ỨNG DỤNG BUỒNG CỘNG HƯỞNG TINH THỂ QUANG tử TRONG hệ DAO ĐỘNG QUANG điện tử

Tinh thể quang tử được hiểu là sự sắp xếp tuần hoàn của vật liệu có hằng số điện môi khác nhau trong không gian, trong đó hằng số điện môi được biến đổi tuần hoàn trên một phạm vi chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

*******************************

Tp Hồ Chí Minh – năm 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Chuyên ngành: Vật lý đại cương

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGÔ THỊ PHƯƠNG

*******************************

Tp Hồ Chí Minh – năm 2015

LỜI CÁM ƠN

Đầu tiên, em xin được gửi lời cám ơn tới quý thầy cô, các anh/chị và các bạn trong trường ĐH Sư Phạm tp.HCM nói chung và khoa Vật Lý nói riêng đã tận tình dạy dỗ, định hướng, tạo điều kiện thuận lợi cho em học tập và nghiên cứu trong suốt bốn năm học vừa qua

Và đặc biệt, em xin chân thành cám ơn cô giáo – Tiến Sĩ Ngô Thị Phương – giảng viên khoa Vật Lý trường ĐH Sư Phạm tp.HCM đã tận tình hướng dẫn, quan tâm sâu sắc,

và giúp đỡ nhiệt tình trong suốt quá trình em thực hiện khóa luận tốt nghiệp này

Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến chị Nguyễn Thị Ngân Hà đã hỗ trợ và giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp

Cuối cùng, em xin gửi lời cám ơn đến gia đình là nguồn động viên to lớn trong suốt quá trình em học tập tại trường

Tuy đã rất cố gắng nhưng do kiến thức còn hạn hẹp nên khóa luận tốt nghiệp không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế Kính mong nhận được sự góp ý, sửa chữa của thầy cô và các bạn

Tp Hồ Chí minh, ngày 21 tháng 4 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị Ánh Nguyệt

MỤC LỤC

LỜI CÁM ƠN i

MỤC LỤC ii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT v

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ vi

DANH MỤC CÁC BẢNG viii

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 : GIỚI THIỆU VỀ TTQT VÀ HỆ DAO ĐỘNG QUANG ĐIỆN TỬ 4

1.1 Sự ra đời của tinh thể quang tử 4

1.2 Định nghĩa và phân loại 5

1.2.1 Định nghĩa 5

1.2.2 Phân loại 5

1.2.2.1 Tinh thể quang tử một chiều 5

1.2.2.2 Tinh thể quang tử hai chiều 6

1.2.2.3 Tinh thể quang tử ba chiều 7

1.3 Các đại lượng và thông số đặc trưng cho tinh thể quang tử 7

1.3.1 Vùng cấm quang tử 8

1.3.1.1 Định nghĩa 8

1.3.1.2 Nguồn gốc của vùng cấm quang tử 8

1.3.2 Hệ số Q 9

1.3.3 Thể tích mode 10

1.3.4 Hệ số Purcell 10

1.4 Sai hỏng trong tinh thể quang tử 10

1.4.1 Sai hỏng điểm 11

1.4.2 Sai hỏng đường 11

1.5 Ứng dụng 12

1.5.1 Một số ứng dụng quan trọng của tinh thể quang tử 12

1.5.2 Ứng dụng của tinh thể quang tử trong hệ dao động quang điện tử 13

1.5.2.1 Giới thiệu về hệ dao động quang điện tử 13

1.5.2.2 Cấu tạo của hệ dao động quang điện tử 14

1.5.2.3 Hoạt động của hệ dao động quang điện tử 15

CHƯƠNG 2 : PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN VÀ PHẦN MỀM MÔ PHỎNG TINH

THỂ QUANG TỬ 17

2.1 Phương pháp mở rộng sóng phẳng (PWE) 17

2.2 Phương pháp sai phân hữu hạn trong miền thời gian (FDTD) 18

2.3 Phần mềm mô phỏng MPB 21

2.3.1 Giới thiệu 21

2.3.2 Các bước tính toán 21

2.3.2.1 Bước 1: Tạo file ctl 21

2.3.2.2 Bước 2: Chạy chương trình 25

2.4 Phần mềm mô phỏng MEEP 26

2.4.1 Giới thiệu 26

2.4.2 Các bước tính toán 26

2.4.2.1 Bước 1: Tạo file ctl 26

2.4.2.2 Bước 2: Chạy chương trình mô phỏng 30

CHƯƠNG 3 : MÔ PHỎNG TÍNH CHẤT QUANG HỌC CỦATINH THỂ QUANG TỬ CẤU TRÚC SAI HỎNG H2 32

3.1 Các thông số mạng 33

3.1.2 Hằng số mạng a 33

3.1.3 Bán kính r 33

3.1.4 Hằng số điện môi ε 33

3.1.5 Vector cơ sở của mạng 33

3.2 Tinh thể quang tử không sai hỏng 33

3.2.1 Các thông số mạng sử dụng trong quá trình mô phỏng 33

3.2.2 Chương trình tính toán 33

3.2.3 Cấu trúc vùng 35

3.2.3.1 Cấu trúc vùng TE 35

3.2.3.2 Cấu trúc vùng TM 35

3.2.4 Mối quan hệ giữa vùng cấm và bán kính lỗ khí 36

3.3 Tinh thể quang tử sai hỏng H2 37

3.3.2 Cấu trúc vùng 38

3.3.3 Mối quan hệ giữa vùng cấm và bán kính lỗ khí 39

3.3.5 Phổ truyền qua của tinh thể quang tử sai hỏng H2 433.3.6 Khảo sát mode cộng hưởng Whispering Gallery 463.3.6.1 Giới thiệu mode cộng hưởng Whispering Gallery 463.3.6.2 Khảo sát tính chất mode cộng hưởng Whispering Gallery theo tỉ lệ r/a 493.3.6.3 Khảo sát giá trị hệ số chất lượng Q 50KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 55TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

FTDT Finite Difference Time Domain Sai phân hữu hạn trong miền thời gian MEEP MIT Electromagnetic Equation Propagation

MIT Massachusetts Institute of Technology

MPB MIT Photonic Bands

OEO Opto Electronic Oscillator Hệ dao động quang điện tử

WGM Whispering Gallery Mode Mode cộng hưởng Whispering Gallery

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

Hình 1.1 Cấu trúc trên thân các loại côn trùng 4

Hình 1.2 Tinh thể quang tử 1D có cấu trúc các màng điện môi với hằng số điện môi tuần hoàn theo phương z Hằng số mạng là a, hai màu khác nhau thể hiện hai vật liệu với hằng số điện môi khác nhau [3] 5

Hình 1.3 Tinh thể quang tử 2D dạng cột (rod) [3] 6

Hình 1.4 Tinh thể quang tử 2D dạng lỗ (hole)[3] 6

Hình 1.5 Một số cấu trúc tinh thể quang tử 3D [3] 7

Hình 1.6 Ví dụ về vùng cấm của tinh thể quang tử [3] 8

Hình 1.7 Quá trình truyền sóng điện từ qua tinh thể quang tử 2D với các lỗ điện môi trên nền không khí [2] 8

