PHỎNG NHÓM VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG

Bài toán mô tả tương đẳng trên một nửa nhóm là một trong những bài toán trung tâm của lý thuyết nửa nhóm. Trong trường hợp đặc biệt nếu S là một nhóm thì mỗi tương đẳng trên S hoàn toàn xác định bởi lớp tương đẳng chứa đơn vị. Tuy nhiên, nếu S là nửa nhóm tùy ý, bài toán mô tả cấu trúc tương đẳng trên S nói chung rất phức tạp. Độc lập với nhau, Vacne (1953) và Preston (1954) đã mô tả được cấu trúc của một tương đẳng trên một nửa nhóm ngược dựa vào hệ hạt nhân chuẩn của nó. Hơn 30 năm sau (1986), Francis Pastijn và Mario Petrich mới mô tả được cấu trúc tương đẳng trên nửa nhóm chính quy dựa vào hạt nhân và vết của nó. Dựa trên ý tưởng đó, cấu trúc tương đẳng trên nhiều nửa nhóm liên quan với nửa nhóm chính quy (Nửa nhóm Engược, Enửa nhóm, nửa nhóm orthodox, nửa nhóm chính quy suy rộng…) được mô tả một cách khá tường minh. Những năm đầu thế kỷ này, các tác giả còn chuyển sang nghiên cứu các tương đẳng trên các phỏng nhóm với những tính chất đặc trưng nào đó. Bản luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo Completely inverse AG  groupoids của hai tác giả Wieslaw A. Dudek và Roman S. Gigon đăng trên tạp chí Semigroup Forum năm 2013 (5) để tìm hiểu các tương đẳng trên các AG  phỏng nhóm ngược hoàn toàn. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương: Chương 1. Dàn các tương đẳng trên một nửa nhóm. Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm và tính chất của tập sắp thứ tự, nửa dàn và dàn, nửa nhóm các quan hệ trên một tập, dàn các tương đẳng trên một nửa nhóm để làm cơ sở cho việc trình bày các chương sau. Chương 2. Tương đẳng trên nửa nhóm ngược. Trong chương này chúng tôi trình bày về các nửa nhóm ngược, tương đẳng trên nửa nhóm ngược và sự phân loại các tương đẳng trên nửa nhóm ngược. 3 Chương 3. Tương đẳng trên AG  phỏng nhóm ngược hoàn toàn. Trước hết chúng tôi trình bày các AG phỏng nhóm và các AG  phỏng nhóm ngược. Tiếp theo chúng tôi trình bày dàn các tương đẳng trên một AG phỏng nhóm nhóm ngược hoàn toàn. Sau đó, chúng tôi trình bày nửa dàn các AG nhóm.

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

MỞ ĐẦU 2

CHƯƠNG 1 DÀN CÁC TƯƠNG ĐẲNG TRÊN MỘT NỬA NHÓM 4

1.1 Các tập sắp thứ tự Nửa dàn và dàn 4

1.2 Nửa nhóm các quan hệ trên một tập 7

1.3 Dàn các tương đẳng trên một nửa nhóm 10

CHƯƠNG 2 TƯƠNG ĐẲNG TRÊN NỬA NHÓM NGƯỢC 14

2.1 Nửa nhóm chính quy Nửa nhóm ngược 14

2.2 Tương đẳng trên nửa nhóm ngược 17

2.3 Sự phân loại các tương đẳng trên nửa nhóm ngược theo vết của chúng 20

CHƯƠNG 3 TƯƠNG ĐẲNG TRÊN AG ** - PHỎNG NHÓM NGƯỢC HOÀN TOÀN 25

3.1 Dàn các tương đẳng trên một AG ** - phỏng nhóm ngược hoàn toàn 25

3.2 Nửa dàn các AG - nhóm 31

KẾT LUẬN 36

TÀI LIỆU THAM KHẢO 37

MỞ ĐẦU

Bài toán mô tả tương đẳng trên một nửa nhóm là một trong những bài toán trung tâm của lý thuyết nửa nhóm Trong trường hợp đặc biệt nếu S là một nhóm thì mỗi tương đẳng trên S hoàn toàn xác định bởi lớp tương đẳng chứa đơn vị Tuy nhiên, nếu S là nửa nhóm tùy ý, bài toán mô tả cấu trúc tương đẳng trên S nói chung rất phức tạp

