Tính taut của một miền không bị chặn trong Zn

Kể từ khi giải tích phức hyperbolic ra đời, việc nghiên cứu các đặc trưng của một miền trong không gian phức luôn được các nhà toán học quan tâm. Theo hướng đó, việc nghiên cứu tính taut đã thu hút được các nhà toán học như: S.Kobayashi, J.P Rosay, H.L Royden, F. Berteloot, H. Gaussier, Plug, M. Jarnicki, Đỗ Đức Thái... và đã có những kết quả đặc sắc. Một trong những kết quả đó là mối liên hệ giữa tính taut địa phương và tính taut toàn cục. Cụ thể là: năm 1970 S. Kobayashi 8 đã chứng tỏ được rằng nếu là một miền bị chặn taut địa phương trong thì là miền taut. Năm 1999 H. Gaussier 7 đã bỏ được điều kiện bị chặn đối với miền và thay thế vào đó bằng điều kiện về sự tồn tại của các hàm đa điều hoà dưới peak và antipeak địa phương tại vô cùng.

Mở đầu

Kể từ khi giải tích phức hyperbolic ra đời, việc nghiên cứu các đặc trngcủa một miền trong không gian phức luôn đợc các nhà toán học quan tâm.Theo hớng đó, việc nghiên cứu tính taut đã thu hút đợc các nhà toán học nh:S.Kobayashi, J.P Rosay, H.L Royden, F Berteloot, H Gaussier, Plug, M.Jarnicki, Đỗ Đức Thái và đã có những kết quả đặc sắc Một trong những kếtquả đó là mối liên hệ giữa tính taut địa phơng và tính taut toàn cục Cụ thể là:năm 1970S Kobayashi [8] đã chứng tỏ đợc rằng nếu Ω là một miền bị chặn

taut địa phơng trong Ên thì Ω là miền taut Năm 1999 H Gaussier [7] đã bỏ

đợc điều kiện bị chặn đối với miền Ω và thay thế vào đó bằng điều kiện về sự

tồn tại của các hàm đa điều hoà dới peak và antipeak địa phơng tại vô cùng Tuy nhiên, bài toán tìm điều kiện cần và đủ để một miền không bị chặntaut địa phơng trở thành miền taut gần đây mới có câu trả lời: đó là các kếtquả của Đỗ Đức Thái và Phạm Nguyễn Thu Trang, Plug và Nikolov [11] Đặcbiệt, bằng cách đa ra khái niệm về t- điểm, t’-điểm, P Plug và N Nikolov đãchứng minh đợc rằng “ Một miền không bị chặn trong Ên có ∞ là điểm

barrier, thế thì nó là taut khi và chỉ khi nó là taut địa phơng”, đồng thời, chỉ ra

đợc các điều kiện tơng đơng

Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quả về tính taut của mộtmiền bị chặn và không bị chặn trong Ên

Luận văn đợc chia làm hai chơng:

Chơng 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị, bao gồm các khái niệm về cácmiền trong không gian phức, giả khoảng cách Kobayashi, miền taut và cáctính chất liên quan, nhằm phục vụ cho các chứng minh chơng 2

Chơng 2: Gồm ba phần

Phần 1: Xây dựng công cụ, tức là trình bày các khái niệm và các mệnh đềnhằm làm công cụ cho việc chứng minh các kết quả về tính taut của một miềntrong Ên.

Phần 2: Trình bày kết quả về tính taut của một miền bị chặn trong Ên.

Phần 3: Trình bày kết quả về tính taut của một miền không bị chặn trong

n

Ê .

Luận văn đợc hoàn thành tại Khoa Toán Trờng ĐHSP Thái Nguyên - ĐHThái Nguyên dới sự hớng dẫn tận tình của TS Phạm Việt Đức Tôi xin bày tỏlòng kính trọng biết ơn chân thành đến ngời Thầy của mình

Nhân đây, cho phép tôi bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn tới các Thầy trong

tổ bộ môn Giải Tích Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy phản biện đã chotôi những ý kiến quí báu để tôi hoàn thành luận văn này

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán, Phòng Quản lý khoahọc, Khoa Sau đại học Trờng ĐHSP Thái Nguyên - ĐH Thái Nguyên, bạn bè,

đồng nghiệp và những ngời thân đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quátrình làm luận văn

Do thời gian và khả năng còn hạn chế, nên chắc chắn luận văn không tránhkhỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận đợc sự góp ý từ các thầy cô vàcác bạn

Tác giả

Chơng 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Miền giả lồi.

