Một số phương pháp tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian banach

Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov.. T½nh ên ành cõa ph÷ìng ph¡p.. Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov v ph÷ìng ph¡p... Mð ¦uB i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khænggi

„I HÅC THI NGUY–N

LÍI CAM OANC¡c k¸t qu£ tr¼nh b y trong luªn ¡n l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa tæi,

÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa GS TS Nguy¹n B÷íng v  GS

TS Jong Kyu Kim C¡c k¸t qu£ tr¼nh b y trong luªn ¡n l  mîi v  ch÷atøng ÷ñc cæng bè trong c¡c cæng tr¼nh cõa ng÷íi kh¡c

Tæi xin chàu tr¡ch nhi»m v· nhúng líi cam oan cõa m¼nh

T¡c gi£

Tr÷ìng Minh Tuy¶n

LÍI CƒM ÌNLuªn ¡n n y ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m, ¤i håcTh¡i Nguy¶n d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa GS TS Nguy¹n B÷íng v 

GS TS Jong Kyu Kim T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi c¡cTh¦y

Trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu, thæng qua c¡c b i gi£ng v seminar t¡c gi£ luæn nhªn ÷ñc sü quan t¥m gióp ï v  nhúng þ ki¸n

âng gâp quþ b¡u cõa GS TSKH Ph¤m Ký Anh, PGS TS Ph¤m NgåcAnh, PGS TS Ph¤m Hi¸n B¬ng, PGS TS Ph¤m Vi»t ùc, TS  o ThàLi¶n, GS TSKH Nguy¹n V«n Mªu, TS H  Tr¦n Ph÷ìng, TS Vô VinhQuang, PGS TS Nguy¹n N«ng T¥m, GS TSKH Nguy¹n Xu¥n T§n, GS.TSKH é ùc Th¡i, GS TS Tr¦n Vô Thi»u, TS Nguy¹n Thà Thu Thõy,

TS Vô M¤nh Xu¥n Tø ¡y láng m¼nh t¡c gi£ xin ÷ñc b y tä láng bi¸t

ìn s¥u s­c ¸n c¡c Th¦y

T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban chõ nhi»m khoa To¡n, khoa Sau

¤i håc v  Ban gi¡m hi»u tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m, ¤i håc Th¡i Nguy¶n

¢ t¤o måi i·u ki»n tèt nh§t º t¡c gi£ câ thº ho n th nh luªn ¡n cõam¼nh

T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y cæ trong khoa To¡n, tr÷íng

¤i håc S÷ ph¤m v  c¡c th¦y cæ trong khoa To¡n - Tin, tr÷íng ¤i håcKhoa håc, ¤i håc Th¡i Nguy¶n, còng to n thº anh chà em nghi¶n cùusinh chuy¶n ng nh To¡n Gi£i t½ch, b¤n b± çng nghi»p ¢ luæn quan t¥m,

ëng vi¶n, trao êi v  âng gâp nhúng þ ki¸n quþ b¡u cho t¡c gi£ trongsuèt qu¡ tr¼nh håc tªp, seminar, nghi¶n cùu v  ho n th nh luªn ¡n.T¡c gi£ xin k½nh t°ng nhúng ng÷íi th¥n y¶u trong gia ¼nh cõa m¼nhni·m vinh h¤nh to lîn n y

T¡c gi£

Möc löc

1.1 Mët sè v§n · v· h¼nh håc c¡c khæng gian Banach, to¡n tû

ìn i»u v  ¡nh x¤ khæng gi¢n 7

1.2 B i to¡n °t khæng ch¿nh v  ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh 17

1.2.1 Kh¡i ni»m b i to¡n °t khæng ch¿nh 18

1.2.2 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov 18

1.3 Ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· qu¡n t½nh 21

1.4 Ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· qu¡n t½nh hi»u ch¿nh 25

1.5 B i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n 26

1.5.1 Ph¡t biºu b i to¡n 26

1.5.2 Mët sè ph÷ìng ph¡p x§p x¿ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n 28

1.6 Mët sè bê · bê trñ 37

Ch÷ìng 2 Ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· 39 2.1 Ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· cho b i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n 39

2.2 T½nh ên ành cõa ph÷ìng ph¡p 49

2.3 Ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· v  b i to¡n x¡c ành khæng iºm cõa to¡n tû m-j-ìn i»u 53

2.4 Ùng döng 61 Ch÷ìng 3 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov v  ph÷ìng ph¡p

3.1 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov v  ph÷ìng ph¡p iºm

g¦n k· qu¡n t½nh hi»u ch¿nh cho b i to¡n t¼m iºm b§t

ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n 743.2 T½nh ên ành cõa c¡c ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh 813.3 Ùng döng 87

Danh möc c¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè li¶n quan ¸n luªn ¡n 95

Mët sè kþ hi»u v  vi¸t t­t

αn & α0 d¢y sè thüc {αn} hëi tö gi£m v· α0

Mð ¦u

B i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khænggi¢n trong khæng gian Hilbert hay khæng gian Banach l  mët tr÷íng hñpri¶ng cõa b i to¡n ch§p nhªn lçi: "T¼m mët ph¦n tû thuëc giao kh¡c réngcõa mët hå húu h¤n hay væ h¤n c¡c tªp con lçi v  âng {Ci}i∈I cõa khænggian Hilbert H hay khæng gian Banach E" B i to¡n n y câ nhi·u ùngdöng quan trång trong c¡c l¾nh vüc khoa håc kh¡c nhau nh÷: Xû l½ £nh,khæi phöc t½n hi»u, vªt lþ, y håc (xem [28], [29], [30], [43], [57], [58], [71],[72], [81] )

Khi Ci = F ix(Ti), vîi F ix(Ti) l  tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khænggi¢n Ti, i = 1, 2, , N, th¼ ¢ câ nhi·u ph÷ìng ph¡p ÷ñc · xu§t düatr¶n c¡c ph÷ìng ph¡p l°p cê iºn nêi ti¸ng â l  c¡c ph÷ìng ph¡p l°pKranoselskii [55], Mann [62], Ishikawa [45], Halpern [42] v  ph÷ìng ph¡px§p x¿ m·m [65] Ch¯ng h¤n, t÷ìng tü nh÷ ph÷ìng ph¡p chi¸u xoay váng ºgi£i b i to¡n ch§p nhªn lçi trong khæng gian Hilbert, n«m 1996 Bauschke

H H [16] ¢ · xu§t ph÷ìng ph¡p l°p xoay váng düa tr¶n ph÷ìng ph¡pl°p Halpern cho b i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤nc¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert C¡c k¸t qu£ nghi¶n cùutheo nhúng h÷îng n y câ thº xem trong c¡c t i li»u [16], [31], [46], [69],[70]

Ta bi¸t r¬ng, n¸u T l  mët ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Banach

E, th¼ to¡n tû A = I − T l  mët to¡n tû j-ìn i»u, vîi I l  to¡n tû çngnh§t tr¶n E Nh÷ vªy, b i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu

b i to¡n t¼m khæng iºm chung cõa mët hå húu h¤n c¡c to¡n tû j-ìn

i»u Ai = I − Ti vîi i = 1, 2, , N

Hilbert H, th¼ Rockafellar R T [77] ¢ · xu§t ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k·

º x¡c ành d¢y {xn} nh÷ sau:

ð ¥y cn > c0 > 0 Tuy nhi¶n, vi»c ¡p döng ph÷ìng ph¡p l°p (0.1) ch¿ thu

N«m 2001, Attouch H v  Alvarez F [14] ¢ x²t mët mð rëng cõaph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· (0.1) ð d¤ng

cnA(xn+1) + xn+1− xn 3 γn(xn− xn−1), x0, x1 ∈ H (0.2)

v  gåi l  ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· qu¡n t½nh, ð ¥y {cn} v  {γn} l  haid¢y sè khæng ¥m èi vîi thuªt to¡n mð rëng n y th¼ ng÷íi ta công ch¿

ìn i»u cüc ¤i A trong khæng gian Hilbert

Khi A : E −→ E l  mët to¡n tû m-j-ìn i»u tø khæng gian Banach

iºm g¦n k· vîi hi»u ch¿nh v  gåi l  ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· hi»u ch¿nh