Độc lập với nhau, Vacne (1953) và Preston (1954) đã mô tả được cấu trúc của một tương đẳng trên một nửa nhóm ngược dựa vào hệ hạt nhân chuẩn của

nó Hơn 30 năm sau (1986), Francis Pastijn và Mario Petrich mới mô tả được cấu trúc tương đẳng trên nửa nhóm chính quy dựa vào hạt nhân và vết của nó Dựa trên ý tưởng đó, cấu trúc tương đẳng trên nhiều nửa nhóm liên quan với nửa nhóm chính quy (Nửa nhóm E-ngược, E-nửa nhóm, nửa nhóm orthodox, nửa nhóm chính quy suy rộng…) được mô tả một cách khá tường minh

Những năm đầu thế kỷ này, các tác giả còn chuyển sang nghiên cứu các tương đẳng trên các phỏng nhóm với những tính chất đặc trưng nào đó

Bản luận văn của chúng tôi dựa trên bài báo Completely inverse AG**

groupoids của hai tác giả Wieslaw A Dudek và Roman S Gigon đăng trên tạp

chí Semigroup Forum năm 2013 ([5]) để tìm hiểu các tương đẳng trên các

**

AG  phỏng nhóm ngược hoàn toàn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương:

Chương 1 Dàn các tương đẳng trên một nửa nhóm

Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm và tính chất của tập sắp thứ tự, nửa dàn và dàn, nửa nhóm các quan hệ trên một tập, dàn các tương đẳng trên một nửa nhóm để làm cơ sở cho việc trình bày các chương sau

Chương 2 Tương đẳng trên nửa nhóm ngược

Trong chương này chúng tôi trình bày về các nửa nhóm ngược, tương đẳng trên nửa nhóm ngược và sự phân loại các tương đẳng trên nửa nhóm ngược

Chương 3 Tương đẳng trên AG** phỏng nhóm ngược hoàn toàn

Trước hết chúng tôi trình bày các AGphỏng nhóm và các AG**phỏng nhóm ngược Tiếp theo chúng tôi trình bày dàn các tương đẳng trên một

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Kính mong quý thầy cô và bạn đọc đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!

CHƯƠNG 1 DÀN CÁC TƯƠNG ĐẲNG TRÊN MỘT NỬA NHÓM 1.1 Các tập sắp thứ tự Nửa dàn và dàn

1.1.1 Định nghĩa Một quan hệ hai ngôi  trên tập hợp X (nghĩa là, một tập con  của tích Đề-các XX ) được gọi là một thứ tự (bộ phận) nếu:

i)  x x,  đối với tất cả xX , nghĩa là  phản xạ;

ii) x y, X  , x y,  và  y x,  kéo theo x y, nghĩa là  phản đối xứng;

iii) x y z, , X  , x y,  và  y z,  kéo theo  x z, , nghĩa là  bắc cầu

Theo truyền thống, người ta viết x y nhiều hơn  x y,  Từ đây ta sẽ viết

x y thay thế cho  x y,  Ta cũng viết x y x,  y hay x y để chỉ tương ứng  y x, ,  x y,  và x y

Một quan hệ thứ tự bộ phận có tính chất

iv) x y, X, x y hoặc y x được gọi là một thứ tự toàn phần

Ta sẽ nói rằng X là một tập hợp được sắp thứ tự bộ phận (hay thứ tự toàn phần) nếu X đã xác định được một thứ tự bộ phận (tương ứng, thứ tự toàn phần)

1.1.2 Định nghĩa Giả sử X là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận và Y là một tập con của X

i) Phần tử a Y được gọi là cực tiểu nếu không có phần tử nào của Y thực sự nhỏ hơn a, nghĩa là nếu

 y Y,y  a y a ii) Phần tử b Y được gọi là bé nhất nếu

 y Y b,  y

Một phần tử nhỏ nhất là phần tử cực tiểu, nhưng khẳng định ngược lại có thể không đúng trong một tập sắp thứ tự bất kỳ Thực ra ta có:

1.1.3 Mệnh đề ([6]) Giả sử Y là một tập con khác rỗng của tập sắp thứ tự bộ phận X Thế thì:

1.1.7 Định nghĩa Giả sử Y là một tập con khác rỗng của dàn X, , ,   Thế thì Y được gọi là dàn con của X nếu thỏa mãn điều kiện