Hình 1.8 Tinh thể quang tử sai hỏng điểm được tạo thành bằng cách lấy đi 7 lỗ khí trong cấu trúc tinh thể quang tử không sai hỏng 11

Hình 1.9 Tinh thể quang tử sai hỏng đường được tạo ra bằng cách lấy đi ba lỗ khí trong cấu trúc của tinh thể quang tử không sai hỏng 12

Hình 1.10Một số loại sợi tinh thể quang tử 12

Hình 1.11Sơ đồ cấu tạo hệ dao động quang điện tử [16] 14

Hình 1.12Sơ đồ cấu tạo đơn giản hóa hệ dao động quang điện tử [16] 14

Hình 1.13Hệ dao động quang điện tử đơn vòng [1] 15

Hình 1.14Hệ dao động quang điện tử đa vòng [1] 16

Hình 2.1 Ô Yee đơn vị phục vụ cho tính toán trường trong cấu trúc [7] 19

Hình 3.1 Cấu trúc tinh thể quang tử 2D mạng tam giác có cấu trúc sai hỏng H2 32

Hình 3.2 Cấu trúc tinh thể quang tử không sai hỏng 2D mạng tam giác 35

Hình 3.3 Cấu trúc vùng cho mode TE của tinh thể quang tử không sai hỏng 35

Hình 3.4 Cấu trúc vùng cho mode TM của tinh thể quang tử không sai hỏng 36

Hình 3.5 Đồ thị sự phụ thuộc độ rộng vùng cấm vào bán kính lỗ khí của tinh thể quang tử không sai hỏng 37

Hình 3.6 Cấu trúc tinh thể quang tử sai hỏng H2 38

Hình 3.7 Cấu trúc vùng cho mode TE của tinh thể quang tử sai hỏng H2 38

Hình 3.8 Đồ thị sự phụ thuộc độ rộng vùng cấm vào bán kính lỗ khí của tinh thể quang tử không sai hỏng 40

Hình 3.9Các mode cộng hưởng tại vị trí sai hỏng của tinh thể quang tử H2 41

Hình 3.10Tần số mode cộng hưởng trong tinh thể quang tử H2 43Hình 3.11Phổ truyền qua của tinh thể quang tử H2 46Hình 3.12Sóng âm trong nghiên cứu của Lord Rayleigh [6] 47Hình 3.13Mode Whispering Gallery của buồng cộng hưởng quang học dạng quả cầu

điện môi [4]…… 48Hình 3.14Một số phân bố điện từ trường dạng mode WG trong nghiên cứu tổng quát

[6] 48Hình 3.15Tần số ứng với mode WG theo tỉ lệ r/a của tinh thể quang tử sai hỏng H2 50Hình 3.16Hệ số Q phụ thuộc vào tỉ lệ r/a ứng với các giá trị tần số mode WG 53

DANH MỤC CÁC BẢNG

Chương 3

Bảng 3.1.Sự phụ thuộc của độ rộng vùng cấm vào bán kính lỗ khí của tinh thể quang tử

không sai hỏng 36

Bảng 3.2.Các tần số ánh sáng trong vùng cấm cho phép truyền qua tinh thể quang tử sai hỏng H2 39

Bảng 3.3.Sự phụ thuộc của độ rộng vùng cấm vào bán kính lỗ khí của tinh thể quang tử sai hỏng H2 39

Bảng 3.4 Các mode cộng hưởng trong tinh thể quang tử sai hỏng H2 ứng với tỉ lệ r/a=0.3 41

Bảng 3.5.Tần số mode cộng hưởng theo tỉ lệ r/a trong tinh thể quang tử sai hỏng 42

Bảng 3.6.Tần số ứng với mode WG theo tỉ lệ r/a của tinh thể quang tử sai hỏng H2 49

Bảng 3.7.Hệ số chất lượng Q ứng với mode WG của tinh thể quang tử sai hỏng H2 53

MỞ ĐẦU

Việc tìm ra và ứng dụng sóng điện từ trên nhiều lĩnh vực của đời sống và kỹ thuật đóng vai trò to lớn trong sự phát triển của nhân loại Từ việc nghiên cứu các thiên hà xa xôi, điều khiển tàu vũ trụ, truyền thanh, truyền hình, đến việc chữa bệnh, đun nấu bằng lò

vi sóng… tất cả đều có sự hiện diện của sóng điện từ Thang sóng điện từ trải dài tạo thành nhiều miền: từ miền sóng vô tuyến, miền hồng ngoại, miền ánh sáng nhìn thấy, tử ngoại, tia X, tia Gamma… mỗi miền đều có những ứng dụng riêng

Đối với miền sóng vô tuyến, sau ứng dụng đầu tiên thành công được triển khai từ đầu thế kỷ 20 – truyền thông tin bằng máy điện báo với tín hiệu Morse vượt Đại Tây Dương, miền sóng điện từ này đã được tập trung khai thác và có những ứng dụng hết sức quan trọng với đời sống con người như: phát thanh radio, truyền hình, công nghệ truyền dẫn không dây (bluetooth, wifi,…), radar, thiết bị định vị GPS, và vô số ứng dụng tiện ích khác Song song với sự phát triển của những ứng dụng ấy, nguồn phát sóng vô tuyến và tín hiệu vi sóng cũng được nghiên cứu và nâng cấp bằng nhiều công nghệ khác nhau: những thế hệ máy phát tín hiệu sóng vô tuyến từ cơ bản đến hiện đại lần lượt ra đời

Một trong những thiết bị đó là hệ dao động quang điện tử (OEO – Opto Electronic Oscillator) Hệ dao động quang điện tử là thiết bị có khả năng tạo ra các tín hiệu với tần

số siêu cao (hàng chục GHz) bằng cách chuyển đổi trực tiếp năng lượng từ một nguồn ánh sáng liên tục thành tín hiệu vô tuyến hay tín hiệu vi sóng theo yêu cầu với chất lượng tín hiệu tốt [16]

Chất lượng tín hiệu tạo ra từ hệ dao động này được xác định bởi hệ số chất lượng Q

là hệ số được đánh giá thông qua thời gian mà photon ánh sáng tồn tại trong bộ quang học của hệ, thời gian càng lớn, thì chất lượng của tín hiệu đầu ra càng cao [15] Trong việc cải thiện chất lượng hệ dao động quang điện tử, người ta quan tâm đến cả hai việc cải tiến phần điện và phần quang của hệ Mỗi phần có vai trò riêng Trong đó, bộ quang học được nghiên cứu rất nhiều về mặt thực nghiệm và lí thuyết Cụ thể là người ta hay dùng những dạng bộ quang học có cấu trúc dạng đĩa (microdisk), sợi quang học (optical fiber), vòng điện môi (dielectric ring)… Mục đích chính là tăng cường hệ số Q và giảm kích thước của

bộ quang học Điều này giúp chúng ta thu nhận những tín hiệu tốt, rõ nét khi sử dụng hệ dao động quang điện tử Trong một vài nghiên cứu gần đây, người ta đã khảo sát thực nghiệm dạng đĩa tròn CaF2, cải tiến Q bằng việc giảm tối thiểu sự gồ ghề bề mặt đĩa Dùng cấu trúc sợi quang học dạng vòng để làm tăng thời gian lưu trú của photon, đồng nghĩa với việc tăng hệ số Q Ngoài ra người ta còn sử dụng bó sợi quang học đa vòng nhằm làm tăng thời gian lưu trú và độ rộng phổ tín hiệu [1]

