Phương pháp tuyến tính hoá trong giải tích phi tuyến

LỜI NÓI ĐẦU Trong giải tích hàm, các phương trình với ánh xạ tuyến tính đã được nghiên cứu đầy đủ nhờ các lí thuyết của Fredholm, Riesz, Hilbert-Schmidt.. Chúng tìm được những ứng dụng r

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS TS Nguyễn Bích Huy

và TS Trần Đình Thanh vì đã giành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quí thầy cô Ban lãnh đạo và quí thầy cô Khoa Toán, phòng sau đại học, trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh vì sự giảng dạy nhiệt tình và những kiến thức quí báo mà các thầy đã truyền đạt cũng như luôn tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành luận văn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến cha mẹ, người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn!

Mục lục

LỜI NÓI ĐẦU 1

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1.1 Đạo hàm của ánh xạ 2

1.2 Ánh xạ Nemytscki 11

1.3 Đạo hàm bậc cao 14

Chương 2 ĐỊNH LÍ HÀM ẨN VÀ PHƯƠNG PHÁP LIÊN TỤC 20

2.1 Định lí hàm ẩn 20

2.2 Định lí hàm ngược Định lí ánh xạ mở 23

2.3 Phương pháp liên tục Định lí hàm ẩn toàn cục 27

Chương 3 PHÉP CHIẾU LYAPUNOV-SCHMIDT 32

3.1 Sự phân nhánh 32

3.2 Phép chiếu Lyapunov-Schmidt Định lí Crandale-Rabinowitz 35

3.3 Ứng dụng cho thanh dẻo Euler 40

Chương 4 ĐỊNH LÍ HÀM ẨN TRONG THANG KHÔNG GIAN 43

4.1 Bài toán về mẫu số nhỏ 43

4.2 Định lí hàm ẩn 48

KẾT LUẬN 54

LỜI NÓI ĐẦU

Trong giải tích hàm, các phương trình với ánh xạ tuyến tính đã được nghiên cứu đầy đủ nhờ các lí thuyết của Fredholm, Riesz, Hilbert-Schmidt Chúng tìm được những ứng dụng rộng rãi trong Vật lí, kinh tế,… Tuy nhiên, phần lớn các hiện tượng của tự nhiên và xã hội lại được mô tả bằng các phương trình với ánh xạ phi tuyến Để khảo sát các phương trình này, đã hình thành bộ môn giải tích phi tuyến với các phương pháp nghiên cứu khác nhau

Phương pháp tự nhiên nhất và được sử dụng sớm nhất để nghiên cứu các phương trình phi tuyến là phương pháp tuyến tính hóa Nội dung của phương pháp này là thay các phương trình phi tuyến bằng các phương trình tuyến tính gần với nó theo một nghĩa nào đó Tùy theo từng lớp phương trình phi tuyến và yêu cầu đặt ra khi nghiên cứu chúng mà cách chọn các phương trình phi tuyến tương ứng có thể khác nhau Do

đó các kĩ thuật trong phương pháp tuyến tính hóa cũng rất đa dạng

Luận văn giới thiệu một cách hệ thống và chi tiết phương pháp tuyến tính hóa trong nghiên cứu các phương trình phi tuyến với các kĩ thuật khác nhau như: sử dụng định lí hàm ẩn, định lí hàm ngược địa phương và toàn cục, phép chiếu Liapunov-Schmidt, phân nhánh địa phương và toàn cục, định lí hàm ẩn trong thang không gian,…

Luận văn gồm bốn chương:

Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị bao gồm các định nghĩa, tính chất của hàm khả vi Frechet và khả vi Gateaux, và mối liên hệ giữa chúng, định nghĩa không gian Sobolev, định nghĩa ánh xạ Nemytscki, định nghĩa hàm Caratheodory, định nghĩa đạo hàm bậc cao, công thức Taylor

Chương 2 giới thiệu định lí hàm ẩn, định lí hàm ngược, định lí ánh xạ mở phương pháp liên tục, định lí hàm ẩn toàn cục

Chương 3 trình bày phép chiếu Lyapunov-Schmidt, định lí Crandale-Rabinowitz

và các ứng dụng vào bài toán điểm phân nhánh

Chương 4 giới thiệu định lí hàm ẩn trong thang không gian và ứng dụng vào bài toán mẫu số nhỏ

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Đặt f x     A và gọi là đạo hàm Frechet ( hay F- đạo hàm ) của f tại x 0

Nếu f là F- khả vi tại mọi điểm x U và ánh xạ x f x    là ánh xạ từ U vào

Dựa vào định nghĩa ta có các kết quả sau:

1 Nếu f là F- khả vi tại x thì 0 f    x0 là duy nhất

2 Nếu f là F- khả vi tại x thì 0 f liên tục tại x 0

3 Giả sử U  X, V Y là các tập mở và f là F- khả vi tại x , và 0 g là F- khả vi tại f x  0 , và

U  V Z

Khi đó

g f   x0  gf x 0  f x0

Cho  0 ta được A B   0 Vậy A  B

2 Nếu f khả vi tại x0thì do f x0 L X Y , nên là liên tục Do đó từ (1.1) ta suy ra f liên tục tại x0

3 Theo giả thiết :

Theo định nghĩa ta có các kết quả sau:

1 Nếu f là G- khả vi tại x thì 0 df x h  0, là duy nhất

khả vi tại t 0, và   *  

0,

y df x h h A x h

y A x h A x h h

trong đó      x  0,1        0, M 0,    M ,    0 sao cho

(và không gian Holder m,  

C   ) được định nghĩa là không gian hàm bao gồm các hàm

m

C ( với liên tục  Holder, có đạo hàm riêng bậc m )

Chuẩn được định nghĩa như sau:

Giả sử r là số nguyên không âm, và  r*

1, ,

f F , với qui tắc

2

F x   x f x  Khi x,

Trong những ứng dụng nổi tiếng của Phương trình đạo hàm riêng về phép toán nhiều biến, không gian Sobolev được sử dụng rất thường xuyên Chúng ta nghiên cứu toán

tử phi tuyến tính được định nghĩa trên không gian Sobolev

Ta chứng minh nếu u là hàm đo được thì hàm x x u x,   đo được Thật vậy, tồn tại dãy hàm đơn giản u n x  sao cho u xn   u x  , theo (2) ta suy ra x u, n x 

đo được và từ (1) , ta có  x u x, n   x u x,   , do đó  x u x,    là đo được

p p

n r n





 (nếu n2, thì sự hạn chế là không cần thiết), khi đó hàm

i L   H  Theo định lí 1.2.3,  , : 22 22

Cho f U: Y x, 0 U X , nếu tồn tại một ánh xạ song tuyến tính f     x0   , của

thì f    x0 gọi là đạo hàm bậc hai của f tại x 0

Tương tự, định nghĩa đạo hàm bậc thứ m tại x : 0 f m  x0 :X   X Y là ánh xạ

m j

khi h  0 Khi đó f gọi là đạo hàm bậc m tại x 0

Tương tự cho các hàm vectơ hữu hạn chiều, ta có:

1 0 0

1

,

!1

!

m

j j

Chương 2 ĐỊNH LÍ HÀM ẨN VÀ PHƯƠNG PHÁP LIÊN TỤC

R x y   y f x y ,

Trong định lí 2.1.1, không gian X có thể được giả sử là không gian topo Thật sự, ánh

xạ tuyến tính và tính chất của chuẩn không được sử dụng

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử y0  và g y  0   Cho A  g    

Do A toàn ánh, nên  C 0 sao cho







Bây giờ,   x Br   ta tìm yB1  , thoả g y    x Đặt

   

R y  g y  Ay

Điều này tương đương với việc giải phương trình sau:

Ay   x R y   (2.7) Chúng ta giải phương trình này bằng dãy qui nạp

Đầu tiên, ta chọn h0  Giả sử chọn được h nB1  ; từ (2.6), ta có thể tìm h n1, thoả

Dãy h hội tụ về n y Rõ ràng y là nghiệm của (2.7)

Về cơ bản, định lí hàm ẩn là kết quả của định lí ánh xạ co Giả thiết liên tục của f y

trong định lí 1.2.3 là mạnh trong một vài ứng dụng Các điều kiện đã được giảm bớt trong định lí sau

Định lí 2.2.3

Cho X Y Z , , là không gian Banach, và cho Br    Y là quả cầu đóng tâm  bán kính r Giả sử T  L Y Z  ,  có ánh xạ ngược bị chặn, và :XB r Z thoả điều kiện Lipschits:

u x  T x u x  x X

Do đó, nếu  liên tục thì u liên tục

2.3 Phương pháp liên tục Định lí hàm ẩn toàn cục

Cho X Y , là không gian Banach, và f X: Y thuộc C1 Tìm nghiệm của phương trình:

 

f x   Cho t    0,1 và ánh xạ

 0,1 | sao cho F , = 

S  t t x  co ùnghieäm

(2) S là tập đóng Thông thường nó phụ thuộc vào việc ước lượng nghiệm cho tập

nghiệm xX| t S, sao cho F t x ,  

(b) Nếu  t S tồn tại duy nhất nghiệm địa phương x của phương trình t F t   ,   ,

và nếu tồn tạiC0sao cho

t X

x  C, trong đó x t là đạo hàm của x t, thì Slà tập đóng

  1

f x  A x B  x X , thì f là đồng phôi

trong đó

C I X  u C I X u u  Chúng ta cần giải T t u   ,  

Chương 3 PHÉP CHIẾU LYAPUNOV-SCHMIDT 3.1 Sự phân nhánh

Chúng ta thường gặp các phương trình với tham số:

  , 0

F x   Hiện tượng sau đây được nhận thấy: một nhánh nghiệm x    phụ thuộc vào , hoặc

là triệt tiêu hoặc là tách ra thành nhiều nhánh, khi  đạt tới những giá trị tới hạn Những loại hiện tượng này gọi là sự phân nhánh Ví dụ, phương trình đại số đơn giản:

(1) Điều kiện cần và đủ của điểm phân nhánh    , 0 là gì?

