D¹ng 2: TÝnh tæng cña nhiÒu ph©n sè cã tö sè b»ng nhau vµ mÉu sè cña ph©n sè liÒn sau gÊp n lÇn mÉu sè cña ph©n sè liÒn tríc... Dạng 6: Vận dụng 4 phép tính để tách, ghép ở tử số hoặc mẫ
Trang 1c¸c d¹ng tÝnh nhanh ph©n sè
D¹ng 1: TÝnh tæng cña nhiÒu ph©n sè cã tö sè b»ng nhau vµ mÉu sè cña
ph©n sè liÒn sau gÊp 2 lÇn mÉu sè cña ph©n sè liÒn tríc.
VÝ dô:
64
1 32
1 16
1 8
1 4
1
2
1 + + + + + .
C¸ch gi¶i:
C¸ch 1:
Bíc 1: §Æt A =
64
1 32
1 16
1 8
1 4
1 2
1 + + + + +
Bíc 2: Ta thÊy:
2
1 1 2
1 = −
4
1 2
1 4
1 = −
8
1 4
1 8
1 = −
+ +
− +
− +
−
64
1 32
1
8
1 4
1 4
1 2
1 2
1 1
A =
64
1 32
1
8
1 4
1 4
1 2
1 2
1
1− + − + − + + −
A = 1 -
64 1
A =
64
63 64
1 64
64 − =
§¸p sè:
64
63 .
C¸ch 2:
Bíc 1: §Æt A =
64
1 32
1 16
1 8
1 4
1 2
1 + + + + +
Bíc 2: Ta thÊy:
2
1
1
2
1 = −
4
1 1 4
3
4
1
2
1 + = = −
8
1 1 8
7 8
1
4
1
2
1 + + = = −
……….
Bíc 3: VËy A =
64
1 32
1 16
1 8
1 4
1 2
1 + + + + +
= 1 -
64
1 =
64
63 64
1 64
64
=
−
Trang 2D¹ng 2: TÝnh tæng cña nhiÒu ph©n sè cã tö sè b»ng nhau vµ mÉu sè cña
ph©n sè liÒn sau gÊp n lÇn mÉu sè cña ph©n sè liÒn tríc (n > 1)
VÝ dô: A =
64
1 32
1 16
1 8
1 4
1 2
1 + + + + +
C¸ch gi¶i:
Bíc 1: TÝnh A x n (n = 2)
64
1 32
1 16
1 8
1 4
1 2 1
=
64
2 32
2 16
2 8
2 4
2 2
2 + + + + +
=
32
1 16
1 8
1 4
1 2
1
1+ + + + +
Bíc 2: TÝnh A x n - A = A x (n - 1)
32
1 16
1 8
1 4
1 2
1
64
1 32
1 16
1 8
1 4
1 2 1
A x (2 - 1) =
32
1 16
1 8
1 4
1 2
1
1+ + + + + -
64
1 32
1 16
1 8
1 4
1 2
1 − − − − −
A = 1 -
64 1
A =
64
63 64
1 64
64 − =
VÝ dô 2: B =
486
5 162
5 54
5 18
5 6
5 2
5 + + + + +
Bíc 1: TÝnh B x n (n =3)
486
5 162
5 54
5 18
5 6
5 2 5
=
162
5 54
5 18
5 6
5 2
5 2
15 + + + + +
Bíc 2: TÝnh B x n - B
162
5 54
5 18
5 6
5 2
5 2
15
486
5 162
5 54
5 18
5 6
5 2 5
B x (3 - 1) =
162
5 54
5 18
5 6
5 2
5 2
15 + + + + + -
486
5 162
5 54
5 18
5 6
5 2
5 − − − − −
B x 2 =
486
5 2
15 −
B x 2 =
486
5
3645 −
B x 2
486
3640
=
Trang 3B = : 2
486
3640
B
486
1820
=
B
243
910
=
Bµi tËp Bµi 1: TÝnh nhanh