ð d¤ng

cn(A(xn+1) + αnxn+1) + xn+1 = xn, x0 ∈ E (0.3)

bði (0.3) v· mët khæng iºm cõa A khi khæng gian Banach E v  c¡c d¢y

sè d÷ìng {cn} v  {αn} thäa m¢n c¡c i·u ki»n th½ch hñp

N«m 2006 t¡c gi£ Xu H K [85] v  n«m 2009 c¡c t¡c gi£ Song Y., Yang

C [80] ¢ · xu§t v  nghi¶n cùu mët c£i bi¶n cõa ph÷ìng ph¡p iºm g¦nk· cho b i to¡n x¡c ành khæng iºm cõa to¡n tû ìn i»u cüc ¤i A trong

ành bði

xn+1 = JrAn(tnu + (1 − tn)xn+ en), n = 0, 1, 2, (0.4)vîi mët sè i·u ki»n th½ch hñp °t l¶n d¢y sè {tn} v  d¢y sai sè t½nh to¡ntrong méi b÷îc l°p {en}, trong â JA

rn = (I + rnA)−1

èi vîi b i to¡n t¼m nghi»m chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ph÷ìngtr¼nh to¡n tû vîi c¡c to¡n tû ìn i»u cüc ¤i, n«m 2006 t¡c gi£ Buong Ng.[23] ¢ · xu§t v  nghi¶n cùu ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Browder-Tikhonovcho b i to¡n t¼m khæng iºm chung cõa mët hå húu h¤n c¡c to¡n tû ìn

trà ìn i»u, th¸ n«ng, h-li¶n töc tø khæng gian Banach E v o khæng gian

ìn i»u cüc ¤i v· vi»c gi£i mët ph÷ìng tr¼nh to¡n tû v  thu ÷ñc sü hëi

tö m¤nh cõa thuªt to¡n v· mët nghi»m cõa h» khi c¡c tham sè hi»u ch¿nh

÷ñc chån th½ch hñp

N«m 2008, tr¶n cì sð k¸t qu£ nghi¶n cùu ¤t ÷ñc cõa m¼nh v o n«m

2006, t¡c gi£ Buong Ng [24] l¦n ¦u ti¶n nghi¶n cùu k¸t hñp ph÷ìng ph¡p

iºm g¦n k· qu¡n t½nh vîi hi»u ch¿nh v  gåi l  ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k·qu¡n t½nh hi»u ch¿nh, cho vi»c gi£i b i to¡n t¼m khæng iºm chung cõa

cõa d¢y l°p {zn} x¡c ành bði

l  c¡c to¡n tû ìn i»u cüc ¤i x§p x¿ to¡n tû d÷îi vi ph¥n ∂ϕj cõa phi¸m

H(Anj(x), ∂ϕj(x)) ≤ hng(kxk),vîi g l  mët h m khæng ¥m, giîi nëi

B i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n hay væ h¤n ¡nhx¤ khæng gi¢n, còng vîi c¡c b i to¡n li¶n quan nh÷ b i to¡n t¼m nghi»mcõa h» ph÷ìng tr¼nh vîi c¡c to¡n tû lo¤i ìn i»u, b i to¡n b§t ¯ng thùcbi¸n ph¥n, b i to¡n c¥n b¬ng công ÷ñc nhi·u nh  to¡n håc trong n÷îcquan t¥m nghi¶n cùu Ch¯ng h¤n nh÷: N«m 2004 Anh P N v  Muu L D.[5] ¢ k¸t hñp nguy¶n lþ ¡nh x¤ co vîi ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· cho b ito¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ìn i»u; n«m 2009 Anh P K v  Chung

C V [3] ¢ nghi¶n cùu ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh l°p song song ð d¤ng ©n

v  hi»n cho b i to¡n t¼m khæng iºm chung cõa mët hå húu h¤n c¡c to¡n

tû x¡c ành d÷ìng tø khæng gian Hilbert H v o ch½nh nâ; Thuy N T T.[84] ¢ x¥y düng ph÷ìng ph¡p l°p mîi cho b i to¡n t¼m nghi»m cõa mëtb§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå væ h¤n

c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n; t¡c gi£ Anh P N [5], [6] công ¢ nghi¶n cùu v·

b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n düa tr¶nph÷ìng ph¡p gradient t«ng c÷íng

Möc ½ch ch½nh cõa luªn ¡n n y l  nghi¶n cùu ¡p döng ph÷ìng ph¡phi»u ch¿nh Tikhonov v  mët sè c£i bi¶n cõa ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· baogçm ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· d¤ng (0.4), ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· qu¡nt½nh hi»u ch¿nh cho b i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤nc¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Banach, còng vîi c¡c b i to¡nli¶n quan düa tr¶n t÷ t÷ðng thuªt gi£i cõa t¡c gi£ Buong Ng trong c¡c t ili»u [23], [24] Ngo i ra, trong luªn ¡n chóng tæi công ti¸n h nh nghi¶n cùut½nh ên ành cõa c¡c ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh thu ÷ñc theo h÷îng nghi¶ncùu cõa Alber Y [10] Luªn ¡n tªp trung gi£i quy¸t c¡c v§n · sau:

1 Nghi¶n cùu ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· d¤ng (0.4) cho b i to¡n t¼mmët iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢ntrong khæng gian Banach v  c¡c bi¸n thº kh¡c nhau cõa nâ, çngthíi nghi¶n cùu t½nh ên ành cõa c¡c ph÷ìng ph¡p l°p thu ÷ñc theoh÷îng nghi¶n cùu cõa Alber Y (xem [10]) Chóng tæi nghi¶n cùu sü

rnA(xn+1) + xn+1 3 tnu + (1 − tn)xn, n ≥ 0 (0.6)

3 Nghi¶n cùu ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov v  ph÷ìng ph¡p iºmg¦n k· qu¡n t½nh hi»u ch¿nh cho b i to¡n t¼m mët iºm b§t ëng chungcõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Banach

v  c¡c bi¸n thº kh¡c nhau cõa nâ, çng thíi nghi¶n cùu t½nh ên ànhcõa c¡c ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh thu ÷ñc Cö thº hìn, chóng tæi s³

· cªp ¸n sü hëi tö m¤nh cõa ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov v ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· qu¡n t½nh hi»u ch¿nh ð d¤ng

¡nh x¤ co rót khæng gi¢n theo tia tø E l¶n C

Nëi dung cõa luªn ¡n ÷ñc tr¼nh b y trong ba ch÷ìng:

Ch÷ìng 1, giîi thi»u sì l÷ñc v· mët sè v§n · li¶n quan ¸n c§u tróch¼nh håc cõa c¡c khæng gian Banach, b i to¡n °t khæng ch¿nh vîi c¡cto¡n tû lo¤i ìn i»u, b i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët hå húuh¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n, têng quan v· c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i ¢ bi¸t choc¡c lîp b i to¡n n y v  cuèi còng l  mët sè bê · c¦n sû döng cho vi»cchùng minh c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu ¤t ÷ñc ð c¡c ch÷ìng sau cõa luªn

¡n

Ch÷ìng 2 tr¼nh b y c¡c ành l½ v· sü hëi tö m¤nh cõa ph÷ìng ph¡p iºmg¦n k· theo h÷îng nghi¶n cùu cõa c¡c t¡c gi£ Buong Ng [23] v  Xu H K.[85] cho b i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤khæng gi¢n v  cho b i to¡n x¡c ành khæng iºm cõa to¡n tû m-j-ìn i»utrong khæng gian Banach, ð ¥y t½nh ên ành cõa c¡c ph÷ìng ph¡p l°pcông ÷ñc thi¸t lªp v  nghi¶n cùu Mët sè ùng döng cõa c¡c k¸t qu£ ¤t

÷ñc cho vi»c gi£i b i to¡n ch§p nhªn lçi trong khæng gian Hilbert ho°cBanach v  mët sè v½ dö còng vîi c¡c t½nh to¡n cö thº công ÷ñc tr¼nh b y

ð cuèi ch÷ìng n y nh¬m minh håa th¶m cho c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu ¤t

֖c

Ch÷ìng 3 tr¼nh b y c¡c ành l½ v· sü hëi tö m¤nh cõa ph÷ìng ph¡p hi»uch¿nh Tikhonov v  ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· qu¡n t½nh hi»u ch¿nh cho b ito¡n t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢ntrong khæng gian Banach còng vîi t½nh ên ành cõa c¡c ph÷ìng ph¡p Möc

cuèi còng trong ch÷ìng n y, · cªp ¸n mët sè ùng döng cõa c¡c ph÷ìngph¡p l°p thu ÷ñc cho vi»c gi£i b i to¡n ch§p nhªn lçi trong khæng gianHilbert ho°c Banach, còng vîi c¡c v½ dö sè nh¬m minh håa th¶m cho c¡ck¸t qu£ nghi¶n cùu ¤t ÷ñc.

