MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG KHI TIẾP CẬN BÀI TOÁN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG NHẰM NÂNG CAO KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CỦA HỌC SINH

MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG KHI TIẾP CẬN BÀI TOÁNPHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG NHẰM NÂNG CAO KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CỦA HỌC SINH Để tiếp cận cả hai hướng giải quyết rõ ràng điều đầu tiên người học

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến

MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG KHI TIẾP CẬN BÀI TOÁN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG NHẰM NÂNG CAO KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CỦA HỌC SINH

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến

- Đề tài áp dụng cho tất cả học sinh ở bậc trung học phổ thông

- Giáo viên dùng làm tài liệu tham khảo

3 Thời gian áp dụng sáng kiến

- Từ tháng 9 năm 2010 đến tháng 7 năm 2015

4 Tác giả

- Họ và tên: PHẠM VĂN PHI

- Năm sinh: 1984

- Nơi thường trú: Nam Trực, Nam Định

- Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ Sư phạm toán

- Chức vụ: TKHĐ, giáo viên môn Toán

- Nơi làm việc: Trường THPT C Nghĩa Hưng

- Địa chỉ liên hệ: Trường THPT C Nghĩa Hưng

- Điện thoại: 0902277186

5 Đơn vị áp dụng sáng kiến

- Trường THPT C Nghĩa Hưng

- Địa chỉ: Khu Đông Bình, thị trấn Rạng Đông, Nghĩa Hưng, NĐ

- Điện thoại: 035033728748

MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG KHI TIẾP CẬN BÀI TOÁN

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

NHẰM NÂNG CAO KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CỦA HỌC SINH

Để tiếp cận cả hai hướng giải quyết rõ ràng điều đầu tiên người học cần phảinắm chắc lí thuyết, lí thuyết về các phép toán véc tơ, các phép biến đổi véc tơ, cáckhái niệm về điểm, phương trình đường thẳng và các công thức liên quan đến góc

và khoảng cách Những khái niệm trên là điều rất quan trọng để tiếp cận tốt bàitoán, không thuộc hoặc nhớ không kĩ sẽ chẳng dẫn đến đâu cả Khi đã nắm chắc cáckhái niệm liên quan rồi, người học lúc này cần phát huy được các tính chất cơ bảncủa các hình trong giải toán, đối với hình tam giác, người học cần khai thác đượctính chất của các đường đặc biệt trong tam giác: đường cao, đường trung tuyến,đường phân giác, đường trung trực, đường trung bình; tiếp đến là phải phát huyđược đặc điểm của các điểm đặc biệt trong tam giác như trọng tâm, trực tâm, tâmđường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp trong tam giác và một số mối quan

hệ cơ bản của các điểm đó Không những vậy, người học cần phát huy được nhữngtam giác đặc biệt như tam giác cân, tam giác vuông, tam giác đều, … các hình tứgiác mà điển hình là hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình bình hành, hìnhthoi… rõ ràng trong những bài toán cơ bản, chỉ cần nắm các cách giải trong tamgiác thì chuyển sang tứ giác là điều đơn giản; tuy nhiên đối với những bài toán ởmức độ cao liên quan đến một tính chất hình học sơ cấp nào đó thì chỉ những hình

đó mới có, lúc đó người học cần phải phát huy tối đa các năng lực của bản thân may

ra mới tiếp cận có hiệu quả bài toán đó

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Bài viết này được đưa ra nhằm hỗ trợ phần nào cho người học có cách tiếpcận bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng một cách hiệu quả nhất, giảiquyết những khó khăn của dạng toán mang lại

III ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Học sinh lớp 10

- Học sinh lớp 12, ôn thi THPT Quốc gia

- Giáo viên Toán

IV GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI

Trong bài viết này tôi mới chỉ đề cập đến một số định hướng từ những bàitoán cơ bản và những tính chất sẵn có ngay trong giả thiết bài toán và chỉ tập trungđến các dạng toán liên quan đến điểm và đường thẳng; hướng tiếp cận bài toán khi

sử dụng tính chất hình sơ cấp (tính song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy …)

và tiếp cận những bài toán về đường tròn sẽ được tiếp tục nghiên cứu và bổ sungsau này

