ôn tập 10 phương trình vô tỉ liên hợp

1) Cơ sở phương pháp: Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm được nghiệm0xhữu tỉ, khi đóphương trình luôn phân tích thành0( ) ( ) 0 x x P x  . Từ đó ta đưa về pt đơn giản hơn.2) Cách nhẩm nghiệm: Ta thường thử các giá trị0xđể trong căn là bình phương hoặc lậpphương, hoặc sử dụng máy tính fx để dò nghiệm.Một số hằng đẳng thức hay sử dụng:+  2 2x y x y x y     x y x y x y x y        ; , 0+  3 3 2 2x y x y x xy y     Dạng 1. Liên hợp theo hai biểu thức chứa cănVới dạng liên hợp đơn giản này, ta chỉ cần chọn hai biểu thức có căn phù hợp2 2 ; , 0; 0 x yx y x y x yx y    Bài 1. Giải phương trình75 1 3 133xx x    .ĐKXĐ:15x  .Nhận xét5 1 (3 13) 2( 7) x x x     nên liên hợp ta có5 1 (3 13) 75 1 3 13 3x x x PTx x      7 7 25 1 3 13 3x xx x     7 (1)2 1 (2)5 1 3 13 3xx x      (2) 5 1 3 13 6      x xNếux 1thì VT (1) >4 16  6; còn nếux 1thì VT (1) 0 với mọi xVậy phương trình (2) có một nghiệm duy nhất PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang3Bài 4. Giải phương trình  2x x x x        1 2 2 1 3Đk:x 1. Nhận xét: x x     2 1 3   nên ta nhân liên hợp                                                                                  2 2222 222221 2 2 1 3 2 1 2 1 3 1 22 1 02 1 1 22 1 1 22 12 12 2 (TMÑK).2 01x x x x x x x x x xx xx x x xx x x xx xx xx xx xxBài tự luyệnBài 5. Giải phương trìnha)34 1 3 25xx x   b)10x 1 3x 5 9x 4 2x 2 .c) 2x x x      1 1 4 3Đs1x2d) A – 2007 Gpt2 3 2 6 x x x     x 3e)2 2 2 2 3 7 3 2 3 5 1 3 4 x x x x x x x           . ĐS:x 2.Bài 6. Giải phương trình:a)  2x x x x        5 2 1 7 10 3Đs x = 1a) 1 1 1 2 5       x x x x  ĐS:x 2.HD a) Liên hợp theo x x    5 2ta có: x x      5 1 2 1 0  PTVT – PP liên hợp Thầy Hồng Trí Quang4Bài 7. Giải phương trình26 4 2 4 2 24xx xx    (16)Bài 8. Giải phương trình:  2 2x x x x x x        3 1 4 3 2Dạng 2. Liên hợp theo nghiệm

1

1) Cơ sở phương pháp: Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm được nghiệm x hữu tỉ, khi đó 0

phương trình luôn phân tích thành (xx P x0) ( )0 Từ đó ta đưa về pt đơn giản hơn

2) Cách nhẩm nghiệm: Ta thường thử các giá trị x để trong căn là bình phương hoặc lập 0

phương, hoặc sử dụng máy tính fx để dò nghiệm

Một số hằng đẳng thức hay sử dụng:

x y  xy xy x y  x y x y; ,x y0

Dạng 1 Liên hợp theo hai biểu thức chứa căn

Với dạng liên hợp đơn giản này, ta chỉ cần chọn hai biểu thức có căn phù hợp

2 2

x y





3

x

5

x

Nhận xét 5x 1 (3x13)2(x7)nên liên hợp ta có

3

PT

  

2

3

  

(2) 3

x







   

 (2) 5x 1 3x136

Nếu x1 thì VT (1) > 4 166; còn nếu x1 thì VT (1) < 4 166

Dễ thấy x1 là nghiệm phương trình (1)

Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x11;x2 7

Bài 2 Giải các phương trình 3x 2 x 1 2x2 x 3

2

HD ĐK

1

3x 2 x 1 x

   nên pt có nghiệm duy nhất:

3 2

x

3x 5x 1 x  2 3 x   x 1 x 3x4 (2) Đs x = 2 Giải:

Ý tưởng:

Trước hết, kiểm tra ta thấy được rằng phương trình đã cho có một nghiệm x2 nên ta sẽ cố gắng đưa phương trình trên về phương trình tích xuất hiện nhân tử x2 Ta có nhận xét rằng:

3x25x 1 3x23x  3 2x2 và x22  x23x43x2

Ta đi đến lời giải như sau:

          

   

    

x

   

    

Mặt khác, ta có:



   

Vậy phương trình (2) có một nghiệm duy nhất

3

x  x x    x

Đk:x1 Nhận xét: x 2 x 1 3 nên ta nhân liên hợp

    



          

       





   



  





2 2

2

2 2

2

2 1 0

2 1

2

x

Bài tự luyện

Bài 5 Giải phương trình

5

x

2

d) A – 2007 Gpt 2x 3 x 2x6

e) 3x27x 3 x2 2 3x25x 1 x23x4 ĐS: x 2

Bài 6 Giải phương trình:

HD a) Liên hợp theo  x 5 x2ta có:  x 5 1 x  2 1 0

4

Bài 7 Giải phương trình

2

6 4

2 4 2 2

4

x

x



 (16)

Bài 8 **Giải phương trình:    2 2 

Dạng 2 Liên hợp theo nghiệm 𝐱𝟎

x   x x  x 

Sử dụng ALPHA CALC hoặc nhẩm giá trị để các biểu thức trong căn là bình phương, ta tìm được

x 3 là một nghiệm của phương trình

Một cách tự nhiên, ta suy nghĩ tách ghép phù hợp sao cho phương trình xuất hiện nhân tử x 3

x 2 4 x với nhau, mặc dù nó xuất hiện nhân tử

x 3 nhưng biểu thức còn lại 2x2 5x 1 không xuất hiện x 3 Hơn nữa, sau khi nhân liên hợp nó xuất hiện hạng tử x 2 4 x dưới mẫu số mà chưa có thể khẳng định được âm hay dương trong tập xác định của x

Do đó, ta suy nghĩ đi tìm hai số , 0 trong hai biểu thức  x 2  , 4 x  để sau khi nhân lượng liên hợp, cả hai đều xuất hiện x3 Muốn vậy ta tìm hai số a, b sao cho

Muốn vậy tìm hai số a b, 0 sao cho hệ 2 0

   





  

 đúng với x3

1 1

a b

 



 





Từ đó ta thêm bớt để có liên hợp như sau:

Bài giải tham khảo Điều kiện: 2 x 4

          

5

   

 

3

2 1 1

x

x







    



● Xét pt (1) Với x 2;4 ta có

VT = 2x 1 5 2

● Từ 2 , 3 1 vô nghiệm

● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 3

3x 1 6 x 3x 14x 8 0 1 ( khối B-2010)

Phân tích:

Ta tìm một số 1 6

3

x  x 

  sao cho 3 x1 và 6x là một số chính phương thỏa mãn phương trình

trên Dễ thấy x5 thỏa (1) (Ta có thể tìm ra nghiệm x = 5 bằng cách sử dụng máy tính fx) Vì vậy ta đưa phương trình trên về dạng x5  f x 0, vì vậy ta cần làm xuất hiện nhân tử chung x5 từ vế trái của phương trình bằng phương pháp lien hợp

Muốn vậy tìm hai số a b, 0 sao cho hệ 3 1 0

   





  

4 1

a b

 



 





Lời giải:

3 x

  

6

 

3 1 0 *

x

   





    



Ta thấy phương trình (*) vô nghiệm với 1 6

3 x

   Vậy x5 là nghiệm duy nhấy

Bài 11 Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : x212 5 3x x25

Giải:

3

Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình

Do

0

5 3

x

 

Từ đó

3 0,

3

x

Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 2

4 2 102x  9x37 4x 15x33

ĐK: x5

4 4 9x 37 8 4 10 2x 4x 15x 81 0

( 3)(4 27) 0

x

 

7

TH 1 x    3 0 x 3 (TMPT)

TH 2 x 3 pt

x x

 

3

x x x

 

Do x5 nên 36 16 4.5 27 0

12 4

VT      Đẳng thức xảy ra  x 5

Vậy phương trình có 2 nghiệm là 3 và 5

Bài 13 Giải các phương trình sau:

1) 2x 1 x23x 1 0 2) 3 2  x22x x6

3)

2 2

1

  

 4) 9 4x 1 3x2 x 3

5

x

   

Bài 14 Giải phương trình:

2x 11x21 3 4 x4 

b) 2x216x18 x2 1 2x4 ĐS: 1; 32 513

7

  

Dạng 3 Đưa về “hệ tạm”

 Nếu phương trình vô tỉ có dạng A B C, mà : A B C

ở đây C có thể là hàng số, có thể là biểu thức của x Ta có thể giải như sau :

A B









Bài 15 Giải phương trình : 2x2   x 9 2x2    x 1 x 4

8

Ta có VT  0 (x4) 0 2x2   x 9 2x2  x 1

Nhân với biểu thức liên hợp với 2x2  x 9 2x2 x 1 ta được 2x2  x 9 2x2  x 1 2

Kết hợp với pt đã cho, ta có hệ





      



7

2 x 7x10 x x 12x20 (3) Giải:

Điều kiện:

2 2

7 10 0

10 20 0







Cũng bằng cách kiểm tra, ta thấy pt (3) nhận x = 1 làm một nghiệm nên ta có thể đưa phương trình (3) về dạng phương trình tích xuất hiện nhân tử x1

Ta viết lại như sau:

3 2 x 7x10 x1   x 12x20 x2 

Để ý rằng hai phương trình 2  

x  x   x và 2  

x  x  x  vô nghiệm nên nhân liên hợp hai vế của (4) ta có:



       

1

(*)

x









Pt (*)8 x27x10 9 x212x20 x 10

Đến đây ta có hai hướng giải quyết:

9

Hướng 1: bình phương hai vế…

Hướng 2: kết hợp với pt (3) ta có hệ sau







Lấy phương trình thứ nhất trừ đi 9 lần phương trình thứ hai, ta thu được:

2

2

5

15 5 5

2

x



   



Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm 1, 15 5 5

2

x x 

Tự luyện

Bài 17 Giải phương trình 3

24 12 6

x   x (10) Bài tự luyện

Bài 18 Giải phương trình

a) x2 3x 1 (x3) x2 1

b) 4 3 10 3  x  x 2

c) 2 (2x)(5x)  x (2x)(10x)

d) 2x2 16x18 x2  1 2x4

e) 2x2  1 x2 3x 2 2x2 2x 3 x2  x 2

Bài 19 Giải phương trình

2

x

b) x   1 9 x2   1 4 x

c) x2153x 2 x28

d) 3x2 5x 1 x2 2 3x2 3x 3 x2 3x4 Đs x = 2

10

Bài 20 Giải phương trình:

a) 2 33 x   2 3 6  5 x  16  0

b) ( x  3)(2 x    5) 6 3 43 x  4

Bài 21 Giải phương trình :

a) 3 x2   4 x   1 2 x  3

b) 3 x2  1 3x3 2 3x2

c) 2x2 11x21 3 4 3 x 4 0

d) 3 x2    1 x x3  1

Bài 22 Giải các phương trình sau:

a) 3

3 3

2x 1 x 1

c) 2x 1 x23x 1 0 d) 9 4x 1 3x2 x 3

e) x 1 x 4 x 9 x16 x100

Bài 23 Giải phương trình

5x 1 9 x 2x 3x1

b) 33 x2  x2  8 2 x215 (1)

Bài 24 Giải phương trình

6

x

x



 b) *3162x3 2 27x29x 1 1

3 Liên hợp theo hai nghiệm – nghiệm lẻ – liên hợp theo biểu thức chứ biến

Bài 25 Giải phương trình D – 2006 x23x 1 2x 1 0

Điều kiện 1

2

x

Với sự trợ giúp của máy tính, ta dò được hai nghiệm là x = 1 và x 2 2

Cách 1 Nếu liên hợp theo nghiệm x = 1 ta có

11

Biến đổi và nhân lượng liên hợp để đưa về phương trình tích số

2x 1 1 x 3x 2 0

       

2 1 1

x

x

x



x

     

 

Đến đây, việc giải phương trình trong ngoặc bằng cách đặt ẩn phụ t  2x 1 1

Cách 2 Nếu liên hợp theo nghiệm x 2 2 Điều này đòi hỏi kĩ thuật hơn, bởi phương trình không xuất hiện nhân tử x 2 20 Ta phải tìm được biểu thức hệ số nguyên mà có nghiệm x 2 2

Dễ dàng có: x 2 2  2 2 x  2

2 2 x

4 2 0

Vậy ta sẽ liên hợp làm xuất hiện nhân tử x24x2

2

2x1  1 x   x 4x2 nên ta sẽ tách liên hợp như sau:

2x 1 (1 x) x 4x 2 0

        

  

  

2

4 2 0

2 1 (1 ) 1

   

 

   



Ta dễ dàng giải được pt có nghiệm x = 1 và x 2 2

Bài 26 Giải phương trình 3 2

x  x   x

12

3 x 3

Sử dụng Shift Solve để tìm ra 2 nghiệm của phương trình là:

1 0, 6180339887 ; 2 1, 618033989

x   x  sau đó gán hai nghiệm này vào hai biến A và B

Ta thu được kết quả “đẹp” sau: A B   1, AB   1

Và từ đây, ta có thể dự đoán được 2

1

x  x chính là nhân tử của pt!

Trong trường hợp bạn không tìm được hai nghiệm, mà chỉ tìm được một nghiệm x2 1, 618033989 ,

khi đó cần dự đoán 1 5

2

2x 1 5

2x 1 5

1 0

Xét px q  8 3 x2  2  2

2

8 3

8 3

x px q

  



  

2

8 3

x px q



  

Đến đây, để xuất hiện nhân tử 2

1

Chọn a = 4 thì ta được một cặp (p, q) thỏa mãn là (p, q) = (-1; 2) Khi đó ta thêm bớt:

Bài giải

x  x   x  x 

2 3

2

1

x x

 

  

2

4

Cách 1

2

4 1

8 3 2

x

  

2 6 4

1 0

2 3



f x   x  x ta có:   3 2

8 3

x

x





13

2

3

8 3

x

x





Ta có bảng biến thiên:

  6 4 6

3

3

0

3

 

2

3

f x



Vậy phương trình đã cho có nghiệm 1 5

2

x 

Tự luyện

Bài 27 Giải phương trình:   2 2  

1 2 3 1

3 x 2 x x x 4x   4 x x 1

Bài 29 Giải phương trình: 2x2   x 1 x2   x 1 3x

LUYỆN TẬP

Bài 30 Giải phương trình sau x2 x 6 x 2 18

Bài 31 Giải phương trình : x 1 x 1 2 x x2 2 (17)

Bài 32 Giải phương trình 2   2

x   x x x  x