a)
192
2 96
2 48
2 24
2 12
2
6
2
3
2 + + + + + +
b)
256
1 128
1 64
1 32
1 16
1 8
1
4
1
2
1 + + + + + + +
729
1 243
1 81
1 27
1
9
1
3
1 + + + + +
d)
512
3 128
3 32
3
8
3
2
3 + + + +
e) 3 +
625
3 125
3 25
3
5
3 + + +
g)
1280
1
40
1 20
1 10
1
5
1 + + + + +
h)
59049
1
81
1 27
1
9
1
3
1 + + + + +
D¹ng 3: TÝnh tæng cña nhiÒu ph©n sè cã tö sè lµ n (n > 0); mÉu sè lµ tÝch
cña 2 thõa sè cã hiÖu b»ng n vµ thõa sè thø 2 cña mÉu ph©n sè liÒn tríc
lµ thõa sè thø nhÊt cña mÉu ph©n sè liÒn sau:
VÝ dô: A = 21x3 + 31x4 + 41x5 +51x6
A = 23−x23 + 34x−43 + 54−x54 +56−x65
= 2 3x3 − 22x3 + 34x4 −33x4+ 45x5 − 44x5+56x6 − 55x6
=
6
1 5
1 5
1 4
1 4
1 3
1 3
1 2
1 − + − + − + −
=
3
1 6
2 6
1 6
3 6
1 2
1 − = − = =
VÝ dô:
B = 23x5 + 53x8 + 8x311 +113x14
14 11
11 14 11 8
8 11 8 5
5 8
5
2
2
5
x x
x x
− +
− +
− +
−
Trang 4B = 25x5 − 22x5 + 58x8 − 55x8 + 811x11− 8x811+ 1114x14 − 1111x14
=
14
1 11
1 11
1 8
1 8
1 5
1 5
1
2
1 − + − + − + −
=
7
3 14
6 14
1 14
7 14
1
2
1 − = − = =
Bµi tËp
Bµi 1: TÝnh nhanh:
a 34x7 + 7x411 + 114x15 +154x19 +194x23 +234x27
4 3
2 3 2
2 2 1
2 15 13
2 13 11
2 11 9
2 9 7
2 7
5
2
5
3
2
x x x
x x x
x x
x x
c. 100
93
77
23 16
77 16 9
77 9 2
77 10 9
3
6 5
3 5 4
3 4 3
3 3
2
3
2
1
3
x x
x x x
x x x x
d 34x6 + 64x9+9x412+124x15 ® 1x75 + 57x9 +9x713+137x17+177x21
e
110
1
42
1 30
1 20
1 12
1
6
1
2
1
+ + + + +
+
340
1 138
1 154
1 88
1 40
1 10
1
+ + + + +
Bµi 2: Cho tæng:
1995
664
15 11
4 11
7
4
7
3
4
= +
×
+
×
+
×
=
S
a) T×m sè h¹ng cuèi cïng cña d·y S b) Tæng S cã bao nhiªu sè h¹ng?
Bµi 3: TÝnh nhanh:
a)
90
89 72
71 56
55 42
41 30
29 20
19
12
11
6
5
+ + + + + +
+
b) TÝnh tæng cña 10 ph©n sè trong phÐp céng sau:
110
109 90
89 72
71 56
55 42
41 30
29 20
19
12
11
6
5
2
1+ + + + + + + + +
Bµi 4: Cho d·y sè:
42
1 , 30
1 , 20
1 , 12
1 , 6
1 , 2 1 a) H·y tÝnh tæng cña 10 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y sè trªn.
b) Sè
10200
1
cã ph¶i lµ mét sè h¹ng cña d·y sè trªn kh«ng? V× sao?