1.1.1 Hàm đa điều hoà dới.

1.1.1.1 Hàm điều hoà.

Cho Ω là tập con mở trong Ă , :m u Ω →Ă là hàm lớp C Hàm u đợc gọi2

là điều hoà trong Ω nếu:

x trong Ω

Giả sử X là một không gian mêtric.

Một hàm u X: → −∞ ∞[ ; ) đợc gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mọi

1.1.1.3 Hàm điều hoà dới.

Giả sử Ω là tập con mở trong Ă , m u:Ω → −∞ ∞[ ; ) là nửa liên tục trêntrên Ω sao cho u≠ −∞ trên mỗi một thành phần liên thông của Ω

Hàm u đợc gọi là điều hoà dới trên Ω nếu:

Với mỗi tập con mở compact tơng đối G của Ω và mỗi hàm h liên tục

trên G , điều hoà trong G thì ta có phép kéo theo sau đây:

u h≤ trên G∂ ⇒ ≤u h trên G

Ta có thể chứng minh đợc rằng:

Nếu Ω là tập con mở trong Ă m, u C∈ 2( )Ω thì u là điều hoà dới trên Ω

khi và chỉ khi ∆ ≥u 0 trên Ω

1.1.1.4 Hàm đa điều hoà dới.

Giả sử Ω là tập con mở trong Êm, u:Ω → −∞ ∞[ ; ) là nửa liên tục trêntrên Ω sao cho u≠ −∞ trên mỗi một thành phần liên thông của Ω

Hàm u đợc gọi là đa điều hoà dới trên Ω nếu ∀ ∈Ω ∀ ∈a , b Ên hàm:

Giả sử ϕ là hàm lớp C trên tập mở 2 Ω ⊂Ên Khi đó, ϕ là đa điều hoà

d-ới nếu và chỉ nếu:

với mọi z∈Ω và ω ∈Ên .

Nếu L z uϕ( ); >0, với mọi z∈Ω và ω ∈Ên thì ϕ gọi là đa điều hoà dớichặt (hay ngặt) trên Ω

Điều kiện này tơng đơng với phát biểu sau:

Hàm u C D∈ ( ,Ă là đa điều hoà dới ngặt trên ) D nếu với mọi tập compact

cũng là hàm đa điều hoà dới trên D

1.1.1.7 Hàm đa điều hoà dới trên không gian phức.

Giả sử X là không gian phức, ϕ:X → −∞ ∞[ ; ) là một hàm đã cho Hàm ϕ

đợc gọi là đa điều hoà dới trên X nếu với mỗi phép nhúng địa phơng: → Ω ⊂Ên

j X thì ϕ là hạn chế địa phơng của một hàm đa điều hoà dới trên

Ω

Tập các hàm đa điều hoà dới trên X kí hiệu là psh X ( )

Chú ý rằng định nghĩa nói trên về tính đa điều hoà dới không phụ thuộc

vào phép nhúng địa phơng j

Ngoài ra, Narasimhan và Fornaess [1] đã chứng minh rằng một hàm nửaliên tục trên ϕ:X → −∞ ∞[ ; ) trên không gian phức X là đa điều hoà dới trên

X khi và chỉ khi ϕo là điều hoà dới hoặc đồng nhất bằng f −∞ trên đĩa đơn

vị ∆ trong Ê với mọi ánh xạ chỉnh hình :f ∆ → X

1.1.2.1 Bao đa điều hoà dới.

Giả sử Ω là miền trong Ên, còn K là tập con compact của Ω

Tập KΩP = ∉Ω{z :ϕ( )z ≤supKϕ∈psh( )Ω } gọi là bao đa điều hoà dới của

K trong Ω

1.1.2.2 Miền Oka - giả lồi.

Miền Ω ⊂Ên là Oka - giả lồi nếu có hàm liên tục f :∆ ì[ ]0,1 →C n

Nếu Ω là một miền trong Ê n thì các điều kiện sau đây là tơng đơng:

(i) −logδ (z,∂Ω) là đa điều hoà dới.

