Hướng dẫn học sinh vận dụng phương pháp tọa độ trong không gian vào giải toán về khối đa diện

Vậy phải làm cách nào để giúp các em học sinh lớp 12 sau khi học xong “Phương pháp tọa độ trong không gian” có thể áp dụng giải quyết được các dạng bài tập về thể tích khối đa diện mà kh

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh vận dụng phương pháp tọa độ trong không

gian vào giải toán về khối đa diện

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục đào tạo

3 Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 15 tháng 1 năm 2015 đến ngày 15 tháng

Chức vụ công tác: Giáo viên

Nơi làm việc: Trường THPT Xuân Trường

Địa chỉ liên hệ: Xóm 18 - Xã Xuân Thượng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định

Điện thoại: 0987.833.714

5 Đơn vị áp dụng sáng kiến:

Tên đơn vị: Trường THPT Xuân Trường

Địa chỉ: Xã Xuân Hồng-Huyện Xuân Trường-Tỉnh Nam Định

Điện thoại: 03503.886.167

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Hướng dẫn học sinh vận dụng phương pháp tọa độ trong không gian vào giải toán về khối đa diện

I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

Hình học không gian là một nội dung quan trọng trong chương trình toán

THPT hiện nay, các bài toán về hình học không gian xuất hiện nhiều trong sách

giáo khoa, sách bài tập của học sinh nhưng thực tế cho thấy rất ít học sinh tiếp cậntốt với loại toán này vì đây là một phần khó Hình học không gian đòi hỏi ở ngườihọc tư duy tích cực, tưởng tượng, trừu tượng hóa, thậm chí học sinh phải có nănglực tư duy đột phá, phải sáng tạo Trong nhiều tài liệu tham khảo cũng có đề cập

đến các bài tập giải toán HHKG bằng phương pháp tọa độ nhưng tôi thấy chỉ có lời giải đơn lẻ, chưa có hệ thống phân loại rõ ràng Hơn nữa trong các đề thi ĐH

và CĐ, thi học sinh giỏi các bài toán về HHKG liên tục xuất hiện với những yêu cầu khá khó nếu chỉ dùng kiến thức HHKG thuần túy.

Vậy phải làm cách nào để giúp các em học sinh lớp 12 sau khi học xong

“Phương pháp tọa độ trong không gian” có thể áp dụng giải quyết được các dạng bài tập về thể tích khối đa diện mà không phải dùng tới HHKG thuần túy ở lớp 11?

Dựa trên các tài liệu tham khảo do bản thân tự bồi dưỡng, với thực tế giảng dạy và

kinh nghiệm tôi đã chọn tìm hiểu và nghiên cứu đề tài là:“Hướng dẫn học sinh vận dụng phương pháp tọa độ trong không gian vào giải toán về khối đa diện”.

Tôi tập hợp các bài toán có cách giải tương tự từ dễ đến khó; soạn thành từng phầngửi đến các em thông qua các tiết học tự chọn trong phân phối chương trình hoặccác buổi sinh hoạt chuyên đề Đồng thời làm cho các em có cách nhìn tổng quát vàsâu hơn về vấn đề vừa được học Hình thành và phát triển khả năng tư duy lôgic;khả năng tìm hiểu và tổng hợp được vấn đề cần nghiên cứu

Khảo sát thực tế trước khi thực hiện sáng kiến (học sinh lớp 12A2)

Bài toán khảo sát: (Đề thi thử THPT Quốc Gia, Quảng Xương 1, Thanh Hóa)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác

vuông cân tại B, AB = a, SA vuông góc với mặt

phẳng đáy (ABC) Góc giữa mặt phẳng (SBC) và

mặt (ABC) bằng 600 Gọi M là trung điểm của

AB

a) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC

b) Tính theo khoảng cách giữa hai đường

thẳng SM và AC theo a

Lời giải: (SKKN, Tr 26-27)

Kết quả như sau (Sĩ số 45)

+ 35,56% (16/45) học sinh kẻ đồng thời AH ⊥ SM, rồi kết luận khoảng cách

là AH, tính được AH theo SA và AM

+ 22,22% (10/45) học sinh kẻ được MN//AC và khẳng định rằng khoảngcách giữa hai đường thẳng chéo nhau SM,AC bằng khoảng cách giữa AC và

(SMN)rồi khẳng định khoảng cách ấy là AH (tương tự nhóm trên).

