NGUYỄN THÀNH HIỂNỨNG DỤNG DÃY TỶ SỐ TRONG SÁNG TẠO VÀ GIẢI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2015 PHẦN 1 Một tính chất cực kỳ đơn giản trong toán học, nếu biết cách khai thác sẽ tạo ra vô số bài toán
Trang 1NGUYỄN THÀNH HIỂN
ỨNG DỤNG DÃY TỶ SỐ TRONG SÁNG TẠO VÀ GIẢI TOÁN
HỆ PHƯƠNG TRÌNH (2015)
(PHẦN 1)
Một tính chất cực kỳ đơn giản trong toán học, nếu biết cách khai thác sẽ tạo ra vô số bài toán Hệ phương trình hay và độc đáo Xin gửi tặng các thành viên group Nhóm Toán bài viết nhỏ về "Dãy tỷ số bằng nhau", cũng như hướng giải các câu hệ mà mình đăng trong khoảng thời gian vừa qua !
A Tính chất dãy tỷ số Nếu tồn tại f (x, y)
g(x, y) =
h(x, y) k(x, y), thì
1 f (x, y)
g(x, y) =
h(x, y) k(x, y) =
a.f (x, y) a.g(x, y) =
b.h(x, y) b.k(x, y) =
a.f (x, y) + b.h(x, y) a.g(x, y) + b.k(x, y), với mọi a, b 6= 0.
2 f (x, y)
g(x, y)
n
= h(x, y) k(x, y)
n
= a.(f (x, y))
n
a.(g(x, y))n = b.(h(x, y))
n
b.(k(x, y))n = a.(f (x, y))
n+ b.(h(x, y))n
a.(g(x, y))n+ b.(k(x, y))n, với mọi a, b 6= 0
B Sáng tạo hệ phương trình
• Bước 1 : Chọn dãy tỷ số sao cho có thể tìm nghiệm x và y dễ dàng (dùng wolframalpha cho tiện !)
T = f (x, y) g(x, y) =
h(x, y) k(x, y) Phương trình (1) : f (x, y).k(x, y) = h(x, y).g(x, y)
• Bước 2 : Sử dụng dãy tỷ số [1] hoặc [2] để tạo ra phương trình (2)
1 Mức độ dễ : a.f (x, y) + b.h(x, y) = T.(a.g(x, y) + b.k(x, y))
2 Mức độ khó : a.(f (x, y))n+ b.(h(x, y))n = Tn.(a.(g(x, y))n+ b.(k(x, y))n)
Ví dụ Xét dãy tỷ số
x
√
x + 1 =
3
√
x − 1
y + 1 = 2.
Ta nhận được nghiệm (x; y) = 2 + 2√
2;
3
p
1 + 2√
2 − 2 2
!
• Phương trình (1) : xy + x =√x + 1√3
x − 1
• Mức độ dễ : chọn a =√x + 1 + y2; b = −1, ta được hệ phương trình như sau
xy + x =√x + 1√3
x − 1 (1) (x − 2y2)√
x + 1 + xy2+ 2y = 2x +√3
x − 1 (2) (x, y ∈ R )
• Mức độ khó : chọn n = 3; a = 1; b = −x2, ta được hệ phương trình sau
xy + x = √x + 1√3
x − 1 (1)
x2[1 + (2y + 2)3] = 8(x + 1)√
x + 1 (2) (x, y ∈ R )
Trang 2C Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình
x√
y + 2 − ypx2− y =px2− y (1)
y√
y + 2 + xpx2− y = x
2+ 2
√
3 −√y + 2 (2) (x, y ∈ R ) Hướng dẫn :
• Dễ thấy x 6= 0 và y 6= 1, (1) ⇔
√
y + 2
y + 1 =
px2− y
x Chọn a =
√
y + 2; b =px2− y, ta có
√
y + 2
y + 1 =
px2− y
x2+ 2 (y + 1)√
y + 2 + xpx2− y
2+ 2 (y + 1)√
y + 2 + xpx2− y =
√ 3
• Vậy √y + 2 =√3(y + 1)
px2− y =√3x ⇔
y = 1
6(
√
13 − 5)
x = 1 2
r 1
3 5 −
√
13
Ví dụ 2 Giải hệ phương trình
x3+ 2x2y = (2x + 1)√
2x + y (1) 2x3+ 2y√
2x + y = 2y2+ xy + 3x + 1 (2) (x, y ∈ R ) Hướng dẫn :
• (1) ⇔ (x + 2y)√
y + 2x =
(2x + 1)
x2 , chọn a = y; b = x + 1, ta có y(x + 2y)
y√
y + 2x =
(2x + 1)(x + 1)
x2(x + 1) =
2x2+ 2y2+ xy + 3x + 1
y√ 2x + y + x3+ 2 .