(ii) Tồn tại hàm đa điều hoà dới vét cạn Ω, có nghĩa là với mọi c∈Ă thì

( )

{ϕ }

Ω =c z <c là tập compact tơng đối trong Ω.

(iii) P

KΩ là compact nếu K là tập con compact của Ω.

( iv) Ω là miền Oka - giả lồi.

1.1.2.4 Miền giả lồi.

Miền Ω trong Ên gọi là giả lồi nếu nó thoả mãn một trong ba điều kiện

t-ơng đt-ơng của định lý trên và gọi là giả lồi mạnh nếu −logδ (z,∂Ω) là đa điềuhoà dới mạnh

1.1.2.5 Miền siêu lồi.

Miền Ω ⊂Ên là siêu lồi nếu tồn tại một hàm đa điều hòa dới, liên tục, bịchặn u<0 sao cho tập Ω = ∈Ωc {z ; u z( ) ≤c là compact với mọi } c<0.

Chúng ta gọi u là một hàm vét cạn xuất phát từ Ωc vét cạn Ω khi c→0

Do đó, u z( ) →0 khi z gần ra biên ∂Ω

Sau đây là định lý Arzela-Ascoli và hệ quả.

1.1.3 Định lý Arzela-Ascoli.

1.1.3.1 Định lý.

Cho X là một không gian khả li, compact địa phơng và Y là không gian metric compact địa phơng với hàm khoảng cách d Khi đó họ Y F là compact tơng đối trong C X Y (nghĩa là mọi dãy ánh xạ ( , ) f n∈ F đều chứa một dãy con hội tụ tới ánh xạ f ∈C X Y( , ) đều trên mọi tập con compact của X) nếu

và chỉ nếu thoả mãn hai điều kiện:

(a) F là đồng liên tục tại mọi điểm x X∈ (nghĩa là tại mỗi x X và∈

mọi ε >0 tồn tại lân cận U của x sao cho d Y ( f x f x( ) ( ), ' ) <ε với mọi

1.2. Giả khoảng cách Kobayashi.

1.2.1 Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức.

1.2.1.1 Trên đĩa đơn vị mở ∆ trong Ê chúng ta xét khoảng cách Poincare cho bởi:

1.2.1.2 Giả khoảng cách Kobayashi.

Giả sử X là một không gian phức, p và q là hai điểm tuỳ ý của X Tagọi một dây chuyền chỉnh hình γ nối p với q trong X là tập hợp

{a a1 2, , ,a n∈∆; ,f f1 2, , f n∈Hol( , )∆ X }

sao cho:

( )01

f = p , f a i i( ) = f i+1( )0 , f a n n( ) =q, ∀ =i 2,n−1,trong đó Hol( , )∆ X là không gian các ánh xạ chỉnh hình từ ∆ vào X đợc

l a và định nghĩa: d X ( p q, ) =inf L , trong đóγ

infimum lấy theo tất cả các dây chuyền chỉnh hình γ nối p với q trong X .

Hàm d X :X Xì →[0;∞) đợc gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X

Dễ thấy Xd thoả mãn các tiên đề về giả khoảng cách, tức là:

+) d X ( p q, ) ≥0, với mọi ,p q X ∈

+) ( , ) = ( , )

d p q d q p , với mọi , p q X∈ +) d X ( p r, ) ≤d X ( p q, ) +d X ( )q r , với mọi , ,, p q r X∈

Chú ý: Giả khoảng cách Kobayashi trên ∆ trùng với khoảng cách Poincare ρ

Berman-∆ =

d

1.2.1.3 Một số tính chất cơ bản.

a) Giả sử : f X →Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức.

Giả sử tồn tại dãy { }p n ⊂ X , nlim→∞d X ( p p n, )=0 nhng lim p n→∞ n≠ p theo

tôpô τX Khi đó, tồn tại các lân cận U , V của p trong X và tồn tại dãy con

{ }n ⊂{ }n

k

p p sao cho U V V⊂ , đẳng cấu với một tập con giải tích trong đa

đĩa đơn vị của Ên và { }p nk ⊄U, ∀ >k 0.

