PHƯƠNG PHÁP CHẶN Bài tập 1:Tìm các số tự nhiên x,y sao cho: a.2x + 5y = 21 b.7x + 12y = 50 Giải: a.Vì 2x≥ 1 nên 5y≤ 20 vậy y≤ 4 .Ta có bảng sau: y 0 1 2 3 4 5y 0 5 10 15 20 2x 21 16 11 6 1 x 4 0 Vậy (x,y) ∈ {(4,1);(0,4)} Bằng cách tương tự ta có thể làm được phần b b.Nếu y≥ 2 thì 12y≥ 122> 50 →
Trang 1PHƯƠNG PHÁP CHẶN
Bài tập 1:Tìm các số tự nhiên x,y sao cho:
a.2x + 5y = 21
b.7x + 12y = 50
Giải:
a.Vì 2x≥ 1nên 5y≤ 20 vậy y≤ 4 Ta có bảng sau:
Vậy (x,y) ∈ {(4,1); (0,4)}
Bằng cách tương tự ta có thể làm được phần b
b.Nếu y≥ 2 thì 12y≥ 122> 50 → 𝑦 < 2 → 𝑦 = 0 hoặc y = 1
-Nếu y= 0 thì 120= 1 → 7x= 49 ↔ 𝑥 = 2
-Nếu y= 1 thì 121= 12 → 7x= 38 (loại)
Vậy x = 2 ; y = 0
Bài tập 2:Tìm các số tự nhiên x,y,z biết 𝑥5.3𝑦𝑧̅̅̅̅̅ = 7850
Giải:
Ta thấy nếu x≥ 3 thì 𝑥5̅̅̅.3𝑦𝑧̅̅̅̅̅ ≥ 35.300 = 10500 > 7850
→ 𝑥 < 3
Ta cũng thấy x> 1 vì nếu x= 1 thì 𝑥5̅̅̅.3𝑦𝑧̅̅̅̅̅ ≤ 15.399 = 5985 <
7850
Như vậy 1< 𝑥 < 3 → 𝑥 = 2.Thay vào đề ta có 25.3𝑦𝑧̅̅̅̅̅ = 7850
→ 3𝑦𝑧̅̅̅̅̅ = 7850: 25 = 314 → 𝑦𝑧̅̅̅ = 14
Vậy x= 2; y= 1; 𝑧 = 4
Trang 2Bài tập 3:Tìm các số nguyên x,y biết |5𝑥 − 2| ≤ 13
Giải:
-Nếu x≥ 4 thì |5𝑥 − 2| ≥ |5.4 − 2| = |18| = 18 > 13 → 𝑥 ≤ 3 -Nếu x≤ −3 thì |5𝑥 − 2| ≥ |5 (−3) − 2| = |−17| = 17 > 13
→ 𝑥 ≥ −2
Vậy -2≤ 𝑥 ≤ 3 → 𝑥 ∈ {−2; −1; 0 ;1 ;2 ;3}
Thử lại ta có bảng sau:
Vậy x∈ {−2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3}
Bài tập 4:Tìm 3 số a,b,c ∈ 𝑁 biết a + b + c = abc và a> 𝑏 > 𝑐 > 0
Giải:
Vì a> 𝑏 > 𝑐 nên a +b +c < 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 3𝑎
Mà a+b+c = abc → 𝑎𝑏𝑐 < 3𝑎 → 𝑏𝑐 < 3
Vậy bc∈ {1; 2} do abc≠ 0.Mặt khác vì b> c nên b= 2; c = 1
Thay vào đầu bài ta có: a + 2 + 1= 2a ↔ 𝑎 = 3
Vậy a = 3; b = 2; c = 1
Bài tập 5:Tìm 𝑥𝑦̅̅̅ biết (𝑥𝑦̅̅̅)y= 𝑥𝑦𝑦𝑥̅̅̅̅̅̅̅
Giải:
Ta thấy y> 1 vì nếu y = 1 thì (𝑥𝑥̅̅̅)1 = 𝑥11𝑥̅̅̅̅̅̅̅ vô lý.Vậy y≥ 2
Ta lại thấy y< 4 vì nếu y≥ 4 thì (𝑥𝑥̅̅̅)4≥ 104 = 10000> 𝑥𝑦𝑦𝑥̅̅̅̅̅̅̅
→ 2 ≤ 𝑦 < 4.Vậy y∈ {2; 3}
-Nếu y = 2 ta có (𝑥𝑥̅̅̅)2 = 𝑥22𝑥̅̅̅̅̅̅̅ ↔ x2.121 = x.1001 + 220
↔ x2.121 = 11(91x+20) ↔ x2.11- 91x – 20 = 0
Trang 3-Nếu y = 3 ta có (𝑥𝑥̅̅̅)3 = 𝑥33𝑥̅̅̅̅̅̅̅ Nếu x≥ 2 thì (𝑥𝑥̅̅̅)3≥ 223 = 10648 có
5 chữ số (không thỏa mãn)
Vậy x= 1
Bài tập 6:Tìm số tự nhiên sao cho số đó cộng với tổng các chữ số của nó thì bằng 249
Giải:
-Gọi số cần tìm là n và tổng các chữ số của n là s(n) , ta phải có
n + s(n) = 249
Ta thấy n phải là số có ba chữ số vì nếu n có một hoặc hai chữ số thì
n + s(n)≤ 99 + 9 + 9 = 117 < 249 và tất nhiên n không thể có
