Đề cương toán luyện thi THPT Quốc gia Phần 4

Sử dụng phương pháp biến đổi: biến đổi tương đương, phân tích thành phương trình dạng tích, nhân chia biểu thức liên hợp… Ví dụ 1... Muốn làm tốt phương pháp này ngoài việc nắm chắc các

CHUYÊN ĐỀ 10: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH,

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Biên soạn và sưu tầm: Hoàng Đăng Hưng – GV trường THPT Lê Văn Thịnh

1 Sử dụng phương pháp biến đổi: biến đổi tương đương, phân tích thành phương trình dạng tích, nhân chia biểu thức liên hợp…

Ví dụ 1 (Trích đề thi ĐH Khối A - 2004) Giải bất phương trình:

x

x x

x  nên (*) vô nghiệm

Ví dụ 2 Giải bất phương trình sau:(x2 3 ) 2x x2 3x2 (2) 0

Ví dụ 5 (Trích đề thi HSG QG 1996) Giải hệ phương trình:

21

14

   Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm x y ;  3 2 2;3 2 2   

Bài 12 Giải hệ phương trình:

32

x x

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x y ;  2; 2 

Bài 7 ĐK 2

x  y  

Từ (1) ta có x=y hoặc x 2 = 2y (Loại)

Bài 8 Hệ đã cho tương đương với    

Nhận thấy y=0 không thỏa mãn hệ

Với y khác không, chia cả hai vế của (1) và (2) cho y ta được:

2

2 2

bất phương trình, hệ phương trình Muốn làm tốt phương pháp này ngoài việc nắm chắc các kĩ thuật sử dụng hàm số còn cần phải chú ý những sai lầm thường gặp trong phương pháp này Khi giải các bài toán này thường sử dụng một trong các tính chất sau:

Cho K là một khoảng ( hoặc là nửa khoảng, hoặc là đoạn)

Tính chất 1: Cho hàm số y f x  liên tục trên K, nếu hàm số y f x  luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên K thì phương trình f x  (c là hằng số) có nhiều nhất một nghiệm trên c

K

Tính chất 2: Cho hàm số y f x ;yg x  liên tục trên K, nếu hàm số y f x  luôn đồng biến trên K, y g x  luôn nghịch biến trên K thì phương trình f x g x  có nhiều nhất một nghiệm trên K

Tính chất 3: Cho hàm số y f x  liên tục trên K, nếu hàm số y f x  luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên K thì với u v, K ta có f u  f v u  v

Tính chất 4: Cho hàm số y f x  liên tục và có đạo hàm trên K, nếu phương trình f ' x 0

có nhiều nhất n nghiệm trên K thì phương trình f x   0 có nhiều nhất n+1 nghiệm trên K

Tính chất 5: Cho hàm số y f x  liên tục trên K, nếu hàm số y f x  luôn đồng biến trên K thì với u v, K ta có f u  f v u  v

Ví dụ 1 (Trích đề thi HSG Nghệ An 2012) Giải phương trình:

 phương trình ( )f x  có tối đa một nghiệm (1) 0

Ta có f(3) (2) 0

Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  3

Nhận xét: Ngoài việc nắm rõ tính chất 1, để giải được bài tập trên cần phải lựu chọn đúng hàm

số cần khảo sát Ta xét tiếp bài tập sau:

Ví dụ 2 (Trích đề thi HSG tỉnh Bắc Ninh 2012) Giải phương trình:

Mà f  1  f  1  Suy ra, (1) có 2 nghiệm 0 x   1

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: 1

1;0; ;12



Nhận xét: Nếu không nắm chắc các tính chất cơ bản học sinh rất hay mắc sai lầm là:

Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm x y;  : 8;7 ; 2;1 ; 4;3    

Bài tập luyện tập: Giải phương trình, hệ phương trình sau

Dấu “=” xảy ra

2

1212

y x

y y

+ Nếu x4VT * 0 phương trình (*) vô nghiệm

+ Nếu x4VT * 0 phương trình (*) vô nghiệm

+ Nếu x  Thỏa mãn phương trình (*) 4

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  4

Cách 2:(Liên hợp hoàn toàn)

1  2x 16x323 4x 8 x2

2x 15x34 x22 x4 0 x Thử lại thấy thỏa mãn 4

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  4

Bài 2 (Trích đề thi thử Đại học khối A tỉnh Bắc Ninh năm học 2012 – 2013)

k t

Mà phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm nên pt(*) có 3 nghiệm như trên

Kết hợp với điều kiện y  ta có 0

2 sin142sin

Từ đó tìm được nghiệm của hệ phương trình

Bài 4 (Trích đề kiểm tra năng lực giáo viên THPT tỉnh Bắc Ninh năm học 2012-2013)

Giải hệ phương trình:

2 2

y x

Thử lại x3,y thỏa mãn hệ phương trình 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm  ;  1 5 1; 5 ; 1 5 1; 5

Vậy hệ phương trình có nghiệm x y ;  7;33 

7 Một số bài tập tham khảo

Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau:

9)

2 2

x

x x





13)

2

11

27)

1

2 2

CHUYÊN ĐỀ 11: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ VỚI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ

Biên soạn và sưu tầm: Nguyễn Minh Nhiên – Sở GD&ĐT

Trong những năm gần đây, bài toán cực trị trong các đề thi tuyển sinh đại học đa phần

là bài toán khó nhất đề thi Để giải quyết các bài toán này đòi hỏi thí sinh phải có nhiều kỹ này quan trọng khi giải các bài toán cực trị Chuyên đề này đưa ra một số cách tiếp cận bài toán cực trị bằng phương pháp hàm số

