ĐẠI SỐ BRAUER VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CHO ĐAI SỐ ĐỒ THỊ

Đối ngẫu SchurWeyl liên hệ lý thuyết biểu diễn của nhóm tuyến tínhtổng quát GLN ( ) với lý thuyết biểu diễn của nhóm đối xứng Sn qua các tácđộng trung tâm hóa đồng thời của hai nhóm này trên không gian lũy thừa tenxơ ( ) N n  . Vào năm 1937, R. Brauer 2 đã giới thiệu các đại số, mà ngàynay được gọi là các đại số Brauer. Những đại số này xuất hiện trong một tìnhhuống tương tự như vai trò của nhóm đối xứng trong đối ngẫu SchurWeyl ởtrên. Nghĩa là, khi nhóm tuyến tính tổng quát GLN ( ) được thay thế bởihoặc một nhóm Sympletic Sp(2N) hoặc một nhóm trực giao SO(N) thì nhómđối xứng được thay thế bởi đại số qBrauer.Tiếp sau đó, một qbiến thể của đại số Brauer này đã được tìm ra bởiBirman và Wenzl 1 và độc lập bởi Murakami 6 trong sự kết nối với lýthuyết Knot và các nhóm lượng tử. Ngày nay đại số này được gọi là đại sốBMW.

MỤC LỤC

Trang MỤC LỤC 1

CÁC KÝ HIỆU 2

MỞ ĐẦU 3

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Nhóm đối xứng S n 5

1.2 Đại số Hecke của nhóm đối xứng 6

1.3 Đại số Brauer 8

CHƯƠNG 2 ĐẠI SỐ q-BRAUER 2.1 Các định nghĩa 15

2.2 Một số tính chất cơ bản của đại số q-Brauer 20

2.3 Mô đun V trên đại số k* Br r q 21 n( , ) CHƯƠNG 3 MỘT CƠ SỞ VÀ MỘT ĐỐI ĐẲNG CẤU CỦA ĐẠI SỐ q-BRAUER 3.1 Cơ sở của đại số q-Brauer 23

3.2 Đối đẳng cấu của đại số q-Brauer 26

3.3 Thuật toán dùng để sản xuất phần tử cơ sở của đại số q-Brauer 36

3.4 So sánh giữa hai cơ sở của đại số q-Brauer 41

KẾTLUẬN 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

q q 

Vành đa thức

MỞ ĐẦU

Đối ngẫu Schur-Weyl liên hệ lý thuyết biểu diễn của nhóm tuyến tính tổng quát GL N( )với lý thuyết biểu diễn của nhóm đối xứng S n qua các tác động trung tâm hóa đồng thời của hai nhóm này trên không gian lũy thừa ten

xơ ( N)n Vào năm 1937, R Brauer [2] đã giới thiệu các đại số, mà ngày

nay được gọi là các đại số Brauer Những đại số này xuất hiện trong một tình huống tương tự như vai trò của nhóm đối xứng trong đối ngẫu Schur-Weyl ở trên Nghĩa là, khi nhóm tuyến tính tổng quát GL N( ) được thay thế bởi hoặc một nhóm Sympletic Sp(2N) hoặc một nhóm trực giao SO(N) thì nhóm đối xứng được thay thế bởi đại số q-Brauer

Tiếp sau đó, một q-biến thể của đại số Brauer này đã được tìm ra bởi

Birman và Wenzl [1] và độc lập bởi Murakami [6] trong sự kết nối với lý thuyết Knot và các nhóm lượng tử Ngày nay đại số này được gọi là đại số BMW

