Tóm tắt Luận án Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley và ứng dụng

Việc nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, có thể giảiquyết những bài toán ứng dụng thực tế có nhiều ý nghĩa khoa học hơn, chẳnghạn đối với những bài toán có nguồn

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan về hướng nghiên cứu và lí do chọn đề tài

Phép biến đổi tích phân

Phép biến đổi tích phân ra đời rất sớm và có vai trò quan trọng trong lýthuyết cũng như trong ứng dụng đối với nhiều ngành khoa học, đặc biệt là cácngành Vật lý như: quang học, điện, cơ học lượng tử, xử lý âm thanh, xử lýảnh, Phép biến đổi tích phân đầu tiên được nghiên cứu xuất phát từ bài toánthực tế, khi Fourier J nghiên cứu về quá trình truyền nhiệt, phép biến đổi này

xử lý ảnh, xử lý âm thanh, Phép biến đổi Hartley của hàm f ∈ L1(R) đượccho bởi các công thức sau

Để nghiên cứu không gian tuyến tính, người ta thường đưa vào phép nhânchập hay còn gọi là tích chập, khi cố định một hàm ta có một lớp biến đổi tíchphân gọi là phép biến đổi tích phân kiểu tích chập

Việc nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, có thể giảiquyết những bài toán ứng dụng thực tế có nhiều ý nghĩa khoa học hơn, chẳnghạn đối với những bài toán có nguồn thông tin dữ liệu đa dạng hơn (vì trongđẳng thức nhân tử hóa của tích chập suy rộng được kết hợp bởi nhiều phépbiến đổi tích phân hơn) Tuy vậy, cho đến nay vẫn chưa có nhiều nghiên cứu

về phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, có thể kể tên những côngtrình nghiên cứu gần đây, chẳng hạn

• Đối với phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng không có hàmtrọng: Năm 2000, các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộngFourier cosine, Fourier sine trong không gian hàm Lp(R+), (1 < p < 2)được nghiên cứu bởi tác giả Tuan V.K và các cộng sự Năm 2013, phépbiến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev được nghiên cứu bởi Hong N.T., Tuan T và Thao N.X

• Đối với phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng có hàm trọng:Năm 2007, kết quả điển hình nghiên cứu về phép biến đổi này đối vớitích chập suy rộng Fourier cosine và sine, được công bố bởi nhóm tác giảThao N.X., Tuan V.K và Hong N.T

Như vậy có thể thấy rằng, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập và tíchchập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley cho đến nay chưa có nhiềunghiên cứu đề cập đến, mặc dù các ứng dụng của nó khá phong phú và xuấtphát từ những vấn đề khác nhau của các bài toán thực tế Vì vậy, nghiên cứu

về phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley cũng như cấu trúctoán tử của nó là một mục đích của luận án

Tích chập và tích chập suy rộng

Theo lịch sử phát triển thì các khái niệm về tích chập lần lượt được xuấthiện với những tên gọi khác nhau như: tích chập (không có hàm trọng và cóhàm trọng), tích chập suy rộng (không có hàm trọng và có hàm trọng) và tiếpđến là đa chập

Đối với tích chập mà trong đẳng thức nhân tử hóa của nó có nhiều hơn mộtphép biến đổi tích phân được gọi là tích chập suy rộng Khi đó, tích chập suyrộng được gọi tên theo thứ tự các phép biến đổi tích phân lần lượt xuất hiện.Cho đến nay có rất ít công trình nghiên cứu về tích chập suy rộng đối vớiphép biến đổi tích phân Hartley (có trọng và không có trọng), mặc dù hướngnghiên cứu này mang lại nhiều ứng dụng hữu ích Do đó, vấn đề xây dựng cáctích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley và các ứng dụng của nó

là một nội dung có ý nghĩa khoa học và là mục đích nghiên cứu của luận án.Bất đẳng thức kiểu tích chập và tích chập suy rộng