B NỘI DUNG

I TÓM TẮT LÍ THUYẾT CƠ BẢN

1 Điểm - đường thẳng

a Phương trình đường thẳng

- Đường thẳng đi qua điểm M x y và nhận  0; 0 na b;  làm véc tơ chỉ

phương có phương trình tham số là: 0

- Khoảng cách giữa hai điểm AB x B  x A2 y B  y A2

- Khoảng cách từ A x y đến đường thẳng : 0; 0  ax by c  0 tính bởi

+) Phương trình đường phân giác tạo bởi giữa hai đường thẳng d, d’ là:

Lưu ý rằng điểm M thuộc đường thẳng : ax by c  0, ta có thể gọi điểm

2 Một số bài toán cơ sở viết phương trình đường thẳng.

Bài toán 1 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B cho trước Bài toán 2 Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song với

một đường thẳng cho trước

Bài toán 3 Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc

với một đường thẳng cho trước

Bài toán 4 Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và tạo với một

đường thẳng cho trước một góc xác định

Bài toán 5 Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và cách một

điểm cho trước một khoảng không đổi xác định

Khai thác những đường đặc biệt của tam giác:

+ Đường cao, trực tâm: Yếu tố vuông góc

+ Đường trung tuyến, trọng tâm: Đường

trung tuyến AE, G là trọng tâm của tam giác, ta

có:

5

G M

A

M'

+ Đường phân giác: Đường phân giác trong AD, khi đó BADCA D; điểm

M thuộc AB, M’ là điểm đối xứng của M qua phân giác AD, khi đó M’ thuộc AC

+ Đường trung trực, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác:

II NỘI DUNG ĐỀ TÀI

Vận dụng những yếu tố trên, sau đây ta sẽ tiếp cận những bài toán về phươngpháp tọa độ trong mặt phẳng, vận dụng hướng thứ nhất ở những bài toán cơ bản.Các ví dụ được đưa ra phân tích được trích từ các đề thi ĐH - CĐ các năm gần đây

và các đề thi thử ĐH của một số trường

Ví dụ 1: (B - 02) Cho hình chữ nhật ABCD có giao điểm hai đường chéo là

 Nhận xét: Đây là bài toán yêu cầu tìm điểm, như vậy ta có hai hướng tìm

điểm cơ bản theo hai quan điểm đại số và hình học rõ ràng Khai thác thêm giả thiết hình chữ nhật ta sẽ có tiếp cận bài toán theo những hướng sau:

x-2y+2=0 I(1/2;0)

Do I là trung điểm của AC nên ta có tọa độ C(3; 0)

+ Đường thẳng CB vuông góc với AB nên có dạng: 2x + y + c’ = 0, CB đi qua điểm

C nên ta có 2.3 + c’ =0  c'6, vậy đường BC có phương trình x + 2y - 6 = 0

+ B BC AB nên tọa độ B thỏa mãn hệ phương trình: 2 6 0 2

52

+ Gọi VTPT của đường thẳng AC là na b;  (a, b không đồng thời bằng 0)

Đường thẳng AC đi qua điểm I nên có dạng: 1  0 0

2

a x  b y 

02

Khi đó, tọa độ của A là nghiệm của hệ 2 2 0 2

Vậy A(- 2;0) Do I là trung điểm của AC, nên tọa độ của C3;0

+ Đường thẳng CB vuông góc với AB nên có dạng: 2x + y + c’ = 0, CB đi qua điểm

C nên ta có 2.3 + c’ =0  c'6, vậy đường BC có phương trình x + 2y - 6 = 0

+ B BC AB nên tọa độ B thỏa mãn hệ phương trình: 2 6 0 2

Gọi M là trung điểm của AB, theo giả thiết ABCD là hcn, AB = 2AD nên ta cóngay tam giác MIA vuông tại M, IM d I AB ;  và AM = 2IM

 2

2

12

52

Giải hệ này ta được A2;0 , B2;2 (vì A có hoành độ âm)

I là trung điểm của hai đường chéo AC, BD nên suy ra C3;0 , D   1; 2 .