,     ,  

a b Y a b Y a b Y

Giả sử E, là một nửa dàn dưới Thế thì đối với a b c, , E cả hai a b c

và a b c đều là cận dưới lớn nhất của a b c , do đó , , 

a    b c a b c

Như vậy E, là một nửa nhóm Hơn nữa, a a a đối với mỗi aA, và

a  b b a đối với tất cả a b, E Do đó, ta đã chứng minh được một phần kết quả sau:

1.1.8 Mệnh đề Giả sử E, là một nửa dàn dưới Thế thì E, là một nửa nhóm giao hoán bao gồm toàn bộ các phần tử lũy đẳng, và

1.2 Nửa nhóm các quan hệ trên một tập

Ta nhắc lại rằng, mỗi quan hệ hai ngôi  trên tập hợp X là một tập con của tích Đề-các X  X   a b a b, | , X Nếu  a b,  thì ta nói rằng a có quan

hệ  với b và viết a b Tập rỗng  cũng là một quan hệ hai ngôi trên X và

nó được chứa trong mọi quan hệ hai ngôi khác của X

Ngoài ra, ta còn quan tâm đến hai quan hệ hai ngôi đặc biệt sau đây: Quan

hệ phổ dụng X cho bởi X   x y, | ,x yX X X và quan hệ bằng nhau (hay quan hệ đường chéo) 1 X cho bởi 1X   x x, |xX

Tập hợp tất cả các quan hệ hai ngôi trên X được kí hiệu bởi B Trong X B X

ta đưa vào phép toán hai ngôi theo quy tắc: đối với tất cả

1.2.2 Định nghĩa Giả sử  là một quan hệ hai ngôi trên X

i) Miền xác định của  là tập con của X cho bởi

Đối với mỗi xX,B ta định nghĩa tập con X x của X cho bởi

 

x  yX x y  Như vậy x   nếu và chỉ nếu xdom

Nếu A là một tập con của X thì ta định nghĩa A: a|aA

Đối với mỗi B ta định nghĩa quan hệ ngược X  1

x   nếu và chỉ nếu xim

1.2.3 Định nghĩa Một phần tử B được gọi là một ánh xạ bộ phận của X X

nếu x 1 đối với tất cả xdom, nghĩa là đối với tất cả x y y, ,1 2X ,

x y, 1 và x y , 2  y1 y2

Nếu  , là các ánh xạ của X sao cho   thì  được gọi là cái thu hẹp của

 và  được gọi là mở rộng của  Trong trường hợp này, nếu

dom =A dom thì ta kí hiệu  bởi  A

Tập hợp tất cả các ánh xạ bộ phận của X được kí hiệu bởi P X

1.2.4 Mệnh đề P là một nửa nhóm con của X BX, 

Chứng minh Giả sử , P và giả thiết rằng X x y, 1 , x y, 2  Thế thì, tồn tại z z1, 2X sao cho

Chú ý rằng ở đây ta thay kí hiệu  x bởi kí hiệu x

1.2.6 Định nghĩa Ánh xạ bộ phận  của X được gọi là một ánh xạ nếu

dom =X

Như vậy một quan hệ hai ngôi  trên X là một ánh xạ nếu và chỉ nếu x 1với mỗi xX Nếu  , là những ánh xạ thì   cũng là ánh xạ

Kí hiệu tập hợp tất cả những ánh xạ trên X bởi T , ta nhận được kết quả sau X

1.2.7 Mệnh đề T là nửa nhóm con của X BX, 

1.2.8 Định nghĩa Một quan hệ  trên X được gọi là quan hệ tương đương

nếu  phản xạ (nghĩa là 1X ), đối xứng (nghĩa là    1) và bắc cầu (nghĩa là    )

1.2.9 Định nghĩa Một họ  A i i| I các tập con của một tập hợp X được

gọi là tạo thành một phân hoạch của X nếu

i) A i    , i I

ii) i j, I, hoặc A i  A j hoặc A iA j  

iii) A i i|  I X

1.2.10 Mệnh đề ([6]) Giả sử  là một quan hệ tương đương trên X Thế thì

họ     x|xX là một phân hoạch của X

Đảo lại, nếu  A i i| I là một phân hoạch của X , thế thì quan hệ

     x y, X X | i I x y , A i

       là một quan hệ tương đương trên X Đối với mỗi quan hệ tương đương  trên X ,     , và đối với mỗi phân hoạch  của X ,     

