Đề cương toán luyện thi THPT Quốc gia Phần 1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số C b Tìm trên C những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của C cắt hai tiệm cận của C tại A, B sao cho AB ngắn nhất Bài 10.. Phương pháp: 

Trang 1

Đề cương toán THPT 2016

CHUYÊN ĐỀ 1

KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN

1 Chủ đề 1: Bài tốn về tiếp tuyến

1.1 Dạng 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm M( ,x y0 0)( ) :C y f x( )

* Tính y'  f x'( ) ; tính k  f x'( )0 (hệ số gĩc của tiếp tuyến)

* Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x( ) tại điểm M x y cĩ phương trình  0; 0

b) Tại điểm cĩ hồnh độ x = 2

c) Tại điểm cĩ tung độ y =5

Ta cĩ y’(0) = -3

Do đĩ phương trình tiếp tuyến là: y  5 3(x0)hay y = -3x +5

+) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm ( 3;5)

2

Do đĩ phương trình tiếp tuyến là: y 5 6(x 3) hay y6x6 3 5

+) Tương tự phương trình tiếp tuyến của (C) tại ( 3;5) là: y6x6 3 5

Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) của hàm số yx32x22x 4

a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hồnh

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = 0

Trang 2

Giải:

Ta cĩ y'3x24x Gọi 2 M x y là tiếp điểm thì tiếp tuyến cĩ phương trình:  0; 0

yy  y x xx  y y x xx y

a) Khi M ( )C Ox thì y0 = 0 và x0 là nghiệm phương trình:

x32x22x 4 0 x ; y’(2) = 6, thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình 2tiếp tuyến: y6(x2)

b) Khi M ( )C Oy thì x0 = 0 y0  y(0)  và 4 y x'( )0  y'(0)2, thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: y2x 4

c) Khi x0 là nghiệm phương trình y”= 0 Ta cĩ: y” = 6x – 4

a) Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tai điểm cĩ hồnh độ x=2

b)Tiếp tuyến d cắt lại đồ thị (C) tại điểm N, tìm tọa độ của điểm N

Giải a) Tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) cĩ hồnh độ x0 2 y0 3

Vậy phương trình tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) là y9x15

b) Giả sử tiếp tuyến d cắt (C) tại N

Ví dụ 4: Cho hàm số y x33x1 ( )C và điểm A x y  (C), tiếp tuyến của đồ thị (C) tại ( ,0 0)điểm A cắt (C) tại điểm B khác điểm A tìm hồnh độ điểm B theo x 0

Trang 3

0 0 0

Khi đĩ tiếp tuyến tại M cĩ hệ số gĩc k 0 y x'( 0) y'(2)  1

Vậy tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm 2

Trang 4

+ Tại tiếp điểm M1(0; -2) thì y’(0) = -3 nên tiếp tuyến cĩ phương trình: y 3x 2

+ Tại tiếp điểm M2(2; 4) thì y’(2) = -3 nên tiếp tuyến cĩ phương trình: y 3x10

Tĩm lại cĩ hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài tốn là: y 3x và 2 y 3x10

Rõ ràng tiếp tuyến song song với đường thẳng d

1.2 Dạng 2: Viết tiếp tuyến của đồ thi hàm số y f x( ) (C) khi biết trước hệ số gĩc của nĩ

+ Gọi M x y là tiếp điểm, giải phương trình ( ,0 0) f x'( 0)k xx0, y0  f x( 0)

+ Đến đây trở về dạng 1,ta dễ dàng lập được tiếp tuyến của đồ thị: yk x( x0) y0

 Các dạng biểu diễn hệ số gĩc k:hoctoancapba.com

Trang 5

*) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b Khi đĩ hệ số gĩc k = a

*) Tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng (d): y = ax + b 1

Ví dụ 9: Cho hàm số y x33x2 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số gĩc

của tiếp tuyến k = -3

Giải:

Ta cĩ: y'3x26x

Gọi M x y là tiếp điểm  Tiếp tuyến tại M cĩ hệ số gĩc ( ;0 0) k  f x'( )0 3x026x0