Chúng ta biết rằng, những ưu điểm của tích chập và tích chập suy rộngtrong các ứng dụng là việc giải một số bài toán phương trình vi phân, phươngtrình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, các bài toán Toán-Lý, Việc giảicác bài toán đó thường nhận được nghiệm biểu diễn dưới dạng tích chập, vì vậyxây dựng các bất đẳng thức tích chập và các bất đẳng thức tích chập suy rộng

để thuận tiện cho việc đánh giá nghiệm là một hướng nghiên cứu được nhiềunhà toán học quan tâm

Những nghiên cứu về lĩnh vực này ở trong và ngoài nước có thể thấy như sau:

• Đối với tích chập Fourier:

Một kết quả nổi tiếng là bất đẳng thức Young đối với tích chập Fourier.Mặc dù đây là một kết quả đẹp, nhưng khi p = q = 2 thì nó không

còn đúng nữa Cũng trong năm 2000, các tác giả Saitoh S., Tuan V.K.,Yamamoto M đã khắc phục được hạn chế của bất đẳng thức trên bằngviệc xây dựng một bất đẳng thức đối với tích chập Fourier trong khônggian Lp(R, ρ), p > 1 với hàm trọng ρ(x) và đưa ra một số ứng dụng Hơnnữa, nhóm nghiên cứu Tuan V.K., Duc D.T và Nhan N.D.V đã mở rộngbất đẳng thức kiểu tích chập đối với tích chập Fourier sang nhiều chiều.Nhận được các bất đẳng thức Saitoh ngược trong không gian R2, Rn vàmột số ứng dụng.

Ngoài ra, bất đẳng thức đối với tích chập Laplace cũng được tác giả TuanV.K và các cộng sự nghiên cứu, nhận được bất đẳng thức ngược đối vớitích chập này và cho ứng dụng trong giải bài toán truyền nhiệt ngược

• Gần đây, nghiên cứu về bất đẳng thức đối với tích chập Fourier cosinecủa tác giả Hong N.T đã công bố năm 2010, nhận được các bất đẳngthức kiểu Young, kiểu Saitoh và các ứng dụng Đây là kết quả mới mởrộng sang tích chập khác, nhưng đối với bất đẳng thức ngược dạng nàyvẫn chưa được nghiên cứu

Đối với bất đẳng thức tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartleynhư: bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh, kiểu Saitoh ngược, cho đến naychưa có công trình nào công bố, mặc dù các ứng dụng của nó có vai trò quantrọng khi nghiên cứu những vấn đề nảy sinh từ một số bài toán thực tiễn Do

đó, mục tiêu được quan tâm nghiên cứu là các bất đẳng thức tích chập suy rộngHartley và một số ứng dụng, đây cũng là một phần quan trọng trong mục đíchnghiên cứu của luận án

Một ứng dụng có ý nghĩa khoa học đối với hướng nghiên cứu này là việcgiải phương trình Toeplitz-Hankel tổng quát có dạng

Vì các lí do trên và để tiếp nối, phát triển hướng nghiên cứu này, chúng tôi

đã định hướng vấn đề, mục tiêu cần nghiên cứu và lựa chọn đề tài cho Luận

án với tên gọi "Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley và ứngdụng"

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Mục đích:

- Xây dựng một số tích chập suy rộng Hartley Nghiên cứu các tính chấtcủa các tích chập suy rộng này và ứng dụng trong giải phương trình tíchphân nhân Toeplitz-Hankel

- Nghiên cứu một số bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Hartley,chẳng hạn như bất thức kiểu Hausdorff-Young, kiểu Young, kiểu Saitoh

và các ứng dụng liên quan

- Xây dựng một số phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộngHartley, nghiên cứu các tính chất toán tử của các phép biến đổi tích phânnày trong các không gian hàm L2(R), Lp(R), với 1 6 p 6 2 và một số ứngdụng

• Đối tượng: Xây dựng các tích chập suy rộng Fourier cosine, Fourier sine Nghiên cứu các vấn đề liên quan đến phép biến đổi tích phânkiểu tích chập suy rộng, các bất đẳng thức kiểu tích chập suy rộng và một