 Nhận xét: Đối với cách thứ nhất, có lối suy nghĩ đơn giản, phù hợp với học

sinh ở mức độ trung bình khá, lời giải có thiên hướng đại số hóa, không cần nhiều các phép biến đổi phức tạp mà vẫn giải quyết bài toán một cách tối

ưu Cách 2 ta thấy sử dụng bài toán cơ bản viết phương trình đường thẳng

đi qua một điểm và tạo với đường thẳng cho trước một góc xác định, lối tư duy đơn giản nhưng đòi hỏi cần có sự suy luận để xác định góc (điều này giả thiết không đưa ra) Đối với cách thứ 3, hướng sử dụng hình học để xác định điểm là rõ ràng, không chỉ điểm là giao của hai đường thẳng mà điểm còn là giao của đường thẳng và đường tròn.

Ví dụ 2 (D-12) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD;

các đường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình x + 3y = 0 và x - y + 4 = 0,

đường thẳng BD đi qua điểm 1;1

3

M 

  Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhậtABCD?

Giải:

 Nhận xét: Bài toán yêu cầu tìm tọa độ điểm nên trước tiên ta phải nghĩ đến

một trong hai hướng sau: Hướng thứ nhất là viết phương trình hai đường thẳng cùng đi qua điểm cần tìm tọa độ rồi giải hệ (hướng hình học) Hướng thứ hai là gọi tọa độ điểm đó ra rồi đi lập hệ phương trình để giải (hướng đại số hóa) Trên cơ sở như vậy ta có các cách tiếp cận bài toán như sau:

x-y+4=0

x+3y=0 C

A

B

D M(-1/3;1)

Gọi na b;  là VTPT của đường BD (a, b không đồng thời bằng 0), đường thẳng

BD đi qua M, nên đường BD có dạng: 1  1 0

ax by   b (1) Theo tính chất của hình chữ nhật, ta có ADB DAC

suy ra c ADB c DACos  os hay

Với 3a=b, thay vào (1) ta được pt đường BD: 3 8 0 D / /

x

D y

Gọi I là giao điểm của AC và BD, I thuộc AC, gọi I  3a;a

D thuộc AD, gọi Dd;d+4 Theo giả thiết, ta có D, I, M thẳng hàng nên:

Từ (1), (2) ta được hệ phương trình, giải hệ này bằng cách từ pt(1) rút a thế vào (2)

ta được a = 0; d = - 1 Vậy I(0; 0), D(- 1; 3) Vì I là trung điểm của AC, BD nên ápdụng công thức trung điểm ta được C(3; -1) và B(1; -3)

+ D thuộc AD, gọi D d d ; +4 Phương trình đường BD nhận 1; 3

3

d d

 , d = - 3 không xảy ra)

+ BABBD, nên tọa độ điểm B thỏa mãn hệ phương trình:

2 01

13

3d 5

73d 5

Với d = - 1 suy ra D(- 1; 3), B(1; -3).

Với d = -3 suy ra D(-3;1), B(-3;1) (loại vì B trùng với D)

Khi đó I(0; 0) và vì I là trung điểm của AC nên C(3; -1)

 Nhận xét: Rõ ràng với cách 1, ta sử dụng bài toán cơ bản viết phương trình

đường thẳng đi qua một điểm và tạo với một đường thẳng cho trước một góc xác định khi khai thác được tính chất hình chữ nhật có hai góc bằng nhau Cách 2 và cách 3 thiên về tính toán đại số, ta thấy rằng dễ tư duy theo kiểu này, tuy nhiên lại gặp khó khăn trong bước giải hệ PT tìm ẩn Cách 3 lối tư duy đơn giản, sau khi tham số hóa tọa độ một điểm, đi viết phương trình các đường thẳng cần xác định theo tham số vừa định (đường thẳng tham số) và tìm mối quan hệ trong bài toán để tìm tham số đó.

