Gọi M là trung điểm của SC.. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD và khoảng cách từ S đến mpABM theo a.. Tính khoảng cách từ ∆ đến mpP.. Gọi I, J lần lượt là chân các đường cao hạ từ B, C.
Trang 1Trường THPT
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 (2 điểm)
Cho hàm số 2 1
1
x y x
+
= +
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
y = - x + 2
Câu 2 (1 điểm)
a) Cho tan a = 2 Tính giá trị biểu thức: = − +
−
3
8cos 2sin cos 2cos sin
E
b) Cho số phức z thỏa mãn: ( 3 2i z 4 1 i − ) − ( − = + ) ( 2 i z ) Tính môđun của z
Câu 3 (0,5 điểm) Giải phương trình: (3 + 5)x + 16(3 − 5)x = 2x 3+
Câu 4 (1 điểm) Tính tích phân: 4 tan x
2 0
(e sin x)
dx cos x
π
+
∫
Câu 5 (1 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy, cạnh bên cùng bằng a.
Gọi M là trung điểm của SC Tính thể tích của hình chóp S.ABCD và khoảng cách từ S đến mp(ABM) theo a
Câu 6 (1 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P)
chứa đường thẳng d: x 1 y 2 z 3
− = − = −
và song song với đường thẳng ∆:
x 1 t
y t
z 1 t
= −
=
= +
Tính khoảng cách từ ∆ đến mp(P)
Câu 7 (0,5 điểm) Cho P(x) = (1 + x + x2 + x3)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + …+ a15x15
Tìm hệ số a10.
Câu 8 (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(-2; -1) và
trực tâm H(2; 1) Cạnh BC = 20 Gọi I, J lần lượt là chân các đường cao hạ từ B, C Trung điểm của BC là điểm M thuộc đường thẳng d: x – 2y – 1 = 0 và M có tung độ dương Đường thẳng IJ đi qua điểm E(3; - 4) Viết phương trình đường thẳng BC
x
Câu 10 (1 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn: a + b + c = 3
4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3
3
1 3
1 3
1
a c c b b a
P
+
+ +
+ +
=
*Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh
Số báo danh Phòng thi:
Trang 2ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ NĂM 2015 Mụn TOÁN
Cõu 1 a.(1,25 điểm) Khảo sát
(2,0 điểm) * Tập xác định: D = R\{ - 1}
* Sự biến thiên
= >
+
y
Nên hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó
- Giới hạn và tiệm cận: xlim→+∞y=xlim→−∞y=2; tiệm cận ngang: y = 2
x→ −lim( 1)−y= +∞; limx→ −( 1)+ y= −∞; tiệm cận đứng: x = - 1
0,25
0,25
Bảng biến thiên
x -∞ -1 +∞
y’ + +
y +∞ 2
2 -∞
0,25
* Đồ thị Giao với trục Oy: (0; 1); Giao với Ox: (-1/2; 0)
0,25
b (0,75 điểm)
Gọi M(x0; y0) là một điểm thuộc (C), (x0≠- 1) thì 0
0 0
1
x y x
+
= +
Tiếp tuyến vuụng gúc đường thẳng y = - x + 2 nờn cú hệ số gúc k = 1
2
2 0
1
+
Với x0 = ⇒ 0 y0 = ⇒ 1 pttt : y x 1 = +
Với x0 = − ⇒ 2 y0 = ⇒ 3 pttt : y x 5 = +
KL: Cú 2 tiếp tuyến tmycbt
0,25 0,25 0,25
a.(0,5 điểm)
Trang 3Câu 2
(1 điểm) Chia cả tử và mẫu cho
3
cos x 0 ≠ ta được:
3
2
3 2
1
8 2 tan a
8 2 tan a 1 tan a cos a
E
tan a cos a
−
Thay tan a = 2 ta được: E = 3
2
−
0,25 0,25
b (0,5 điểm)
Giả sử z = a + bi ( a,b R ∈ )
Gt ⇔ − ( 3 2i a bi ) ( − ) − + = + 4 4i ( 2 i a bi ) ( + )
3a 2b 4 2a 3b 4 i 2a b a 2b i
z 10
0,25 0,25
Câu 3
(0,5 điểm) Phương trình
2
+
= ÷ >
2
16
t
(t TMĐK)
x
2
+
KL: Phương trình có 1 nghiệm duy nhất
0,25
0,25
Câu 4
(1,0 điểm)
4 cos x
π
1
1 0
1
0
π
2 2
1
2
du 1
u
Vậy: I = e + 2 2 −
0,25
0,25
0,25 0,25
Trang 4Câu 5
(1,0 điểm)
H
A
D
S
N
M
1
3
S ABCD ABCD
V = S SH Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có các cạnh bên bằng nhau và SH ⊥(ABCD) Ta có S ABCD =a 2
Xét tam giác SAC vuông tại S nên SH là trung tuyến và là đường cao của tam
a
SH = AC= AC = a
.