Vào năm 2012, một đại số mới được giới thiệu bởi Giáo sư Wenzl [10] thông qua định nghĩa các phần tử sinh và các mối quan hệ trên chúng Đại số

này được đặt tên là đại số q-Brauer và nó được biết đến như là một q-biến

thể khác của đại số Brauer và chứa đại số Hecke của nhóm đối xứng như một đại số con tự nhiên Trong [10] Wenzl đã chứng minh rằng, trên một mở

rộng của trường số hữu tỉ với các tham số r, q, đại số q-Brauer là nửa đơn và đẳng cấu với đại số Brauer Một số ứng dụng của đại số q-Brauer đã được

tìm thấy trong những nghiên cứu về vành biểu diễn của nhóm trực giao hoặc nhóm Sympletic [9] và về các phạm trù mô đun của các phạm trù liên hợp

kiểu A và các thành phần con tương ứng kiểu II1 [11] Đại số này được mong chờ sẽ có nhiều ứng dụng trong cơ khí thống kê, lý toán, lý thuyết Knot, lý thuyết toán tử, lý thuyết biểu diễn… như đại số BMW đã có Tuy nhiên, hiện nay trên thế giới cũng như ở Việt Nam chưa có nhiều nghiên cứu sâu sắc về

đại số q-Brauer nhằm khám phá những tính chất và cấu trúc đại số của nó

ngoài nghiên cứu của TS Nguyễn Tiến Dũng trong [4], [5]

Do đó, với mong muốn giới thiệu và bước đầu tìm hiểu sâu hơn về đại số

q-Brauer, chúng tôi chọn đề tài: “Một cơ sở cho đại số q-Brauer”

Đề tài của chúng tôi nhằm mục đích trình bày lại một số tính chất của đại

số q-Brauer và sau đó giới thiệu một cơ sở cho đại số này dựa trên tài liệu

[4] Luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Chương này chúng tôi trình bày lại một số kiến thức cơ bản về đại số Brauer Những kiến thức này sẽ được sử dụng trong việc xây dựng một cơ sở

cho đại số q-Brauer trong chương 3

Chương 2: Đại số q-Brauer

Chương này trình bày các định nghĩa, tính chất của đại số q-Brauer và mô

đun *

k

V trên đại số Br r q n( , )

Chương 3: Một cơ sở và một phản tự đẳng cấu của đại số q-Brauer

Chương này trình bày kết quả chính của luận văn Trong chương này

chúng chúng tôi giới thiệu một cơ sở cho đại số q-Brauer và trình bày một

thuật toán để tìm các phần tử của cơ sở này

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Tiến Dũng Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc tới TS Nguyễn Tiến Dũng, người đã dẫn dắt và hướng dẫn tận tình trong quá trình tác giả làm luận văn Nhân dịp này tôi xin gửi lời cảm ơn

chân thành tới các thầy, cô giáo ở khoa sư phạm Toán học – Trường Đại học

Vinh đã giành thời gian giảng dạy nhiệt tình, truyền đạt những kiến thức bổ ích cho tôi

Trong quá trình học tập và nghiên cứu mặc dù đã có nhiều cố gắng, nỗ lực của bản thân nhưng do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Kính mong nhận được sự góp ý của

các thầy, cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1.1 Định nghĩa

Nhóm đối xứng S n gồm tất cả các song ánh từ 1 2 3, ,n vào chính nó với phép toán nhóm là phép hợp thành các ánh xạ Các phần tử S n được gọi là các hoán vị

) 3 (

3 (2)

2 ) 1 (

2 3 1 4 5

 Cách 2: Mô tả hoán vị  bởi một dòng

Theo cách mô tả này thì dòng đầu tiên luôn cố định Do đó cách mô tả thứ hai chỉ lấy dòng thứ hai trong cách một

Cách 3: Mô tả một hoán vị  thông qua kí hiệu xích

Với i1 2 3, ,n cho trước, các phần tử của dãy i    i 2 i , hoàn toàn phân biệt Chọn lũy thừa đầu tiên sao cho p i i, ta có một xích

i  i p-1 i 

Một cách tương đương, ta cũng có thể định nghĩa một xích i,j,k, ,l có nghĩa là  biến i thành j, j biến thành k, , l biến thành i Bây giờ chọn một phần tử không nằm trong xích chứa i và lặp lại quá trình trên cho đến khi tất

cả các số trong 1 2 3, ,n đều được sử dụng Ví dụ 1 ở trên trở thành

1 2 3  4 5





theo kí hiệu xích Chú ý rằng hoán vị vòng tròn các phần tử nằm trong một xích, hay thay đổi thứ tự các xích với nhau thì không làm ảnh hưởng đến hoán vị Chẳng hạn,