Giả sử γ là một dây chuyền chỉnh hình tuỳ ý nối p và p Gọi nk q là nk

giao điểm của γ với ∂U Khi đó, L d V p q, n d V (p U, ) c 0

Họ hàm Hol( , )∆ X gọi là đồng liên tục đều nếu với mọi p X và mọi∈

lân cận U của p luôn tồn tại số r ∈ ( ) 0;1 và lân cận °U của p , °U U⊂ sao cho

Giả sử X là không gian phức hyperbolic Khi đó, X là hyperbolic đầy khi

và chỉ khi mỗi hình cầu đóng trong ( X d, X ) là compact.

1.2.1.10 Định lý Eastwood

Giả sử π : X →Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức Giả sử

Y là hyperbolic (tơng ứng hyperbolic đầy) và tồn tại phủ mở của Y là họ

{ }U i sao cho mỗi một π− 1( )

i

U là hyperbolic (tơng ứng hyperbolic đầy) Khi

đó, X cũng là hyperbolic (tơng ứng hyperbolic đầy).

Giả sử °X là hyperbolic Lấy p q, ∈X sao cho d X ( p q, ) = 0 Ta lấy

°p∈°X sao cho π( °p = p) Theo i) tồn tại dãy { }q±n ⊂π−1( )q sao cho

Nếu °X là hyperbolic đầy, thì X là hyperbolic

Thật vậy, giả sử p∈X r, > 0 Lấy °p∈°X sao cho π( )°p = p

Vậy X là hyperbolic đầy

Điều kiện đủ Đợc suy ra ngay từ định lý Eastwood

1.2.2 Giả mêtric vi phân Royden-Kobayashi trên không gian phức.

Giả sử X là không gian phức, TX là không gian tiếp xúc Zarnicki của X ,

Giả mêtric vi phân Royden-Kobayashi F X là hàm trên TX đợc định nghĩa

1.2.2.4 Định lý Royden cho trờng hợp đa tạp phức.

Giả sử X là đa tạp phức Khi đó, ta có:

i) X là hyperbolic khi và chỉ khi với mỗi p X∈ , tồn tại lân cận mở U của

p trong X, tồn tại hằng số C>0 sao cho ( , )≥ ( , ), ∀ ∈

X

z và

z U

∀ ∈ , trong đó H là mêtric Hermit trên TX

ii) F là nửa liên tục trên trên X TX

iii) Với mọi , p q X∈ , ta có:

trong đó L p q, là tập các đờng cong Ê1−từng khúc nối p với q.

Chú ý: Trong trờng hợp X = D là tập mở liên thông trong Ên Cho

Giả khoảng cách Kobayashi d D( p q, ) là:

Miền D⊂Ên là hyperbolic khi và chỉ khi với mọi p D∈ tồn tại lân cận

U của p và một hằng số c>0 sao cho F y X D( , )≥c X với mọi y U∈ .

1.2.2.6 Mệnh đề (Sibony).

Cho miền D⊂Ên , giả sử trên D có hàm đa điều hoà dới bị chặn mà gần

điểm z0∈D thì nó là hàm nhẵn đa điều hoà dới, chặt, thế thì D thoả mãn mệnh đề trên (mệnh đề 1.2.2.5) tại điểm z0.

Divisor cartier của một không gian phức Y là một không gian phức con

đóng A của Y thoả mãn với mỗi x A tồn tại một lân cận V của x trong ∈ Y

sao cho A V∩ ={ p V f p∈ : ( ) 0= } , ở đó f là hàm chỉnh hình trên V

1.2.2.9 Hệ quả.

Cho Y không gian phức và A là Divisor cartier của Y Khi đó:

i) Y A là hyperbolic đầy địa phơng trong \ Y

ii) Nếu Y là hyperbolic (đầy) thì \ Y A là hyperbolic (đầy).

1.3 Tính taut và định lý Kiernan.

1.3.1 Định nghĩa.