Bµi 5: TÝnh nhanh:
50
4 3 2 1
1
4 3 2 1
1 3
2
1
1
2
1
1
+ + + + + + + + + +
+ +
+
+
+
Bµi 6: So s¸nh S víi 2, biÕt r»ng:
Trang 51
10
1 6
1
3
1
1+ + + + +
=
S
Bài 7: Chứng minh rằng:
1 91
1 73
1 57
1 43
1 31
1 21
1 13
1 7
1
3
1+ + + + + + + + <
Bài 8: Điền dấu >,< hoặc = vào ô trống:
1000
1
25
1 16
1
9
1
4
1+ + + + +
=
Dạng 4: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n, có mẫu số là tích của 3
thừa số trong đó thừa số thứ 3 hơn thừa số thứ nhất n đơn vị và hai thừa số cuối của mẫu phân số liền trớc là 2 thừa số đầu của mẫu phân số liền sau.
Ví dụ: Tính:
A = 1x34x5 + 3x54x7+5x74x9+7x94x11+9x114x13
=1x53−1x5 + 37x5−x37+5x97−5x9+711x9−x711+913x11−x913
=1x53−1x5 + 37x5−x37+5x97−5x9+711x9−x711+913x11−x913
13 11 9
9 13
11 9
13 11
9 7
7 11 9 7 11
9 7 5
5 9
7 5
9 7
5 3
3 7 5 3
7 5
3 1
1 5
3
1
5
x x x
x x
x x
x
x x x x x x x x x
x x
x
− +
− +
− +
− +
−
=
=1x13 −31x5+31x5−51x7+51x7−71x9 +71x9−9x111+9x111−111x13
=11x3−111x13
=113x x1113x−133=143429−3=140429
Bài tập
Bài 1: Tính nhanh:
19 15 13
6 15
13 9
6 13
9 7
6 9
7 3
6 7
3
1
6
)
ì
ì
+
ì
ì
+
ì
ì
+
ì
ì
+
ì
ì
a
19 15 13
1 15
13 9
1 13
9 7
1 9
7 3
1 7
3
1
1
)
ì
ì
+
ì
ì
+
ì
ì
+
ì
ì
+
ì
ì
b
100 98 96
1
14 12 10
1 12
10 8
1 10
8 6
1 8
6 4
1 6
4
2
1
)
ì
ì + +
ì
ì
+
ì
ì
+
ì
ì
+
ì
ì
+
ì
ì
c
Trang 640 36 33
5
15 12 8
5 12
8 5
5 8
5
1
5
)
ì
ì + +
ì
ì
+
ì
ì
+
ì
ì
d
Dạng 5: Tính tích của nhiều phân số trong đó tử số của phân số này có
quan hệ về tỉ số với mẫu số của phân số kia.
Ví dụ:
997
995 1993
1994 1992
1993 1991
1992 1990
1991ì ì ì ì
=
997
995 1993
1994 1992
1993 1991
1992
1990
ì
=
997
995 1992
1994
1990
1992 ì
=
997
995
1990
1994ì
=
997
995
995
997ì = 1
Bài tập
Bài 1: Tính nhanh:
a)
468
164 984
432 164
435 432
468
435
328ì ì ì ì
b)
2000
2006 2004
2003 2002
2001 2003
2002
2001
2000ì ì ì ì
Bài 2: Tính nhanh:
a)
151515
424242 143143
165165
2121
1313ì ì
b)
95 1995199519
93 1993199319 19931993
19961996
1995
1995ì ì
Bài 3: Tính nhanh:
−
ì
−
ì
−
ì
−
5
1 1 4
1 1 3
1 1
2
1
1
−
ì
−
ì
ì
−
ì
−
ì
−
ì
−
100
3 1 97
3 1
13
1 1 10
3 1 7
3 1 4
3
1
−
ì
−
ì
ì
−
ì
−
ì
−
ì
−
99
2 1 97
2 1
11
2 1 9
2 1 7
2 1
5
2
1
Bài 4: Cho:
M =
39
37
15
13 11
9 7
5
3
37
39
13
15 9
11 5
7 ì ì ì ì
Hãy tính M ì N.