Yêu cầu của một bộ quang học chuẩn là có hệ số chất lượng Q lớn, thời gian dừng của photon lâu Với những tính chất đặc biệt của vật liệu tinh thể quang tử có sai hỏng về

cấu trúc, khóa luận đề xuất một cách tạo ra bộ quang học chất lượng cao sử dụng loại vật liệu này

Tinh thể quang tử được hiểu là sự sắp xếp tuần hoàn của vật liệu có hằng số điện môi khác nhau trong không gian, trong đó hằng số điện môi được biến đổi tuần hoàn trên

một phạm vi chiều dài tương đương với các bước sóng hoạt động Thuật ngữ “tinh thể”

được dùng để mô tả cấu trúc này do nó được hình thành từ sự sắp xếp tuần hoàn của các vật liệu điện môi, tương tự với sự sắp xếp tuần hoàn của các nguyên tử, phân tử trong một

tinh thể vật chất; còn thuật ngữ “quang tử” nêu bật lên tính chất của tinh thể quang tử là

cấu trúc có tác động đến phương thức lan truyền của photon trong khối vật liệu Tính chất đặc trưng của một cấu trúc tinh thể quang tử là khả năng tạo ra vùng cấm quang tử - vùng tần số mà ánh sáng không thể truyền qua [5]

Đối với cấu trúc tinh thể quang tử có sai hỏng cụ thể là sai hỏng H2 – sai hỏng được thực hiện bằng cách lấp 7 lỗ khí trong cấu trúc tinh thể quang tử không sai hỏng tương ứng, trong vùng cấm quang tử của tinh thể quang tử này sẽ xuất hiện một số tần số cộng hưởng cho phép ánh sáng truyền qua Sự xuất hiện của các tần số ấy khiến cấu trúc

có những tính chất vô cùng đặc biệt Khi ánh sáng truyền đến với tần số bằng tần số cộng hưởng, thì photon ánh sáng sẽ bị giam giữ tại vị trí sai hỏng – tạo nên các mode cộng hưởng làm cho cường độ ánh sáng tại vị trí này được khuếch đại lên nhiều lần cho đến khi

bị rò rỉ, hấp thụ, hay tán xạ [11] Thời gian phân rã năng lượng photon τ liên quan trực tiếp đến hệ số chất lượng hay hệ số Q

Để đạt được hệ số chất lượng Q cao nhất, trong quá trình khảo sát ứng dụng tinh thể quang tử sai hỏng vào hệ dao động quang điện tử như một buồng cộng hưởng, ta chú ý đến mode cộng hưởng Whispering Gallery là dạng phân bố điện từ trường truyền liên tục, khép kín trong phạm vi của vị trí sai hỏng nhờ hiện tượng phản xạ toàn phần của ánh sáng,

có sự khuếch đại năng lượng lớn và thời gian lưu trữ photon kéo dài hơn so với các mode cộng hưởng khác [6]

Vì vậy bài toán cụ thể của khóa luận là khảo sát tính chất quang học của tinh thể quang tử sai hỏng H2 nhằm nghiên cứu tính thực tế của việc ứng dụng tinh thể quang tử sai hỏng H2 vào một hệ dao động quang điện tử

Do tính chất hạn chế về thực nghiệm, nội dung nghiên cứu của khóa luận sẽ tập trung vào việc khảo sát tính chất của vật liệu tinh thể quang tử ở mảng lý thuyết và mô phỏng, từ đó xem xét khả năng ứng dụng của tinh thể quang tử vào hệ dao động quang điện tử Cụ thể là hệ thống khái niệm cơ bản, tính chất đặc trưng của tính thể quang tử và những ứng dụng quan trọng của vật liệu này Sử dụng phần mềm chuyên dụng để mô phỏng tính chất của loại vật liệu với mô hình cấu trúc cụ thể

Mục đích cần đạt được của khóa luận bao gồm những vấn đề chính sau đây:

 Hệ thống lại các khái niệm, những đặc trưng cơ bản cũng như những ứng dụng quan trọng của tinh thể quang tử, đặc biệt là ứng dụng hệ dao động quang điện tử

 Sử dụng thành thạo những phần mềm tính toán, mô phỏng chuyên dụng cho tinh thể quang tử

 Khảo sát tính chất quang học của cấu trúc mạng tinh thể không sai hỏng

 Khảo sát tính chất quang học của cấu trúc mạng tinh thể sai hỏng H2

 Sản phẩm tính toán: chương trình tính toán mô phỏng sai hỏng H2

Do đó, nội dung công việc được chia thành 3 phần chính được tóm tắt như sau:

Chương 1: Giới thiệu về tinh thể quang tử và hệ dao động quang điện tử

Chương này sẽ giới thiệu sơ lược về các khái niệm, các vần đề cơ bản liên quan đến tinh thể quang tử Những đặc tính chính của vật liệu quang tử và các dạng sai hỏng sẽ được trình bày Chương 1 cũng giới thiệu sơ lược về hoạt động và ứng dụng của hệ dao động quang điện tử

Chương 2: Phương pháp tính toán và phần mềm mô phỏng

Các phương pháp tính toán và phần mềm mô phỏng được sử dụng trong khóa luận

sẽ được trình bày chi tiết và cụ thể ở chương này

Chương 3: Mô phỏng tính chất quang học của tinh thể quang tử cấu trúc sai hỏng H2

Phần này tác giả sẽ trình bày các kết quả khảo sát về cấu trúc vùng, tần số cộng hưởng, độ truyền qua cấu trúc T, mode cộng hưởng Whispering Gallery và hệ số chất lượng Q tương ứng của tinh thể quang tử 2D mạng tam giác cấu trúc sai hỏng H2

CHƯƠNG 1

GIỚI THIỆU VỀ TINH THỂ QUANG TỬ

VÀ

HỆ DAO ĐỘNG QUANG ĐIỆN TỬ

Năm 1887, trong quá trình thực hiện những thí nghiệm với cấu trúc màng đa lớp có

sự tuần hoàn của điện môi, nhà bác học người Mỹ Lord Rayleigh đã đưa ra những khái niệm ban đầu về vùng cấm quang tử – vùng tần số mà ánh sáng không truyền qua được trong một cấu trúc vật liệu Khái niệm này đã mở ra một hướng đi mới cho vật lý trong việc nghiên cứu ánh sáng hay sóng điện từ – khả năng điều khiển và giam giữ chúng

