TẶNG HỌC SINH CHĂM HỌC TRÊN FACEBOOK THẦY HÙNG ĐZ 10/3 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn... Thầy Đặng Việt Hùng ĐZ.
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Lời giải
Điều kiện:
3
2
2
4
≥ ≥
+ + ≥
xy x
y x
(2)⇔ y+ −1 y +2x+ +2 x +2y− + =x 1 0
1
y x
2 2 1 0
⇔ y− x− = (Do y≥ ≥x 3 4)
Thay vào (2) ta được 2x 2x2− +4 8 x3− =4 3x3
Áp dụng BĐT Côsi cho các số dương ta có:
3x =2 4 + x −4 +x2+ x −2 ≥8 x − +4 2x 2x −4 Dấu bằng xảy ra khi
3
2
2
= − ⇔ =
x
x
5 2
⇔ =y
Vậy hệ có nghiệm duy nhất 2;5
2
Lời giải
Điều kiện 5− ≤ ≤x 5 Bất phương trình đã cho tương đương với
2
2
16
x
x
−
Khi đó (1) vô nghiệm
2
4
4 0
x
x x
−
+ >
, (1) nghiệm
đúng
• Nếu
2
2
x
Tổng hợp các trường hợp ta thu được nghiệm 4− ≤ ≤x 5
TẶNG HỌC SINH CHĂM HỌC TRÊN FACEBOOK THẦY HÙNG ĐZ 10/3
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
Trang 2Ví dụ 3 [ĐVH]: Giải hệ phương trình
2
2 2
2
−
y x
x
Lời giải
Điều kiện:
1 2 0
≥
+ ≥
− ≥
x
x y
x y
2
2
−
⇔ x+ −y x− =y y x
x
− =
y x
- Nếu x+ +y 2x− =y 2x ⇔ +x 2 (x+ y)(2x−y)=0 vô nghiệm do x>0
- Nếu 2y=x thay vào (2) ta được 3x2− + =x 2 2 x+2x 2x−1
Ta có
2
2
2
1
0
0
≥
− −
−
−
≥
x
x
với 1
2
≥
x Nên (3)
0
1
2 1
=
− =
=
x x
x
Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) 1
2
x y
Ví dụ 4 [ĐVH]: Giải hệ phương trình
2
x y
x y
x y
− +
Lời giải
Điều kiện 2x− + ≠y 1 0 Phương trình thứ nhất tương đương với 21 21
Xét hàm số ( ) 2
1
t
+ thì
( )
2 4
Suy ra hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực Thu được f x( )= f y( )⇔ =x y
1
x
+
x+ =u x + =v v> thu được
2
u v
v u
=
=
Trang 3Xét các trường hợp
2 1 8 12 7 2 11 0
2
≥ −
Kết luận hệ phương trình có nghiệm duy nhất 4 14; 4 14
x=− + y=− +
Ví dụ 5 [ĐVH]: Giải bất phương trình 2 ( 2 ) ( )
5x −8x+ >4 x x − +x 1 x∈ℝ
Lời giải
Điều kiện 0 8
5
x≤ ∨ ≥x Bất phương trình đã cho tương đương với
2
Nhận xét
2
ℝ Xét các trường hợp +) Nếu
+) Nếu
2 2
x x
Do đó ( )1 ⇔ − < ⇔ <x 2 0 x 2, suy ra 2 2
5 x
− ≤ <
Kết hợp với điều kiện ta thu được nghiệm 0 8 2
5
x≤ ∨ ≤ <x
Ví dụ 6 [ĐVH]: Giải bất phương trình ( 2 2 ) 3 2
3x −12x+ +5 x −2x x − ≥1 2x −10x+5
Lời giải
Điều kiện:
2
2
3
3 12 5 0
1 0
x
− ≥
Trước hết, để ý rằng:
2x −10x+ =5 3x −12x+ −5 x −2x = 3x −12x+ +5 x −2x 3x −12x+ −5 x −2x
Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:
Với điều kiện x≥2 suy ra x3+x2 + +x 3 x2−3x+ >2 0 do đó
Trang 4( ) 3 2 2
3
2
4 2 0
x
≥
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =[2;+∞)
Ví dụ 7 [ĐVH]: Giải bất phương trình 2 22 3 2 ( )
1
x
Lời giải
Điều kiện: 2
2
x
− ≥
− − ≠
4 ≠ ≥x 3 x − x− − > ⇔ >x 4, khi đó bất phương trình đã cho trở thành:
2
2
2
2
1
x
≥
− + =
4 ≠ ≥x 3 x − x− − < ⇔ ≤ <3 x 4, khi đó bất phương trình đã cho trở thành:
2 2
2
2 2 3 2 8 2 2 1 2 1 3 2 2 2 1 2 3 2
2 1 3 2 2 2 1 3 2 2 2 1 2 3 2
2 3
3 4
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 2 3 { }
3 4
= ∪
Ví dụ 8 [ĐVH]: Giải hệ phương trình
Lời giải:
ĐK : 2x− ≥y 0
2
1
1
+ −
Do x = 0 không phải nghiệm nên: ( ) ( 2 )
2
Xét hàm số ( ) ( 2 ) ( )
2
1
+
t
t
Do vậy hàm số f t( ) đồng biến trên R ta có: ( ) 1 1
Khi đó thế vào PT(1) ta có: 2x 3 2x 1 1 4
Trang 5Đặt t 2x 1 0
x
= − ≥ ta có:
( )
4
t
t t
t loai
=
= −
1; 1 1
2
Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( ) ( ) 1
; 1;1 ; ; 2
2
Ví dụ 9 [ĐVH]: Giải hệ phương trình ( 2 ) 3 2
2
− + + − + =
Lời giải:
ĐK: y≥3x
Xét hàm số: ( ) 3 ( ) ( ) 2
f t = +t t t∈R f t = t + > ∀ ∈t R
Do đó hàm số đồng biến trên R Ta có ( ) (3 2 ) 3
f x+ = f x +y ⇒x + x+ = y
Thay vào PT(2) ta có:
2x + +2 10x −16x+ = ⇔4 0 5 2x −2x+ +2 x+1 2x −2x+2 −6 x+ =1 0
Vậy HPT đã cho có 2 nghiệm như trên
3
1
x
x
+
Lời giải
Điều kiện
17 3 16 0
x
≤ ≤
9−x + x = +9 2 x 9−x ≥9⇒ 9−x + ≥x 3, kết hợp x≥0⇒6 x+ 9−x2 + ≥x 3
Do đó thu được
2 2
0 3
3 1
3
x
x
x
=
+
≥
Đối chiếu điều kiện và thử lại ta có nghiệm x=0
Ví dụ 11 [ĐVH]: Giải bất phương trình ( )
2
2 9 3 4 3 2 1
1
5 3 2 2 1
x
Lời giải:
Điều kiện: 1
2
x≥
5 3 2 2 1 10 0
2
x+ + x− ≥ > nên bất phương trình đã cho tương đương với:
Trang 6( ) ( ) ( )
2
2x +9x+ +3 4 x+3 2x− ≤1 5 x+3 2+ 2x−1 ∗
Đặt 3 ( , 0)
a b
= +
≥
2x +9x+ =3 x+3 2x− +1 4 x+ − =3 6 a b +4a −6 Khi đó
bất phương trình ( )∗ trở thành:
2
x
+ +
vì
0
3 2 3 2 1 2
x
+
1
2
x≥
Kết hợp với điều kiện, vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 1;1
2
S
Thầy Đặng Việt Hùng ĐZ