S ABCD
b) Vì M là trung điểm SC nên mp(ABM) cắt SD tại N là trung điểm SD.
Ta có V S ABMN. =V S ABN. +V S BMN.
2
S ABD S BCD S ABCD
Xét tỉ số .
.
S ABN
S ABD
V SA SB SN
V = SA SB SD = (vì N là trung điểm SD)
.
.
S BMN
S BCD
V SB SM SN
V = SB SC SD = =
S ABMN S ABN S BMN S ABD S BCD
S ABDC S ABCD S ABCD
Mà ABMN là hình thang cân có AB = a ;
đ cao MK
4
2 ABMN
a
a a 11 3a 11 2
+
ABMN
3V 1
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 5( )
3
3a 2
a 22 16
11 3a 11
16
Câu 6
(1 điểm)
(P) có 1 cặp véc-tơ cp u r1= ( 1;2;3 &u ) r2 = − ( 1;1;1 ) Nên (P) có 1 véc-tơ pháp tuyến n r = [ u ,u r r1 2] = − − ( 1; 4;3 ) và
1
M 1;2;3 ∈ P Suy ra phương trình mp(P): x + 4y – 3z = 0
Lấy M 1;0;12( ) ∈∆ ⇒ = d d (∆,(P)) = d (M ,(P)2 )
Vậy:
d
13 26
−
0,25 0,25 0,25 0,25
Câu 7
(0,5 điểm)
1 1
1 + x + x + x = + x + x
Hệ số a10 là hệ số của x10
+ Ta có:( 1 + x )5= C50 + C x C x51 + 52 2 + C x53 3+ C x54 4+ C x55 5
+ Ta có: ( )2 5
1 + x = C50 + C x51 2+ C x52 4 + C x53 6+ C x54 8+ C x55 10
Suy ra hệ số của số hạng x10 của f(x) là:
0 5 2 4 3 4
( do x10 = x x10 0 = x x8 2 = x x6 4)
0,25
0,25
Câu 8
(1 điểm)
d
M
H A
C B
E I
J
Tứ giác AIHJ nội tiếp đ tròn đường kính AH, có phương trình:
2 2
x + y = 5 (C) Vì M thuộc d nên tọa độ M(2b + 1 ; b)
x 2b 1 − − + y b − = 5 (C’)
Dễ thấy I, J thuộc đường tròn (C’) Vậy I, J là giao điểm của 2 đường tròn (C), (C’) nên pt IJ có dạng :
2
2 2
2 2b 1 x 2by 2b 1 b 0
0,25
0,25 0,25 0,25
Trang 6Vì IJ qua E nên ta có b2 = ⇔ = ± 1 b 1 Mà b > 0 nên b = 1 suy ra M(3; 1)
Đường thẳng BC qua M, có véc-tơ pháp tuyến AH uuur
Vậy phương trình BC: 2x + y – 7 = 0
Câu 9
(1 điểm) ● Điều kiện:
2
x 2 0
6
x
ïï
ï + ³
í ¹ ïï ïï
ï + + ³ ïïî
x
(x 2 x)( 3)
+
x
+
x
ç
v
x 3
4
x 1
x 2
x 2
+
≥
⇔ ≥ ⇔ ≥
x 3
4
x 1
Đ
0 x 1
KXĐ)
x
+
≤
⇔ < ≤ ⇔ < ≤
KL: bpt có tập nghiệm S = ( 0;1 ] [ ∪ 2; +∞ )
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 10
(1 điểm)
áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có
z y x
9 z
1 y
1 x
1 9 xyz
3 xyz 3 z
1 y
1 x
1 ) z y x (
3
3
+ +
≥ + +
⇒
=
≥
+ + +
¸p dông (*) ta cã:
0,25
Trang 73 3
3 3
3
9 a
3 c
1 c
3 b
1 b
a
1 P
+ + + + +
≥ +
+ +
+ +
=
ỏp dụng Bất đẳng thức Cụsi cho ba số dương ta cú:
3 3 3
a 3b 1 1 1
b 3c 1 1 1
c 3a 1 1 1
+ + +
+ + +
+ + +
0,25
Suy ra 3a 3b 3 b 3c 3 c 3a 1 4 a b c 6( )
3
+ + + + + ≤ + + + = + =
1 4.3 6 3
3 4
Do đó P≥3
0,25
Dấu = xảy ra
3
a 3b b 3c c 3a 1
+ + =
+ = + = + =
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi a=b=c=1/4
0,25
*Ghi chỳ : Nếu thớ sinh trỡnh bày theo cỏch khỏc đỏp ỏn mà vẫn suy luận lụgic thỡ
vẫn cho điểm theo từng bước làm đỳng