(2) Cấu trúc của S như thế nào gần   0 ?

(3) Cách tính nghiệm gần điểm phân nhánh?

(4) Cấu trúc toàn cục của S

ta nghiên cứu tính ổn định nghiệm trong S khi  gần 0

Trong phần này chúng ta tập trung thảo luận vấn đề (1) và (2)

Ta giả sử U  X là một lân cận mở của gốc  trong không gian Banach X , và

:

F U Y là liên tục, và thoả

  ,

F        Điều kiện cần cho điểm phân nhánh 0?

(1) Giả sử F xx  ,  là liên tục Nếu    , 0 là điểm phân nhánh, thì Fx   , 0

không có ánh xạ ngược bị chặn

Chứng minh Dựa vào định lí ánh xạ ngược

(2) Giả sử

F x   Lx   x N x   , trong đó   1

(3) Điều kiện trên là không phải là điều kiện đủ Ví dụ, cho X  2, đặt

u x v

Rõ ràng, Fx     ,   1   Id  1 là giá trị riêng, nhưng     , không là điểm phân nhánh, vì:

Cho X Y , là không gian Banach, và cho  là không gian topo Giả sử F U:   Y

là liên tục, trong đó U  X là lân cận của  Ta giả sử Fx   , 0là ánh xạ Fredholm, nghĩa là

(1) ImFx   , 0 là đóng trong Y,

(2) d  dimker Fx   , 0  ,

0dim Im x ,

1 2:

Phần còn lại là giải phương trình:

x   X F   Hai kết luận sau được suy ra từ công thức Taylor Tiếp theo chúng ta xét trường hợp d d*1

Chứng minh

Phân tích không gian X và Y theo phép chiếu Lyapunov-Schmidt, và sau đó viết

phương trình phép chiếu Theo giả thiết,

Bây giờ ta cần kiểm tra 1 

hC B với mọi   0, trong đó

s

s s

2 khi 0

3.3 Ứng dụng cho thanh dẻo Euler

Chúng ta nghiên cứu bài toán:

là một ánh xạ liên tục thoả F      ,  Theo điều kiện cần, nếu     , là điểm phân nhánh, thì  là giá trị riêng của ánh xạ tuyến tính

C  s  s    Z , trong đó Z là không gian phần n

bù của không gian  cos nt , thoả

Chương 4 ĐỊNH LÍ HÀM ẨN TRONG THANG KHÔNG

GIAN 4.1 Bài toán về mẫu số nhỏ

Cho f giải tích trong lân cận của , với f   0  0 và f    0   , tìm u giải tích trong lân cận của  với u   0  0 và u    0  1, thoả

 

f u z u z (4.1) Đặt

e

p j j

p j

j b

j b

 

1 ˆ

2 1 2

ˆ

,

j j

r z r j

j v

j j

v z v

C v

trong đó C  C v r   , là hằng số

Do việc giảm bán kính hội tụ nên ta không thể áp dụng dãy lặp như trong định lí hàm

ẩn thông thường Ta sẽ áp dụng dãy lặp theo phương pháp Newton như sau

trong X, tương tự cho B r y Cho    : r Z    (0,1] trong C1,    x y ,  

, và thoả các điều kiện:

Chứng minh

Ta chọn dãy

 1 2  , 0,1,2, , 2

Trước tiên , ta chứng minh  3 , Thật vậy, từ (4.8) và giả thiết (2),

2 2

1 1

k

q   ,

và n1 q n k, n Do đó

Cuối cùng, ta kiểm tra  1  Từ

0 2 0,

Định lí 4.2.2

Giả sử  thuộc kiểu   b v , , b  0, v  2 Cho  e 2 i  Nếu f z z f zˆ  là hàm giải tích trên z  1, với fˆ 0  fˆ 0 0, thì tồn tại  , r0   0,1 , và một hàm giải tích u trên

30 

4 1

r z

Luận văn có thể là một tài liệu tham khảo cho học viên cao học khi học chuyên

đề giải tích phi tuyến

Luận văn mới chủ yếu xét các vấn đề mang tính lí thuyết và một số ví dụ đơn giản Có nhiều lĩnh vực của Toán học trong đó có thể áp dụng phương pháp tuyến tính hoá mà do hạn chế về kiến thức và thời gian mà tác giả chưa thể trình bày Tác giả hi vọng sẽ có thể nghiên cứu các vấn đề này trong tương lai

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Đậu Thế Cấp, Giải Tích Hàm, NXB Giáo dục Việt Nam, 2009

2 Haim Brezis, Giải tích hàm lý thuyết và ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí

Minh, 2002

3 Hoàng Tụy, Lý thuyết hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia

4 K.C.Chang, Methods in Nonlinear Analysis, Springer, 2003, 1-62

5 K.Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Springer, 1985