C¡c k¸t qu£ cõa luªn ¡n ÷ñc b¡o c¡o t¤i:

applica-tions", Hanoi - Thainguyen, 28/03-02/09/2010

• Hëi th£o Quèc gia l¦n thù XV "Mët sè v§n · chån låc v· cæng ngh»thæng tin v  truy·n thæng", H  Nëi 03-04/12/2012

¤i håc Th¡i Nguy¶n

ph¤m, ¤i håc Th¡i Nguy¶n

Ch֓ng 1

Mët sè ki¸n thùc chu©n bà

Ch÷ìng n y bao gçm s¡u möc Möc 1.1 v  Möc 1.2 giîi thi»u v· khænggian Banach lçi ·u, trìn ·u, mët sè lîp to¡n tû lo¤i ìn i»u, ¡nh x¤khæng gi¢n còng nhúng t½nh ch§t cì b£n cõa chóng; b i to¡n °t khængch¿nh d÷îi d¤ng ph÷ìng tr¼nh to¡n tû v  ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonovcho ph÷ìng tr¼nh vîi to¡n tû ìn i»u, h-li¶n töc Möc 1.3 v  Möc 1.4 tr¼nh

b y v· ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· qu¡n t½nh ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· qu¡nt½nh hi»u ch¿nh cho b i to¡n x¡c ành khæng iºm cõa to¡n tû ìn i»ucüc ¤i v  to¡n tû m-j-ìn i»u còng vîi mët sè v§n · li¶n quan Möc1.5 d nh cho vi»c ph¡t biºu b i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët håhúu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n còng vîi mët sè ph÷ìng ph¡p "cê iºn"x§p x¿ iºm b§t ëng cõa mët ¡nh x¤ khæng gi¢n nâi chung v  c¡c ph÷ìngph¡p t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢nnâi ri¶ng Möc 1.6 tr¼nh b y mët sè bê · quan trång th÷íng xuy¶n sûdöng ¸n trong vi»c chùng minh c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu ¤t ÷ñc trongc¡c ch÷ìng sau

1.1 Mët sè v§n · v· h¼nh håc c¡c khæng gian Banach, to¡n tû

ìn i»u v  ¡nh x¤ khæng gi¢n

º cho ìn gi£n v  thuªn ti»n hìn, chóng tæi thèng nh§t sû döng k½ hi»u

i) E l  khæng gian ph£n x¤.

ii) Måi d¢y bà ch°n trong E, ·u câ mët d¢y con hëi tö y¸u

Ti¸p theo, trong möc n y chóng tæi · cªp ¸n mët sè v§n · cì b£nv· c§u tróc h¼nh håc c¡c khæng gian Banach, nh÷: t½nh lçi, t½nh trìn, mæ

un lçi, mæ un trìn

ành ngh¾a 1.1 Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  lçi ch°t n¸u vîi måi

x + y

Chó þ 1.1 ành ngh¾a 1.1 cán câ thº ph¡t biºu d÷îi c¡c d¤ng t÷ìng ÷ìng

ktx + (1 − t)yk < 1 vîi måi t ∈ (0, 1), trong â

ành ngh¾a 1.2 Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  lçi ·u n¸u vîi måi

v· khæng) vîi chu©n k.kβ x¡c ành bði

º o t½nh lçi cõa khæng gian Banach E, ng÷íi ta ÷a v o kh¡i ni»msau: Mæ un lçi cõa khæng gian Banach E l  h m sè

Nhªn x²t 1.1 Mæ un lçi cõa khæng gian Banach E l  h m sè x¡c ành,li¶n töc v  t«ng tr¶n o¤n [0; 2] Khæng gian Banach E lçi ch°t khi v  ch¿

·u khi v  ch¿ khi δE(ε) > 0, ∀ε > 0 (xem [7] trang 60)

M»nh · 1.2 (xem [7] trang 56) Måi khæng gian Banach lçi ·u b§t k¼ l khæng gian ph£n x¤

ành ngh¾a 1.3 Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  trìn n¸u vîi méi

x ∈ SE, tçn t¤i duy nh§t fx ∈ E∗ sao cho hx, fxi = kxk v  kfxk = 1

ành ngh¾a 1.4 Cho E l  mët khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n Chu©n

giîi h¤n (1.1) tçn t¤i ·u vîi måi x ∈ SE

h¤n (1.1) tçn t¤i ·u vîi måi y ∈ SE

d) Chu©n tr¶n E ÷ñc gåi l  kh£ vi Fr²chet ·u n¸u giîi h¤n (1.1) tçnt¤i ·u vîi måi x, y ∈ SE

ành l½ 1.1 (xem [7] trang 92) Cho E l  mët khæng gian Banach Khi â,

ta câ c¡c kh¯ng ành sau:

a) N¸u E∗ l  khæng gian lçi ch°t th¼ E l  khæng gian trìn.

b) N¸u E∗ l  khæng gian trìn th¼ E l  khæng gian lçi ch°t

ành ngh¾a 1.6 Mæ un trìn cõa khæng gian Banach E l  h m sè x¡c

ành bði

ρE(τ ) = sup{2−1 kx + yk + kx − yk
− 1 : kxk = 1, kyk = τ }.Nhªn x²t 1.2 Mæ un trìn cõa khæng gian Banach E l  h m sè x¡c ành,li¶n töc v  t«ng tr¶n kho£ng [0; +∞) (xem [7] trang 95)

V½ dö 1.2 [61] N¸u E l  khæng gian lp ho°c Lp(Ω), th¼ ta câ

ành l½ d÷îi ¥y cho ta bi¸t v· mèi li¶n h» giúa mæ un trìn cõa khæng

ành l½ 1.2 (xem [38] trang 70) Cho E l  mët khæng gian Banach Khi

â ta câ

a) ρX ∗(τ ) = sup{τ ε

2 − δX(ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > 0.b) ρX(τ ) = sup{τ ε

2 − δX ∗(ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > 0.Nhªn x²t 1.3 Tø ành l½ 1.2, suy ra

Tø Nhªn x²t 1.3, ta câ ành lþ d÷îi ¥y:

ành l½ 1.3 (xem [38] trang 70) Cho E l  mët khæng gian Banach Khi

â ta câ c¡c kh¯ng ành sau:

a) N¸u E l  khæng gian trìn ·u th¼ E∗ l  khæng gian lçi ·u;

V½ dö 1.3 Måi khæng gian Hilbert v  khæng gian lp, Lp(Ω) vîi 1 < p <

ành ngh¾a 1.8 Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  q-trìn ·u, n¸u tçnt¤i h¬ng sè c > 0 sao cho ρE(t) ≤ ctq vîi måi t > 0

V½ dö 1.4 C¡c khæng gian lp v  Lp(Ω) l  min{2, p}-trìn ·u vîi 1 < p <

ành ngh¾a 1.9 Cho E l  mët khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n, ¡nh x¤

a trà J : E −→ 2E∗ x¡c ành bði

J (x) = {f ∈ E∗ : hx, f i = kxk2, kxk = kf k}

÷ñc gåi l  ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c cõa E

Chó þ 1.2 Trong khæng gian Hilbert, ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c tròngvîi ¡nh x¤ çng nh§t I

Nhªn x²t 1.4 Trong khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n b§t k¼ E, ta luæn

câ J(x) 6= ∅ vîi måi x ∈ E, i·u n y suy ra trüc ti¸p tø h» qu£ cõa ành

lþ Hahn - Banach

M»nh · d÷îi ¥y · cªp ¸n mët sè t½nh ch§t ìn gi£n cõa ¡nh x¤ èing¨u chu©n t­c J cõa khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n E

M»nh · 1.3 (xem [7] trang 69) Cho E l  mët khæng gian tuy¸n t½nh

ành chu©n v  J l  ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c cõa nâ Khi â,

i) J l  mët ¡nh x¤ l´, tùc l  J(−x) = −J(x), ∀x ∈ E;

ii) J l  thu¦n nh§t d÷ìng, tùc l  J(λx) = λJ(x), ∀λ > 0, ∀x ∈ E;iii) J bà ch°n, tùc l  n¸u D l  mët tªp con bà ch°n cõa E th¼ J(D) l mët tªp hñp bà ch°n trong E∗;

iv) N¸u E∗ l  lçi ch°t th¼ J l  ìn trà;

v) J l  ìn trà v  li¶n töc ·u tr¶n méi tªp con bà ch°n cõa E khi v  ch¿khi E l  khæng gian Banach trìn ·u.