Theo giả thiết, hệ số gĩc của tiếp tuyến k = - 3 nên: 3x02 6x0   3 x022x0 1 0 x0  1

Vì x0  1 y0   2 M(1; 2)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 3(x1) 2 y 3x 1

Ví dụ 10: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số yx33x2 (C) Biết tiếp tuyến đĩ 1

song song với đường thẳng y = 9x + 6

Giải:

Ta cĩ: y'3x26x

Gọi M x y là tiếp điểm  Tiếp tuyến tại M cĩ hệ số gĩc ( ;0 0) k  f x'( )0 3x026x0

Theo giả thiết, tiếp tuyến đĩ song song với đường thẳng y = 9x + +6  tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc k

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(3;1) là: y9(x3) 1  y9x26

Ví dụ 11: Cho hàm số yx33x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến 2

đĩ vuơng gĩc với đường thẳng 1

9

y  x Giải:

Ta cĩ y'3x2 Do tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc với đường thẳng 31

9

y  x nên hệ số gĩc của tiếp tuyến k = 9

Trang 6

Do đĩ y'k3x2 3 9 x2 4 x  2

+) Với x = 2  y Pttt tại điểm cĩ hồnh độ x = 2 là: 4

y x   y x+) Với x  2 y Pttt tại điểm cĩ hồnh độ x = - 2 là: 0

y x  x , biết tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng (d): x5y2010 0

54

y x

Ví dụ 13: Cho hàm số 2

x y x

Trang 7

0 2

0 0

21

1

x x x

Với x   thì 0 1 y  lúc đĩ tiếp tuyến cĩ dạng y0 1   (trường hợp này loại vì tiếp tuyến đi x

qua gĩc tọa độ, nên khơng tạo thành tam giác OAB)

Với x   thì 0 2 y   lúc đĩ tiếp tuyến cĩ dạng 0 4 y   x 2

Vậy tiếp tuyến cần tìm là y   x 2

Ví dụ 14: Cho hàm số y = 2 1

1

x x



 cĩ đồ thị (C)

Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại

các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB

Giải

Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M x y( ;0 0)( )C cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho OA4OB

tan

4

OB A OA

   Hệ số gĩc của d bằng 1

4 hoặc

14

1.3 Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điểm

Cho đồ thị (C): y = f(x) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm ( ; )

A  

Cách giải

+ Tiếp tuyến cĩ phương trình dạng: y f x( )0  f x'( )(0 xx0), (với x0 là hồnh độ tiếp điểm)

+ Tiếp tuyến qua A( ; )  nên   f x( 0)  f x'( 0)( x0) (*)

+ Giải phương trình (*) để tìm x0 rồi suy ra phương trình tiếp tuyến

Ví dụ 15: Cho đồ thị (C): y x33x , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp 1

tuyến đi qua điểm A(-2; -1)

Giải:

Ta cĩ: y'3x2 3

0; 0 3 0 1

x x  x  là tiếp điểm Hệ số gĩc của tiếp tuyến là y x'( 0)3x02 3

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là  :  3  2

y x  x   x  xx

Trang 8

 qua A(-2;-1) nên ta cĩ:  3  2

1.4 Dạng 4 Một số bài tốn tiếp tuyến nâng cao

Ví dụ 16: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: yx33x sao cho tiếp 2tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2

Giải:

Gọi A a a( ; 33a2) , ( ;B b b33b2) ,a là hai điểm phân biệt trên (C) b

Ta cĩ: y'3x2 nên các tiếp tuyến với (C) tại A và B cĩ hệ số gĩc lần lượt là: 3

Tĩm lại cặp điểm A, B cần tìm cĩ tọa độ là: ( 2; 0) à (2; 4) v

Ví dụ 17: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: 2 1

1

x y x

Trang 9

m m

Trang 10





 , biết rằng khoảng cách từ điểm I(-1; 2) đến tiếp tuyến là lớn nhất

Trang 11

x   khơng là nghiệm phương trình)

+ Tại điểm M2(-1; ) ta cĩ phương trình tiếp tuyến là: y = - x - 1: thỏa mãn song song với d