Một thế kỷ sau, năm 1987, khái niệm về một vật liệu có vùng cấm quang tử - tinh thể quang tử chính thức ra đời Hai công trình khoa học đánh dấu sự ra đời của loại vật liệu đặc biệt này chính là công trình của E Yablonovitch và S John được độc lập công bố trên tạp chí Physical Review Letters: tác giả đầu tiên E Yablonovitch trong công trình khoa học của mình đã đề cập đến “khả năng giam hãm của bức xạ sóng điện từ trong cấu trúc không gian ba chiều” và sự xuất hiện của vùng cấm quang tử, tác giả thứ hai - nhà khoa học S John nói về “sự tồn tại của các sai hỏng trong cấu trúc mạng tuần hoàn có thể tạo ra những trạng thái trong vùng cấm quang tử” [5]

Sau khi khái niệm tinh thể quang tử ra đời trong lý thuyết, những mẫu tinh thể quang tử trong thực tế cũng lần lượt được biết đến, đó là: những mẫu tinh thể quang tử có sẵn trong tự nhiên: ví dụ cấu trúc của cánh bướm và các loại côn trùng – cấu trúc có khả năng tạo ra sóng giao thoa thay đổi theo hướng truyền sáng dẫn đến hệ màu sắc lộng lẫy của các loại bướm và côn trùng trên, những mẫu tinh thể quang tử trong phòng thí nghiệm phục vụ các nghiên cứu về tinh thể quang tử và ứng dụng của nó

Hình 1.1 Cấu trúc trên thân các loại côn trùng

Năm 1991, mẫu tinh thể quang tử đầu tiên được chế tạo Khi khảo sát tính chất quang học, người ta thu được một dải tần số không cho ánh sáng truyền qua – vùng cấm

quang tử; điều này đã chứng minh cho sự đúng đắn của những lý thuyết được nghiên cứu trước đó, đồng thời mở ra một giai đoạn mới, giai đoạn mà tinh thể quang tử trở thành đề tại được nghiên cứu rộng rãi cả về thực nghiệm và lý thuyết

1.2.1 Định nghĩa

Tinh thể quang tử được hiểu là sự sắp xếp tuần hoàn của vật liệu có hằng số điện môi khác nhau trong không gian Trong đó hằng số điện môi được biến đổi tuần hoàn trên một phạm vi chiều dài tương đương với các bước sóng hoạt động tương ứng Thuật ngữ

“tinh thể” được dùng để mô tả cấu trúc này do nó được hình thành từ sự sắp xếp tuần hoàn của các vật liệu điện môi tương tự với sự sắp xếp tuần hoàn của các nguyên tử, phân tử trong một tinh thể vật chất, còn thuật ngữ “quang tử” nêu bật lên tính chất của tinh thể quang tử là cấu trúc có tác động đến phương thức lan truyền của photon trong khối vật liệu [5]

1.2.2 Phân loại

Dựa vào cấu trúc của tinh thể quang tử ta có thể phân tinh thể quang tử thành ba loại chính: tinh thể quang tử một chiều (1D), tinh thể quang tử hai chiều (2D), tinh thể quang tử ba chiều (3D) Cụ thể như sau:

1.2.2.1 Tinh thể quang tử một chiều

Tinh thể quang tử một chiều (1D) là màng điện môi đa lớp bao gồm hai loại màng điện môi (có hằng số điện môi khác nhau) sắp xếp xen kẽ nhau trong không gian tuần hoàn theo một phương nhất định [3]

Tinh thể quang tử này luôn luôn có vùng cấm xuất hiện, vùng cấm được mở ra ngay khi có sự khác biệt hằng số điện môi giữa hai màng điện môi khác nhau Độ rộng cùa vùng cấm tùy thuộc vào độ chênh lệch giữa hằng số điện môi của hai màng tương ứng

Hình 1.2 Tinh thể quang tử 1D có cấu trúc các màng điện môi với hằng số điện môi

tuần hoàn theo phương z Hằng số mạng là a, hai màu khác nhau thể hiện hai vật

liệu với hằng số điện môi khác nhau [3]

1.2.2.2 Tinh thể quang tử hai chiều

Tinh thể quang tử hai chiều (2D) là cấu trúc tinh thể có sự thay đổi hằng số điện môi tuần hoàn theo hai phương nhất định và đồng nhất theo phương còn lại [3]

Tinh thể quang tử 2D có một số cấu trúc với dạng tuần hoàn khác nhau, nhưng điển hình là dạng cột (rod) và lỗ (hole)

Tinh thể quang tử 2D dạng cột (rod) bao gồm các cột vật liệu có hằng số điện môi ɛ

có bán kính tiết diện r và có chiều cao vô hạn sắp xếp tuần hoàn trên nền không khí Tinh thể quang tử 2D dạng này có sự sắp xếp tuần hoàn về cấu trúc điện môi trên phương xy và đồng nhất trên phương z

Hình 1.3 Tinh thể quang tử 2D dạng cột (rod) [3]

Tinh thể quang tử 2D dạng lỗ (hole) bao gồm các cột không khí có bán kính r chiều cao vô hạn trên nền vật liệu có hằng số điện môi ɛ Tinh thể quang tử 2D dạng này cũng

có sự sắp xếp tuần hoàn về cấu trúc điện môi trên phương xy và đồng nhất trên phương z

Hình 1.4 Tinh thể quang tử 2D dạng lỗ (hole)[3]

Trong cấu trúc tinh thể quang tử 2D, ta quan tâm đến hướng nghiên cứu theo phương x và y, do sự tuần hoàn và đối xứng rời rạc của tinh thể 2D trong mặt xy, mode điện từ bị phân tách thành 2 phân cực cơ bản: TM (Transverse Magnetic) và TE (Transverse Electric) khi tương tác với tinh thể 2D

Tính chất phân cực của hai mode TM và TE là khác nhau dẫn đến cấu trúc vùng cho hai mode này cũng khác nhau Tùy vào loại cấu trúc, chúng ta có thể thu được vùng cấm cho từng phân cực (vùng cấm riêng cho TE và TM) hoặc vùng cấm kết hợp cả hai mode (vùng cấm hoàn toàn) [3]

1.2.2.3 Tinh thể quang tử ba chiều

Tinh thể quang tử ba chiều (3D) là cấu trúc tinh thể quang tử có sự thay đổi hằng số điện môi theo cả ba chiều [3]

Hình 1.5 Một số cấu trúc tinh thể quang tử 3D [3]

a) Cấu trúc được đề nghị bởi Yabnovite (1991)

b) Cấu trúc woodpile được đề nghị bởi Ho và các cộng sự (1994)

c) Cấu trúc tinh thể tổ hợp của tinh thể quang tử 2D dạng cột và dạng lỗ

d) Cấu trúc được đề nghị bởi Vlasov (2001)

Tinh thể quang tử 3D có thể tạo nên các vùng cấm hoàn toàn, có khả năng cản trở ánh sáng theo ba chiều, điều khiển ánh sáng tốt hơn tinh thể quang tử 2D

Tinh thể quang tử 3D có nhiều tính chất ưu việt hơn so với tinh thể quang tử 2D và 1D, song việc tạo ra tinh thể quang tử 3D để phục vụ các ứng dụng thực tế thì còn gặp nhiều khó khăn

Để khảo sát tính chất của một tinh thể quang tử ta dựa vào các đại lượng và thông

số đặc trưng sau: vùng cấm quang tử, hệ số chất lượng Q, thể tích mode cộng hưởng V và

hệ số Purcell (hệ số P)