V½ dö 1.5 X²t khæng gian lp, vîi p > 1 V¼ khæng gian èi ng¨u lq cõakhæng gian lp l  lçi ·u, n¶n ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c J cõa lp l  ìn trà

v  d¹ th§y nâ ÷ñc x¡c ành nh÷ sau:

ành ngh¾a 1.10 nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c J cõa khæng gian Banach E

÷ñc gåi l  câ t½nh li¶n töc y¸u theo d¢y n¸u J l  ìn trà v  n¸u {xn} ⊂ Ethäa m¢n xn * x, th¼ J(xn) * J (x)

Chó þ 1.3 Trong tr÷íng hñp ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c l  ìn trà th¼ tak½ hi»u nâ bði j

V½ dö 1.6 C¡c khæng gian lp vîi p > 1 câ ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c li¶n

ch§t n y (xem [34] trang 73, 74)

Bê · 1.1 [10] Cho E l  mët khæng gian Banach trìn ·u Khi â, vîimåi x, y ∈ E, ta câ

trong â c = 48 max(L, kxk, kyk) v  L l  h¬ng sè Figiel, 1 < L < 1.7.Ti¸p theo, trong möc n y chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v  t½nhch§t cì b£n cõa to¡n tû ìn i»u v  j-ìn i»u

ành ngh¾a 1.11 Cho E l  mët khæng gian Banach To¡n tû

luæn câ

l  ìn i»u cüc ¤i n¸u ç thà G(A) = {(u, x) : x ∈ D(A), u ∈ A(x)} cõa

nâ khæng thüc sü chùa trong ç thà cõa mët to¡n tû ìn i»u n o kh¡ctrong E.

V½ dö 1.7 [76] Cho f : E −→ R l  mët h m lçi ch½nh th÷íng nûa li¶ntöc d÷îi Khi â, to¡n tû d÷îi vi ph¥n

∂f (x) = {x∗ ∈ E∗ : f (y) − f (x) ≥ hy − x, x∗i, ∀y ∈ E}

l  mët to¡n tû ìn i»u cüc ¤i

ành ngh¾a 1.13 Cho E l  mët khæng gian Banach To¡n tû

tçn t¤i j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho

Chó þ 1.4 Trong khæng gian Hilbert kh¡i ni»m to¡n tû ìn i»u v  to¡n

tû j-ìn i»u tròng nhau

£nh cõa to¡n tû I + λA v  I l  to¡n tû çng nh§t tr¶n E

N¸u E l  mët khæng gian Hilbert th¼ kh¡i ni»m to¡n tû m-j-ìn i»u tròngvîi kh¡i ni»m to¡n tû ìn i»u cüc ¤i

Chó þ 1.5 Trong tr÷íng hñp E l  mët khæng gian Banach vîi ¡nh x¤ èing¨u li¶n töc y¸u theo d¢y th¼ måi to¡n tû m-j-ìn i»u

(xem [11] trang 98 ho°c [59])

ành ngh¾a 1.15 Cho E l  mët khæng gian Banach Mët ¡nh x¤

kT (x) − T (y)k ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ D(T )

Ph¦n tû x ∈ D(T ) ÷ñc gåi l  mët iºm b§t ëng cõa T n¸u x = T x Tªpc¡c iºm b§t ëng cõa T th÷íng ÷ñc k½ hi»u l  F ix(T ) hay F (T )

Chó þ 1.6 Trong tr÷íng hñp E l  khæng gian lçi ch°t v  tªp c¡c iºmb§t ëng cõa T kh¡c réng th¼ nâ l  mët tªp con lçi v  âng cõa E.

Chó þ 1.7 N¸u T : C −→ E l  mët ¡nh x¤ khæng gi¢n tø tªp con C cõakhæng gian Banach E v o E th¼ to¡n tû I − T l  j-ìn i»u Trong tr÷ínghñp C tròng vîi E th¼ I − T l  mët to¡n tû m-j-ìn i»u [21] Ngo i ra,b¬ng c¡ch ti¸p cªn kh¡c ta câ m»nh · têng qu¡t hìn d÷îi ¥y

D÷îi ¥y, chóng tæi s³ · cªp ¸n kh¡i ni»m ¡nh x¤ co rót khæng gi¢ntheo tia còng vîi mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa nâ v  ¥y công l  ¡nh x¤th÷íng xuy¶n ÷ñc · cªp ¸n trong h¦u h¸t c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu cõaluªn ¡n

ành ngh¾a 1.16 Cho E l  mët khæng gian Banach v  C l  mët tªp con

a) co rót cõa E n¸u tçn t¤i mët ¡nh x¤ co rót tø E l¶n C;

b) co rót khæng gi¢n cõa E n¸u tçn t¤i mët ¡nh x¤ co rót khæng gi¢n

M»nh · d÷îi ¥y kh¯ng ành sü tçn t¤i ¡nh x¤ co rót khæng gi¢n tøkhæng gian Banach E l¶n tªp con lçi âng cõa nâ

M»nh · 1.6 [22] Cho E l  mët khæng gian Banach trìn vîi dim(E) ≥ 3.Khi â, måi tªp con lçi âng C cõa E vîi int(C) 6= ∅ ·u l  tªp con corót khæng gi¢n cõa E

V½ dö 1.8 [32] Tªp hñp

l  tªp co rót khæng gi¢n trong Lp(Ω), ð ¥y Ω l  tªp o ÷ñc trong Rn.D¹ th§y r¬ng n¸u C l  mët tªp con lçi v  âng trong khæng gian Hilbert

D÷îi ¥y, chóng tæi s³ giîi thi»u mët sè k¸t qu£ v· lîp ¡nh x¤ co rót khænggi¢n theo tia tr¶n khæng gian Banach

M»nh · 1.7 [50] Måi tªp con lçi âng kh¡c réng cõa khæng gian Banach

M»nh · 1.8 [54] Cho E l  mët khæng gian Banach ph£n x¤ vîi chu©nkh£ vi G¥teaux ·u N¸u C l  mët tªp con co rót khæng gi¢n cõa E, th¼ C

l  tªp con co rót khæng gi¢n theo tia cõa E

M»nh · d÷îi ¥y l  mët k¸t qu£ quan trång, th÷íng xuy¶n sû döngtrong chùng minh c¡c k¸t qu£ cõa luªn ¡n

M»nh · 1.9 [39] Cho E l  mët khæng gian Banach trìn v  cho C l  mët

theo tia khi v  ch¿ khi

Nhªn x²t 1.5 Tø M»nh · 1.9 suy ra, n¸u E l  mët khæng gian Banachtrìn v  C l  tªp con co rót khæng gi¢n theo tia cõa E, th¼ ¡nh x¤ co rót

V½ dö 1.9 X²t khæng gian lp, p > 1 v  tªp con C cõa lp ÷ñc x¡c ànhnh÷ sau:

C = {x = {ξn} ∈ lp : ξk = 0 vîi måi k > N},trong â N l  mët sè nguy¶n d÷ìng cho tr÷îc