Hartley-số ứng dụng

• Phạm vi nghiên cứu: Là các phép biến đổi tích phân, các tích chập vàcác tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Hartley,Fourier cosine, Fourier sine, các bất đẳng thức tích chập và tích chập suyrộng, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập, kiểu tích chập suy rộng

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong Luận án này, đã sử dụng các phương pháp liên quan đến lý thuyết giảitích hàm, phương pháp tích chập và tích chập suy rộng để xây dựng, nghiên cứucác tích chập suy rộng mới, chứng minh sự tồn tại của các tích chập suy rộngnày cũng như tính bị chặn của chúng Ngoài ra, còn sử dụng phương pháp biếnđổi tích phân để đánh giá và đưa ra các tính chất toán tử của những kết quảnghiên cứu mới, nhằm mục đích giải một số phương trình tích phân với nhânToeplitz-Hankel, phương trình và hệ phương trình tích phân, phương trình và

hệ phương trình vi-tích phân Sử dụng phương pháp đánh giá bất đẳng thứctích phân trong không gian để chứng minh các bất đẳng thức tích phân đối vớitích chập suy rộng và xây dựng các đánh giá nghiệm

4 Cấu trúc và các kết quả của Luận án

Luận án được trình bày trong 125 trang Ngoài phần mở đầu và tài liệutham khảo, luận gồm bốn chương:

Chương 1 : Nhắc lại những kiến thức liên quan đến hướng nghiên cứu.Chương 2 : Xây dựng các tích chập suy rộng Hartley mới là tích chập suyrộng Hartley-Fourier cosine, Hartley-Fourier sine, Hartley-Fourier, Hartley H1

và H2 Chứng minh các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval, định lýkiểu Titchmarch Áp dụng giải một lớp phương trình và hệ phương trình tíchphân, phương trình và hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel

Chương 3 : Nghiên cứu một số bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley nhưbất đẳng thức kiểu Hausdorff-Young, kiểu Young, kiểu Saitoh và kiểu Saitohngược Áp dụng những kết quả đạt được đánh giá nghiệm của phương trình tíchphân kiểu Toeplitz-Hankel, phương trình vi phân và một số bài toán Toán-Lý.Chương 4 : Xây dựng các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộngHartley Chứng minh định lý kiểu Watson, thiết lập điều kiện cần và đủ cho tínhunita của các phép biến đổi tích phân mới xây dựng trong không gian L2(R).Nhận được định lý Plancherel, định lý về tính bị chặn của toán tử vi-tích phân,cho minh hoạ về sự tồn tại của các phép biến đổi tích phân trên bằng một số

ví dụ cụ thể Vận dụng kết quả mới nhận được cho việc tìm nghiệm đóng củalớp phương trình và hệ phương trình vi-tích phân, phương trình parabolic mộtchiều

5 Ý nghĩa các kết quả đạt được trong Luận án

Các kết quả nghiên cứu nhận được là mới, có ý nghĩa khoa học trong lĩnhvực phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, góp phần làm phong phúthêm lý thuyết tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân, bất đẳngthức tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Hartley, Fouriercosine, Fourier sine Các kết quả này cho ứng dụng trong việc tìm nghiệm đóngcủa một lớp các phương trình và hệ phương trình tích phân Toeplitz-Hankel,phương trình và hệ phương trình vi-tích phân, nhận được các biểu diễn và đánhgiá nghiệm trong một số bài toán Toán-Lý Các kết quả và ý tưởng của luận án

có thể sử dụng trong nghiên cứu các tích chập suy rộng đối với các phép biếnđổi tích phân khác, và nghiên cứu bài toán quang phổ, xử lý ảnh

Nội dung chính của Luận án dựa trên bốn công trình nghiên cứu được liệt

kê ở "Danh mục các công trình đã công bố của Luận án" Trong đó có 03 côngtrình trong danh mục các tạp chí quốc tế uy tín ISI, 01 công trình trong kỷyếu Hội nghị Toán học Quốc tế Các kết quả này đã được báo cáo toàn bộ haytừng phần tại các Hội nghị khoa học và các Seminar sau:

• Các hội nghị khoa học:

- Hội nghị Quốc tế Giải tích phức hữu hạn và vô hạn chiều và ứng dụng(ICFIDCAA), tháng 7 năm 2012 tại Hà Nội

- Hội nghị toán học Việt Pháp lần thứ 8, tháng 8 năm 2012 tại Huế

- Đại hội Toán học Toàn quốc lần thứ 8, tháng 8 năm 2013 tại Nha trang

- Hội nghị Toán học Quốc tế lần thứ III, tháng 12 năm 2013 tại Thànhphố Hồ Chí Minh

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, nhắc lại những kiến thức đã biết được sử dụng cho nghiêncứu của luận án như:

• Trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản về tích chập và tích chập suyrộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân, cũng như quá trình pháttriển của hướng nghiên cứu

• Nhắc lại một số định lý liên quan đến các kết quả nghiên cứu trong luận

án, chẳng hạn là Định lý Wiener-Lévy, Định lý nội suy Riesz

• Nhắc lại một số bất đẳng thức tích phân đã biết, các định lý về bất đẳngthức đối với tích chập liên quan đến hướng nghiên cứu của luận án.Các bất đẳng thức quan trọng được sử dụng trong chứng minh một sốkết quả nghiên cứu và ứng dụng của luận án là bất đẳng thức H¨older vàbất đẳng thức H¨older ngược sau đây

Định lý 1.0.1 (Bất đẳng thức H¨older) Giả sử p, q > 1 sao cho 1

p +1

q = 1 Khi đó với mọi f ∈ Lp(X), g ∈ Lq(X), ta có

Z

X

f dµ

!1pZ

Chương 2 TÍCH CHẬP SUY RỘNG HARTLEY

Mục đích của chương này là xây dựng và nghiên cứu các tích chập suy rộngHartley mới như: Hartley-Fourier sine, Hartley-Fourier cosine Nghiên cứu cáctính chất tương ứng của nó, chẳng hạn như các đẳng thức nhân tử hóa, đẳngthức Parseval, định lý Titchmarch, Trong phần ứng dụng sẽ xây dựng và giảimột số phương trình và hệ phương trình tích phân nhân Toeplitz-Hankel.Nội dung chính của chương này là kết quả của các bài báo [1, 2] trong "Danhmục các công trình đã công bố của Luận án", đây là hai kết quả được công bốtrong các tạp chí quốc tế uy tín ISI

H1(f ∗

1 g)(y) = (Fsf )(y) · (H2g)(y), ∀y ∈ R;

H2(f ∗

1 g)(y) = −(Fsf )(y) · (H1g)(y), ∀y ∈ R, (2.2)

ở đây (Fsf )(−y) = −(Fsf )(y), với y < 0 Hơn thế, ta nhận được bất đẳng thức

k(f ∗

1 g)kL1(R) 6 kf kL 1 (R + )· kgkL1(R) (2.3)Đặc biệt, nếu g ∈ L1(R) ∩ L2(R), thì ta có các đẳng thức Parseval sau

(Fsf )(y) · (H1g)(y) cas(−xy)dy, (2.5)

tích phân trong các đẳng thức Parseval trên được hiểu là giá trị chính Cauchy

Định lý 2.1.2 Giả sử f là hàm thuộc không gian Lp(R+), g là hàm thuộckhông gian Lq(R), và 1

p +

1

q = 1, p, q > 1 Khi đó tích chập suy rộng (2.1.1)tồn tại với mọi x ∈ R trong không gian Lα,β,γr (R), α > −1, β > 0, γ > 0, r > 1thỏa mãn bất đẳng thức sau

√2π

2γ−1β−α+1γ Γ



α+1 γ

1r

Bổ đề 2.1.1 Nếu f (x) ∈ L1(R) và (H2f )(y) = 0, ∀y ∈ R, thì ta có f (x) = 0hầu khắp nơi

Định lý 2.1.3 (Định lý kiểu Titchmarch) Giả sử f và g là các hàm liêntục thỏa mãn f ∈ L1(R+, ex), g ∈ L1(R, e|x|) Nếu (f ∗

1 g)(x) ≡ 0 hầu khắp nơitrên R, thì ta có f (x) ≡ 0, ∀x ∈ R+, hoặc g(x) ≡ 0, ∀x ∈ R

2.1.2 Tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi

∞ Z

H 11

g và f ∗

H 12

glần lượt xác định bởi

(f ∗

H 11

2 √ 2π

∞ Z

∞ Z

−∞

f (t)[g(x + t) + g(x − t) + g(−x − t) − g(−x + t)]dt (2.10)

Định lý sau đây cho phép ta xác định được các đẳng thức nhân tử hóa của haitích chập suy rộng này.