1 2,3   4 5  2 3,1    4 5  4 2,3,1    5  4 5 31,2

Một k-xích hay xích với độ dài k, là một xích gồm k phần tử Hoán vị vừa

rồi của ta gồm một 3-xích và hai 1-xích Kiểu xích, hay đơn giản chỉ là kiểu của  là một biểu thức có dạng  m m m n

n

, ,2,

Ở đó, m k là số các xích có độ dài k trong  Hoán vị của ví dụ trên có kiểu xích là  2 0 1 0 0

5 4 3 2

Kí hiệu sj = (j, j+1) với 1 < j < n là các chuyển vị cơ bản trong nhóm đối

xứng S n Những chuyển vị cơ bản s j là những phần tử sinh của nhóm đối

xứng S n

1.1.2 Sự diễn tả rút gọn của một hoán vị

Cho một hoán vị  S n Nếu π có thể được biểu diễn như một tích

Ví dụ 2 Sử dụng hoán vị π như trong Ví dụ 1 ở trên thì π = s 1 s 2 và do đó

l(π) = 2

1.2 Đại số Hecke của nhóm đối xứng

1.2.1 Định nghĩa Cho R là vành giao hoán có đơn vị là 1, và q là phần tử

khả nghịch trên R Đại số Hecke H n (q) = H R,q = H R,q (s n) của nhóm đối xứng

S n trên R được định nghĩa như là một R-môđun tự do với cơ sở g S n.

Phép nhân trong H n (q) thỏa mãn các quan hệ sau:

s ω trong các trường hợp còn lại

3 Cho S n thì g ω là phần tử khả nghịch trong H n (q) với phần tử nghịch

Đại số Brauer được giới thiệu đầu tiên bởi Richard Brauer [2] để nghiên

cứu lũy thừa Tenxơ thứ n của biểu diễn định nghĩa của các nhóm trực giao và

các nhóm symplectic Sau đó, chúng được tập trung khám phá chi tiết bởi các nhà toán học khác nhau và có nhiều ứng dụng trong lí thuyết Knot, cơ khí, thống kê, lý toán…

1.3.1 Định nghĩa

Đại số Brauer được định nghĩa trên vành [ ]x qua một cơ sở được đưa ra bởi các biểu đồ Mỗi biểu đồ gồm có 2n đỉnh được sắp xếp vào hai hàng với mỗi hàng có n đỉnh Hai đỉnh bất kỳ trong biểu đồ nối với nhau bởi một đoạn

thẳng Một đoạn thẳng mà được nối bởi hai đỉnh trong cùng một hàng thì được gọi là “đoạn ngang”, những đoạn thẳng còn lại được gọi là “đoạn dọc”

Chúng ta kí hiệu D n (x) cho đại số Brauer, trong đó các đỉnh của biểu đồ được đánh số từ 1 đến n theo chiều từ trái sang phải cho đồng thời cả hai hàng Hai biểu đồ d1 và d2 được nhân bởi một sự liên kết, nghĩa là: Các đỉnh ở hàng

dưới của biểu đồ d1 được kết nối các đỉnh tương ứng ở hàng trên của biểu đồ

d2 Từ đó dẫn đến một biểu đồ kết quả d Sau đó tích d 1 d 2 được định nghĩa là

1 2

(d d, )

x d trong đó ( ,d d1 2)là số các vòng được kết nối của sự liên kết giữa

d 1 và d 2 mà sẽ không xuất hiện trong biểu đồ d Chúng tôi minh họa bởi ví dụ sau Trong đại số Brauer D7(x), chúng tôi nhân hai biểu đồ d1 và d2 như sau