+ 13,33% (6/45) học sinh giải bài toán bằng cách quy về thể tích khối đa diện

A.SMN (vận dụng phương pháp tỷ số thể tích khối đa diện).

+ 6,67 % (3/45) học sinh biết gọi N là trung điểm BC và chứng minh đượng

AC // (SMN) sau đó dựng AH ⊥ SK được khoảng cách SM,AC là AH (K là điểmthuộc MN mà AK vuông góc MN

+ 22,22% (10/45) học sinh không lập luận được gì

+ Không học sinh nào sử dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán này Nguyên nhân:

Ít em học sinh nghĩ đến việc sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian

để giải quyết vấn đề này vì nhiều em nghĩ PPTĐ chỉ dùng đề lập PTTQ của mặtphẳng, lập PTTS, PTCT đường thẳng Ngoài ra trong SGK không nêu PPTĐ trongkhông gian như một phương pháp giúp giải các bài toán về hình khối đa diện để học

sinh có định hướng phát hiện vấn đề (sách giáo khoa phần lí thuyết trình bày ứng dụng PPTĐ giải bài toán về vấn đề này rất ít)

III CÁC GIẢI PHÁP

A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Kiến thức cơ bản về hình học không gian lớp 11

1.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm O và đường thẳng a Trong mặt phẳng

(O,a) gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên a Khi đó

khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng

cách từ điểm O đến đường thẳng a, kí hiệu là d(O,a).

1.2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm O và mặt phẳng (α) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặtphẳng (α) Khi đó khoảng cách giữa 2 điểm O và H được gọi là khoảng cách từđiểm O đến mp(α), kí hiệu là d(O, (α))

1.3 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song

song

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α),

khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) là

khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mp(α), kí hiệu là d(a, (α))

1.4 Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song là

khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này

đến mặt phẳng kia, kí hiệu là d((α),(β))

1.5 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Đường vuông góc chung: Đường thẳng ∆ cắt 2đường thẳng chéo nhau a, b và vuông góc với mỗiđường thẳng ấy được gọi là đường vuông gócchung của 2 đường thẳng a và b

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: Nếu

đường vuông góc chung ∆ cắt 2 đường thẳng chéonhau a và b lần lượt tại M và N thì độ dài đoạnthẳng MN gọi là khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b Kí hiệu là

+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa mộttrong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại.

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa haimặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

a' b a

V

V S h h

S

= ⇔ = (trong đó S là diện tích đáy

và h là chiều cao của khối chóp) Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh của

2.1 Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian

Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểmgốc O Gọi r r r i j k, , là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz Hệ batrục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độOxyz

r

r

2.3 Tọa độ của điểm

a) Định nghĩa: M x y z( ; ; )⇔OM uuur = ( ; ; )x y z (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a b r r, và c r đồng phẳng ⇔ [ , ].a b c r r r=0

• Diện tích hình bình hành ABCD: S Y ABCD = uuur uuur AB AD, 

– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng

vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.

– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể

tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.

[ ] [ ]

0

0 0

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng: d(∆,∆’)= [ , ']. 0 '0

[ , ']

u u M M

u u

r uur uuuuuuuur uur uur

phương trình mặt cầu tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R = a2 +b2 +c2 −d

B NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP

1 Phân loại hình đa diện trong không gian

Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phảichọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trụctọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình Vì Ox Oy Oz, , vuông góc từng đôi một Do

đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh vuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó

lần lượt thuộc các trục tọa độ

1.1 Hình chóp

Loại 1 Hình chóp tứ giác đều S.ABCD

a) Đặc điểm: Đáy ABCD là hình vuông và các cạnh bên SA = SB = SC= SD

b) Chọn hệ tọa độ (hình vẽ)

