Tìm hiểu lý thuyết hội tụ ngẫu nhiên và giới hạn

Hội tụ ngẫu nhiên và định lí giới hạn• Hệ quả điều kiện Tchebycheff Nếu biến ngẫu nhiên xi là ko tương quan và Thì •... Hội tụ ngẫu nhiên và định lí giới hạn• Các định lý giới hạn trun

Đề 3: Lý thuyết hội tụ ngẫu nhiên và

giới hạn

Phạm Văn Kiên - 20091523 Phùng Thái Thắng - 20093623 Nguyễn Trí Quân - 20092135

Nội dung - Phân công công việc

1 Tìm hiểu lý thuyết hội tụ ngẫu

2 Áp dụng lý thuyết Quá trình

ngẫu nhiên và áp dụng

Phùng Thái Thắng Nguyễn Trí Quân

1 Hội tụ ngẫu nhiên và định lí giới hạn

• Định nghĩa: Nếu tập hợp các kết quả

•

Hội tụ ngẫu nhiên và định lí giới hạn

• Tiêu chuẩn Cauchy: Nếu

|xn+m-xn|0 khi nVới mọi m>0, thì chuỗi hội tụ

• Định lý Markoff có chuỗi xi của các biến ngẫu nhiên và thành lập mẫu

là một biến ngẫu nhiên có giá trị phụ thuộc vào kết quả thử nghiệm E{} =

Thì biến ngẫu nhiên có xu hướng dần đến

E{} 0

•

Hội tụ ngẫu nhiên và định lí giới hạn

• Hệ quả (điều kiện Tchebycheff)

Nếu biến ngẫu nhiên xi là ko tương quan và

Thì

•

Hội tụ ngẫu nhiên và định lí giới hạn

• Các định lý giới hạn trung tâm (CLC) theo một số điều kiện chung, phân phối F(x) của x một cách tiếp cận phân phối bình thường với cùng một giá trị trung bình và phương sai:

Hội tụ ngẫu nhiên và định lí giới hạn

• Kết quả của các định lý giới hạn trung tâm

Với n biến ngẫu nhiên đọc lập xi:

y = x1x2…xn xi>0

Định lý Với n lớn, mật độ của y là khoảng:

Trong đó

•

2 Quá trình ngẫu nhiên - ứng dụng

2.1 Các khái niệm

• Hai quá trình x(t) và y(t) là bình đẳng trong IFT

E{

Bình đẳng trong ý nghĩa MS:

biểu thị bởi tập tập Mà x(t,)=y(t,) và tập hợp các kết quả sao cho x(t,)=y(t,) với mọi t.(10-1) sau

đó x(t,)-y(t,)=0 với xác suất 1

Do đó P()=1.Tuy nhiên,nó không theo P()=1.Trong thực tế,bởi vì là giao của tất cả các bộ phận và t phạm vi trên toàn trục.Thậm chí có thể bằng 0

•

Các khái niệm

• Quá trình Stochasic x(t) là một RV với phân phối

F(x,t)=P{x(t) Chức năng F(x,t) được gọi là sự phân bố lệnh đầu tiên của quá trình x(t).Dẫn xuất của nó đối với x:

Các khái niệm

• Tư tương quan

Hàm tự tương quan R() của x(t) là giá trị x(t)

Quá trình phức tạp z(t)=x(t)+jy(t) được thể hiện trong thống kê của quá trình thực x(t)và y(t)

Một quá trình ector (quá trình n-chiều) là một tập hợp của quá trình ngẫu nhiên

•

Các khái niệm

• Tương quan và hiệp phương sai.

Tự tương quan của 1 tiến trình x(t) phức tạp,theo định nghĩa giá trị trung bình của x(t)x*(.Chức năng này sẽ biểu thị bằng R( hoặc hoặc Do đó

R( =

Là hệ số tương quan t của quá trình x(t)

•

R(

Chú ý rằng E{

Do đó trung bình của quá trình bất động là độc lập của t và nó bằng R(0)

•

2.2 Hệ thống với đầu vào ngẫu nhiên

• Cho một quá trình ngẫu nhiên x(t), chúng ta chỉ định một số nguyên tắc cho mỗi mẫu x(t, ζi) một hàm y(t, ζi) Chúng ta đã tạo ra 1 quá trình:

Y(t) = T[x(t)]

• Quá trình y(t) được hình thành có thể coi là đầu ra của hệ thống với đầu vào là quá trình x(t), Thông qua toán tử T thể hiện mối quan hệ giữa đầu ra và đầu vào của hệ Chúng ta xem xét 2 trường hợp đặc biệt sau:

Hệ bất biến theo thời gian

a Định nghĩa: Hệ được gọi là bất biến theo thời gian nếu nó đặc trung cho x(t+c) bằng y(t+c) Chúng ta giả

định tất cả hệ tuyến tính được xem như là bất biến theo thời gian Như ta đã biết thì đầu ra của hệ tuyến tính là một phép chập:

Khi

b Định lý cơ bản: cho tất cả hệ tuyến tính

Hệ tuyến tính

• Ký hiệu y(t) = L[x(t)] (10-76) với y(t) là đầu ra của một hệ tuyến tính với đầu vào là x(t) Nghĩa là:

(Với mọi a1, a2, x1(t), x2(t)

• Hệ trên là một hệ tuyến tính quen thuộc với các biến a1 a2 ngẫu nhiên bởi như ta đã giả định rằng

hệ là xác định và nó chỉ hoạt động trên biến t

•

2.3 Phổ năng lượng

• Phổ năng lượng (hoặc mật độ quang phổ) của một quá trình WSS , thực hay phức, là biến đổi Fourier của sự tương quan của nó

:

Từ nó kéo theo là một hàm thực của

Từ công thức biến đổi ngược Fourier, nó kéo theo

•

Phổ năng lượng

• Nếu là một quá trình thực, thì là thực và đều; vì vậy cũng là thực và đều Trong trường hợp này,

Phổ năng lượng chéo của hai quá trình và là biến đổi Fourier của tương quan chéo của chúng :

Nói chung thì hàm là phức tạp ngay cả khi cả hai quá trình và là thực Trong tất cả các trường hợp

•

Phổ năng lượng

• Hệ thống tuyến tính

Thể hiện sự tự tương quan và phổ năng lượng của phản ứng

của một hệ thống tuyến tính trong điều kiện của tự tương quan và phổ năng lượng của đầu vào Định lý

•

Phổ năng lượng

• Quá trình phức tạp

được gọi là được gọi là các tín hiệu phân tích liên kết, là đáp ứng của hệ thống

với đầu vào Do đó

Định lý WIENER-KHINCHIN

Điều này cho thấy rằng vùng phổ năng lượng của bất cứ quá trình nào là tích cực Với mọi

•

Phổ năng lượng

• Các điều kiện để một hàm là tự tương quan được thể hiện trực tiếp trong phần tử của Chúng ta

đã thể hiện trong (10-84) rằng tự tương quan của một quá trình là p.d., đó là

với mỗi , , , và Nó có thể được hiển thị mà ngược lại cũng đúng Nếu là một hàm p.d., thì biến đổi Fourier của nó là dương Như vậy, một hàm có biến đổi Fourier dương nếu nó là p.d

• Điều kiện đủ

Tiêu chuẩn của Polya Nó có thể được chỉ ra bằng một hàm là p.d nếu nó có mặt lõm xuống với và

nó có xu hướng giới hạn hữu hạn như

Định lý Nếu đối với , thì tuần hoàn với thời gian :

với mọi

•

Phổ năng lượng

• Hệ quả

Nếu và những con số và là không tương xứng, có nghĩa là tỉ lệ của chúng là không hợp lý, thì là hằng số

• Tương quan chéo

Sự tương quan chéo của hai tiến trình WSS và

•

2.4 Quá trình kĩ thuật số

• Định nghĩa

Sự tự tương quan và phương sai của x[n] được cho bởi:

R[n-1,n2]= E{x[n1]x*[n2]} C[n1,n2]= R[n-1,n2] –ƞ[n1] ƞ*[n2]

Tương ứng với ƞ[n] = E{x[n]} là trung bình của x[n]

Một quá trình x[n] là SSS nếu những tính chất thống kê của nó là bất biến đến một sự thay đổi của gốc Nó là WSS nếu ƞ[n]= ƞ = hằng số và R[n+m,n] = E{x[n+m]x*[n]} = R[m]

• Một quá trình x[n] là nhiễu trắng hoàn toàn nếu RVs x[ni] là độc lập Nó là nhiễu trắng nếu RVs x[ni] là không có tương quan với nhau Sự tương quan của một quá trình nhiễu trắng với trung bình bằng không là được cho bởi

R[n-1,n2] = q[n1]δ[n1- n2] với δ[n]

•

R[m] = dw

Nó thỏa mãn, do đó, để định rõ S() cho |w| < duy nhất

Nếu x[n] là một quá trình thực,khi đó R[-m] = R[m] và

S() =R[0] +2

•

Quá trình kĩ thuật số

• Phương pháp lấy mẫu

Cho một quá trình tương tự x(t), chúng trở thành xử lí số :

x[n]= x(xT)

với T là một hằng số đưa vào

[n] = 0(nT) R[n1,n2] = Ra(n-1T,n2T)

với 0(t) là giá trị trung bình và Ra(t1,t2) tự tương quan của x(t)

Nếu x(t) là một quá trình không thayđổi, khi đó x[n] cũng không thay đổi với giá trị trung bình = 0 và sự tự tương quan: R[m] = Ra(mT)

Lũy thừa hàm mật độ phổ của x[n] bằng nhau

S() = = Với Sa(w) là lũy thừa hàm mật độ phổ của x(t).Ở trên là kết quả của tổng công thức Poisson

•

Ứng dụng matlab

• Bài toán

Tìm nếu:

•