Vậy cĩ hai tiếp tuyến cần tìm cĩ phương trình là: y  x 1; y   x 1

1

x y x





 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Cho điểm M o( ;x y thuộc đồ thị (C) Tiếp tuyến của (C) tại M o o) 0 cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B Chứng minh Mo là trung điểm của đoạn thẳng AB





 (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một

tam giác cĩ diện tích khơng đổi

Giải

a) Tự làm

b) Giả sử M 2

;1

a a a

IA a



 ; IB (2a 2; 0)



   IB2a 1

Trang 12

Diện tích IAB : SIAB= 1







1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại

A và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm tọa độ điểm M sao cho đường trịn ngoại

tiếp tam giác IAB cĩ diện tích nhỏ nhất

2

0 0

1

22

x

x x

11

3

x x

Trang 13

Khoảng cách từ I ( 1; 2) tới tiếp tuyến là

2 0

0

0 2 0





 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp

tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(4; 2)

Giải

Gọi x0 là hồnh độ tiếp điểm (x   ) 0 1

0 2

y x y x y x

Chú ý: Bài tốn này cĩ thể giải bằng cách sau: Tiếp tuyến cách đều A, B nên cĩ 2 khả năng: Tiếp

tuyến song song (trùng) AB hoặc tiếp tuyến đi qua trung điểm của AB

( )1

x



 tìm điểm M ( )C sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

M cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho tam giác OAB cĩ diện tích bằng 1

( 1)

y x



Tiếp tuyến tại M cĩ dạng:

Trang 14

2

2 0

( , 0)

00

S = 1

2 OA.OB =

4 0 2 0





 (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy và tiếp tuyến của (C) tại điểm cĩ hồnh độ x = 3

Bài 5 Cho hàm số y x4x2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến 6

đĩ vuơng gĩc với đường thẳng d: 1 1





 Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; 3)

Trang 15

Bài 7 Cho hàm số: y = 2

2

x x



 cĩ đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(-6,5)

Bài 8 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = 2x3 + 3x2 - 12x - 1 kẻ từ điểm 23





a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)

b) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại

A, B sao cho AB ngắn nhất

Bài 10 Cho hàm số: 1

1

x y x

Bài 11 Cho hàm số y x3 1 m x( 1) (C m).Tìm m để tiếp tuyến của (C m) tại giao điểm của

nĩ với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác cĩ diện tích bằng 8

Bài 12 Cho hàm số: 1

2( 1)

x y x





a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác cĩ trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = 0

Bước 3: Lập bảng biến thiên Kết luận

Bước 1: Tìm TXĐ Bước 2: Tính / 

Trang 16

0

'( ) 0' dơi dau qua x

y x y

0)('

0

x y

b/ Điều kiện để hàm số cĩ cực đại tại x 0 :

0 ) ( ' 0

0

x y

e/ Điều kiện để hàm bậc 4 cĩ 3 cực trị: y/ = 0 cĩ 3 nghiệm phân biệt

2.1.3 Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

 Tìm điều kiện để hàm số cĩ cực trị

 Biễu diễn điều kiện của bài tốn qua tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số, từ

đĩ đưa ra điều kiện của tham số

Trang 17

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại y CĐ  1 19

3 2

2 6

Trang 18



* Giáo viên cần làm cho học sinh hiểu rõ thế mạnh của việc sử dụng quy tắc 1 và quy tắc 2

Chú ý: Quy tắc 1 cĩ ưu điểm là chỉ cần tính đạo hàm cấp một rồi xét dấu y’ và lập bảng

xét dấu y’, từ đĩ suy ra các điểm cực trị Nhưng quy tắc 1 cĩ nhược điểm là nĩ địi hỏi phải xét dấu y’, điều này khơng phải bao giờ cũng đơn giản

Nếu bài tốn khơng yêu cầu tìm điểm cực trị thì quy tắc 1 là hơi thừa, khi đĩ ta sử dụng quy tắc 2 Song quy tắc 2 cũng cĩ nhược điểm là nhiều khi việc tính y” là rất phức tạp, đặc biệt khi khơng

sử dụng được trong trường hợp f x,( 0)= f,,(x0)=0

Quy tắc 1 thường được dùng cho các hàm đa thức, hàm phân thức và tích các lũy thừa Quy tắc 2 thường được sử dụng cho các hàm lượng giác