1.2.11 Định nghĩa Giả sử  là một quan hệ tương đương trên X

i) Mỗi tập con x yX | x y,  được gọi là một _ lớp

ii) Tập hợp X  :x|xX được gọi là một tập thương của X bởi  iii) Ánh xạ #:X X , x x được gọi là ánh xạ tự nhiên

1.2.12 Định nghĩa Tập hợp tất cả các quan hệ tương đương trênX cùng với

quan hệ thứ tự bộ phận là quan hệ bao hàm tạo thành một dàn đầy đủ, gọi là dàn các quan hệ tương đương trên X và được kí hiệu bởi E X

Chú ý rằng nếu  , E X thế thì       và   được xác định bởi:

 a b,    nếu và chỉ nếu đối với một số tự nhiên n nào đó, tồn tại các phần

tử x x1, 2, ,x nX sao cho:

a x, 1,x x1, 2,x x1, 3, ,x2n1,b

Ta viết    

1.2.13 Định nghĩa

i) Giả sử L là một dàn và a b, L Ta nói rằng, a phủ b (và viết a b), nếu

ab và không tồn tại xL sao cho a x b

ii) Dàn L được gọi là nửa modular (dưới) nếu đối với mọi a b, L, a ab

và b a b ab a và ab b

1.2.14 Mệnh đề ([6]) Dàn E X , , ,   các tương đẳng trên một tập hợp X

là nửa modular

1.3 Dàn các tương đẳng trên một nửa nhóm

1.3.1 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm Một quan hệ tương đương trên S được gọi là tương đẳng trái (hoặc tương đẳng phải) nếu  ổn định trái, nghĩa là  a b,  và xS có xa xb,  (tương ứng, nếu  ổn định phải, nghĩa là  a b,  và xS có ax bx, )

 được gọi là một tương đẳng nếu  vừa ổn định trái, vừa ổn định phải

1.3.2 Định nghĩa Giả sử  là một tương đẳng trên nửa nhóm S Thế thì tương ứng a ,b  ab là một phép toán trên S a|aS

Với phép toán này S  là một nửa nhóm và được gọi là nửa nhóm thương của

S theo tương đẳng 

1.3.3 Định nghĩa Giả sử S và T là các nửa nhóm Khi đó ánh xạ : S T được gọi là một đồng cấu nếu thỏa mãn điều kiện  ab    a  b ,a b, S Đồng cấu  được gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu nếu  là đơn ánh, toàn ánh, song ánh

Trong trường hợp  là đẳng cấu thì ta nói rằng S và T đẳng cấu với nhau, và viết S T

1.3.4 Định nghĩa

i) Giả sử  là một tương đẳng trên nửa nhóm S Khi đó ánh xạ tự nhiên

#

    là một toàn cấu và gọi là toàn cấu chính tắc

ii) Giả sử : ST là một đồng cấu nửa nhóm, thế thì quan hệ  cho bởi

 a b,  nếu và chỉ nếu  a  b là một tương đẳng trên S và được gọi là

tương đẳng hạt nhân liên kết với đồng cấu  Kí hiệu bởi Ker

Kết quả sau đây được trình bày trong [1], [3] và [6]

1.3.5 Định lý Giả sử : ST là toàn cấu nửa nhóm và =Ker Thế thì

S T

 

Chú ý rằng giao của một họ tùy ý các tương đẳng trên một nửa nhóm S là một tương đẳng trên S Khẳng định tương tự không đúng đối với hợp, kể cả khi hợp của hai tương đẳng trên S Với mỗi quan hệ hai ngôi  bất kì trên S , ta có

được gọi là tương đẳng sinh bởi  và được kí hiệu bởi *

1.3.6 Định nghĩa Giả sử S là nửa nhóm và C  S là tập hợp tất cả các tương đẳng trên S Khi đó quan hệ bao hàm  trên C  S là một quan hệ thứ tự bộ phận trên S Giả sử   | I là một họ các phần tử của C  S Thế thì giao

1.3.8 Mệnh đề Giả sử K là một dàn con của dàn C  S , , ,   các tương đẳng trên một nửa nhóm S sao cho     với mọi  , K Thế thì

K là một dàn modular

Chứng minh Nói rằng K là dàn con của C  S , , ,   nghĩa là K đóng dưới các phép toán  và 

