b Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để biểu thức M nhận giá trị nguyên.. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị của hàm số đạt giá trị lớn nhất.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2015 - 2016
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
Bài 1 (1,5 điểm)
Cho biểu thức M 3a 9a 3 a 1 a 2
+ - + - với a ³ 0, a ¹ 1.
a) Rút gọn biểu thức M
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để biểu thức M nhận giá trị nguyên
Bài 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình x + + 3 4 x 1 - + x + + 8 6 x 1 - = 9.
b) Giải hệ phương trình
2 2 2
x xy xz 48
xy y yz 12
xz yz z 84.
ìï + + = ïïïï + + = íïï
ï + + = ïïî
Bài 3 (2,0 điểm)
a) Cho = 1442443
2016 thõa sè 2
3016 thõa sè 2
cùng chữ số hàng đơn vị
b) Cho hàm số y = ax + + a 1 với a là tham số, a ¹ 0 và a ¹ - 1 Tìm tất cả các giá trị của tham số a để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị của hàm số đạt giá trị lớn nhất
Bài 4 (3,5 điểm) Cho trước tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên cung
nhỏ BC lấy điểm M tùy ý Đường tròn (M ; MB) cắt đoạn thẳng AM tại D
a) Chứng minh rằng tam giác BDM là tam giác đều
b) Chứng minh rằng MA = MB + MC
c) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cung nhỏ BC thì điểm D luôn luôn nằm trên một đường tròn cố định có tâm thuộc đường tròn (O)
Bài 5 (1,0 điểm) Cho x + + = và y z 0 xyz ¹ 0 Tính giá trị của biểu thức:
P
HẾT
Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2: ……
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG
KÌ THI CHỌN SINH HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9
Dưới đây là sơ lược biểu điểm của đề thi Học sinh giỏi lớp 9 Các giám khảo thảo luận thống nhất thêm chi tiết lời giải cũng như thang điểm của biểu điểm đã trình bày Tổ chấm có thể phân chia nhỏ thang điểm đến 0,25 điểm cho từng ý của đề thi Tuy nhiên, điểm từng bài, từng câu không được thay đổi Nội dung thảo luận và đã thống nhất khi chấm được ghi vào biên bản cụ thể để việc chấm phúc khảo sau này được thống nhất và chính xác
Học sinh có lời giải khác đúng, chính xác nhưng phải nằm trong chương trình được học thì bài làm đúng đến ý nào giám khảo cho điểm ý đó
Việc làm tròn số điểm bài kiểm tra được thực hiện theo quy định của Bộ Giáo dục và Đào tạo tại Quyết định số 40/2006/BGD-ĐT
Bài 1
a) Rút gọn biểu thức M
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để biểu thức M nhận giá trị nguyên 1,50
§ Ta có M (3a 3 a 3) ( a 1)( a 1) ( a 2)( a 2)
( a 1)( a 2) ( a 1)( a 2) (1 a )( a 2)
§ Þ M (3a 3 a 3) (a 1) (a 4) a 3 a 2
( a 1)( a 2) ( a 1)( a 2)
1.a
(0,75đ)
§ Þ M ( a 1)( a 2) a 1
( a 1)( a 2) a 1
§ Þ M a 1 2 1 2
- +
§ M nguyên Û 2
a -1 nguyên Û a- là ước của 2 1
0,25
1.b
(0,75đ)
§ Û a- Î -1 { 1;1; 2} Û aÎ{0;4;9} (do a³0) 0,25
Bài 2
a) Giải phương trình: x+ +3 4 x- +1 x+ +8 6 x- =1 9 (1)
b) Giải hệ phương trình
2 2 2
ìï + + =
íï
ïï + + = ïî
(I)
2,00
§ (1) Û x 1 4 x 1 4- + - + + x 1 6 x 1 9- + - + =9 0,25
( x 1 2)- + + ( x 1 3)- + = 9 0,25
§ Û x 1 2- + + x 1 3- + = 9 0,25
2.a
(1,00đ)
§ Cộng 3 phương trình của hệ ta được 2
(x+ +y z) =144 Û x+ + = ±y z 12 0,25
§ Mặt khác: (I) Û