Hình 1.6 Ví dụ về vùng cấm của tinh thể quang tử [3]

Độ rộng của vùng cấm quang tử (độ rộng của dải tần số không thể lan truyền qua cấu trúc) đối với một tinh thể quang tử phụ thuộc vào nhiều yếu tố: điện môi của vật liệu cấu tạo nên tinh thể quang tử, hằng số mạng tinh thể, kích thước lỗ khí…

1.3.1.2 Nguồn gốc của vùng cấm quang tử

Nguồn gốc hình thành vùng cấm quang tử, dựa trên quan điểm quang học sóng ta

có thể giải thích nguồn gốc này hình thành do sự tổng hợp sóng điện từ được truyền đến tinh thể quang tử và sóng phản xạ từ tinh thể

Hình 1.7 Quá trình truyền sóng điện từ qua tinh thể quang tử 2D với các lỗ điện môi

trên nền không khí [2]

Khi sóng điện từ truyền đến tinh thể quang tử 2D, sóng điện từ sẽ tương tác với cấu trúc (các vị trí có sự chênh lệch hằng số điện môi) để hình thành các sóng phản xạ

Sóng phản xạ này có thể lệch pha nhau dẫn đến sự triệt tiêu của sóng phản xạ trong cấu trúc và không gây ảnh hưởng gì đến sóng tới Sóng điện từ truyền đến có thể lan truyền qua khối tinh thể quang tử

Nhưng sóng phản xạ này cũng có thể cùng pha nhau dẫn đến sự tăng cường của sóng phản xạ mà sóng này ngược pha với sóng tới, dẫn đến sự triệt tiêu của sóng tới, sóng tới không thể truyền qua được tinh thể quang tử

Tùy thuộc vào tần số của sóng điện từ truyền đến mà sóng điện từ có thể bị triệt tiêu hay có thể truyền qua tinh thể quang tử Tập hợp những tần số sóng điện từ không thể truyền qua tinh thể quang tử tạo nên vùng cấm quang tử của một cấu trúc tinh thể quang tử [2]

1.3.2 Hệ số Q

Tại vị trí cộng hưởng, photon ánh sáng bị giam giữ cho đến khi chúng bị rò rỉ, hấp thụ, hay tán xạ Thời gian phân rã năng lượng photon τ liên quan trực tiếp đến hệ số chất lượng hay hệ số Q Chúng ta có hai cách thường được sử dụng để tính toán hệ số Q của một mode cộng hưởng

Cách tính toán thứ nhất là đo hệ số góc của đồ thị phân rã năng lượng theo hàm mũ của mode cộng hưởng [8]

( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] (1.1) Trong đó U là năng lượng tại mode cộng hưởng và liên hệ với thời gian sống của photon trong mode cộng hưởng τph với tần số góc w0 của mode cộng hưởng được thể hiện qua công thức:

Cách tính toán này rất hữu hiệu cho các mode có hệ số Q thấp Tuy nhiên, với những mode có hệ số Q cao, hệ số góc gần như bằng 0, cách tính toán khác sẽ được sử dụng

Cách tính toán thứ hai, ta lấy năng lượng lưu trữ trong mode cộng hưởng U(t) chia cho năng lượng được hấp thụ ở vùng biên P(t) sẽ xác định được giá trị hệ số Q của mode cộng hưởng [8]:

Đối với các mode cộng hưởng khác nhau, ta thấy có sự sai khác nhỏ giữa hai cách tính toán này Vì vậy, tùy vào mục đích và yêu cầu tính toán cũng như tính chất của mode sai hỏng mà ta chọn lựa những cách tính toán hệ số Q cho phù hợp

có thể tích nhỏ thích hợp cho việc chế tạo laser tích hợp với độ đơn sắc và định hướng cao Mode có thể tích lớn hơn sẽ dễ dàng được ứng dụng trong các mạch quang điện tử, hệ dao động do có được giá trị hệ số Q cao hơn

1.3.4 Hệ số Purcell

Hệ số Purcell dùng để đánh giá khả năng tương tác ánh sáng vật chất trong một mode sai hỏng Hệ số này được xác định thông qua biểu thức [10]:

( ) (

Trong đó: λC là bước sóng tự do

nC là chiết suất vật liệu tại trường antinode rCCác sai hỏng có hệ số Q cao và thể tích tích mode Veff nhỏ sẽ tăng cường sự tương tác vật chất Vì vậy, khi nghiên cứu các tinh thể có sai hỏng người ta thường quan tâm đến việc nâng cao tỉ lệ Q/Veff, sao cho tỉ lệ này là lớn nhất [10]

Khi tinh thể quang tử có sai hỏng, cấu trúc vùng bị thay đổi Trong vùng cấm quang

tử lúc này sẽ xuất hiện những tần số cho phép ánh sáng truyền qua Sự xuất hiện của các tần số ấy khiến cho tinh thể quang tử có những tính chất vô cùng đặc biệt: khả năng chọn lọc, giam giữ ánh sáng, khả năng dẫn truyền và khuếch đại ánh sáng Chính vì vậy, tinh thể quang tử có sai hỏng được quan tâm nghiên cứu và ứng dụng nhiều hơn trong thực tế Trong tinh thể quang tử ta thường tạo ra hai loại sai hỏng chính:

1.4.1 Sai hỏng điểm

Sai hỏng điểm là sai hỏng đơn giản nhất mà ta có thể tạo ra với một cấu trúc tinh thể quang tử, chỉ bằng cách làm sai lệch đi ít nhất một đối tượng ở vị trí xác định trong cấu trúc tuần hoàn Đối tượng ấy có thể bị bỏ đi, bị thay đổi kích thước, hay thay đổi hằng số điện môi của vật liệu làm nên chúng…[11] Hình 1.8 là một ví dụ tinh thể quang tử có sai hỏng điểm H2 khi bị lấp đầy một số lỗ khí so với tinh thể quang tử không sai hỏng

Khi có sai hỏng điểm ở trong cấu trúc tinh thể quang tử, mạng tinh thể mất đối xứng, làm cho sự phân bố điện từ trường trong nó thay đổi, dẫn đến xuất hiện mode điện

từ trường có cường độ lớn – mode cộng hưởng ứng với các tần số cho phép lan truyền ánh sáng trong vùng cấm Cụ thể là, khi tần số ánh sáng chiếu vào tinh thể quang tử thuộc vùng cấm, ánh sáng lúc này sẽ tập trung tại vị trí sai hỏng mà không thể truyền sang khác phần khác của cấu trúc, ánh sáng bị giam hãm và khuếch đại cường độ lên rất nhiều lần Chính vì vậy, ta có thể coi sai hỏng điểm như một buồng cộng hưởng giam giữ và khuếch đại ánh sáng với tần số có thể lựa chọn là yếu tố quan trọng trong việc ứng dụng tinh thể quang tử trong các thiết bị quang tử [11]