Giả sử   , , K sao cho   và giả sử   x y,    

Vì     nên      và do đó   x y,   

Thế thì,  x y,  và  x y,   nên tồn tại zS sao cho  x z,  và

 z y,  Vì   và  là quan hệ tương đương nên  z y, 

Ta sẽ sử dụng kí hiệu sau đây: Nếu  x y,  thì ta viết x ymod

Giả sử  a b,   Khi đó tồn tại cG sao cho  a c,  và  c b,  Thế thì  1 1 

Như vậy  a b,   nên    

Theo tính chất đối xứng, có     nên    

Từ Mệnh đề 1.3.8 và 1.3.9 trực tiếp suy ra

1.3.10 Hệ quả Dàn các tương đẳng trên một nhóm là một dàn modular

CHƯƠNG 2 TƯƠNG ĐẲNG TRÊN NỬA NHÓM NGƯỢC

2.1 Nửa nhóm chính quy Nửa nhóm ngược

2.1.1 Định nghĩa

i) Phần tử a của nửa nhóm S được gọi là phần tử chính quy nếu tồn tại phần tử

xS sao cho aaxa

ii) Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm chính quy nếu mọi phần tử của S đều là phần tử chính quy

Giả sử aS là phần tử chính quy Khi đó có xS sao cho aaxa

Đặt y xax thì yS và y a y xax a xax x axa xax.  x axa x xax y

và a y a a xax a axa xa axaa nên y là phần tử ngược của a

2.1.5 Mệnh đề (Bổ đề Lallement) Giả sử S là nửa nhóm chính quy và

Chứng minh

Giả sử xS thỏa mãn điều kiện  x e (x tồn tại vì  là toàn ánh), và giả sử

y là phần tử ngược của x2 trong S (y tồn tại theo Mệnh đề 2.1.4)

Từ bổ đề Lallement trực tiếp suy ra

2.1.6 Hệ quả Giả sử  là một tương đẳng trên nửa nhóm chính quy S và S

P  Khi đó với mỗi aE P , tồn tại eE S sao cho ae

Chứng minh

Áp dụng Bổ đề Lallement với toàn cấu chính tắc # : S S , x x

2.1.7 Định nghĩa Một nửa nhóm S được gọi là một nửa nhóm ngược nếu mỗi

phần tử của S đều có một phần tử ngược duy nhất

Giả sử S là một nửa nhóm ngược và xS Khi đó phần tử ngược duy nhất của

x được ký hiệu bởi 1

2.1.9 Mệnh đề Giả sử S là một nửa nhóm ngược Thế thì E là một nửa nhóm S con của S. Hơn nữa E là một dàn, nghĩa là các lũy đẳng của S S giao hoán được với nhau

Chứng minh Giả sử , e f E S Xét phần tử ngược (duy nhất)   1

:

x  ef  của ef Thế thì ef ef x ef ef xe ef ef fx ef (Vì 2

2.1.10 Định lý ([1]) Ba điều kiện sau đối với một nửa nhóm là tương đương

(i) S chính quy và hai lũy đẳng bất kỳ của S giao hoán được với nhau;

(ii) Mỗi iđêan chính trái và mỗi iđêan chính phải của S có một phần tử sinh lũy đẳng duy nhất;

(iii) S là nửa nhóm ngược

2.1.11 Mệnh đề ([1]) Giả sử S là một nửa nhóm ngược và a b, S Thế thì

 1 1   1 1 1

,

a  a ab  b a 

2.1.12 Mệnh đề ([2]) Giả sử S là một nửa nhóm ngược và E là tập hợp các S lũy đẳng của nó Trên S xác định quan hệ cho bởi: x y x y , S nếu và chỉ nếu tồn tại eE S sao cho xey Thế thì:

(i) Quan hệ là một thứ tự bộ phận trên S ;

(ii) Cái thu hẹp của trên E trùng với quan hệ thứ tự bộ phận tự nhiên trên S tập hợp các lũy đẳng của S e f e f , E Sef  fee

2.2 Tương đẳng trên nửa nhóm ngược

2.2.1 Mệnh đề Giả sử S là một nửa nhóm ngược và : S P là một đồng cấu nửa nhóm Thế thì  S là một nửa nhóm con ngược của P Đặc biệt, nếu  là toàn cấu thì P là nửa nhóm ngược

    là một toàn cấu, nên từ Mệnh

đề 2.1.1, trực tiếp suy ra:

2.2.2 Hệ quả Giả sử  là một tương đẳng trên nửa nhóm ngược S. Thế thì: (i) S  là một nửa nhóm ngược;

là nửa nhóm con ngược của S

2.2.4 Định nghĩa Giả sử  là một tương đẳng trên nửa nhóm S