x(x y z) 48 y(x y z) 12 z(x y z) 84
ì + + = ïïïï + + = íïï + + = ïïî
kết hợp với trên ta có hai tường hợp sau
0,25
§ Với x+ + =-y z 12 hệ có nghiệm (x; y; z)= - - -( 4; 1; 7) 0,25
2.b
(1,00đ)
§ Với x+ + =y z 12 hệ có nghiệm (x; y; z)=(4;1; 7) 0,25
Trang 3
Bài 3
2,0 đ
a) Cho
2016 thõa sè 2
a= 14424432 2 2 2 và
3016 thõa sè 2
b= 14424432 2 2 2 Chứng minh rằng a và b có cùng chữ số hàng đơn vị
b) Cho hàm số y =ax+ +a 1 với a là tham số, a¹0 và a¹ -1 Tìm tất cả các giá trị của tham số a để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đồ thị của hàm số đạt giá trị lớn
§ Nhận xét: 2 2 2 2 2 2 2 2= (8 thừa số 16 2)
0,25
§ 2016 chia hết cho 8 được 252 như vậy có thể phân số a thành 252 nhóm, mỗi nhóm có
giá trị bằng 16 (có hàng đơn vị là 6) nên tích của 252 nhóm này cũng có hàng đơn vị là 6
0,25
§ 3016 chia hết cho 8 được 377 như vậy có thể phân số b thành 377 nhóm, mỗi nhóm có
giá trị bằng 16 (có hàng đơn vị là 6) nên tích của 377 nhóm này cũng có hàng đơn vị là 6
0,25
3.a
(1,00đ)
§ Kết luận
0,25
§ Đồ thị hàm số cắt các trục tọa độ tại: A a 1; 0
a
æ + ö÷
çè ø và B 0; a( + do 1) a ¹0 và a¹ -1 nên A, B phân biệt và đều khác gốc toa độ O 0,25
§ Tam giác vuông OAB tại O nên nếu gọi h là khoảng cách từ O đến đồ thị hàm số thì
h OA OB (a 1) (a 1) (a 1)
+
+ + + (*) 0,25
§ Þ 2 2
2
(a 1) h
a 1
+
= + (**) 0,25
§ Þ 2 2
2 a
+ +
+ + + dấu đẳng thức xảy ra khi a = 1
§ Vậy khi a = 1 thì khoảng cách từ O đến đồ thị hàm số là lớn nhất 0,25
§ Chú ý: ý (*) và (**) có thể thay bằng hai ý sau:
Diện tích tam giác vuông OAB là
2
Cạnh huyền
2
2
a a
0,25
3.b
(1,00đ)
Þ khoảng cách từ O đến đồ thị hàm số là:
2
a 1 2S
h
AB 1 a
+
Bài 4
Cho trước tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M tùy ý Đường tròn (M ; MB) cắt đoạn thẳng AM tại D
a) Chứng minh rằng tam giác BDM là tam giác đều
b) Chứng minh rằng MA = MB + MC
c) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cung nhỏ BC thì điểm D luôn luôn nằm
Trang 4BÀI-Ý ĐỀ - HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM
§ Hình vẽ phục vụ hai câu a và b
0,50
a) Chứng minh BDM là tam giác đều 0,75
§ MB = MD (bán kính đường tròn (M)) 0,25
§ ·BMD=BCA·=60o (cùng chắn »AB)
0,25
§ Nên tam giác BDM đều 0,25
b) Chứng minh rằng MA = MB + MC 1,00
Hai tam giác ABD và CBM bằng nhau
vì AB = CB; BD = BM
và ·ABD=60o-DBC· ·=CBM 0,25
§ Þ MA = MD + DA 0,25
I
D
O A
M § Mà MD = MB
§ Vậy MA = MB + MC 0,25
c) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cung nhỏ BC thì điểm D luôn luôn nằm trên
§ Gọi I là giao điểm của (O) với phân giác CO (trong tam giác đều ABC)
Þ I là điểm chính giữa của cung nhỏ »AB và I là điểm cố định thuộc (O) 0,25
§ Þ MI là phân giác ·BMD (góc nội tiếp chắn cung »AB của đường tròn (O)) 0,25
§ Þ MI là trung trực đoạn thẳng BD vì BDM là tam giác đều 0,25
4
§ Þ D luôn thuộc đường tròn (I ; IB) cố định có tâm thuộc (O) 0,25
Bài 5
Cho x+ + =y z 0 và xyz¹0 Tính giá trị của biểu thức:
P
§ Ta có x y z 0+ + = Þ x= - + ; y(y z) = - +(z x) và z= - +(x y)
§ Þ 2 2
x =(y z)+ ; y2 = +(z x)2 và z2 =(x+y)2 0,25
§ Þ P 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2
x y (x y) y z (y z) z x (x z)
§ Þ P 1 1 1
2xy 2yz 2xz
§ Þ P x y y 0
2xyz
+ +
- Hết -