nhiều hơn 3 chữ số
Đặt n =𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅ thì ta có: 𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅ + a + b + c = 249
Vì a + b + c≤ 27 nên 200< 𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅ < 249 → 𝑎 = 2
Thay vào bài ta được:2𝑏𝑐̅̅̅̅̅ + 2 + b + c = 249
↔ 200 + 𝑏𝑐̅̅̅ + 2 + b + c = 249 ↔ 𝑏𝑐̅̅̅ + b + c = 249 - 202 = 47
Vậy b≤ 4 Lại có b + c lớn nhất là 18 nên 𝑏𝑐̅̅̅ nhỏ nhất là 47 - 18 = 29
→ 𝑏 ≥ 2
Ta có: 2≤ 𝑏 ≤ 4 → b∈ { 2; 3; 4}
-Nếu b = 2 ta có 2𝑐̅̅̅ + c + 2 = 47 ↔ 2𝑐 = 25 (loại)
-Nếu b = 3 ta có 3𝑐̅̅̅ + 3 + c = 47 ↔ 2𝑐 = 14 ↔ 𝑐 = 7
-Nếu b = 4 ta có 4𝑐̅̅̅ + 4 + c = 47 ↔ 2𝑐 = 3 (loại)
Vậy số cần tìm là 237
Bài tập 7:Tìm các số nguyên x và y biết 2|𝑥| + 3|𝑦| = 5
Giải:
Nếu y = 0 thì 2|𝑥| = 5 ↔ |𝑥| = 2.5 vô lý vì x ∈ 𝑍
Trang 4Xét y≠ 0 thì 3|𝑦| ≥ 3 nên 2|𝑥| ≤ 2 ↔ |𝑥| ≤ 1 → |𝑥| ∈ {0; 1}
-Với |𝑥| = 0 thì 3|𝑦| = 5 ↔ |𝑦|= 5
3 (vô lí vì y∈Z) -Với |𝑥| = 1 thì x∈ {1; −1} khi đó |𝑦| = 1 và y∈ {-1;1}
Thử vào đề bài ta có đáp số:
( x;y ) ∈ {(1; 1); (1; −1); (−1; 1); (−1; −1)}
Bài tập 8:Tìm số tự nhiên 𝑎𝑏𝑐𝑑̅̅̅̅̅̅̅ biết 𝑎𝑏𝑐𝑑̅̅̅̅̅̅̅ + 𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅ +𝑎𝑏̅̅̅ +𝑎̅ = 4321
Giải:
𝑎𝑏𝑐𝑑
̅̅̅̅̅̅̅ + 𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅ + 𝑎𝑏̅̅̅ +a = 4321 ↔ 𝑎𝑎𝑎𝑎̅̅̅̅̅̅̅ + 𝑏𝑏𝑏̅̅̅̅̅ + 𝑐𝑐̅ + d = 4321
Ta thấy a< 4, vì nếu a≥ 4 thì 𝑎𝑎𝑎𝑎̅̅̅̅̅̅̅ + 𝑏𝑏𝑏̅̅̅̅̅ + 𝑐𝑐̅ +d≥ 4444 + 𝑏𝑏𝑏̅̅̅̅̅ +
𝑐𝑐̅ +d > 4321
Và a> 2 vì nếu a≤ 2 thì thì 𝑎𝑎𝑎𝑎̅̅̅̅̅̅̅ + 𝑏𝑏𝑏̅̅̅̅̅ + 𝑐𝑐̅ +d≤ 2222+999+99+9 = 3329< 4321 → 2< 𝑎 < 4
Vậy a = 3 khi đó ta có + 𝑏𝑏𝑏̅̅̅̅̅ + 𝑐𝑐̅ +d = 4321- 3333 = 988
Ta thấy b< 9 vì nếu b = 9 thì 𝑏𝑏𝑏̅̅̅̅̅ = 999> 988 chưa kể 𝑐𝑐̅ +d
Lại thấy b> 7 vì nếu b≤ 7 thì 𝑏𝑏𝑏̅̅̅̅̅ + 𝑐𝑐̅ +d≤ 777 + 99 + 9 = 885<
988
→ 7 < 𝑏 < 9 Vậy b = 8
Khi đó 𝑐𝑐̅ +d = 100 → c = 9 ; d = 1
Vậy 𝑎𝑏𝑐𝑑̅̅̅̅̅̅̅ = 3891
Bài tập 9:Tìm số 𝑎𝑏𝑐𝑑̅̅̅̅̅̅̅ biết 1
𝑎 + 1
𝑏 + 1
𝑐 = d với a> 𝑏 > 𝑐
Giải:
Vì a> 𝑏 > 𝑐 > 0 nên c≥ 1; 𝑏 ≥ 2 ; 𝑎 ≥ 3 khi đó ta có
1
+ 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 11 < 2 Mà 1 + 1 + 1 = d nên d< 2
Trang 5Vậy d = 1
Ta có 1
𝑎 + 1
𝑏 + 1
𝑐 = 1 với a > b > c
Lại vì a > b > c > 0 → 1
𝑎 < 1
𝑏 < 1
𝑐 khi đó ta có:
1
𝑎 + 1
𝑏 + 1
𝑐 < 1
𝑐 + 1
𝑐 + 1
𝑐 = 3
𝐶 Mà có 1
𝑎 + 1
𝑏 + 1
𝑐 = 1 nên 3
𝑐 > 1
Vậy c = 1 hoặc c = 2
-Với c = 1 thì 1
𝑎 + 1
𝑏 + 1
1 = 1(vô lí) -Với c = 2 thì 1
𝑎 + 1
𝑏 + 1
2 = 1 → 1
𝑎 + 1
𝑏 = 1
2 → 1
𝑎 = 1
2 - 1
3 = 1
6 → 𝑎 = 6 Vậy a = 6 ; b =3 ; c = 2 ;d =1 và 𝑎𝑏𝑐𝑑 ̅̅̅̅̅̅̅ = 6321