Bài 5: Tính tích của 10 hỗn số đầu tiên trong dãy các hỗn số sau:
3
1
1 ì
8
1
35
1 1 24
1 1 15 1
1 ì ì ì
Trang 7Dạng 6: Vận dụng 4 phép tính để tách, ghép ở tử số hoặc mẫu số nhằm
tạo ra thừa số giống nhau ở cả tử số và mẫu số rồi thực hiện rút gọn biểu thức.
Ví dụ 1: 20032004ì1999ì999−2003+1004ì999
1
1000 2003
1000 2003
2003 999
2003
1000 2003
) 1004 999
( 999 2003
1000 2003
1004 999
1 2003
) 999 1999 ( 2003
=
ì
ì
=
+
ì
ì
=
+ +
ì
ì
=
+
ì +
−
ì
=
Ví dụ 2: 10001996+ì19961995ì−1994996
1994 1996
1000
) 996 1996 ( 1994 1996
1994 1996 1000
996 1 1994 1996
ì +
− +
ì
=
ì +
− +
ì
=
1994 1996
1000
1000 1994
1996
ì +
+
ì
Ví dụ 3:
232323
242424 373737
535353 48
23 53
37
ì
ì
ì
2
1 48
24 48
24 1
23
24 48
23 37
53 53
37
23
24 37
53 48
23 53
37
10101 23
10101 24
10101 37
10101 53
48
23 53
37
=
=
ì
=
ì
=
ì
ì
ì
=
ì
ì
ì
ì
ì
ì
ì
=
Bài tập
Bài 1: Tính nhanh:
a) 19951997ì1997ì1996+1996−1 ) 254254 399399 145253
ì +
−
ì
b
Trang 81002 1997
1995
995 1996 1997
)
+
×
−
×
c
69 6001 5392
5931 6001
5392 )
−
×
× +
d
e) 19961995×1995×1997+1994−1
Bµi 2: TÝnh nhanh:
a) 19881997××19961996+−19971995×+19961985 b) 19921994××19931993+1994−1992×7×1993+1996
c) 1995399×1996×45+−199155×399×1995 d) 20062005×(0×,42006−3:7,5)
e) 19781980××19791979+1980−1978×21×1979+1985 g)45×20,12+,5543××1230028,9 +−424,5,3+×31230,3−55×5,37 h) 19971996×1999×1997−1997+1998××19973 i) 20032002×+142002+1988×503++2001504××20022002
Bµi 3: TÝnh nhanh:
4 , 10 5 , 11 6 , 12 4 , 13 3 , 12
2
,
11
8 , 7 6 , 4 8 , 4 8 , 7 2 , 16 7 , 5 7
,
3
2
,
16
)
334 18 102 334 334 201 321
334
2004 59
2004 2
2004 37
2004
)
60 155 46 215 48
215
35 , 352 18 , 453 65
, 432
82
,
546
)
−
−
− + +
× +
× +
× +
×
×
−
×
−
×
−
×
+
× +
× +
×
−
−
×
−
×
− +
−
c
b
a
Bµi 4: TÝnh nhanh:
151515
424242 143143
165165 2121
1313
)
95 1995199519
31 1931193119 19311931
19961996 1996
1995
)
×
×
×
×
b
a
2525 2424
2323 2222
2121
2020
1919 1818
1717 1616
1515
1414
)
127
3 17
3 7
2 17
2 7 2
124
3 24
3
4
1 24
1
4
1
)
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+
×
×
+ + + +
+
+
+
d
c
Bµi 5: TÝnh nhanh