Tiếp theo ta đi khai thác những tính chất cơ bản của những đường và điểm đặc biệt trong tam giác khi tiếp cận chúng trong bài toán.

Tiếp theo, ta sẽ định hướng đường phân giác tiếp cận bài toán trong tam

giác

Ví dụ 3 (B - 08) Hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu

vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1; -1), đường phân giác trong củagóc A có phương trình x - y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình4x+3y-1=0

Giải

 Nhận xét: Bài toán với giả thiết đường phân giác trong, liên hệ cho ta sử

dụng một hai tính chất cơ bản của của nó là tính đối xứng qua đường phân giác và tính chia đôi góc.

x-y+2=0

4x+3y-1=0

I D

K H'

H

C

+ Gọi đường phân giác trong AD, đường cao BH

Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua qua đường phân giác AD, khi đó H’ thuộc AC

+ Đường HH’ vuông góc với AD nên HH’ có phương trình dạng: x+y+c=0, HH’qua điểm H nên -1 - 1 + c = 0 suy ra c = 2 Vậy phương trình HH’: x + y + 2 = 0.

Gọi I HH'AD, tọa độ điểm I thỏa mãn hệ PT: 2 0 2

+ Viết phương trình đường CH: Qua H và vuông góc với AB nên phương trình CH

 Nhận xét: Rõ ràng bài toán trên ta khai thác giả thiết đường phân giác

trong là quan trọng nhất, bài toán được “cởi nút thắt” khi tìm điểm đối xứng H’, kết hợp với việc sử dụng bài toán cơ bản viết phương trình các đường thẳng liên quan đến điểm C, từ đó tìm được điểm C qua sự tương giao giữa các đường.

Ví dụ 4 (B - 13) Tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A là 17; 1

+ Viết phương trình AH vuông góc với BC nên đường AH có dạng x + 2y + c = 0,

đi qua H nên phương trình AH là: x + 2y - 3 = 0

+ Gọi A3 2a; aAH, do M(0; 1) là trung điểm của AB nên B a2  3;2 a

Mặt khác B BC suy ra 2 2 a 3  2 a  7 0  a3, vậy A(-3; 3)

+ Viết phương trình đường AD: Qua hai điểm A, D nên nhận AD 8;0 làmVTCP nên có phương trình là y - 3 = 0

Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua phân giác AD, khi đó M’ thuộc AC ĐườngMM’ vuông góc với AD và đi qua điểm M nên có phương trình là x = 0

Gọi I là giao điểm của MM’ và AD, suy ra tọa độ I(0; 3), I là trung điểm của MM’nên tọa độ M’(0; 5)

+ Đường thẳng AC đi qua hai điểm A, M’ nên nhận AM ' 3; 1 

 Nhận xét: Việc khai thác tính chất của đường cao và tính chất điểm đối

xứng qua đường phân giác trong đã giúp ta giải quyết trọn vẹn bài toán Một hướng giải khác khai thác tính chất của chân đường phân giác trong đó

là sau khi xác định đường BC, tọa độ điểm A, B, ta tham số hóa tọa độ điểm

C trên BC, áp dụng tính chất: D là chân đường phân giác trong góc A thì

DB AB

DC AC , dẫn đến một phương trình giải được với ẩn là tham số điểm C Như vậy khi gặp một bài toán chứa giả thiết có đường phân giác ta có thể sử dụng tính đối xứng vào giải quyết bài toán một cách khá hiệu quả, minh họa thêm một số bài toán trong các đề thi ĐH và đề thi thử của các trường:

Bài tập định hướng đường phân giác

Bài 1.1 (D - 2011) Cho tam giác ABC có đỉnh B(-4; 1), trọng tâm G(1; 1) và đường

thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình là x - y - 1 = 0 Tìm tọa độđỉnh A, C

+ Viết phương trình đường thẳng AC: qua B’, M

+ Suy ra tọa độ điểm A AC AD

+ M là trung điểm của AC, suy ra tọa độ điểm C

Bài 1.2 (TTTT 2014) Tam giác ABC có phương trình các đường AB, BC lần lượt là

5x 2 y 7 0; x 2y 1 0 , đường phân giác trong góc A có phương trình là

+ Lấy B’ đối xứng với B qua phân giác trong AD,

suy ra tọa độ B’ (Hoặc viết phương trình đường

AC, là đường thẳng đi qua B’ và tạo với đường

AD một góc xác định  DBA )