Biểu đồ của tích d1.d 2 =x1d là

Từ giờ về sau để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi sẽ sử dụng kí

hiệu N thay cho tham số x Trong (mục 5, [2]) R Brauer đã chỉ ra rằng mỗi biểu đồ cơ sở trên D n (N) mà có chính xác 2k đoạn thẳng ngang có thể được

biểu diễn thành sự liên kết có dạng 1 ( )e k2, trong đó 1và 2là các hoán vị

của nhóm đối xứng Sn, và e là biểu đồ có dạng như sau: ( )k

Trong đó mỗi hàng có k đoạn ngang

Như một hệ quả, đại số Brauer có thể được xem xét trên vành đa thức

 x và được định nghĩa qua các phần tử sinh và các quan hệ: Cho x là tham

số trên vành ; đặt R [ ]N , đại số Brauer D n (N) trên vành R như là R-đại

số kết hợp có đơn vị được sinh bởi các chuyển vị s1, s2,…, s n-1,cùng với các

phần tử sinh e(1), e(2),…, e ([n/2]) , mà thỏa mãn các mối quan hệ được định

nghĩa như sau:

(S1) s s s i i1 i s s s i1 i i1 với 1  i n 1;

(S2) s s i j s s j i với i j 2;

(1) e e( ) (i)k e e(i) ( )k x e i ( )k với 1  i k n/ 2;

(2) e s e(i) 2j ( )k e s e( ) 2k j (i) x e i1 ( )k với 1   j i k n/ 2;

1.3.2 Môđun V và V k* k

Trong mục này chúng tôi nhắc lại những môđun cụ thể của các đại số

Brauer D n (N) có một sự phân tích vào tổng trực tiếp của các không gian véc

tơ

[ /2]

( ) 0

cho bởi các biểu đồ cơ sở của [ ]N S e n ( )kj, trong đó jS n là một biểu đồ

sao cho e( )kj là biểu đồ trong D n (N) mà không có giao điểm nào giữa hai

đoạn dọc bất kỳ Trong trường hợp cụ thể

Trong đó ( , )P n k là tập hợp tất cả cáckhả năng của j Như là phép nhân từ

bên phải bởi j giao hoán tác động của D n (N) hạng tử phía bên phải là một

đẳng cấu với môđun

V k*( [ ]N S e n ( )kj I k( 1)) / (I k1)). (1.3.2) Một cách tổ hợp, *

k

V được mở rộng bởi các biểu đồ cơ sở, trong đó mỗi biểu

đồ cơ sở có chính xác k đoạn thẳng ở hàng dưới mà đoạn thẳng thứ i có được

bằng cách nối các đỉnh 2i-1 và 2i với nhau Quan sát rằng *

xác định bởi việc quay biểu đồ *

đủ trên không gian véc tơ [ / 2] *

0

n k k



 )

1.3.4 Hàm độ dài của đại số Brauer D n (N)

Tổng quát hoá khái niệm độ dài của các phần tử trong các nhóm phản xạ,

Wenzl [10] định nghĩa một hàm độ dài cho biểu đồ của D n (N) như sau:

Cho mỗi biểu đồ dD N n( ) với 2k đoạn thẳng ngang, định nghĩa độ dài l(d) được xác định như sau:



 1 2 1 ( ) 2 1 2

Chúng ta sẽ gọi biểu đồ của d có dạng e( )k trong đó l( ) l d( ) và S n

là các biểu đồ cơ sở của môđun *

k

V

1.3.5 Chú ý

1 Nhắc lại rằng độ dài của một hoán vị S n được định nghĩa bởi l( )

bằng lực lượng của tập hợp ( , ) ( )i j j (i) 1   i j n Trong đó nhóm

đối xứng hoạt động trên tập hợp {1, 2,…., n} từ phía bên phải

2 Với biểu đồ d cho trước, ta có thể tìm được nhiều hơn một hoán vị 

sao cho e( )k d và ( )l  l d( ). Ví dụ s2j1 2s e j ( )k s2j1 2s e j ( )k với

2j 1 k. Điều này có nghĩa rằng một sự diễn tả như vậy của d không là

duy nhất với mỗi S n Để thuận lợi cho việc sử dụng sau này, nếu ( , 1)