Hình 1.8 Tinh thể quang tử sai hỏng điểm được tạo thành bằng cách lấy đi 7 lỗ khí trong

cấu trúc tinh thể quang tử không sai hỏng

mà không thể xâm phạm các phần khác của cấu trúc, làm cho năng lượng tiêu hao rất ít, chính vì thế sai hỏng đường được ứng dụng trong ống dẫn sóng với ưu điểm hơn hẳn so với sợi đồng và sợi quang trước đây

Hình 1.9 Tinh thể quang tử sai hỏng đường được tạo ra bằng cách lấy đi ba lỗ khí trong

cấu trúc của tinh thể quang tử không sai hỏng

1.5.1 Một số ứng dụng quan trọng của tinh thể quang tử

Tinh thể quang tử đã và đang được phát triển với nhiều hướng ứng dụng hiệu quả như: sợi quang học, công nghệ laser, pin mặt trời, các mạch điện – quang, các thiết bị biến điệu, chọn và tách sóng điện từ…

Sợi quang học tinh thể quang tử được xem là ứng dụng nổi bật của tinh thể quang

tử Trước khi tinh thể quang tử được ứng dụng trong lĩnh vực này, thông tin được truyền tải bằng sợi đồng hay sợi cáp quang có cấu tạo từ thủy tinh – những cách truyền dẫn này đều kém hiệu quả và phức tạp, tốn kém Với đặc tính có khả năng định vị và dẫn truyền ánh sáng, tinh thể quang tử đã tăng đáng kể hiệu suất của quá trình truyền thông tin, giảm

sự mất mát năng lượng, tăng dung lượng truyền, mặt khác sợi quang học còn có kích thước nhỏ, chế tạo đơn giản và đỡ tốn kém hơn so với các vật liệu trước đây

Hình 1.10 Một số loại sợi tinh thể quang tử

a) Sợi dải cấm quang tử hình tổ ong

b) Sợi lõi nhiễu xạ Bragg

c) Sợi dải cấm quang tử lõi rắn mạng lục giác

d) Sợi lõi mạng lỗ trống rộng

Công nghệ Laser cũng là một trong những ứng dụng quan trọng của tinh thể quang

tử Nguyên tắc hoạt động của laser là hiện tượng phát xạ tự phát của các điện tử, chính vì vậy sự mất mát năng lượng là yếu tố không thể tránh khỏi Tinh thể quang tử sai hỏng điểm với khả năng định vị ánh sáng, tập trung năng lượng lớn có thể được sử dụng như một buồng cộng hưởng Buồng cộng hưởng này có vai trò như một bộ lọc trong laser có tính đơn sắc định hướng cao, làm giảm đáng kể sự mất mát năng lượng

Ngoài ra tinh thể quang tử còn được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác như nâng cao hiệu suất của pin mặt trời, diode phát quang, tích hợp các linh kiện quang học và linh kiện điện tử để tạo thành các mạch quang điện tử, các thiết bị được sử dụng trong quá trình truyền sóng điện từ… Những ứng dụng này đều đã được thương mại hóa ra thị trường và đạt hiệu quả cao

Trong những ứng dụng của tinh thể quang tử - vật liệu có khả năng định vị và lưu trữ, dẫn truyền ánh sáng thì những ứng dụng liên quan đến việc truyền dẫn ánh sáng – hay sóng điện từ cũng mang một tầm quan trọng nhất định Ứng dụng của tinh thể quang tử vào hệ dao động quang điện tử - thiết bị đóng vai trò quan trọng trong nhiều ngành khoa học – kỹ thuật: phần ứng dụng chính được đề cập đến trong khóa luận sẽ được trình bày rõ ràng và chi tiết hơn ngay sau đây

1.5.2 Ứng dụng của tinh thể quang tử trong hệ dao động quang điện tử

1.5.2.1 Giới thiệu về hệ dao động quang điện tử

Hệ dao động quang điện tử là thiết bị có khả năng tạo ra các tín hiệu với tần số siêu cao (hàng chục GHz) bằng cách chuyển đổi trực tiếp năng lượng từ một nguồn ánh sáng liên tục thành tín hiệu vô tuyến hay tín hiệu vi sóng theo yêu cầu với chất lượng tín hiệu tốt [16]

Hệ dao động quang điện tử lần đầu tiên được đề xuất bởi S Yao và L Makeli năm

1994, lúc này hệ dao động quang điện tử dùng một sợi quang học làm thành phần trễ đóng vai trò quyết định chất lượng của tín hiệu mà hệ tạo ra [15]

Chất lượng tín hiệu tạo ra từ hệ dao động này xác định bởi hệ số chất lượng Q là hệ

số được đánh giá thông qua thời gian mà photon ánh sáng tồn tại trong bộ quang học của

hệ, thời gian càng lớn, thì chất lượng của tín hiệu đầu ra càng cao

Hệ dao động quang điện tử với tần số hoạt động ổn định là thiết bị có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học – kỹ thuật Hệ dao động này được sử dụng trong kỹ thuật truyền thông tin liên lạc bằng sóng vô tuyến nhằm mục đích tạo ra sóng mang; đồng bộ hóa thiết bị; hệ dao động này còn được sử dụng nhiều trong kỹ thuật radar – định vị không gian, đo thời gian, đo đạc sự thay đổi của các hằng số vật lý…[9]

1.5.2.2 Cấu tạo của hệ dao động quang điện tử

Một hệ dao động quang điện tử có cấu tạo gồm hai phần chính [16], đó là:

Phần quang bao gồm các thành phần chính sau: nguồn laser phát năng lƣợng liên tục, bộ biến điệu cực nhạy, bộ quang học, bộ tách sóng quang và một cổng tín hiệu quang

Phần điện bao gồm các thành phần chính sau: thiết bị khuếch đại tín hiệu, thiết bị lọc tín hiệu (chọn lựa tín hiệu đầu ra), một cổng tín hiệu vô tuyến

Cấu tạo của hệ dao động quang điện tử đƣợc thể hiện ở hình 1.11

Hình 1.11 Sơ đồ cấu tạo hệ dao động quang điện tử [16]

Từ các bộ phận cấu tạo của hệ, ta có thể mô hình hóa đơn giản cấu tạo của hệ nhƣ hình 1.12

Hình 1.12 Sơ đồ cấu tạo đơn giản hóa hệ dao động quang điện tử [16]

Hệ dao động quang điện tử có thể đƣợc mô hình hóa đơn giản thành một dụng cụ

có sáu cổng: hai cổng tín hiệu quang, hai cổng tín hiệu điện và hai cổng điều chỉnh Hai cổng tín hiệu quang và hai cổng tín hiệu điện: một cổng là cổng tín hiệu ra (output), một cổng là cổng cung cấp tín hiệu để đồng bộ hóa từ một nguồn ở bên ngoài (injection), hai cổng điều khiển: một cổng điều khiển hoạt động của bộ biến điệu và một cổng giúp điều khiển hoạt động của bộ quang học

1.5.2.3 Hoạt động của hệ dao động quang điện tử

Hầu hết các hệ dao động quang điện tử đều sử dụng các đặc tính truyền dẫn của một bộ biến điệu quang học cùng với một bộ quang học để chuyển đổi ánh sáng thành tín hiệu vô tuyến hay tín hiệu vi sóng ổn định