Giả sử M là miền trong không gian phức X

i) Dãy { }f k k=1,2, ,∞ ⊂ Hol( ,∆ M) đợc gọi là phân kì compact nếu với mỗitập compact K ⊂ ∆ và với mỗi tập compact L⊂ M , tồn tại số j0 = j K L( , )

i) Mỗi miền taut trong không gian phức X là miền hyperbolic.

ii) Mỗi miền hyperbolic đầy trong không gian phức X cũng là miền taut.

iii) Các khẳng định ngợc lại đều không đúng.

Để chứng minh định lý Kiernan, ta đa vào một số khái niệm sau:

Giả sử p và q là hai điểm phân biệt của miền M trong không gian phức

X Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử p =0 và

Một cặp có thứ tự ( )r,δ các số dơng đợc gọi là có tính chất Anếu với mỗi

Dãy { }f i không có dãy con hoặc hội tụ đều trên các tập

compact hoặc phân kì compact Do đó M không là taut

ii) Do tính chất giảm khoảng cách của khoảng cách Kobayashi nên( , )

Hol ∆ M là đồng liên tục Mặt khác M là hyperbolic đầy nên mỗi tậpcon bị chặn trong M là compact tơng đối Vì vậy Hol( ∆,M) là chuẩn tắc,

đếm đợc các đĩa đơn vị ∆ ∆1, 2, theo cùng cách sau: trong đĩa thứ n : ∆n,

chọn điểm a sao cho khoảng cách Poincaré n ρ∆n (0,a n) = 1

2n Ta "buộc" đĩathứ 2 ∆2 vào đĩa thứ nhất ∆1 bằng cách đồng nhất a1∈∆1 với gốc O của ∆2

Ta "buộc" đĩa thứ 3 ∆3 vào đĩa ∆2 bằng cách đồng nhất a2∈∆2 với gốc Ocủa ∆3 Bằng cách tơng tự, ta đồng nhất a n∈∆n với gốc O của ∆n+1

Cuối cùng ta đợc một không gian phức ký hiệu là Y Các đĩa ∆n ,1,2,

n= là thành phần bất khả quy của Y Từ đó ∀ ∈f Hol( , )∆ Y biến ∆ vàomột trong những thành phần bất khả quy ∆n, họ Hol( , )∆ Y là hợp của những

họ con Hol( ,∆ ∆n) Cho { }f j ⊂Hol( , )∆ Y Giả sử { } f không có dãy con hội j

tụ Lấy {f n j} là dãy con bao gồm những ánh xạ f j biến ∆ thành ∆n Do( ,∆ ∆n)

Hol là chuẩn tắc, dãy {f n j} phải là phân kì compact Mỗi tập con

compact L Y⊂ đợc phủ bởi ∆1U U ∆k , với k nào đó Khi đó, với mỗi tập

compact K ⊂ ∆ và với mỗi n cố định n k≤ , ta có f n j( )K I L= ∅ trừmột sốhữu hạn f Đối với n k n j > , f n j( )K I L= ∅, do ∆n I L= ∅ Nh vậy, { }f j

là phân kì compact, chứng tỏ rằng Hol( , )∆ Y là chuẩn tắc Vậy Y là taut.

Lấy p là một điểm thuộc n Y ứng với a n∈∆n, tức là p n∈∆n và

1

( − , )= (0, )

d p p d a , trong đó 0 là gốc của ∆n(ta có thể chọn p n =a ) n

Khi đó dãy { }p phân kì trong n Y nhng lại là dãy Cauchy vì

Vậy Y không là hyperbolic đầy

Đồng thời Rosay đã xây dựng một miền trong Ê là taut mà không là3hyperbolic đầy

Còn không gian X = B2(0,1) \ 1/ 4;0{ ( ) } là hyperbolic nhng không là taut

Vậy f n∈Hol( , ).∆ X Ta có lim ( ) ( ) ( ,0)