Ví dụ 4: Cho hàm số: yx33(m1)x29xm, với m là tham số thực.Xác định m để hàm số

đã cho đạt cực trị tại x x sao cho 1, 2 x1x2  2

Giải

 Ta cĩ y'3x2 6(m1)x9

 Hàm số cĩ cực đại, cực tiểu x1, x2  PT y’ = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt là x1, x2

 x22(m1)x  cĩ hai nghiệm phân biệt là 3 0 x x 1, 2

  ' (m1)2 3 0 m  1 3  m  1 3 (1)

Theo đề ta cĩ: x1x2 2x1x224x x1 2 4 (*)

Theo định lý Viet ta cĩ: x x 2(m1); x x 3

Trang 19

Trang 20

Đề cương toán THPT 2016 Giải

Giả sử hàm số cĩ hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0)  AB(2 ; 4m  m3)

Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3)

Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB vuơng gĩc với đường thẳng y = x và

I thuộc đường thẳng y = x

3 3

     cĩ 2 nhiệm phân biệt    1 0, m

Khi đĩ, điểm cực đại (A m1; 22 )m và điểm cực tiểu B m(   1; 2 2 )m

A B m m C m m Do đĩ nếu ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuơng cân, thì đỉnh sẽ là A

Trang 21

Do tính chất của hàm số trùng phương, tam giác ABC đã là tam giác cân rồi, cho nên để thỏa mãn điều kiện tam giác là vuơng, thì AB vuơng gĩc với AC

+) Tọa độ ba điểm cực trị: A(0 ; 1), B(- m ; 1 – m4), C(m ; 1 – m4) ;

+) CM tam giác ABC cân đỉnh A Tọa độ trung điểm I của BC là I(0 ; 1 – m4)

Ví dụ 12 Cho hàm số yx42mx2 (1) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thi hàm số (1) 1

cĩ ba điểm cực trị và đường trịn đi qua ba điểm này cĩ bán kính bằng 1

 phương trình y’ = 0 cĩ 3 nghiệm phân biệt  m > 0

Khi m > 0, đồ thị hàm số (1) cĩ 3 điểm cực trị là

Gọi I là tâm và R là bán kính của đường trịn đi qua 3 điểm A, B, C

Vì 2 điểm A, B đối xứng qua trục tung nên I nằm trên trục tung

  hoặc I(0 ; 2)

* Với I O(0 ; 0)

Trang 22

01

Phương trình (*) vơ nghiệm khi m > 0

Vậy bài tốn thỏa mãn khi m = 1 và m = 1 5

2

 

Ví dụ 13 Cho hàm số yx42mx2m  (1), với m là tham số thực Xác định m để hàm số 1(1) cĩ ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác cĩ bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng 1

12

b) Tìm m để hàm số cĩ hai cực trị trên 0; 

c) Tìm m để đồ thị hàm số cĩ hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung

d) Tìm m để đồ thị hàm số cĩ hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hồnh

Trang 23

y x  m x  mx cĩ hai điểm cực trị A và B sao cho

đường thẳng AB vuơng gĩc với đường

Bài 8 Tìm m để đồ thị hàm số yx33mx23m3 cĩ hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB cĩ diện tích bằng 48

Bài 9 Cho hàm số yx33mx24m3 (1), với m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1)

cĩ hai điểm cực trị A và B sao cho OA2OB2 20

Bài 10 Cho hàm số 1 3 2

3

y x  x  x (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Gọi A, B lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1) Tìm điểm M thuộc trục hồnh sao cho tam giác MAB cĩ diện tích bằng 2

Bài 14 Cho hàm số y = 2x3 + 9mx2 + 12m2x + 1, trong đĩ m là tham số.Tìm tất cả các giá trị

Trang 24

của m để hàm số cĩ cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x2CĐ= xCT

yx  x  m x  m C Tìm m để hàm số cĩ cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác cĩ diện tích bằng 4