Định lý 2.1.5 Giả sử các hàm f, g ∈ L1(R) Khi đó, các tích chập suy rộng(2.9) và (2.10), thuộc không gian L1(R), và thỏa mãn các đẳng thức nhân tửhóa sau

∞

Z

0

f (u)[k(x − u) − k(x + u)]du = h(x), x ∈ R, (2.13)

trong đó k, h là những hàm cho trước thuộc không gian L1(R), f là ẩn hàm

Bổ đề 2.1.2 Giả sử k và h là các hàm thuộc không gian L1(R) sao cho

(H2k)(y) 6= 0, ∀y Khi đó (H1h)(y)

(H2k)(y) là một hàm lẻ khi và chỉ khi (h ∗H k)(y) ∈Ker Tc

Định lý 2.1.6 Giả sử rằng k, h ∈ L1(R), sao cho (H2k)(y) 6= 0, ∀y, và(h ∗

Hk)(y) là một hàm lẻ Khi đó, điều kiện cần và đủ để phương trình tích phân(2.13) có nghiệm duy nhất trong không gian L1(R+) là

(H1h)(y)(H2k)(y) ∈ L1(R) và F−1 (H1h)(y)

b) Phương trình tích phân loại hai

trong đó k và h là những hàm cho trước, f là ẩn hàm

Bổ đề 2.1.3 Giả sử các hàm k, h ∈ L1(R) sao cho 1 + (Hjk)(y) 6= 0,

∀y ∈ R (j = 1, 2), và q là một hàm lẻ thuộc không gian L1(R) xác định bởi

(H1q)(y) = (H1h)(y)[1 + (H2k)(y)] (2.16)

Từ Định lý 2.1.7, ta nhận được hệ quả sau

Hệ quả 2.1.1 Với giả thiết tương tự định lý 2.1.7 và p là hàm thỏa mãn côngthức (2.17) Khi đó, ta có

2.1.3.2 Hệ phương trình tích phân

Trong phần này, ta xét hệ phương trình sau

f (x) + (g ∗

1 h)(x) = p(x)g(x) + (f ∗

[g(x + u) + g(x − u)] f (u) du, x ∈ R, (2.23)

Định lý 2.2.1 Tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine (2.23) của các hàm

f ∈ L1(R+), g ∈ L1(R) thuộc không gian L1(R) và có các đẳng thức nhân tửhóa sau luôn đúng

Hj(f ∗

2 g)(y) = (Fcf )(y) · (Hjg)(y), ∀y ∈ R, j = 1, 2, (2.24)

ở đây (Fcf )(−y) = (Fcf )(y), với y < 0 Hơn thế, ta có bất đẳng thức

k(f ∗

2 g)kL1(R) 6

r2

πkf kL1(R+)· kgkL1(R) (2.25)

Đặc biệt, khi f ∈ L1(R) ∩ L2(R) ta nhận được các đẳng thức Parseval có dạng

(Fcf )(y) · (Hjg)(y) cas(±xy)dy, j = 1, 2 (2.26)

tích phân trong công thức (2.26) được hiểu là giá trị chính Cauchy như sau

2 (g ∗

2 h) = (f ∗

Fc g) ∗

2 h,c) f ∗

Định lý 2.2.3 (Định lý kiểu Wiener-Lévy) Giả sử f ∈ L1(R) Khi đó,

1 + (Hjf )(y) 6= 0, ∀y ∈ R, (j = 1, 2) là điều kiện đủ để tồn tại hàm l ∈ L1(R)sao cho

(Hjl)(y) = (Hjf )(y)