( )n t n ( ) n  Dẫn đến / 1

1( )n t n n,

các phần tử trong *

k

B bằng số lượng các biểu đồ d * trong D n (N) trong đó d *

có 2k đoạn thẳng ngang trên mỗi dòng và có một trong các dòng như là một

dòng của e( )k

3 Từ bây giờ trở đi ta coi một hoán vị của một nhóm đối xứng được xem như là một biểu đồ không có bất kỳ đoạn thẳng ngang nào, và tích  1 2trong S n coi như là sự kết nối của hai biểu đồ trong Dn (N)

4 Cho trước một biểu đồ cơ sở d* e( )k với *

k

l  l d l  , trong đó /

( )

l  là số lượng các thành phần của sự biểu diễn của / trong B *k

1.3.6 Ví dụ

Ví dụ này nhằm minh hoạ nhận xét 2, chúng ta chọn j1,k 2 Một biểu

đồ cơ sở d * trong V được đưa ra như sau: 2*

2 Cho bất kỳ biểu đồ cơ sở d* của V , chúng ta có k* * *

B    B (1.3.5) Phát biểu tiếp theo tương tự như Bổ đề 1.3.7

2 Cho bất kỳ biểu đồ cơ sở d của V n( )k , chúng ta có ( l ds i)l d( ) 1

e(2)

CHƯƠNG 2: ĐẠI SỐ q- BRAUER

Trong chương này chúng tôi sẽ tóm tắt một số kiến thức cơ bản và cần

thiết về đại số q-Brauer Sau đó chúng tôi giới thiệu một số phiên bản cho đại

số này mà cần thiết cho những nghiên cứu khác nhau

Định nghĩa thứ hai của đại số q-Brauer như sau:

2.1.2 Định nghĩa. Đại số q-Brauer, kí hiệu Br n (r,q), được định nghĩa trên

1 Một đại số có mối quan hệ gần gũi với đại số q-Brauer đã xuất hiện gần đây trong công việc của Molev Năm 2003, Movel [7] đã đưa ra một q-tương

tự mới của đại số Brauer bởi sự xét đến của nhóm con trung tâm bởi tác động

tự nhiên trên không gian lũy thừa tenxơcủa sự biến thể không tiêu chuẩn của đại số Brauer tổng quát ( )

N

o

U Ông ấy đã định nghĩa các mối quan hệ cho đại

số này và đã xây dựng các biểu diễn của chúng trên các không gian tenxơ Tuy nhiên trong trường hợp tổng quát thì những biểu diễn này là không đầy

đủ và có rất ít thông tin được biết về những đại số trừu tượng này ngoài

những biểu diễn của chúng Đại số q-Brauer, sau đó được giới thiệu bởi

Wenzl trong [10] thông qua các phần tử sinh và các mối quan hệ Trong trường hợp chi tiết, trên trường  r q, Wenzl đã chứng minh được đại số

q-Brauer là nửa đơn và đẳng cấu với đại số Brauer Ta có thể kiểm chứng

được rằng các biểu diễn của các đại số của Molev trong [7] cũng là các biểu

diễn của đại số q- Brauer (mục 2.2, [11]) Nhiều hơn nữa các quan hệ được

chỉ ra trong đại số của Molev cũng được thỏa mãn bởi các phần tử sinh của

đại số q-Brauer Tuy nhiên, đại số trừu tượng được định nghĩa bởi Molev có thể lớn hơn đại số q-Brauer ([8])