Theo định lý Kiernan suy ra Y là hyperbolic Cho f n∈Hol X Y( , ) là một

dãy không phân kỳ compact Thì tồn tại những tập con compact K ⊂ X và

L Y⊂ sao cho f K n( ∩L) ≠ ∅ với n đủ lớn, nghĩa là tồn tại tồn tại một dãy

{ }x n ∈K sao cho f x n( )n ∈L với n đủ lớn Bằng cách lấy dãy con của { }x , n

chúng ta có thể giả sử rằng x n → ∈p K Lấy cố định một lân cận compact

t-ơng đối V của L Do d Y( f x n( ) ( )n , f n p ) ≤d X ( x p n, ) →0 và do f x n( )n ∈L,tồn tại n sao cho 0 f n( )p ∈V, n n∀ ≥ 0

Nh vậy { f n( )p là compact tơng đối trong } Y

Ta sẽ chỉ ra rằng { f q là tơng đối trong Y , q X n( ) } ∀ ∈ Xét một dây

chuyền chỉnh hình nối p với q xác định bởi:

là compact tơng đối trong Y Từ { f h b n( 1 1( ) ) } ={ f h b n( 2( )2 ) } và Hol(∆,Y)

là chuẩn tắc nên { f h b n( 2( )2 ) } là compact tơng đối trong Y Tiếp tục nh vậy

ta thấy rằng: { f q là compact tơng đối trong Y với q Y n( ) } ∀ ∈ Vậy theo hệquả của định lý Arzela-Ascoli suy ra Hol X Y là chuẩn tắc ( , )

1.3.8 Định lý.

Cho X là không gian phức và X*= ∪ ∞X { } là compact hóa (Nếu X – compact, ta đặt * X = X ) Kí hiệu C(∆, *X ) không gian của các ánh xạ liên tục từ ∆ → X Khi đó:*

i) X là hyperbolic ⇔ Hol(∆,X compact tơng đối trong ) C(∆, *X ) , nghĩa là mọi dãy f n∈Hol(∆,X) có một dãy con hội tụ trong C(∆, *X ) ii) X là taut ⇔ Hol(∆,X)∪ {∞} là tập con compact của C(∆, *X ) .

Chứng minh.

i) Điều kiện cần Giả sử Hol(∆,X là compact tơng đối trong ) C(∆, *X ) .

Ta phải chứng minh X là hyperbolic

Giả sử rằng X không là hyperbolic, thế thì tồn tại 2 điểm phân biệt x y0, 0với d X ( x y0, 0) =0 Chọn lân cận compact tơng đối V Ué của x sao cho0

f U Thật vậy, nếu không thì tồn tại số nguyên

Khi đó, ta lấy đợc n∈∆1

n

t

sao cho f t n n( )∉U Do giả thiết Hol(∆,X là)

compact tơng đối trong C(∆, *X ) nên { }f có một dãy con n { }f ni hội tụ tới

n f , và { }f không phân kỳ compact Khi đó, tồn tại các tập n

compact K ⊂ ∆ ⊂,L X sao cho f nk( )K ∩ = ∅L , với mọi k=1,2,… Ta gọi δ

là bán kính của K ứng với khoảng cách Kobayashi dX do tính chất giảmkhoảng cách qua ánh xạ chỉnh hình của khoảng cách Kobayashi ta có, bánkính của f nk ( )K không vợt quá δ Do vậy f nk ( )K chứa trong δ - lân cận

đóng của L Bây giờ lấy x K rõ ràng ∈ { f nk( ) :x k =1,2, } là tập compact

t-ơng đối trong X Thế thì theo hệ quả của định lý Azela- Ascoli ta suy ra( )

nk

f K là tập compact tơng đối trong C(∆, *X )

ii) Ta nhắc lại rằng họ F⊂ Hol( , )∆ X là chuẩn tắc nếu mọi dãy con trong

F hoặc có dãy con hội tụ hoặc phân kì compact Nếu X*= ∪ ∞X { }, cónghĩa là 1-điểm compact hóa của Y là ∞ và ∞ là ánh xạ hằng biến ∆ → ∞ thì

F⊂ Hol( , )∆ X là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu F ∪ ∞{ } là tập con compact tơng

đối của C X Y( , *)

Nh vậy điều phải chứng minh đợc suy ra trực tiếp từ định nghĩa về taut Tơng tự nh định lý Eastwood về tính hyperbolic và hyperbolic đầy ta có :

1.3.9 Định lý Eastwood về tính taut.