• Từ (2) ⇔ 2x
2+ 2y2+ xy + 3x + 1
y√ 2x + y + x3+ 2 = 2.
• Vậy √(x + 2y)
y + 2x =
(2x + 1)
x2 = 2, suy ra (x, y) = 1
2(1 −
√ 3); ?
; 1
2(1 +
√ 3); ?
Ví dụ 3 Giải hệ phương trình
(x + 3)√x + y + 5 − (y + 1)√
x + 11 = xy − 3 (1) 3y√
x + y + 5 + x√
x + 11 = x2+ 6y2 + 6x + 3y (2) (x, y ∈ R ) Hướng dẫn :
• (1) ⇔
√
x + y + 5 + 1
√
x + 11 + x
x + 3 , chọn a = 3y; b = x, ta có
√
x + y + 5 + 1
√
x + 11 + x
x + 3 =
3y√
x + y + 5 + 3y + x√
x + 11 + x2
3y2+ x2+ 3x + 3y .
Trang 3• Từ (2) ⇔ 3y
√
x + y + 5 + 3y + x√
x + 11 + x2 3y2+ x2+ 3x + 3y = 2.
• Vậy
√
x + y + 5 + 1
√
x + 11 + x
x + 3 = 2, suy ra (x, y) =
1
2(
√
21 − 11); ?
Ví dụ 4.Giải hệ phương trình
8x6+ 12x4+ 30x2+ 71x + y + 57 = 0 (1) 2x3+ 4x2+ 1 = (x + 1)(√3
x − y − 1) (2) (x, y ∈ R ) Hướng dẫn :
• (2) ⇔ (2x2+ 1)(x + 2) = (x + 1)√3
x − y ⇔ 2x
2+ 1
x + 1 =
3
√
x − y
x + 2 , chọn n = 3; a = 1; b = −1, ta có
2x2+ 1
x + 1
3
=
√3
x − y
x + 2
3
= (2x
2+ 1)3− x + y (x + 1)3− (x + 2)3
• Từ (1) ⇔ (2x
2+ 1)3− x + y (x + 1)3− (x + 2)3 = 8
• Vậy 2x
2+ 1
x + 1 =
3
√
x − y
x + 2 = 2.
B Bài tập
Câu 1 Giải hệ phương trình
x(√x + 1 − 3√
y − x − 1) = 3(x2+ y√
x + 1) (1) 9x2− 6xy + 9y2 = 2x√
y − x − 1 + y (2) (x, y ∈ R )
Câu 2 Giải hệ phương trình
x(√x + 1 +√
y + 1) =p(x + 1)(y + 1) (1) x(3√
y + 1 − 2√
x + 1) = 2x2+ y − x (2) (x, y ∈ R )
Câu 3
x3(√
x + 2y −√
x + 1) +√
y(x − 6) = 6√
xy + y −pxy + 2y2 + 8x (1) 8(√
x + 1 + 1) = x2(√
Câu 4 Giải hệ phương trình
2y(√x − 1 + x) = x2 (1) 4x√
x − 1 + (2x − 5y)√
x + 1 = x2 (2) (x, y ∈ R ) Câu 5 Giải hệ phương trình
2y(√x − 1 + x) = x2 (1) 2x(2√
x − 1 + y) = x2+ 5y2 (2) (x, y ∈ R )
Trang 4Câu 6 Giải hệ phương trình
xy + x√x + 1 = 3y√
x + 2 (1)
6√
x2+ 5x + 6 + 2y√
x + 1 + 2x + 1 = x√
5x + 15 + y√
5x + 5 (2) (x, y ∈ R ) Câu 7 Giải hệ phương trình
xy + x√x + 1 = 3y√
x + 2 (1) 8x + 14 + 2y√
x + 1 = x√
5x + 10 + y√
5x + 5 (2) (x, y ∈ R )
* Phần 2 sẽ hướng dẫn các bạn một số kỹ thuật nhận dạng và xử lý dấu hiệu "dãy tỷ số" trong bài hệ phương trình
* Năm mới vui vẻ và hạnh phúc nhé !