Giải hệ phương trình bất phương trình và hình phẳng OXY thầy Đặng Việt Hùng

Vậy, bất phương trình có nghiệm x≥2.

Ví dụ 1:Giải hệ phương trình







Lời giải

Điều kiện

2 0;

2 0 2

1

3

x y

x y y







⇔

≥



Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với

2

y

x y

− + −

Phương trình thứ hai của hệ biến đổi về ( )3 ( ) 2 4

Hàm liên tục và đồng biến trên miền đang xét nên f t( )≥ f ( )2 =0

Kết hợp ( )2 4

Phương trình thứ hai có nghiệm khi và chỉ khi 1 0 1

⇔

Thử lại thấy thỏa mãn Kết luận hệ có nghiệm duy nhất x= =y 1

Ví dụ 2: Giải bất phương trình ( )

2

9 12 5

1

3 2 1

x x x

x

x x

Lời giải

Điều kiện 0 2

3

x≤ ∨ ≥x Bất phương trình đã cho tương đương với

( )

2

2

x

Nhận xét

2

18 36

  ℝ nên xét các trường hợp +) Nếu

2

+) Nếu

2

x

+

TẶNG HỌC SINH ONLINE ĐÊM 7-3-2016

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

Hơn nữa xét hệ ( ) (3 2) 0

1

3 1 0

3

x x

x x

x x

x

− =



=

− =

(2) không xảy ra dấu đẳng thức

Do đó

x

+

− + , đi đến ( )1 ⇔ − ≥ ⇔ ≥x 1 0 x 1⇒S= +∞[1; )

Ví dụ 3: Giải bất phương trình ( ) (3 ) ( )

Lời giải

Điều kiện 3

2

x≥

Bất phương trình đã cho tương đương với (x−1) x− + +1 (x 3) 2x− ≤3 3x x( −1)

2

2 3 1

1 1 2 3 1

2

1 1 2 3 1

1

x x

x

+

Do đó ( )1 ⇔ − ≥ ⇔ ≥x 2 0 x 2

Vậy, bất phương trình có nghiệm x≥2









Lời giải

Điều kiện:

3 2 2

4

2 2 0





≥ ≥









xy x

y x

x y

y x

(2)⇔ y+ −1 y +2x+ +2 x +2y− + =x 1 0

1

y x

⇔ y− x− = (Do y≥ ≥x 3 4)

Thay vào (2) ta được 2 3 3

2x 2x − +4 8 x − =4 3x

Áp dụng BĐT Côsi cho các số dương ta có:

Dấu bằng xảy ra khi

3 2

2





x

x

x (thỏa mãn)

5 2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất 2;5

2

 

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình

2

2 2

2

−









y x

x y x y

x

Lời giải

Điều kiện:

1 2 0



≥





+ ≥







x

x y

x y

2

2

−

x

− =



y x

- Nếu x+ +y 2x− =y 2x ⇔ +x 2 (x+ y)(2x−y)=0 vô nghiệm do x>0

- Nếu 2y=x thay vào (2) ta được 3x2− + =x 2 2 x+2x 2x−1

⇔x x− − + x− + x − = (3)

Ta có

( )

2

2

2

2 1 1

1

0

0





≥

− −

−



≥





x x

x

x

với 1

2

≥

x Nên (3)

0

2 1 1

1

2 1

 =



− =







=







x x

x

Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) 1

; 1;

2

x y  

 

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình

2

2 2

x y

x y

x y

x y









Lời giải

Điều kiện 2x− + ≠y 1 0 Phương trình thứ nhất tương đương với 21 21

Xét hàm số ( ) 2

1

; 0

2 1

t

+ thì

( )

2 4

4 2

t t

Suy ra hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực Thu được f x( )= f y( )⇔ =x y

Phương trình thứ hai khi đó trở thành 6 2 4 8 2 2 ( ) 2

1

x x

x

+

Với x≠ −1, đặt 2 ( )

x+ =u x + =v v> thu được

( )( )

2

u v

v u

=



=

 Xét các trường hợp

2

≥ −



Kết luận hệ phương trình có nghiệm duy nhất 4 14; 4 14

x=− + y=− +