2 Một cách rõ ràng, bởi thiết lập N

r q phiên bản Br n (r,q) trùng với

Br n (N) Trên các vành mà cho phép lấy giới hạn khi q1, như là trường số

thực hoặc trường số phức, đại số q-Brauer (đồng thời 2 phiên bản khi q1)

trùng với đại số Brauer cổ điển Dn (N) Trong trường hợp này phần tử g trở i

thành phần tử phản xạ đơn s và phần tử e i (k) có thể được xác định tương ứng

với biểu đồ e (k) Tuy nhiên, trên trường bất kỳ với đặc số nguyên tố mà giới hạn q1 không tồn tại, định nghĩa của Wenzl dường như gặp khó khăn về mặt kỹ thuật để có thể làm việc Cụ thể, trên trường có đặc số nguyên tố

chúng ta không thể đưa ra một sự so sánh giữa đại số q-Brauer và đại số Brauer cổ điển trong trường hợp q = 1 hoặc q1 Một cách đầy đủ, nếu hệ

số [N] = 0 và (r-1)/(q-1) = 0 thì chúng ta nhận thấy rằng đối đẳng cấu được

định nghĩa bởi Wenzl cho đại số q-Brauer (xem mục 3.1.2, [10]) là không

tồn tại (chứng minh của nhận xét này có trong Bổ đề 3.2.1 (3)) Để thuận lợi

cho việc nghiên cứu một cách chi tiết về đại số q-Brauer chúng tôi giới thiệu tiếp theo một số phiên bản sửa đổi của đại số này Như một hệ quả, đại số q-

Brauer có thể được xem xét trên 1 trường bất kỳ với đặc sốp0, cũng như trong trường hợp q1 hoặc q1

q r r q  được định nghĩa bởi cùng các phần tử sinh và

các quan hệ như trong Định nghĩa 2.1.2

q r r r q q  Nếu q1 thì giả thiết thêm rằng r = q N

với N \ 0  Đại số q-Brauer Br n (r2,q2) trên vành

phần tử sinh g g1, 2, ,g n1và e và các quan hệ (H), (E3 ) như trong Định nghĩa 2.1.6, và

1 Trong đại số q-Brauer, phiên bản Br n (r2,q2) đẳng cấu với phiên bản

Br n (r,q) Trong thực tế, phiên bản Br n (r2,q2) có thể thu được từ Brn (r,q) bởi

sự thay thế các phần tử q, r và e cũ trong Br n (r,q) bởi các phần tử q2, r2 và

(q -1 r) e mới tương ứng

2 Các phiên bản mới không làm thay đổi các tính chất của đại số

q-Brauer mà được nghiên cứu chi tiết bởi Wenzl Điều này có nghĩa rằng

chúng ta chỉ cần đưa ra các chứng minh cho các tính chất cho đại số q-Brauer

trên một phiên bản Các phiên bản khác được chứng minh hoàn toàn tương

tự

3 Trong luận văn này, chúng tôi sẽ làm việc với các phiên bản của đại số

q-Brauer được định nghĩa trong 2.1.4, những phiên bản còn lại được sử dụng

để nghiên cứu phục vụ cho các mục đích khác nhau mà đã được đề cập trong [4]

4 Trong trường hợp q1 đại số q-Brauer Br n (N) (tương ứng Br n (N2))

trùng với lớp đại số cổ điển D n (N) Và trên một vành mà giới hạn khi q dần tới 1 tồn tại, đại số q-Brauer Br n (r,q) (tương ứng Br n (r2,q2)) trở lại đại số Brauer cổ điển Chú ý rằng, tất cả các định nghĩa trên kéo theo các đẳng thức sau:

2.1.9 Định nghĩa

Cho k là số nguyên,1 k n/ 2  Phần tử e (k) của đại số q-Brauer được định nghĩa quy nạp bởi e (1) = e và bởi

e(k1) eg2,2 k1 1,2g k e( )k

Chú ý rằng, trong luận văn này chúng tôi lạm dụng việc kí hiệu e (k) cho

đồng thời một biểu đồ cụ thể trong đại số Brauer D n (N) và 1 phần tử trừu tượng trong đại số q-Brauer Br n (r,q) Cho trước một biểu đồ d, trực giác hình

học cho ta thấy rằng các biểu đồ e (k) và ( )d giao hoán trên đại số Brauer

Tương tự, tính chất này cũng có trong đại số q-Brauer

Ta chỉ cần chứng tỏ rằng e g( )k i g e i ( )k với 2k   1 i n 1 Điều này sẽ

được chứng minh bằng phép quy nạp trên k Thật vậy, với k = 1 ta có

eg i = g i e với 3  i n 1 dựa trên điều kiện (E2) Giả sử

(k 1) i i (k 1)

e  g  g e  với 2k  1 i n-1, nên với 2k  1 i n-1 ta có

Bổ đề tiếp theo đề cập đến sự mở rộng của các tính chất của đại số Brauer

cổ điển lên cấp độ đại số q-Brauer

2.2.1 Bổ đề (Wenzl [10])

Cho Br n (N) là đại số q-Brauer trên R Giả thiết thêm rằng [N] và q là các

phần tử khả nghịch trong R Khi đó các khẳng định sau là đúng

và vết tr là đối sinh

2.3.1 Định nghĩa

Tác động của các phần tử sinh của đại số q-Brauer trên mô đun V được k*

định nghĩa như sau:

g j v d =





 qv d nếu s j d = d, v

s j d nếu l(s j d) > l(d), (q-1)v d + qv

2.3.2 Bổ đề

Tác động của các phần tử g với j 1 j n và e trên V như đã giới thiệu k*

ở trên định nghĩa một biểu diễn của Br n (r,q)

CHƯƠNG 3: ĐẠI SỐ VÀ ĐỐI ĐẲNG CẤU CỦA ĐẠI SỐ q-BRAUER

Trong chương này, chúng ta xây dựng một cơ sở cụ thể và cung cấp một

đối đẳng cấu cho đại số q-Brauer Tiếp đó chúng tôi đưa ra một sự so sánh

giữa cơ sở này và một cơ sở khác được giới thiệu bởi Wenzl Cơ sở này được

sử dụng để chứng minh cấu trúc cellular cho đại số q-Brauer trên vành giao hoán R (xem tài liệu [5]) Trong toàn bộ mục này chúng tôi sẽ làm việc trên phiên bản Brn (r,q) của đại số q-Brauer được Định nghĩa trong 2.1.5 Tuy

nhiên các phiên bản khác của đại số này vẫn có những kết quả hoàn toàn tương tự

3.1 Cơ sở của Đại số q-Brauer

Trong mục này, chúng tôi chỉ ra một cơ sở cho đại số q-Brauer Cơ sở này

được chỉ số hóa bởi tập hợp của tất cả các biểu đồ của đại số Brauer cổ điển

D n (N), trong đó tham số N \ 0  

3.1.1 Xây dựng

Cho biểu đồ dD N n( )với chính xác 2k đoạn thẳng ngang, biểu đồ d có

thể được phân tích như là một sự kết nối của ba biểu đồ thành phần

d1,( )d ,d2như sau:

1 d1 là biểu đồ trong đó hàng trên giống hàng trên của biểu đồ d, hàng dưới giống một hàng của biểu đồ e (k) và không có giao điểm nào giữa hai đoạn dọc bất kỳ

2 Một cách tương tự, d2 là biểu đồ trong đó hàng dưới giống như hàng

dưới của biểu đồ d, hàng còn lại tương tự với một hàng của biểu đồ e (k), và không có giao điểm nào giữa hai đoạn dọc bất kỳ

3 Biểu đồ ( )d được mô tả như sau: Chúng ta đánh số các đỉnh tự do của

các đoạn dọc, trong đó cả hai hàng của d được đánh từ trái qua phải bởi các số: 2k+1, 2k+2, , n Chúng ta cũng đánh số các đỉnh trên từng hàng của

( )d

 từ trái qua phải bởi 1, 2 , 2k+1, 2k+2, , n Giả thiết rằng mỗi đoạn dọc