5 125 , 0 : 6 , 6 5 , 0 : 88 , 88 3 , 3
23 , 0 : 2 , 13 2 44 , 44 2 , 0 : 8 , 19 ) 10
25 , 0 : 25 ,
1
12
,
3
2
2 4 25 , 6 5
,
0
:
48
,
12
)
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
b a
Bµi 6: TÝnh nhanh:
15151515
31313131
454545
989898 −
Trang 9Bµi 7: TÝnh nhanh:
40404
5 30303
5 20202
5 10101 5
Bµi 8: TÝnh nhanh:
156 129
8 2 1
25 , 0 20 2 , 0 5 40 5 , 0 4 ,
25
)
6 5 125 , 0 : 7 , 7 5 , 0 : 8 , 30
25 , 0 : 4 , 15 2 4 , 15 2 , 0 6
,
9
)
25 8 4 25 , 1
275 , 0 725 , 0 25 25 , 1 4 , 0 8
,
0
)
+ + + + +
×
×
×
×
×
−
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
+ +
×
×
×
c
b
a
125 25 , 0 8 1 , 0
4
8 4 , 0 125 3478 , 0 6524
,
10
)
4 8 5 , 2 25 , 1
8003 , 0 08 , 0 5 , 0 5 , 12 5
,
2
1997
,
0
)
) 4 : 52 4 ( 16 8 : 128
10 25 , 0 1 , 0 8 20 5 , 0 40
5
,
0
)
×
×
×
×
+
×
× +
×
×
×
+
×
×
× +
+
×
×
×
×
×
×
×
−
×
g
e
d
* Mét sè bµi tÝnh nhanh luyÖn tËp Bµi 1: TÝnh nhanh:
a)
1 10 2 9 3 8
8 3 9 2 10
1
55 45
10 6 3 1
× +
× +
× + +
× +
× +
×
+ + + + + +
b) 20×(11×+202++32+×419++ 3+×1918++204×)17−(1+× 2++182××33++319××42++ 20+19×1×20)
Bµi 2: TÝnh nhanh:
1000
99 1000
87
1000
49 1000
37 1000
25 1000
13 1000
Bµi 3: TÝnh nhanh:
3
2 :
7
5
7
5
:
3
3 : 1
5 : 1 3
1 : 5
1 × +
c) (30 : 7
2
1
+ 0,5 x 3 - 1,5) x
2
9 2
1
4 : (14,5 x 100)
8
7 5 8
7
5
8
7× + × − ×
e) (1999 x 1998 + 1998 x 1997) x
3
1 1 2
1 1 : 2
1 1
Bµi 4: TÝnh nhanh:
+
×
+
×
+
×
+
×
+
2009
1 1 2008
1 1 2007
1 1 2006
1 1 2005
1 1
Trang 10Bµi 5: TÝnh nhanh:
2001
1001 2006
2004 2002
2008 2004
2001 2008
2006
)
5
7 2000 1999
1998
1 2001 1999
)
×
×
×
×
×
× +
−
×
b
a
Bµi 6: TÝnh nhanh:
4 3 2 1
3 3
2 1
3 2 1
3 1
3
+ + + + + + + + +
+ + +
+ + +
Bµi 7: TÝnh nhanh:
S =
33
1 28
1 24
1 22
1 18
1 15
1 14
1 12
1 11
1 10
1 9
1 8
1 7
1 + + + + + + + + + + + +
Bµi 8: NÕu phÐp céng cña tæng sau cø kÐo dµi m·i m·i: ;
64
1
; 32
1
; 16
1
; 8
1
; 4
1
; 2 1
th× gi¸ trÞ cña tæng b»ng bao nhiªu?
Bµi 9: NÕu phÐp céng cña tæng sau cø kÐo dµi m·i m·i:
; 729
1
; 243
1
; 81
1
;
27
1
;
9
1
;
3
1
1+
Th× gi¸ trÞ cña tæng b»ng bao nhiªu?
Bµi 10: H·y chøng tá r»ng:
100
99
4
3 3
2 2
1 100
1
3
1 2
1 1
+ + + +