QC(x) = {ξ1, ξ2, , ξN, 0, 0, }

vîi måi x = {ξn} ∈ lp

V½ dö 1.10 [74] Cho E l  mët khæng gian Banach trìn ·u ho°c câ ¡nhx¤ èi ng¨u chu©n t­c li¶n töc y¸u theo d¢y v  cho T : C −→ C l  mët

¡nh x¤ khæng gi¢n tø tªp con lçi âng kh¡c réng C cõa E v o ch½nh nâvîi F ix(T ) 6= ∅ Khi â, ¡nh x¤ Q : C −→ F ix(T ) x¡c ành bði

Q(u) = lim

t→0 +zt = z ∈ F ix(T ),trong â zt l  ph¦n tû duy nh§t trong C thäa m¢n zt = tu + (1 − t)T (zt),

t ∈ (0, 1) l  ¡nh x¤ co rót khæng gi¢n theo tia tø C l¶n F ix(T )

Cuèi còng trong möc n y, chóng tæi · cªp ¸n kh¡i ni»m kho£ng c¡chHausdorff giúa hai tªp hñp trong khæng gian Banach

ành ngh¾a 1.18 Cho A v  B l  hai tªp con cõa khæng gian Banach E.Kho£ng c¡ch Hausdorff giúa A v  B ÷ñc x¡c ành bði

H(A, B) = max{β(A, B), β(B, A)},trong â β(A, B) = sup

c¡c tªp con lçi, âng cõa E sao cho kho£ng c¡ch Hausdorff H(C1, C2) ≤ δ,trong â QC 1 v  QC 2 l  c¡c ¡nh x¤ co rót khæng gi¢n theo tia tø E l¶n C1

1.2 B i to¡n °t khæng ch¿nh v  ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh

Trong nhúng b i to¡n n£y sinh tø thüc t¸, tçn t¤i mët lîp c¡c b i to¡n

m  nghi»m cõa nâ khæng ên ành theo ngh¾a mët thay êi nhä cõa dú li»u

¦u v o s³ d¨n ¸n nhúng thay êi lîn v· nghi»m cõa b i to¡n, thªm ch½cán l m cho b i to¡n trð n¶n væ nghi»m Ta câ thº nâi r¬ng, lîp c¡c b ito¡n nâi tr¶n câ nghi»m khæng phö thuëc li¶n töc v o dú ki»n ban ¦u v 

nâ l  mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa lîp b i to¡n khæng ch½nh qui hay b i to¡n

°t khæng ch¿nh Trong möc n y, chóng tæi · cªp ¸n kh¡i ni»m b i to¡n

°t khæng ch¿nh d÷îi d¤ng ph÷ìng tr¼nh to¡n tû, còng vîi ph÷ìng ph¡phi»u ch¿nh Tikhonov cho lîp b i to¡n lo¤i n y

1.2.1 Kh¡i ni»m b i to¡n °t khæng ch¿nh

Kh¡i ni»m b i to¡n ch¿nh ÷ñc Hadamard J [41] ÷a ra khi nghi¶ncùu v· £nh h÷ðng cõa c¡c i·u ki»n bi¶n l¶n nghi»m cõa c¡c ph÷ìng tr¼nhelliptic công nh÷ parabolic

X²t b i to¡n t¼m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh

trong â A l  mët to¡n tû tø khæng gian m¶tric X v o khæng gian m¶tric

J b i to¡n (1.10) gåi l  °t ch¿nh (ch½nh qui) n¸u c¡c i·u ki»n sau ÷ñcthäa m¢n:

i) Ph÷ìng tr¼nh (1.10) câ nghi»m xf vîi måi f ∈ Y ,

iii) nghi»m xf phö thuëc li¶n töc v o f

Mët thíi gian d i ng÷íi ta ngh¾ r¬ng måi b i to¡n °t ra ·u thäa m¢nc£ ba i·u ki»n tr¶n Nh÷ng thüc t¸ ch¿ ra r¬ng þ ni»m â sai l¦m Nh§t

l  khi m¡y t½nh i»n tû ra íi, trong t½nh to¡n c¡c b i to¡n thüc t¸ b¬ngm¡y t½nh luæn x£y ra qu¡ tr¼nh l m trán sè Ch½nh sü l m trán sè â ¢d¨n ¸n nhúng sai l»ch ¡ng kº

N¸u ½t nh§t mët trong ba i·u ki»n tr¶n khæng ÷ñc thäa m¢n th¼ b ito¡n (1.10) ÷ñc gåi l  b i to¡n °t khæng ch¿nh

1.2.2 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov

º t¼m nghi»m x§p x¿ cõa b i to¡n (1.10) khi khæng bi¸t thæng tin v·

l  ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh düa tr¶n vi»c x¥y düng to¡n tû hi»u ch¿nh v c¡ch chån gi¡ trà cõa mët tham sè mîi ÷a v o

Gi£ sû A−1 khæng li¶n töc v  thay cho f ta bi¸t fδ: ρY(fδ, f ) ≤ δ → 0

B i to¡n °t ra l  düa v o thæng tin v· (A, fδ) v  mùc sai sè δ, t¼m mëtph¦n tû xδ x§p x¿ nghi»m ch½nh x¡c x0 cõa b i to¡n (1.10) Rã r ng l  takhæng thº x¥y düng ph¦n tû x§p x¿ xδ theo quy t­c xδ = A−1fδ, v¼ thù

li¶n töc, n¶n n¸u A−1fδ tçn t¤i, công ch÷a ch­c ¢ x§p x¿ A−1f

Tham sè δ ch¿ cho ta mùc ë sai sè v¸ ph£i cõa (1.10) V¼ vªy mët i·u

tü nhi¶n n£y sinh l  li»u câ thº x¥y düng ph¦n tû x§p x¿ phö thuëc v omët tham sè n o â v  tham sè n y ÷ñc chån t÷ìng th½ch vîi δ sao cho

tû n o â t¡c ëng tø khæng gian Y v o khæng gian X

ành ngh¾a 1.19 To¡n tû R(f, α) phö thuëc tham sè α t¡c ëng tø Y

v o X ÷ñc gåi l  mët to¡n tû hi»u ch¿nh cho b i to¡n (1.10) n¸u:

måi α ∈ (0, α1) v  vîi måi fδ ∈ Y : ρY(fδ, f ) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1);

ii) Tçn t¤i mët sü phö thuëc α = α(fδ, δ) sao cho vîi måi ε > 0, tçn

th¼ ρX(xα, x0) ≤ ε, ð ¥y x0 l  nghi»m ch½nh x¡c cõa (1.10) v 

xα ∈ R(fδ, α(fδ, δ))

Ph¦n tû xα gåi l  nghi»m hi»u ch¿nh cõa b i to¡n (1.10) v  α = α(fδ, δ)gåi l  tham sè hi»u ch¿nh Công d¹ d ng nhªn th§y tø ành ngh¾a tr¶n,nghi»m hi»u ch¿nh ên ành vîi dú ki»n ban ¦u

Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov l  mët trong nhúng ph÷ìng ph¡phi»u ch¿nh nêi ti¸ng v  ÷ñc sû döng nhi·u cho vi»c nghi¶n cùu v  gi£i c¡c

b i to¡n °t khæng ch¿nh trong c¡c l¾nh vüc kh¡c nhau cõa To¡n håc.Chó þ 1.9 Trong tr÷íng hñp α = δ, ành ngh¾a v· to¡n tû hi»u ch¿nh câd¤ng ìn gi£n sau:

To¡n tû R(f, δ) t¡c ëng tø Y v o X ÷ñc gåi l  mët to¡n tû hi»uch¿nh, n¸u:

0 ≤ δ ≤ δ1 v  vîi måi f ∈ Y sao cho ρY(f, f0) ≤ δ;

ρY(fδ, f0) ≤ δ ≤ δ0 ta câ ρX(xδ, x0) ≤ ε, ð ¥y xδ ∈ R(fδ, δ)

Chó þ 1.10 To¡n tû hi»u ch¿nh R(f, δ) câ thº l  mët ¡nh x¤ a trà

Ti¸p theo, chóng tæi tr¼nh b y sì l÷ñc v· ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nhBrowder-Tikhonov cho vi»c gi£i ph÷ìng tr¼nh

cõa nâ, vîi gi£ thi¸t tªp nghi»m S0 kh¡c réng

Chó þ 1.11 i) Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  câ t½nh ch§t Kadec-Klee