1 Phương pháp khảo sát hàm đặc trưng

Xét hàm số f x  2x 2x2 ln 2x trên R Ta có

3 2x ln 2 2 ln 2x 2 ln 2 2x 1 3.2x 2 ln 2

và f x 02x  1 x 0

Ta có bảng biến thiên

x  0 

f’(x) - 0 +

f(x)  

0

Suy ra f x 0, x R f a  f b  f c  0

8a 8b8c(2a 2b2 )c 2a b cln 208a 8b 8c 2a 2b2c

Ví dụ 3 (Trích đề thi đại học khối D năm 2006)

Lời giải:

1 4  1 4  ln 1 4  ln 1 4  ln 1 4  ln 1 4 

Xét hàm số   ln 1 4 x

f x

x



 với x > 0 Ta có

 

2

4 ln 4 1 4 ln 1 4

0

1 4

x

x

nên f là hàm nghịch biến trên 0;  Do đó  f a  f b  (đpcm)

Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn a2b2 c2  Chứng minh rằng 1

3 3

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi x y, 0;1 , x y ta có 1

Ví dụ 1 Cho ba số thực dương a b c thỏa mãn , , a b   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức c 1

4

Lời giải

Nhìn biểu thức của P ta thấy có sự xuất hiện của cả ba biến số a b c mà ta không thể quy , ,

trực tiếp về một biến số ngay nếu chỉ sử dụng giả thiết Nhưng ta lại thấy P là biểu thức có đối

xứng với a b , do đó ta dự đoán giá trị nhỏ nhất đạt được khi hai biến ,, a b bằng nhau Ta chứng

0;1

Ta có   2

g c  c  c , g c' 0c1   1 2, c2   1 2 Lập bảng biến thiên của hàm số g c  trên khoảng 0;1 ta có:

2

Ví dụ 2 Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì

là tam giác ABC đều

Ví dụ 3 (Trích đề thi thử ĐH khối B tỉnh Bắc Ninh năm 2013)

Cho hai số thực x y, với y  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

y  không xảy ra dấu bằng)

Bây giờ ta đi tìm GTNN của   2 1; 1

  Vậy MinS  2 đạt được khi x y1

Ví dụ 4 (Trích đề thi khối A năm 2011)

Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [1; 4] và x y x,  Tìm GTNN của biểu thức z

Thật vậy, ta có (*)( ab 1)( a b)2  luôn đúng do a, b dương và 0 ab  1

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc ab = 1

Áp dụng (*) với x, y thuộc đoạn [1; 4] và x y x,  ta có z

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z x

2

t P

P  Từ (1) và (2) suy ra dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 9, y =1, z = 2

Ví dụ 5 (Trích đề thi khối A năm 2014)

Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện 2 2 2

2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2

ax x bx  với a, b là các số thực, a  , a0  sao cho các b

nghiệm đều là số thực dương Tìm GTNN của

2 2

3 Phương pháp khảo sát hàm số theo từng biến

Đối với bài toán cực trị nhiều biến, ta có thể chọn một biến là biến số biến thiên và cố định các biến còn lại, bài toán đưa về việc khảo sát hàm một biến

Đến đây ta suy ra f x  là hàm số đồng biến, như vậy f x  f y z z y2 0

Vậy bài toán đã chứng minh xong!

b 1

3

 1 3

13; ;3

f b 

  + - 1

3; ;3

z  thì h y   2 5 (9)

4 Phương pháp đổi biến

Ví dụ 1 (Trích đề thi khối D năm 2012)

Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy  32 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức



Ví dụ 2 (Trích đề thi khối B năm 2011)

Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab + 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

Theo giả thiết ta có  2 2   

2 a b ab ab ab2 Từ đây suy ra:

2

x y z  và xy  z 1

18

Cách 2

Đặt y=ax,z=by ( a,b>0) Khi đó , ta có bài toán tương đương:

“Cho a,b dương a+b+1=3ab (1).CMR a13b13 3a1b1ab5ab3 (2) ”

5 Phương pháp tiếp tuyến

Trong phần này chúng ta xét bài toán tổng quát: “Cho a a a1, 2, 3, ,a nD thoả mãn

suy nghĩ một cách tự nhiên để giải quyết bài toán này là ta xét hàm số y f x , sau đó chứng minh f x  AxB với mọi xD, trong đó A, B thỏa mãn A a 1a2  a nnBnf  

(hay A  B f   ) Dễ thấy y AxB chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x  tại

Sau đây chúng ta xét một số bài toán điển hình để thể hiện rõ hơn cho phương pháp này

Ví dụ 1 Cho bốn số dương a b c d thoả mãn , , , a b  c d  Chứng minh rằng 1

 3 3 3 3 2 2 2 2 16

8

Lời giải

Từ giả thiết ta có a b c d , , , 0;1 và bất đẳng thức được viết dưới dạng

 , phương trình tiếp tuyến của

đồ thị f x  tại điểm có hoành độ x  0 1 là y 4x 4 Ta có

f x  x  x trên khoảng 0;1 , phương trình tiếp 

tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ 0 1

3

1ab 3 2 cc nên ta đã đưa được bài toán đã cho

về bài toán quen thuộc: Chứng minh rằng 1 2 1 2 1 2 27

3 2 aa 3 2 b b 3 2 cc  32 với điều kiện a b c dương và , , a b   c 1

  trên khoảng 0;1 , phương trình tiếp tuyến của đồ 

thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1

Đẳng thức xảy ra khi xy z hay 4 ab  c 1