạn: 1 nam, 1

nữ là ta đã thực hiện hai hành động liên tiếp chọn 1 bạn nam và sau đó chọn 1bạn nữ (hoặc ngược lại), hai hành động này phụ thuộc nhau (ứng với mỗicách chọn 1 bạn nam có 20 cách chọn ra bạn nữ)

Lời giải đúng là:

Số học sinh nữ trong lớp là:

40 – 20 = 20 (học sinh)

Việc chọn ban cán sự được chia làm hai công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn 1 bạn nam có 20 cách

Công đoạn 2: Ứng với mỗi cách chọn 1 bạn nam có 20 cách chọn 1 bạn nữ.Vận dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn ra ban cán sự gồm một bạnnam và 1 bạn nữ là:

20.20 = 400 (cách chọn)

b, Hiểu sai khái niệm cơ bản toán học

Trong quá trình vận dụng khái niệm, việc không nắm vững nội hàm vàngoại diên khái niệm sẽ dẫn tới HS hiểu không trọn vẹn, thậm chí hiểu sailệch bản chất khái niệm Nhiều khái niệm là sự mở rộng hoặc thu hẹp củakhái niệm trước, việc không nắm vững và hiểu không đúng khái niệm có liênquan làm học sinh không hiểu, không nắm được khái niệm mới

Sai lầm về khái niệm toán học, nhất là các khái niệm cơ bản sẽ dẫn đếnviệc tất yếu là HS giải toán sai

Ví dụ 1.12: Từ các chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số

phân biệt và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5?

Lời giải của HS:

Số cách lập các số có 4 chữ số phân biệt lấy từ {1; 2; 3; 4; 5} là:

Như vậy HS đã không trừ đi các số không thoả mãn yêu cầu dẫn đếntính sai kết quả

Lời giải đúng ở đây là:

Giả sử là số thoả mãn yêu cầu bài toán, suy ra a 1 ≠ 0

Ví dụ 1.13: Trong số 16 HS có 3 HS giỏi, 5 HS khá, 8 HS trung bình Có bao

nhiêu cách chia 16 HS đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 người, sao cho mỗi tổ đều có

HS giỏi và ít nhất 2 HS khá?

HS trả lời:

Có 3 HS giỏi được chia cho hai tổ nên một tổ có 1 HS giỏi, tổ kia có 2

HS giỏi Gọi A là tổ có 1 HS giỏi Số cách thành lập tổ A chính là số cáchchia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán Có 2 trường hợp chọn tổ A:

Có 3 HS giỏi được chia cho hai tổ nên một tổ có 1 HS giỏi, tổ kia có 2

HS giỏi Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi Số cách thành lập tổ A chính là sốcách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán Có 2 trường hợp chọn tổ A:

Trường hợp 1: Tổ A có 2 HS khá và 5 HS trung bình Số cách chọn tổ

A trong trường hợp này là:

= 1680 cách

Trường hợp 2: Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình

Số cách chọn tổ A trong trường hợp này là:

= 2100 cách

Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là:

1680 + 2100 = 3780 cách

d Phân chia trường hợp riêng.

Phân chia trường hợp là biện pháp hay dùng khi giải các bài tập tổ hợp.Đứng trước bài toán phức tạp, phân chia trường hợp làm đơn giản hoá bài

toán giúp HS giải bài tập một cách chính xác Tuy nhiên, để có thể phân chiađúng, HS cần nắm vững quy tắc cộng và quy tắc nhân

+ Nếu là quy tắc nhân thì phân chia thành các công đoạn thích hợp.+ Nếu là quy tắc cộng thì phân chia thành các tập hợp con

Nhiều HS chưa nắm vững tiêu chí của sự phân chia nên đã dẫn đến sailầm khi giải toán Để phân chia một khái niệm thành những khái niệm nhỏ thìphải dựa vào dấu hiệu (tiêu chí) của sự phân chia

Ví dụ 1.14: Cho 10 người ngồi trên 10 cái ghế, xung quanh một bàn tròn,

trong đó có 4 học sinh nữ và 6 học sinh nam Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho không có hai học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau?

Lời giải của học sinh:

Ta xét bài toán gián tiếp: Tính số cách sắp xếp sao cho mỗi học sinh nữđều ngồi cạnh một học sinh nam khác

Ta có cách chọn 2 HS nữ bất kỳ (có thứ tự) Như vậy 4 HS nữ đượcchia làm hai nhóm Ta cần tìm 2 trong số 5 cặp chỗ ngồi cho 2 cặp HS nữnày Có cách chọn chỗ ngồi cho 2 cặp HS nữ

6 HS nam còn lại được xếp tuỳ ý giữa các HS nữ, ta cố định vị trí củamột HS nam thì 5 HS nam còn lại có 5! cách xếp vòng tròn Vậy số cách xếp

để mỗi HS nữ đều ngồi cạnh HS nữ khác là:

.5! = 14400 cách

Mặt khác, 10 người xếp quanh bàn tròn thì có 9! Cách xếp

Vậy số cách xếp 2 học sinh nữ không ngồi cạnh nhau là:

9! – 14400 = 348480 cách

Nguyên nhân sai lầm:

Do HS phân chia thiếu trường hợp 3 nữ ngồi cạnh nhau, HS nữ còn lạikhông ngồi cạnh bạn nữ nào

Lời giải đúng là:

Giả sử đã xếp chỗ ngồi cho 6 HS nam Vì 4 HS nữ không ngồi cạnhnhau nên họ được chọn 4 trong 6 vị trí xen kẽ giữa HS nam Số cách chọn là:

Vì 2 cách xếp vị trí cho 10 người với cùng một thứ tự quanh bàn tròn đượccoi là một, nên ta có thể chọn trước vị trí cho một HS nam nào đó, số hoán vịcủa 5 học sinh nam còn lại vào các vị trí là 5!

Vậy theo quy tắc nhân, số cách sắp xếp là:

.5! = 43200 cách

Kết luận

Chủ đề Đại số tổ hợp là một lĩnh vực khó đối với HS THPT Để hiểuđược lĩnh vực này các em HS cần phải hiểu được bản chất của các khái niệm,nhớ các công thức, biết phối hợp các công thức, làm thật nhiều các bài tập,…

từ đó tích lũy được vốn kiến thức cho bản thân để không mắc sai lầm khi giảitoán

Các thầy, cô giáo cần nắm bắt được những khó khăn sai lầm mà HS gặpphải khi học chủ đề Đại số tổ hợp để từ đó xây dựng các biên pháp khắc phụccái thiện năng lực giải toán Đại số tổ hợp của các em HS ngày càng tốt hơn

Từ việc nghiên cứu lý luận và tìm hiểu thực tiễn các vấn đề trên sẽ là

cơ sở để chúng tôi đề xuất các biện pháp phát triển năng lực giải toán Đại số

tổ hợp cho HS THPT ở chương 2