Måi khæng gian Banach lçi ·u, ·u câ t½nh ch§t Kadec-Klee

h-li¶n töc t¤i måi x ∈ E D¹ th§y r¬ng n¸u A l  mët to¡n tû li¶n töc, th¼

T÷ t÷ðng cõa ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh do Browder F E [20] · xu§tn«m 1966 cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n l  sû döng mët to¡n tû

i·u ki»n bùc, tùc l  hM(u), ui/kuk → +∞, khi kuk → +∞ l m th nhph¦n hi»u ch¿nh (trong khæng gian Banach E, ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c

j câ ¦y õ c¡c t½nh ch§t tr¶n)

mët to¡n tû phi tuy¸n ìn i»u v  cho f : E −→ (−∞, +∞] l  mët h mlçi, ch½nh th÷íng, nûa li¶n töc d÷îi Vîi méi ph¦n tû ω ∈ E∗, x²t b i to¡nb§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n sau:

tû u0 ∈ Aω thäa m¢n b§t ¯ng thùc

hM (u0) − v0, v − u0i ≥ 0 vîi måi v ∈ Aω,khi ε → 0

Tr¶n t÷ t÷ðng ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh cõa Browder F E., Alber Y.[8] ¢ x¥y düng nghi»m hi»u ch¿nh cho b i to¡n (1.11) thæng qua vi»c gi£iph÷ìng tr¼nh

ành l½ 1.4 [8] Vîi méi α > 0 v  fδ ∈ E∗, ph÷ìng tr¼nh (1.14) câ nghi»mduy nh§t xδ

N

X

i=0

trong â 0 = µ0 < µi < µi+1 < 1 vîi måi i = 1, 2, , N − 1 v  æng ¢ ch¿

ra n¸u tham sè hi»u ch¿nh α v  tham sè h ÷ñc chån sao cho α −→ 0,

X²t b i to¡n

Khi A l  m-j-ìn i»u trong khæng gian Hilbert H, ngh¾a l  A l  to¡n

tû ìn i»u cüc ¤i th¼ Rockafellar R T [77] ¢ x²t ph÷ìng ph¡p l°p

ð ¥y cn > c0 > 0 v  gåi l  ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· Rockafellar công ¢

cõa b i to¡n (1.17)

Chó þ 1.12 Ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· ÷ñc Martinet B · xu§t l¦n ¦uti¶n trong t i li»u [63] cho b i to¡n cüc tiºu phi¸m h m lçi, ch½nh th÷íng,nûa li¶n töc d÷îi ψ : H −→ R ∪ {+∞} ð d¤ng sau:

2cnkxn− yk2

N«m 1991, Guler [40] ¢ x¥y düng mët v½ dö º ch¿ ra ph÷ìng ph¡p l°p (1.18) khæng ph£i lóc n o công hëi tö m¤nh trong tr÷íng hñp têng qu¡t.Mët v½ dö g¦n ¥y cõa c¡c t¡c gi£ Bauschke, Matouˇskov´a v  Reich [17]công ch¿ ra r¬ng d¢y l°p {xn} x¡c ành bði (1.18) ch¿ hëi tö y¸u m  khænghëi tö theo chu©n

N«m 2001, Attouch H v  Alvarez F [14] ¢ x²t mët mð rëng cõaph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· (1.18) ð d¤ng

cnA(xn+1) + xn+1− xn 3 γn(xn− xn−1), x0, x1 ∈ H (1.20)

v  gåi l  ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· qu¡n t½nh, ð ¥y {cn} v  {γn} l  haid¢y sè khæng ¥m Tuy nhi¶n, ng÷íi ta công ch¿ thu ÷ñc sü hëi tö y¸u cõad¢y l°p {xn} x¡c ành bði (1.20) v· mët nghi»m cõa b i to¡n (1.17) trongkhæng gian Hilbert K¸t qu£ cõa Attouch v  Alvarez ÷ñc cho bði ành l½d÷îi ¥y:

mët d¢y ÷ñc x¡c ành bði

xn+1 = JλA xn+ αn(xn− xn−1)
, n = 1, 2, (1.21)

ð ¥y A : H −→ 2H l  mët to¡n tû ìn i»u cüc ¤i vîi S = A−1(0) 6= ∅

v  c¡c tham sè αn, λn thäa m¢n c¡c i·u ki»n:

i) Tçn t¤i sè λ > 0 sao cho λn ≥ λ, ∀n ≥ 1,

ii) Tçn t¤i α ∈ [0, 1) sao cho 0 ≤ αn ≤ α, ∀n ≥ 1

N¸u i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n

∞

X

n=1

αnkxn− xn−1k2 < +∞,

th¼ tçn t¤i x∗ ∈ S sao cho d¢y {xn} hëi tö y¸u v· x∗

Chó þ 1.13 Ph÷ìng ph¡p l°p (1.21) cán câ thº vi¸t d÷îi d¤ng t÷ìng

xi ≥ −εn} l  εn-x§p x¿ d÷îi vi ph¥n cõa h m lçi f Æng ¢ ch¿ ra r¬ng,n¸u c¡c d¢y sè {λn}, {αn} v  {εn} thäa m¢n c¡c i·u ki»n 0 ≤ αn ≤ 1,

λn

n=0λnεn < ∞, th¼ d¢y {un} x¡c ành bði (1.23) công hëi tö y¸u v·

N«m 1996, Lehdili v  Moudafi [56] ¢ thu ÷ñc sü hëi tö m¤nh cõa d¢yl°p {xn} x¡c ành bði

xn+1 = JAn

v· mët khæng iºm cõa to¡n tû ìn i»u cüc ¤i A trong khæng gian

v  JA n

cn = (I + cnAn)−1 Ph÷ìng ph¡p l°p (1.24) ÷ñc gåi l  ph÷ìng ph¡pprox-Tikhonov

V§n · nghi¶n cùu nhúng c£i ti¸n hay c£i bi¶n cõa ph÷ìng ph¡p iºmg¦n k· nh¬m thu ÷ñc sü hëi tö m¤nh ¢ thu hót sü quan t¥m nghi¶n cùucõa nhi·u nh  to¡n håc tr¶n th¸ giîi

N«m 2000, c¡c t¡c gi£ Kamimura S., Takahashi W [49] v  n«m 2002,

Xu H K [86] ¢ ëc lªp ch¿ ra sü hëi tö m¤nh cõa d¢y l°p {xn} ÷ñc x¡c

ành bði

xn+1 = αnx1 + (1 − αn)JrAn(xn) + en, n = 1, 2, (1.25)v· khæng iºm cõa to¡n tû ìn i»u cüc ¤i A trong khæng gian Hilbertvîi mët v i i·u ki»n th½ch hñp °t l¶n c¡c d¢y sè {αn}, {rn} v  {en}.Ngo i ra, trong t i li»u [49], c¡c t¡c gi£ Kamimura S., Takahashi W công

¢ ch¿ ra sü hëi tö y¸u cõa d¢y l°p {xn} x¡c ành bði

xn+1 = αnxn+ (1 − αn)JrAn(xn) + en, n = 1, 2, (1.26)Ti¸p â, n«m 2004 c¡c t¡c gi£ Kohsaka F v  Takahashi W [53] ¢ mðrëng ph÷ìng ph¡p l°p (1.25) tr¶n khæng gian Banach trìn v  lçi ·u E,

xn+1 = j−1(αnj(x1) + (1 − αn)j(JrAn(xn))), n = 1, 2, (1.27)

v  c¡c t¡c gi£ Kamimura S., Kohsaka F., Takahashi W [48] công ¢ mðrëng ph÷ìng ph¡p l°p (1.26) tr¶n khæng gian Banach trìn v  lçi ·u E ðd¤ng

xn+1 = j−1(αnj(xn) + (1 − αn)j(JrAn(xn))), n = 1, 2, (1.28)

ð ¥y, j l  ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c cõa khæng gian Banach E