- Chọn gốc O(0;0;0) là tâm của hình vuông

- Giả sử cạnh hình vuông bằng a và đường cao

Loại 2 Hình chóp Tam giác đều S.ABC

a) Đặc điểm: Đáy ABC là tam giác đều và các cạnh bên SA = SB = SC

Loại 3 Với hình chóp S.ABCD có một cạnh

vuông góc với đáy, đáy là hình chữ nhật

a) Đặc điểm: ABCD là hình chữ nhật và giả sử SA

vuông góc với đáy (ABCD)

b) Chọn hệ tọa độ (hình vẽ)

Giả sử AB a AD b= ; = , chiều cao bằng h

-Gốc tọa độ A(0;0;0),

Khi đó: B a( ;0;0 ; ) (C a b; ;0) , D(0; ;0 ; (0;0; )b ) S h

Loại 4 Hình chóp S.ABCD có một cạnh vuông góc với đáy, đáy là hình thoi a) Đặc điểm: ABCD là hình thoi và giả sử SA vuông góc với đáy (ABCD)

b) Chọn hệ tọa độ (hình vẽ)

Giả sử AB a AD b= ; = , chiều cao bằng h

-Gốc tọa độ O(0;0;0), (O là giao AC và BD)

Khi đó dựa vào giả thiết để xác định tọa độ của

A,B,C,D,S (chú ý chiều âm, dương của trục Ox,

Oy, Oz để xác định chính xác tọa độ A,B,C,D,S)

Loại 5 Hình chóp S.ABC có một cạnh vuông

góc với đáy, đáy là tam giác vuông

a) Đặc điểm: Với hình chóp S.ABC có SA ⊥

(ABC) và ∆ABC vuông tại A

Chú ý: Nếu đáy là tam giác vuông tại B thì ta chọn gốc tọa độ là B

Loại 6 Hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥(ABC), ∆SAB cân tại S và ∆ABC vuông tại C

a) Đặc điểm: Tam giác SAB cân tại S, gọi

H là trung điểm của AB thì SH⊥(ABC),

b) Chọn hệ tọa độ(hình vẽ)

∆ABC vuông tại C, CA a CB b= ; =

chiều cao bằng h H là trung điểm của AB

Chú ý: - Tam giác ABC vuông cân tại C thì ta vẫn chọn gốc tọa độ tại C(0;0;0)

(Hình 1) Khi đó tọa độ các điểm (đỉnh) là H(0;0;0), ;0;0 ; A 0; ;0

- Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥(ABC), ∆SAB cân tại S và ∆ABC vuông tại

A thì ta chọn gốc tọa độ tại A (Hình 2) H là trung điểm của AB Chọn hệ trục tọa

độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0), B a( ;0;0 ; C 0; ;0) ( b ) , (0; ; )

Loại 1 Hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'

a) Đặc điểm: Đáy là hình vuông hoặc hình chữ nhật và cạnh bên vuông góc với đáy b) Chọn hệ tọa độ (hình vẽ)

Loại 2 Hình hộp đáy là hình thoi ABCD.A'B'C'D'

a) Đặc điểm: Hai đường chéo của đáy vuông góc, cạnh bên vuông góc với đáy

b) Chọn hệ tọa độ(hình vẽ)

Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của hai

đường chéo của hình thoi ABCD

- Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy

1.3 Hình lăng trụ

Cách chọn hệ tọa độ Oxyz hoàn toàn tương tự như với hình hộp

2 Vận dụng phương pháp tọa độ vào giải toán

Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cầnphải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệtrục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình

2.1 Các bước giải toán bằng phương pháp tọa độ trong không gian

 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp(quyết định sự thành công của lời giải)

 Xác định tọa độ các điểm (đỉnh của hình đa diện) có liên quan.

 Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán.

Ta thường gặp các dạng sau:

• Định tính: Chứng minh các quan hệ vuông góc, song song, …

• Định lượng: Độ dài đoạn thẳng, góc, khoảng cách, tính diện tích, thể tích, diệntích thiết diện, …

• Bài toán cực trị, quỹ tích

Một số lưu ý khi sử dụng PPTĐ trong không gian vào giải toán:

- Xác định hệ tọa độ Oxyz phù hợp gắn với hình đa diện, ưu tiên chọn trục Oz

có phương trùng với phương của chiều cao hình chóp, hình hộp.