Giả sử π :°X → X là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thoả mãn điều kiện sau: với mỗi x X∈ tồn tại lân cận mở U x của x sao cho

Hiển nhiên dãy { f n =π o±f n} ⊂ Hol( ∆,X) là không phân kỳ compact,

do đó ta có thể giả sử rằng dãy { }f n hội tụ đều tới ánh xạ F Hol∈ (∆,X) Đặt p=π( )°p =F z( ) Lấy lân cận mở U của p sao cho p π−1( )U p làtaut

Vì dãy { }f hội tụ tới ánh xạ n F nên tồn tại tập con mở V của ∆ sao cho

{ f n W k } hội tụ đều tới ánh xạ Φ∈Hol W X( ,° )

Trong họ γ , xét quan hệ thứ tự sau đây

(W1,Φ ≤1) (W2,Φ2) nếu W1⊂W và từ một dãy con bất kì ²2 { f n W k 1} củadãy ±{ }f n W1 mà nó hội tụ đều tới ánh xạ Φ1 trong Hol W X ta có thể trích( 1,° )

ra đợc dãy con hội tụ đều tới Φ ∈2 Hol W X ( 2,° )

Giả sử rằng { (Wα,Φα α) } ∈∧ là tập con sắp thứ tự hoàn toàn của γ

Đặt W0 =Uα∈∧W α

Ta xác định ánh xạ Φ ∈0 Hol W X bằng cách đặt ( 0,° ) Φ0 Wα = Φ ∀ ∈∧α, α Ta lấy dãy { (W i,Φi) }∞i=1⊂{ (Wα,Φα α) } ∈∧ sao cho :

sao cho dãy ±{ }2

2

n W

f hội tụ đều tới ánh xạ Φ2 trong Hol W X ( 2,° )

Tiếp tục quá trình này ta nhận đợc các dãy ±{ }k

f hội tụ đều tới ánh xạ Φ ∈k Hol W X ( k,° )

Rõ ràng dãy ±{ }f k k → Φ ∈0 Hol W X Nh vậy ( 0,° ) (W0,Φ ∈0) γ và vì vậy tập

(W,Φ) Giả sử ²{ f n W k } là dãy con của dãy ±{ }f n W sao cho dãy ²{ f n W k }

hội tụ đều tới ánh xạ Φ∈Hol W X( ,° ) Lấy z0∈W và lấy lân cận mở U của

z W W Khi đó, dãy ²{ f nk ( )z1 } là hội tụ

Do tính chuẩn tắc của họ Hol W( ,π−1( )U và do tính cực đại của ) (W,Φ)

ta có W0 ⊂W và do đó W = ∆

1.3.10 Định lý.

Giả sử π: X° → X là ánh xạ phủ chỉnh hình giữa hai không gian phức Khi

đó, °X là taut khi và chỉ khi X cũng là taut.

Chứng minh

Điều kiện cần

Giả sử °X là taut và dãy { }f n ⊂ Hol(∆,X là không phân kỳ compact Khi)

đó, tồn tại dãy { }z n ⊂ ∆ sao cho { }z n → ∈∆z0 và { f z n( )n } → ∈p X Đặt

điểm z0∈∆ đủ gần biên của ∆ sao cho: f z t( 0, )∈K, t∈[ ]0,1

Lấy F (z K0, ) {= f ∈Hol( , ); ( )∆ Ω f z0 ∈K }

Do Ω là taut, F (z K là chuẩn tắc Dễ thấy, không một dãy nào trong0, ) F

( z K có thể là phân kỳ compact Do mỗi 0, ) f thuộc t F ( z K với 0, ) t∈[0,1)

chặn Lấy Y là một miền bị chặn (có thể lấy Y là một quả cầu) sao cho

Ω ⊂ ⊂Y Ên Lấy một dãy { }f i ⊂Hol( , )∆ Ω , thế thì có một dãy con { }f i k ,hội tụ tới f ⊂Hol( , )∆ Y Do u fo i k là hàm điều hòa dới trên ∆, giới hạn của

nó là u fo cũng là hàm điều hòa dới trong ∆ Vì f ( )∆ ⊂ Ω nên u fo ≤0trên ∆ Nếu { }f i k không hội tụ đều trên các tập con compact của ∆ thế thì,

có một điểm ζ ∈∆0 sao cho f( )ζ ∈∂Ω0 để u fo ( )ζ =0 0, thì theo nguyên límodun cực đại u fo ( )ζ =0 với mọi ζ ∈∆, và do đó ( )f ζ ∈∂Ω với mọi