N«m 2006 Xu H K [85]; n«m 2009 Song Y v  Yang C [80] ¢ sû döngc¡c k¾ thuªt cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n k¸t hñp vîi çng nh§t gi£i thùc º thu

xn+1 = JrAn(tnu + (1 − tn)xn+ en), (1.29)v· mët khæng iºm cõa to¡n tû ìn i»u cüc ¤i A trong khæng gianHilbert H, ð ¥y {rn} l  d¢y sè thüc d÷ìng, {tn} ⊂ (0, 1) v  {en} l  d¢y

bði (1.29) câ thº ÷ñc vi¸t l¤i d÷îi d¤ng t÷ìng ÷ìng nh÷ sau:

rnA(xn+1) + xn+1 3 tnu + (1 − tn)xn+ en, n ≥ 0 (1.30)

Chó þ 1.15 Ph÷ìng ph¡p l°p (1.24) cõa Lehdili N v  Moudafi A ch¿ l mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa ph÷ìng ph¡p l°p (1.29) cõa Xu H K Thªt vªy,

Theo mët h÷îng kh¡c, º thu ÷ñc sü hëi tö m¤nh cõa ph÷ìng ph¡p

iºm g¦n k· (1.18), Ryazantseva I P [78] ¢ k¸t hñp ph÷ìng ph¡p iºmg¦n k· vîi hi»u ch¿nh cho tr÷íng hñp A l  to¡n tû m-j-ìn i»u ìn trà

v  gåi l  ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· hi»u ch¿nh ð d¤ng

cn(A(xn+1) + αnxn+1) + xn+1 = xn, x0 ∈ E (1.33)Vîi mët v i i·u ki»n th½ch hñp °t l¶n c¡c tham sè cn v  αn, th¼ ta thu

ng¨u chu©n t­c j cõa E l  li¶n töc y¸u theo d¢y v  li¶n töc m¤nh

1.4 Ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· qu¡n t½nh hi»u ch¿nh

N«m 2008, düa tr¶n t÷ t÷ðng cõa thuªt gi£i (1.16), Buong Ng [24]

¢ k¸t hñp ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· qu¡n t½nh vîi hi»u ch¿nh v  gåi l ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· qu¡n t½nh hi»u ch¿nh cho vi»c gi£i b i to¡n cüctrà a möc ti¶u (1.15) trong khæng gian Hilbert H vîi c¡c h m möc ti¶u

ϕi, i = 1, 2, , N l  c¡c phi¸m h m lçi, ch½nh th÷íng v  nûa li¶n töc d÷îiy¸u Cö thº hìn, æng ¢ x¡c ành d¢y l°p {zn} bði

h m lçi ϕi theo ngh¾a d÷îi ¥y

H(Ani(x), ∂ϕi(x)) ≤ hng(kxk),

mët nghi»m cõa b i to¡n (1.15) ÷ñc cho bði ành l½ d÷îi ¥y:

ành l½ 1.6 [24] N¸u c¡c d¢y sè {cn}, {αn} v  {γn} thäa m¢n c¡c i·uki»n

i) 0 < c0 < cn < C0, 0 ≤ γn < γ0 < 1, αn & 0,

n=1α˜n = +∞, ˜αn = cnα

N +1 n

1 + cnαN +1

n

n=1γnkzn− zn−1k < ∞,iii) limn→∞

αN +1n+1 , th¼ d¢y l°p {zn} x¡c ành bði (1.34) hëi

Ti¸p theo â, n«m 2010 Buong Ng [25] v  Kim J K., Buong Ng [51]công ¢ nghi¶n cùu ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· qu¡n t½nh hi»u ch¿nh düatr¶n t÷ t÷ðng thuªt to¡n (1.16) cho b i to¡n t¼m nghi»m chung cõa mët håhúu h¤n ph÷ìng tr¼nh vîi to¡n tû ng÷ñc ìn i»u m¤nh v  cho b i to¡nt¼m nghi»m cõa mët b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vîi to¡n tû ìn i»u, h-li¶ntöc tr¶n tªp nghi»m chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ph÷ìng tr¼nh vîi c¡cto¡n tû ng÷ñc ìn i»u m¤nh, t÷ìng ùng trong khæng gian Hilbert

1.5 B i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c

¡nh x¤ khæng gi¢n

1.5.1 Ph¡t biºu b i to¡n

Ta bi¸t r¬ng tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n T tr¶n khænggian Banach lçi ch°t E n¸u kh¡c réng th¼ l  mët tªp lçi v  âng Do â,

b i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khænggi¢n trong trong gian Banach E l  mët tr÷íng hñp °c bi»t cõa b i to¡nch§p nhªn lçi nêi ti¸ng sau:

trong â Ci, i = 1, 2, , N l  c¡c tªp lçi, âng trong khæng gian BanachE.

Trong tr÷íng hñp E l  mët khæng gian Hilbert H th¼ b i to¡n (1.35),t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n t¼m mët iºm b§t ëng chung cõa mët hå húuh¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n Ti, i = 1, 2, , N, vîi Ti l  c¡c ph²p chi¸um¶tric tø H l¶n Ci Do â, vi»c nghi¶n cùu c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡nt¼m iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶nkhæng gian Hilbert H v  têng qu¡t hìn l  tr¶n khæng gian Banach l  mëtn£y sinh t§t y¸u

Ph¡t biºu b i to¡n:

gian Banach E v o ch½nh nâ

Chó þ 1.16 B i to¡n (1.36) cán câ thº câ nhi·u bi¸n thº kh¡c nhau,

C, Ci, i = 1, 2, , N l  c¡c tªp con lçi v  âng cõa E

C¡c ành l½ d÷îi ¥y kh¯ng ành sü tçn t¤i iºm b§t ëng chung cõamët hå c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n:

ành l½ 1.7 [19] Cho E l  mët khæng gian Banach, K l  mët tªp con kh¡créng, compact v  lçi cõa E N¸u F l  mët hå giao ho¡n húu h¤n c¡c ¡nhx¤ khæng gi¢n tø K v o K, th¼ hå F câ ½t nh§t mët iºm b§t ëng chungtrong K

ành l½ 1.8 [35] Cho E l  mët khæng gian Banach lçi ·u, K l  mët tªp

b§t ëng chung trong K

Chó þ 1.17 B i to¡n (1.36) nâi chung l  mët b i to¡n °t khæng ch¿nh

Ta th§y ngay r¬ng i·u ki»n câ nghi»m duy nh§t nâi chung l  khæng ÷ñcthäa m¢n Ngo i ra, b i to¡n (1.36) l  °t khæng ch¿nh theo ngh¾a vîinhúng thay êi nhä cõa dú li»u ¦u v o câ thº d¨n ¸n nhúng thay êi

¡ng kº cõa nghi»m cõa b i to¡n Ch¯ng h¤n, b i to¡n gi£i h» ph÷ìng

tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t l  t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n t¼m iºm b§t ëngchung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n (s³ ÷ñc · cªp cö thºhìn ð ch÷ìng sau) v  ta ¢ bi¸t r¬ng b i to¡n gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸nt½nh l  mët b i to¡n °t khæng ch¿nh theo ngh¾a nhúng thay êi nhä cõa

dú ki»n, câ thº d¨n ¸n nhúng thay êi lîn cõa nghi»m, thªm ch½ l m choh» trð n¶n væ nghi»m [1] hay têng qu¡t hìn l  b i to¡n t¼m v²c tì ri¶ngùng vîi gi¡ trà ri¶ng b¬ng 1 cõa to¡n tû tuy¸n t½nh A vîi kAk = 1

1.5.2 Mët sè ph÷ìng ph¡p x§p x¿ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤

khæng gi¢n

Trong möc n y chóng tæi nh­c l¤i mët sè ph÷ìng ph¡p cê iºn x§p x¿

iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n

(1.37) trð th nh ph÷ìng ph¡p l°p Kranoselskii [55]