- Việc xác định chính xác tọa độ các điểm là yêu cầu quan trọng

- Nên vẽ ngoài giấy nháp hình biểu diễn mặt phẳng Oxy để tính tọa độ điểmđược chính xác, tránh nhầm lẫn đáng tiếc

Cách giải thức 2: PPTĐ trong không gian 12 (lập phương trình mặt phẳng)

Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc O(0;0;0), A(0; 0;a 3); ( ;0;0), (0;B a C a 3; 0),

M a

B

KH

Bình luận: Nhược điểm của cách 1 là phải vẽ thêm nhiều đường phụ và suy luận

nhiều Học sinh phải vững vàng kiến thức về HHKG 11 thì mới giải quyết được

Với cách 2 thì HS chỉ cần nhớ kiến thức về PPTĐ trong mặt phẳng là có thể giải

quyết được thậm chí không cần suy luận d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) = d(B;(OMN))

mà vận dụng luôn kiến thức về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

 Bài tập 2 Cho hình chóp SABC có độ dài các cạnh đều bằng 1, O là trọng tâm

của tam giác ∆ABC I là trung điểm của SO.

a) Mặt phẳng (BIC) cắt SA tại M Tìm tỉ lệ thể tích của tứ diện SBCM và tứ diện SABC.

b) H là chân đường vuông góc hạ từ I xuống cạnh SB Chứng minh rằng IH qua trọng tâm G của ∆SAC

Lời giải:

Phân tích: Hình chóp S.ABC là hình chóp đều, nên chân đường cao trùng với tâm

đa giác đáy (ABC) O là tâm của tam giác ABC Do đó ta chọn hệ tọa độ:

Oxyz sao cho O là gốc tọa độ, A∈Ox, S∈Oz, BC//Oy

V V

2 Do G là trọng tâm của tam giác ∆ASC

⇒ SG đi qua trung điểm N của AC

 Bài tập 3 (Trích đề thi Đại học khối A – 2002)

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a Gọi M, N là trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích ∆AMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC).

Lời giải:

Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy

ra O là trọng tâm ∆ABC Gọi I là trung điểm

x

y

I

O B

A

C S

z

a x

y

h

M N

O

I C

A

B S

AMN ⊥ SBC ⇒nr nr = ⇒h = ⇒ S∆ = uuuur uuurAM AN =

 Bài tập 4 (Trích đề thi thử THPT Quốc Gia 2015, Website: vnmath.com)

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' các các mặt bên đều là hình vuông cạnh a Gọi D, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, C'B' Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và B'C'.

với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0;0;0),

 Bài tập 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA

vuông góc với đáy hình chóp Cho AB = a, SA = a 2 Gọi H, K lần lượt là hìnhchiếu của A trên SB, SD Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (AHK)

a z

y

Phân tích Khối chóp AOHK và ASBD có chung đỉnh, đáy cùng nằm trên một mặt

phẳng nên ta có thể tính được thể tích khối chóp OAHK, hơn nữa tam giác AHKcân nên ta tính được diện tích của nó

6 3

a SAD SAB AK AH

BD = SO = ⇒ = = Tam giác AHK cân tai A, G là trung

;

2

2 29

Cách giải thứ hai: Giải bằng phương pháp tọa độ như sau:

Chọn hệ tọa độ Axyz với gốc tọa độ A(0;0;0) Tia Az trùng với AS, tia Axtrùng với tia AB, tia Ay trùng với tia AD Khi đó tọa độ: B(a;0;0), D(0 ;a ;0),

J G

I

O

C A

D

B

S

H K

độ của điểm trong hệ tọa độ Oxyz là hoàn toàn có thể tìm được kết quả bài toán

Ngoài ra ta có thể tính khoảng cách từ O tới (AHK) bằng công thức tính thểtích khối chóp O.AHK là 1 ,

Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh bằng 1 Một mặt phẳng ( ) α bất

kì đi qua đường chéo B’D

a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’)

b) Xác định vị trí của mặt phẳng ( ) α sao cho diện tích của thiết diện cắt bởi

mp( ) α và hình lập phương là bé nhất

Lời giải:

Phân tích: Với một hình lập phương ta luôn

chọn được một hệ toạ độ thích hợp, khi đó

tạo độ các đỉnh đã biết nên việc tính khoảng

cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’)

trở nên dễ dàng Với phần b, ta quy việc tính

diện tích thiết diện về việc tính khoảng cách

B A

Gọi H là hình chiếu của M trên DB’ Khi đó:

2 2

x=

Nên diện tích S DMB N' nhỏ nhất khi 1

;0;0 2

M  

 , hay M là trung điểm D’C’

Hoàn toàn tương tự nếu ( 0; ;0 ) 0; ;0 1

Chọn hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz sao cho

a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM

b) Giả sử (ABM) cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Lời giải:

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ, gốc tại O(0;0;0)

Khi đó tọa độ các điểm (đỉnh) là:

C(-2a;0;0), D(0;-a;0), M(-a;0;a 2)

V = SA SM SNuur uuur uuur =

Vậy V S ABMN. =V S ABM. +V S AMN. =a 2 (đvtt)

 Bài tập 9 (Thi thử Quốc Gia 2015, Chuyên Hạ Long, Quảng Ninh).

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = a Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC), đường thẳng SB hợp với

mặt phẳng đáy một góc bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC theo a.

Lời giải:

Thể tích khối tứ diện S.ABC là:

V = BA BC Buuur uuur uur = + + = (đvtt)

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC là [ , ] [ S, ].

Bình luận: nếu làm theo cách giải HHKG thuần túy, chúng ta phải dựng được SK

vuông góc với mặt phẳng (SBD) chứa SB và song song với AC Điều này là rất khó với hầu hết học sinh THPT

 Bài tập 10 (Trích đề thi thử Quốc Gia, Yên Phong 2, Bắc Ninh).

Cho hình chóp S.ABCD đều có cạnh đáy bằng a Cạnh bên tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 60o

a) TÍnh khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA, CD

b) Thể tích khối chóp S.ABCD

Lời giải:

Vì ABCD là hình chóp đều nên gọi O là tâm của hình vuông ABCD Khi đó SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Từ

giả thiết tính được

giữa cạnh bên với mặt đáy bằng góc B (hình

vẽ) Chọn hệ tọa độ như hình vẽ, trục hoành

OA, trục tung OB, trục cao OS

; SA CD ADuur uuur uuur,  =a3 6 ; SA CDuur uuur,  = 2a2

Chú ý: Kí hiệu B là diện tích đáy của khối chóp

 Bài tập 11 (Trích đề thi thử THPT Quốc Gia 2015, của thầy Phạm Kim Chung, THPT Đặng Thúc Hứa, Nghệ An)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ABCD là hình thoi cạnh bằng a,

;

SA SB a= = SD a= 2và mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa từ A đến mặt phẳng (SCD).

Lời giải:

(minh họa đáy (ABCD))

Vì (SBD) vuông góc với (ABCD) nên khi kẻ SH ⊥BD⇒SH ⊥( ABCD)

hay SH là chiều cao của khối chóp S.ABCD Gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB

và AC Khi đó, vì tam giác SAB đều nên SE⊥ AB SH, ⊥ AB⇒ AB⊥EH Do đó

CE là đường trung trực của tam giác ABC

Ta xét tam giác đồng dạng ∆BIA: ∆BEH g g( − ), ta có:

2

2

.2

BD a= AC a SH= = Ngoài ra, trong tam

giác vuông CAE, ta có:

BA = Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

các cạnh A’D’ và A’B’ Chứng minh rằng AC’

vuông góc với (BDMN) và tính thể tích khối chóp

A.BDMN.

Lời giải:

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ, Trục hoành

AB, trục tung AD, trục cao AA’

Tọa độ các điểm là A(0;0;0), ; 3;0

3a16