Bài 16 Cho hàm số yx33x23(1m x2) 2m22m  (m là tham số)Tìm tất cả các giá 1

trị của tham số thực m để hàm số đã cho cĩ cực đại, cực tiểu; đồng thời hai điểm cực trị của đồ thị

hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng d x: 4y 5 0

2

yx  m x  m x  (1), m là tham số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m   2

b) Tìm m 0để đồ thị hàm số (1) cĩ giá trị cực đại, giá trị cực tiểu lần lượt là y CĐ,y CT thỏa mãn 2y CĐ y CT  4

Bài 23 Cho hàm số yx42(m1)x2m (1), m là tham số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cĩ ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là gốc tọa

độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị cịn lại

Bài 24 Cho hàm số y x42mx2  cĩ đồ thị 4 C m (m là tham số thực)

Tìm tất cả các giá trị của m để các điểm cực trị của đồ thị C mnằm trên các trục tọa độ

yx  m x m m , m là tham số thực

Tìm m để đồ thị hàm số  1 cĩ ba điểm cực trị lập thành một tam giác cĩ diện tích bằng 1

Bài 26 Cho hàm số y x42mx22m  (1), m là tham số 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m 2

b) Tìm m để ĐTHS (1) cĩ ba điểm cực trị nằm trên một đường trịn cĩ bán kính bằng 1

Trang 25

Đề cương toán THPT 2016 Bài 27 Cho hàm số 4   2

b) Xác định tham số m để hàm số cĩ 3 cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều

Bài 28 Cho hàm số yx42m x2 2m41(1).Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cĩ ba điểm cực trị A B C sao cho các điểm , ,, , A B C và điểm O nằm trên một đường trịn, trong đĩ O là gốc tọa

độ

yx  m x m m , m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m   1

b) Tìm m để đồ thị hàm số  1 cĩ ba điểm cực trị lập thành một tam giác cĩ diện tích bằng

32

Bài 30 Cho hàm số yx42mx2m cĩ đồ thị 1 C m.Tìm các giá trị thực của tham số m để

đồ thị C m cĩ ba điểm cực trị nằm trên đường trịn cĩ bán kính bằng 1

Bài 31 Cho hàm số 1 4 2

3

y x  mx  , với m là tham số Tìm m để đồ thị của hàm số (1)

cĩ ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cĩ tâm đường trịn ngoại tiếp trùng với gốc tọa độ

Bài 32 Cho hàm số   4   2 2

y f x  x  m x m  m a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 1

b) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cĩ các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuơng cân

3 Chủ đề 3: Bài tốn tương giao

3.1 Kiến thức cơ bản

3.1.1 Bài tốn tương giao tổng quát:

Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và y = g(x,m) Hồnh độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình

f(x, m) = g(x,m) (1)

 Nhận xét: Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số

Sau đĩ lập phương trình tương giao của d và (C)

3.1.2 Bài tốn cơ bản:

Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và d: y =ax+b

Hồnh độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình f(x,m) = ax+b (1)

Trang 26

+ Nếu (1) dẫn đên một phương trình bậc hai, ta cĩ thể sử dụng định lý Viet

 Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ

Cho phương trình: f x( )a x n na n1x n1 a x1 a0  0

Nếu phương trình cĩ nghiệm hữu tỷ p

x q

 (p, q)=1 thì q a và \ n p a \ 0

 Phương pháp hàm số

Chuyển phương trình hồnh độ tương giao về: g(x) = m

Khi đĩ số nghiệm chính là số giao điểm của đồ thị y = g(x) và đường thẳng y = m

 Hàm số đồng biến trên (0 ; 2); hàm số nghịch biến trên (; 0) và (2; )

 Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = -1

 Đồ thị: Điểm đặc biệt: (0;-1), (-1; 3), (3; -1), (1; 1)

Trang 27

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình x43x2 m cĩ 4 nghiệm phân biệt 0