Ti¸p theo, n«m 1979 Reich S [73] ¢ mð rëng k¸t qu£ cõa Mann chotr÷íng hñp T : C −→ C tø mët tªp con kh¡c réng, lçi, âng cõa mëtkhæng gian Banach lçi ·u vîi chu©n kh£ vi Fr²chet v  æng công ¢ chùng

n=1αn(1 − αn) = ∞th¼ d¢y {xn} s³ hëi tö y¸u v· mët iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T N«m 2003,Nakajo K v  Takahashi W [68] ¢ · xu§t mët c£i ti¸n cõa ph÷ìng ph¡pl°p (1.37) cho tr÷íng hñp T l  mët ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gianHilbert d¤ng sau:

{αn} ⊆ [0, a] ⊂ [0, 1) th¼ d¢y l°p {xn} x¡c ành bði (1.38) hëi tö m¤nh v·

PF ix(T )(x0)

N«m 2011, c¡c t¡c gi£ Buong Ng v  Lang Ng D [26] ¢ thay c¡c tªphñp lçi, âng Cn v  Qn bði c¡c nûa khæng gian Cö thº hìn, hå ¢ · xu§tph÷ìng ph¡p l°p sau:

∅ Gi£ sû {αn} v  {βn} l  c¡c d¢y sè trong [0, 1] thäa m¢n αn −→ 1 v 

βn −→ 0 Khi â, c¡c d¢y {xn}, {yn} v  {zn} x¡c ành bði (1.39) hëi töm¤nh v· u0 = PF ix(T )(x0), khi n −→ ∞

N«m 2005, Kim v  Xu [52] ¢ mð rëng ph÷ìng ph¡p l°p Mann (1.37)

Ph÷ìng ph¡p l°p Ishikawa ÷ñc · xu§t bði Ishikawa S [45] v o n«m

(1.41) trð th nh ph÷ìng ph¡p l°p Mann (1.37) Tuy nhi¶n, Mutangadura

S A v  Chidume C E [67] ¢ x¥y düng mët v½ dö cho tr÷íng hñp T l mët ¡nh x¤ Lipschitz gi£ co th¼ d¢y l°p Ishikawa hëi tö v· mët iºm b§t

ëng cõa T nh÷ng d¢y l°p Mann l¤i khæng hëi tö

Sü hëi tö y¸u cõa d¢y l°p Ishikawa v· mët iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤khæng gi¢n T trong khæng gian Banach ¢ ÷ñc nghi¶n cùu v  chùng minhbði Tan K K v  Xu H K [83]

ành l½ 1.11 [83] Cho E l  mët khæng gian Banach lçi ·u thäa m¢n

i·u ki»n cõa Opial ho°c câ chu©n kh£ vi Fr²chet, C l  mët tªp con kh¡c

réng, lçi v  âng cõa E Cho T : C −→ C l  mët ¡nh x¤ khæng gi¢n,{αn}, {βn} l  c¡c d¢y sè trong o¤n [0, 1] sao cho P∞

n=1αn(1 − αn) =

n=1βn(1 − βn) < ∞ v  lim supn→∞βn < 1 Khi â, d¢y {xn} x¡c

ành bði (1.41) hëi tö y¸u v· mët iºm b§t ëng cõa T

Chó þ 1.19 Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  thäa m¢n i·u ki»n cõaOpial n¸u vîi b§t k¼ d¢y {xn} trong E hëi tö y¸u v· x ∈ E th¼

lim infn→∞kxn− xk < lim infn→∞kxn− yk, ∀y ∈ E, y 6= x

N«m 2005, Shahzad N [79] ¢ c£i ti¸n ph÷ìng ph¡p l°p Ishikawa chotr÷íng hñp C l  mët tªp con lçi âng co rót khæng gi¢n cõa khæng gianBanach E d¤ng

xn+1 = P ((1 − αn)xn+ αnT P ((1 − βn)xn + βnT (xn))), n ≥ 1, (1.42)trong â x1 ∈ C v  {αn}, {βn} l  c¡c d¢y sè thüc trong o¤n [ε, 1−ε], ε ∈

thäa m¢n i·u ki»n

trong â f : [0, ∞) −→ [0, ∞) thäa m¢n f(0) = 0 v  f(r) > 0 vîi måi

r > 0, th¼ d¢y l°p (1.42) hëi tö m¤nh v· mët ph¦n tû x∗ ∈ F ix(T )

N«m 2006, Plubtieng S v  Ungchittrakool K [70] ¢ mð rëng ph÷ìngph¡p l°p (1.42) cho mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n Cho K l  mëttªp con lçi, âng, kh¡c réng v  co rót khæng gi¢n cõa khæng gian Banachlçi ·u E v  T1, T2, , TN : K −→ E l  c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n X¡c ànhd¢y {xn} bði x1 ∈ K v 

x1n = P (α1nT1xn+ βn1xn+ γn1u1n),

x2n = P (α2nT2x1n+ βn2xn+ γn2u2n),

F = ∩Ni=1F ix(Ti) ÷ñc gåi l  thäa m¢n i·u ki»n (B) n¸u tçn t¤i mët h mkhæng gi£m f : [0, ∞) −→ [0, ∞) thäa m¢n f(0) = 0 v  f(r) > 0 vîi måi

n=1γni < ∞ v  {αi

n} ⊂ [ε, 1 − ε] vîi måi i = 1, 2, , N v  ε ∈(0, 1) th¼ {xn} hëi tö m¤nh v· mët iºm b§t ëng chung cõa T1, T2, , TN

thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau:

(C1) lim

n→∞αn = 0,(C2)

k¸t qu£ cõa Halpern v  gi£i quy¸t ÷ñc v§n · tr¶n Æng ¢ ch¿ ra r¬ng

cõa T Sü hëi tö m¤nh cõa d¢y l°p (1.45) v· iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤khæng gi¢n trong khæng gian Banach công ¢ ÷ñc nghi¶n cùu v  chùngminh (xem [33], [52], [75], [82]) Reich S [75] ¢ ch¿ ra sü hëi tö m¤nh cõad¢y l°p (1.45) khi d¢y sè {αn} thäa m¢n c¡c i·u ki»n (C1), (C2) v  i·uki»n

N«m 2002, Xu H K [86] ¢ thu ÷ñc ành l½ v· sü hëi tö m¤nh cõa d¢y

(C6) lim

n→∞

αn− αn+1

αn+1

= 0

Tuy nhi¶n, li»u r¬ng d¢y sè {αn} thäa m¢n c¡c i·u ki»n (C1) v  (C2)

câ l  i·u ki»n õ º £m b£o sü hëi tö m¤nh cõa d¢y l°p (1.45) v· iºmb§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n T hay khæng? ¥y v¨n cán l  mët c¥uhäi mð

Mët ph¦n cõa c¥u häi n y ¢ ÷ñc gi£i quy¸t mët c¡ch ëc lªp bði c¡ct¡c gi£ Chidume C E v  Chidume C O [33] v  Suzuki T [82] Hå ¢ x¡c

ành d¢y l°p {xn} bði

trong â δ ∈ (0, 1) v  thu ÷ñc sü hëi tö m¤nh cõa d¢y l°p (1.46) khi d¢y

sè {αn} thäa m¢n c¡c i·u ki»n (C1) v  (C2)

N«m 2008, Hu L.-G [44] ¢ mð rëng k¸t qu£ cõa Halpern v  cõa Mannd¤ng

trong â {αn}, {βn} v  {γn} l  c¡c d¢y sè n¬m trong kho£ng (0, 1) Tath§y r¬ng n¸u βn = 0 vîi måi n th¼ d¢y l°p (1.47) trð th nh d¢y l°p (1.45)

qu£ cõa Hu L.-G ÷ñc cho bði ành l½ sau:

αn+1

=

Tuy nhi¶n, liằu rơng dÂy số {n} thọa mÂn cĂc iÃu kiằn (C1) v  (C2)

câ l  i·u ki»n... lp (1.45) và imbĐt ởng cừa Ănh xÔ khổng giÂn T hay khổng? Ơy văn cỏn l mởt cƠuhọi m

Mởt phƯn cừa cƠu họi ny  ữủc giÊi quyát mởt cĂch ởc lªp bði c¡ct¡c gi£ Chidume C E v  Chidume... L.-G [44]  m rởng kát quÊ cừa Halpern v cừa ManndÔng

trong õ {n}, {n} v {n} l cĂc dÂy số nơm khoÊng (0, 1) TathĐy rơng náu n = vợi