ζ ∈∆ Điều này nghĩa là { }f phân kì compact Tức là họ hàm i Hol( , )∆ Ω làchuẩn tắc Vậy Ω là miền taut

z alim ( ) 0ϕ

Hàm ϕ nh thế đợc gọi là hàm barrier tại a của D

2.1.1.3 Điểm barrier địa phơng.

Điểm a gọi là điểm barrier địa phơng nếu tồn tại một lân cận mở U của

a trong Ên sao cho a là một điểm barrier của D U∩

Mệnh đề sau đây nói lên vai trò của điểm barrier ∞.

Từ nguyên lý modun cực đại cho hàm đa điều hoà dới, nên tồn tại các hình

cầu (0, ),B r j j∈Ơ sao cho \ (0, )inf j sup

j j

Theo định lý 1.1.1.5 và 1.1.1.6 rõ ràng ϕj là hàm đa điều hoà dới âm trên

, thế thì ϕ cũng là hàm đa điều hoà dới âm, chặt trên D

và hiển nhiên lim ( ) 0z ϕ

→∞ z = (do tính hội tụ đều của chuỗi hàm).

Vậy, ta có ϕ là hàm barrier tại ∞

Hơn nữa, khi đó D thoả mãn điều kiện của định lý Sibony (mệnh đề1.5.1.6) cho mọi điểm của D, nên mọi thành phần liên thông của D làhyperbolic

2.1.3 Điểm peak và antipeak đa điều hoà dới.

2.1.3.1 Điểm peak đa điều hoà dới.

Một điểm biên a∈∂D của một tập mở D trong Ê n đợc gọi là một điểmpeak đa điều hoà dới nếu tồn tại một hàm đa điều hoà dới ϕ trên D màlim ( ) 0ϕ

z a z và lim sup ( ) 0ϕ

z b z , với ∀ ∈b D a \{ }

Hàm ϕ nh thế đợc gọi là một hàm peak đa điều hoà dới của D tại a

Nh vậy ta thấy điểm peak đa điều hoà dới cũng là điểm barrier

Một điểm biên a∈∂D của một tập mở D trong Ê n đợc gọi là một điểm

peak đa điều hoà dới địa phơng nếu tồn tại lân cận mở U của a trong Ê n saocho a là điểm peak đa điều hoà dới của D U Tức là tồn tại hàm đa điều∩hoà dới ϕ trên D U sao cho:∩

2.1.3.2 Điểm antipeak đa điều hoà dới địa phơng.

Một điểm biên a∈∂D của một tập mở D trong Ên đợc gọi là một điểm

antipeak đa điều hoà dới địa phơng nếu tồn tại lân cận mở U của a trong Ê n

2.1.4 Hàm peak chỉnh hình và peak yếu chỉnh hình.

Hàm chỉnh hình ϕ đợc gọi là hàm peak chỉnh hình (tơng ứng peak yếuchỉnh hình) tại điểm biên a∈∂D của miền D trong Ê n nếu nó thoả mãn:

U của a trong Ê nsao cho ϕ là hàm chỉnh hình trênD U và liên tục trên∩

+) NÕu z,ω kh«ng cïng thuéc mét thµnh phÇn liªn th«ng cña D th×( , ) 1ω =

D

Chó ý: Ta cã mèi liªn quan gi÷a gi¶ kho¶ng c¸ch Kobayashi vµ hµm

Lempert cô thÓ: gi¶ kho¶ng c¸ch Kobayashi lµ gi¶ kho¶ng c¸ch lín nhÊtkh«ng vît qu¸ tanh ( )−1 l , (xem trong [5]) D