Trang 28

 Dựa vào đồ thị, phương trình cĩ 4 nghiệm phân biệt 1 1 13 0 9





a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x – m luơn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

cĩ ba nghiệm phân biệt  g(x) = x2 – 4x + 4 – k = 0 cĩ hai

Với điều kiện: (*) thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C.Với A(-1;0), do đĩ B,C cĩ hồnh độ

là hai nghiệm của phương trình g(x) = 0

Trang 29

Gọi B x y 1; 1;C x y 2; 2với x x là hai nghiệm của phương trình: 1; 2 x24x 4 k  Cịn 0

k



Vậy theo giả thiết:

3 2

Chứng tỏ với mọi m d luơn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B

Gọi A x 1; 2 x1m B x ; 2; 2 x2m Với: x x là hai nghiệm của phương trình (1) 1, 2

Ta cĩ ABx2x1; 2x1 x2  AB x2x124x2x12  x2x1 5

Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của O trên d, thì khoảng cách từ O đến d là h:

C cĩ hồnh độ khác khơng ; M(1;3) )

Giải

Đồ thị (1) cắt d tại ba điểm A, B, C cĩ hồnh độ là nghiệm của phương trình:

Trang 30

- Theo giả thiết: S = 4  x2x1 4; 2  ' 4;m2m 2 4 m2 m  6 0

Kết luận: với m thỏa mãn: m  2 m 3 m (chọn) 3

Hàm số là chẵn nên hình phẳng trong bài tốn nhận Oy làm trục

đối xứng Khi đĩ đồ thị cĩ dạng như hình bên

Bài tốn thỏa mãn

Trang 31

Trang 32

Trang 33



m m

0

m m

Bài 1 (Cho hàm số y x33(m1)x23mx và đường thẳng 2 d y: 5x  Tìm m để đường 1

thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

a) cĩ hồnh độ dương

b) cĩ hồnh độ lớn hơn 2

c) cĩ hồnh độ x x x thỏa mãn 1; 2; 3 x12x22x32 21

Bài 2 Cho hàm số yx33mx23x3m và đường thẳng 2 d y: 5x  Tìm m để đường 1

thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

a) cĩ hồnh độ lớn hơn –1

b) cĩ hồnh độ x x x thỏa mãn 1; 2; 3 x12x22 x32 15

Bài 3 Cho hàm số yx33mx2 (m1)xm và đường thẳng 1 d y: 2xm  Tìm m để 1

đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt cĩ hồnh độ lớn hơn hoặc bằng 1

Bài 4 Cho hàm số yx33mx23(m21)x(m21)

Tìm m để đồ thị (C) cắt Ox tại ba điểm phân biệt cĩ hồnh độ dương

Bài 5 Cho hàm số y = 2x3 – 3x2– 1, cĩ đồ thị là (C) Gọi (d k ) là đường thẳng đi qua A(0; –1) và

cĩ hệ số gĩc bằng k Tìm k để đường thẳng d k cắt (C) tại

a) 3 điểm phân biệt

b) 3 điểm phân biệt, trong đĩ hai điểm cĩ hồnh độ dương

Bài 6 Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4, cĩ đồ thị (Cm)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

b) Cho d là đường thẳng cĩ phương trình y = x + 4 và điểm K(1 ; 3) Tìm m để d cắt (Cm)

tại ba điểm phân biệt A(0 ; 4), B, Csao cho tam giác KBC cĩ diện tích bằng 8 2

Bài 7 Cho hàm số yx32mx23(m1)x (1), m là tham số thực 2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m 0

b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng : y   tại 3 điểm phân biệt (0; 2)x 2 A ; B;

C sao cho tam giác MBC cĩ diện tích 2 2 , với M(3;1)

Bài 8 Cho hàm số y x36x29x cĩ đồ thị là (C) và hai điểm A( 1;3), B(1; 1)3  

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tìm các điểm M thuộc (C) sao cho tam giác ABM cân tại M