+ Viết phương trình AC: Qua A, B’

+ Đưa ra tọa độ C ACBC

Bài 1.3 (Đặng Thúc Hứa - NA) Cho tam giác ABC có đường phân giác trong góc A

là d: 2x - y - 3 = 0 Biết các điểm B16;0 , C14;4 lần lượt là hình chiếu vuônggóc của đỉnh B, C lên các cạnh AC, AB tương ứng Xác định tọa độ A, B, C

D

B' A

+ Viết phương trình đường thẳng AB: Đi qua B’ và C1

+ Suy ra tọa độ điểm A BA AD

+ Viết phương trình đường AC: Đi qua điểm A, B1

+ Viết phương trình đường BB1: Đi qua B1 và vuông

góc với AC

+ Suy ra điểm B BA BB  1

+ Viết phương trình đường CC1: Qua C1 và vuông góc

với AB

+ Suy ra tọa độ điểm C CC 1CA

Bài 1.4 (Lý Thái Tổ - BN) Cho tam giác ABC biết đường cao kẻ từ đỉnh B và

đường phân giác trong góc A lần lượt có phương trình là d1: 3x + 4y + 10 = 0; d2:x

-y + 1=0 Điểm M(0; 2) thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C một khoảng bằng

2 Xác định tọa độ ba đỉnh của tam giác

+ Suy ra tọa độ điểm A AC d2

+ Viết phương trình đường AB: Qua A, M

+ Suy ra tọa độ điểm B BA d  1

+ Tham số tọa độ C t trên AC, sử dụng giả thiết   MC  2, suy ra tọa độ C

Bài 1.5 (Triệu Sơn 4 - TH) Cho tam giác ABC có đường cao kẻ từ A và đường phân

giác trong kẻ từ B có phương trình lần lượt là x - 2y - 2 = 0 và x - y - 1 = 0 Tìm tọa

độ các đỉnh của tam giác ABC, biết M(0; 2) thuộc AB và AB = 2BC

Bài 1.6 (Chuyên HN- Ams 2014) Cho tam giác ABC, phương trình đường phân giác

trong của góc A và đường cao kẻ từ C lần lượt có phương trình x - y = 0 và2x+y+3=0 Đường thẳng AC đi qua điểm M(0; -1) và AB=2AM Viết phương trìnhcạnh BC

B' C1

D

A

M

Định hướng trọng tâm tiếp cận bài toán trong tam giác

Ví dụ 5 (D - 2011) Cho tam giác ABC có đỉnh B(-4; 1), trọng tâm G(1; 1) và

đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình là x - y - 1 = 0 Tìmtọa độ đỉnh A, C

Giải:

G

D

B' M A

+ Gọi B’(x; y) là điểm đối xứng của B qua phân giác trong d: x - y - 1 = 0 của góc

A Ta có BB’ vuông góc với d và đi qua B nên phương trình đường BB’ là: x + y +

M là trung điểm của AC, suy ra tọa độ C(3; -1)

Nhận xét: Bài toán trên ngoài việc sử dụng tính chất của đường phân giác trong, ta còn sử dụng tính chất trọng tâm

Ví dụ 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có AB  5,( 1; 1)

C   , đường thẳng ABcó phương trình là x2y 3 0 và trọng tâm G của

tam giác ABC thuộc đường thẳng : x y  2 0 Tìm tọa độ đỉnh A và B.

Giải:

d:x+y-2=0 I

G A

Với t = -1, G(-1 ; 3) (Loại vì C, G nằm về hai phía của AB)

Với t = 3, G(3 ; -1) Gọi I là trung điểm của đoạnAB Do 2

Ví dụ 7 (B - 2014) Cho hình bình hành ABCD, M(-3 ; 0) là trung điểm của AB,