Bài 9 Cho hàm số: yx33x 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

Trang 34

b) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho x  và A 2

2 2

MN 

Bài 10 Cho hàm số yx33x2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị (C) Tìm tọa độ các điểm M thuộc (C) sao cho tam giác MAB cân tại M

   cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho A

cố định và diện tích tam giác OBC gấp hai lần diện tích tam giác OAB

Bài 12 Cho hàm số yx32mx2(m3)x cĩ đồ thị là (C4 m).Tìm m để đường thẳng (d): y

= x + 4 cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho SBCD 2 2 với D(1; 3)

yx  x  m x cĩ đồ thị C m với m là tham số a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m   1

b) Tìm m để đường thẳng  d :yx cắt đồ thị 1 C m tại 3 điểm phân biệt P0,1 , M N,

sao cho bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác OMN bằng 5 2

Bài 15 Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 cĩ đồ thị là (C m ); (m là tham số) Xác định m để (C m)

cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (C m ) tại D và

E vuơng gĩc với nhau

Bài 16 Cho hàm số y = x3- (m+1)x2 + (m - 1)x + 1Chứng tỏ rằng với mọi giá trị khác 0 của m,

đồ thị của hàm số cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt A, B, C trong đĩ B, C cĩ hồnh độ phụ

thuộc tham số m Tìm giá trị của m để các tiếp tuyến tại B, C song song với nhau

Bài 17 Cho hàm số 4   2

yx  m x  m cĩ đồ thị là (Cm), m là tham số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0

b) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt đều cĩ hồnh độ nhỏ hơn 3

Bài 18 Cho y =x4 -2(m+1)x2 +2m+1Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại 4 điểm phân biệt

cĩ hồnh độ lập thành cấp số cộng

Bài 19 Cho hàm số: 2 3

2

x y x





 cĩ đồ thị ( C )

Trang 35

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C )

b)Xác định m để đường thẳng (d): y xm cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cĩ diện tích bằng 2 3 (với O là gốc tọa độ)

Bài 20 (KB-2010) Cho hàm số: y = 2 1

1

x x



 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C )

b) Tìm m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cĩ diện tích bằng 3 (O là gốc tọa độ)





a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tìm m để đường thẳng yxmcắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB 4

Bài 23 Cho hàm số 2 1

2

x y x





 cĩ đồ thị là (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx+3 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam

giác OAB vuơng tại O

Bài 25 Cho hàm số 2

x y x





 ( C ) a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số

b) Tìm m để (dm) cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C)

Bài 26 Cho hàm số y = 2 4

2

x x



 (1) Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + 2 - 2m cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau

Bài 27 Cho hàm số: 2

2

x y x





 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị m thì trên (C) luơn cĩ cặp điểm A, B nằm về hai nhánh

Trang 36

Đề cương toán THPT 2016 Bài 28 Cho hàm số y = 2

1

x x



 (C) và đường thẳng d: y = x+m cắt đồ thị  C tại các điểm A và B sao cho tam giác IAB nhận điểm H4; 2  làm trực tâm Với I là giao điểm của hai đường tiệm cận

Bài 29 Cho hàm số

2

y x

 



 (C) Tìm số thực dương m để đường thẳng  d : 2x2y  1 0cắt (C) tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB cĩ diện tích bằng 1 trong đĩ O là gốc tọa độ

1

x y

x



 Tìm những điểm trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại điểm

đĩ tạo với hai trục tọa độ một tam giác cĩ trọng tâm cách trục hồnh một khoảng bằng 5

3

1

x y x





 (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tìm m để đường thẳng d: y xm cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OAB vuơng tại O

Bài 33 Cho hàm số 1

1

x y x

4.1 Kiến thức liên quan

Đồ thị chứa dấu trị tuyệt đối

Trang 37

x y’

0

phía dưới trục Ox

+Bỏ đi phần (C) nằm ở phía dưới

Ox

+Bỏ đi phần (C) nằm ở bên trái Oy

+Lấy đối xứng qua Oy vớ́i phần đồ thị (C) ở bờn phải

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (C)

*) Khảo sát sự biến thiên:

.

4

Trang 38

.

-1 -2

+) Phần từ trục hồnh trở lên của đồ thị hàm số y = f(x)

+) Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hồnh của đồ thị hàm số y = f(x)

+) Phần bên phải Oy của đồ thị hàm số y = f(x)

+) Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy

Ví du 2 Cho hàm số 1

1

x y x





  cĩ đồ thị (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số

2 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 1

.1

x

m x

Định dạng
Số trang	77
Dung lượng	0,93 MB