Ánh sáng từ một nguồn laser được đưa vào bộ biến tín hiệu quang, một phần tín hiệu quang đi ra khỏi hệ ở cổng quang, một phần tiếp tục được chuyển đến bộ quang học, sau đó là bộ tách sóng, bộ khuếch đại tín hiệu, một phần tín hiệu được lấy ra ở cổng điện, một phần tín hiệu tiếp tục được lọc, sau đó sẽ đưa trở lại bộ biến điệu quang học trong chu kỳ mới

Chất lượng tín hiệu được tạo ra từ hệ dao động quang điện tử chịu nhiều yếu tố tác động, trong đó yếu tố đóng vai trò lớn là hoạt động của bộ quang học – thiết bị quyết định

hệ số chất lượng Q ảnh hưởng trực tiếp đến chất lượng phổ tín hiệu (độ nhiễu pha, khoảng cách giữa các giá trị tần số của các mode trong phổ tín hiệu)

Hình 1.13 Hệ dao động quang điện tử đơn vòng [1]

Hệ quang học đầu tiên ra đời với bộ quang học được sử dụng là một sợi quang học Trong đó, hệ số chất lượng Q tỉ lệ thuận với thời gian mà photon lan truyền trong sợi quang Q=2 , với thời gian truyền trong bộ quang học, tần số dao động,

c là tốc độ ánh sáng và n là chiết suất của chất làm sợi quang, L là chiều dài của sợi quang Bên cạch đó: khoảng cách giữa các giá trị tần số của các mode trong phổ tín hiệu được tính toán theo công thức =1/ = c/nL [14] Ta thấy, nếu giá trị của hệ số chất lượng Q cao thể hiện chất lượng tín hiệu tốt thì khoảng cách giữa các tín hiệu trong phổ tín hiệu sẽ nhỏ gây khó khăn trong hoạt động của bộ lọc tín hiệu

Hình 1.14 Hệ dao động quang điện tử đa vòng [1]

Chính vì vậy, sau đó, người ta tiến hành nghiên cứu và sử dụng mạch đa vòng với hai sợi quang làm hai nhiệm vụ khác nhau: tăng hệ số Q và tăng khoảng cách giữa các giá trị tần số trong phổ tín hiệu Nhưng với cả hai cuộn dây trên, hệ dao động quang điện tử hoạt động với chất lượng tốt xong kích thước quá lớn, và sự phụ thuộc vào nhiệt độ hoạt động còn cao nên không phù hợp cho việc tích hợp lên các mạch quang học

Hướng nghiên cứu tiếp theo được mở ra với những bộ cộng hưởng quang học siêu nhỏ thay thế cho những sợi quang học đã sử dụng trước đó: bộ cộng hưởng quang học đĩa điện môi, bộ cộng hưởng quang học vòng điện môi Các bộ cộng hưởng dạng đĩa và dạng vòng cấu tạo từ CaF2 và MgF2 có hệ số chất lượng Q tương đương nhau

Với yêu cầu của một bộ quang học đó hệ số chất lượng Q cao, tín hiệu rõ ràng, sắc nét Tinh thể quang tử sai hỏng là một cấu trúc có khả năng giam giữ ánh sáng trong một vùng không gian xác định – vùng sai hỏng, photon bị giam giữ ít bị rò rỉ, thời gian tồn tại của photon trong vùng bị giam giữ lớn, cường độ ánh sáng được khuếch đại lên nhiều lần tương đương với hệ số chất lượng Q cao Vì vậy, tinh thể quang tử sai hỏng là lựa chọn thích hợp để ứng dụng trong bộ quang học của hệ dao động quang điện tử Khóa luận này

sẽ khảo sát tính chất quang học của bộ cộng hưởng tinh thể quang tử sai hỏng trên nền vật liệu Silic với nhiều ưu điểm: vật liệu Si rẻ, dễ sử dụng, kích thước nhỏ, dễ tích hợp lên các mạch quang điện tử

Cụ thể hơn, tinh thể quang tử sai hỏng H2 là đối tượng nghiên cứu chính của đề tài Tác giả sẽ trình bày những khảo sát đầy đủ các tính chất cơ bản của cấu trúc này như là: cấu trúc vùng cấm quang tử, phân bố điện từ trường, phổ truyền qua, và định lượng hệ số chất lượng Q của mode cộng hưởng tại vị trí sai hỏng Tất cả kết quả sẽ được trình bày chi tiết ở chương 3 của khóa luận

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN

VÀ PHẦN MỀM MÔ PHỎNG TINH THỂ QUANG TỬ

Phương pháp mở rộng sóng phẳng [7] (Plane Wave Expansion – PWE) là phương pháp thông dụng nhất được sử dụng để tính toán cấu trúc vùng của một cấu trúc tuần hoàn nói chung và cấu trúc tinh thể quang tử nói riêng Thông qua việc giải hệ phương trình Maxwell trong miền tần số, phương pháp này giúp chúng ta xác định được dải tần số cho phép ánh sáng lan truyền trong tất cả các hướng của tinh thể và sự phân bố trường điện từ trong tinh thể quang tử

Hệ phương trình Maxwell đối với chất bán dẫn hay điện môi có dạng như sau:

⃗⃗⃗( ⃗ ) (2.1.1) [ ( ⃗) ⃗⃗( ⃗ )] (2.1.2)

⃗⃗( ⃗ ) ⃗⃗⃗( ⃗ )

(2.1.3) ⃗⃗⃗( ⃗ ) ( ⃗) ⃗⃗( ⃗ ) (2.1.4) Trong đó: là ⃗⃗( ⃗ ) vectơ cường độ điện trường và ⃗⃗⃗( ⃗ ) cường độ từ trường, ( ⃗) hằng số điện môi của môi trường phụ thuộc vị trí trong không gian mà ta xét, và lần lượt là hằng số điện môi và độ từ thẩm của chân không

Để đơn giản hệ phương trình trên, ta dùng kỹ thuật phân tích toán học nhằm tách mode điện trường và từ trường thành hai thành phần riêng rẽ phụ thuộc vào tọa độ và thời gian Hai thành phần có dạng cụ thể như sau:

⃗⃗⃗( ⃗ ) ⃗⃗⃗( ⃗) (2.2) ⃗⃗( ⃗ ) ⃗⃗( ⃗) (2.3) Thay vào hai phương trình (2.1.1) và (2.1.2) của hệ phương trình Maxwell trong môi trường điện môi, ta được:

⃗⃗⃗( ⃗) (2.4) [ ( ⃗) ⃗⃗( ⃗)] (2.5)

Thay vào hai phương trình còn lại:

⃗⃗( ⃗) ⃗⃗⃗( ⃗) (2.6) ⃗⃗⃗( ⃗) ⃗⃗( ⃗) (2.7)

Từ hai phương trình trên ta sẽ suy ra được phương trình truyền sóng trong môi trường điện môi có dạng như sau:

* ( ⃗) ⃗⃗⃗( ⃗)+ ⃗⃗⃗( ⃗) (2.8) Như ta đã biết, từ trường được sinh ra bởi điện trường hay sự biến thiên của điện trường, chính vì thế, nó mang thông tin của điện trường Nên trong tính toán, để đơn giản

ta sẽ giải phương trình truyền sóng chủ lực (2.8) để tìm được các mode ⃗⃗⃗( ⃗) và các tần

số tương ứng Sau đó ta sẽ tiếp tục xác định mode ⃗⃗( ⃗) theo công thức (2.9):

⃗⃗( ⃗)

( ⃗) ⃗⃗⃗ (2.9) Cách cơ bản để tính toán sự phân bố trường và tần số ứng với từng trường hợp là

mở rộng ba thành phần vectơ thích hợp trong chuỗi Fourier Chuỗi này sau đó được thay thế vào phương trình Maxwell tách riêng và những số hạng được tổ chức thành bài toán trị riêng thông thường Khi trị riêng được tính toán bằng các phương pháp số học thông thường, ta có thể dễ dàng dùng các trị riêng để tìm ra các tần số được phép lan truyền, và vec tơ riêng để tính toán sự phân bố trường

Ưu điểm: đây là phương pháp tính toán nhanh, chính xác cho phép ta xác định được vùng cấm quang tử, sự phân bố vùng với những tần số tương ứng trong cấu trúc điện môi tuần hoàn Ngoài tinh thể quang tử ra, ta còn có thể sử dụng phương pháp này trong việc nghiên cứu bất kỳ cấu trúc tinh thể nào, bao gồm cả những tinh thể bất thường

Nhược điểm: Kết quả tính toán từ phương pháp này không cho ta những nội dung

về sự tổn thất do tán xạ, truyền tải và phản xạ của ánh sáng tới Ngoài ra, phương pháp này không thể sử dụng để tính toán cấu trúc của những vật liệu có tính chất hoạt hóa

Phương pháp sai phân hữu hạn trong miền thời gian [7] (Finite Difference Time Domain – FTDT), do Kane Yee người Nhật đề xuất năm 1966, được vận dụng để giải quyết các vấn đề đa dạng liên quan đến sóng điện từ thông qua giải hệ phương trình Maxwell trực tiếp trong miền thời gian Phương pháp này là một trong những phương pháp được sử dụng phổ biến để tính toán sự phân bố trường điện từ trong cấu trúc tinh thể quang tử Nguyên tắc cơ bản nhất của phương pháp FDTD là điện trường được tính toán

ở một thời điểm trước, từ trường được tính toán ở thời điểm kế tiếp, và quá trình được lặp lại nhiều lần

Hệ phương trình Maxwell phụ thuộc vào thời gian dành cho môi trường điện môi

Hệ phương trình Mawell có thể rời rạc thành các thành phần phụ thuộc vào thời gian và không gian dựa vào kỹ thuật ô Yee, kỹ thuật chia miền tính toán thành các ô nhỏ trên môt lưới được gọi là lưới rời rạc

Trong trường hợp mô phỏng hai chiều, trường có thể chia thành hai mode phân cực quang: mode điện trường ngang (TM) gồm các thành phần Hx, Hy, Ez và các mode

từ trường ngang (TE) gồm các thành phần Ex, Ey, Hz Ta sẽ khảo sát mode TE

Để tính toán được các thành phần của mode TE ta sử dụng phương pháp rời rạc dựa vào kỹ thuật ô Yee trên lưới rời rạc kết hợp với hai quy luật:

Quy luật 1: Ex và Ey của điện trường được tính tại t=n∆t, với n là số nguyên Thành phần còn lại của từ trường tính tại t= (n-1/2) ∆t

Quy luật 2: 3 thành phần của trường được tính tại một vị trí xác định trong không gian

Hình 2.1 Ô Yee đơn vị phục vụ cho tính toán trường trong cấu trúc [7]

Sau khi tính toán, ta có dạng của các thành phần điện từ trường trong mode phân cực quang TE như sau:

| |

( | |

| | ) (2.11.3)

Trong đó: n là số nguyên chỉ số bước rời rạc theo thời gian; chỉ số i, j, k cho biết vị trí đang xét theo các hướng x, y, z; ∆t số gia thời gian; ∆x, ∆y, ∆z là số gia khoảng cách giữa các vị trí được xét liên kề theo các hướng x, y, z

Để hoàn chỉnh tính toán dựa vào phương pháp FTDT ta cần quan tâm đến phạm vi tính toán hữu hạn của bài toán Khi tính toán cấu trúc vùng của tinh thể quang tử, ta thường chọn một ô cấu trúc của mạng là một vùng tính toán hữu hạn với một biên giới hạn tuần hoàn tuân theo định lý Bloch (được xem như một nguồn phát xung kích thích theo thời gian) và một lớp lọc hoàn toàn (PML) được xem như lớp hấp thụ Khi nguồn hoạt động, sóng điện từ truyền qua cấu trúc sau khi qua lớp hấp thụ rồi suy giảm, quá trình ấy sẽ được ghi nhận và sử dụng để tính toán cấu trúc trường và các mode sai hỏng trong tinh thể quang tử

FDTD xác định điện trường ⃗⃗ và từ trường ⃗⃗⃗ một cách trực tiếp, không cần thông qua bất kỳ một sự chuyển đổi nào khác

Nhược điểm:

Phương pháp FDTD yêu cầu toàn bộ miền tính toán phải được chia lưới, và các lưới này phải nhỏ hơn so với bước sóng nhỏ nhất và nhỏ hơn chi tiết nhỏ nhất của vật thể trong mô hình, do vật miền tính toán phải rất lớn khi không gian mô phỏng lớn và có nhiều chi tiết nhỏ Các mô hình với các cấu trúc vật liệu dài và mảnh rất khó mô phỏng trong FDTD vì miền tính toán yêu cầu rất lớn

2.3.1 Giới thiệu

MIT Photonic band [12] (MPB) là phần mềm mã nguồn mở sử dụng phương pháp

mở rộng sóng phẳng (PWE) để tính toán cấu trúc vùng năng lượng và sự lan truyền của các sóng điện từ bên trong cấu trúc điện môi tuần hoàn MPB được viết và phát triển bởi Steven Johnson và nhóm nghiên cứu Vật lý Joanopoulos tại đại học MIT

Đối với việc mô phỏng cấu trúc tính thể, phần mềm này giúp ta khảo sát:

 Hình ảnh cấu trúc tinh thể quang tử

 Cấu trúc vùng: miền tần số cấm và miền tần số cho phép ánh sáng truyền qua một tinh thể quang tử

 Sự phân bố điện từ trường ngay tại vị trí sai hỏng của cấu trúc tinh thể quang tử ứng với từng tần số ánh sáng nhất định

geometry-lattice [kiểu mạng]: xác định các vector cơ bản và kích thước mạng của

ô tính toán Đây là các vector được hình thành từ ba vector khác trong không gian hình học Kích thước mạng của ô tính toán xác định kích thước của ô sơ cấp Nêu bất kỳ chiều nào có giá trị „no-size‟ thì chiều đó được bỏ đi ( mạng trở thành mạng hai chiều hay một chiều)

Các đặc tính của mạng

basis1, basis2, basis3 [vector3]: đây là ba hướng của mạng tinh thể tương ứng với hướng Ox, Oy, Oz trong hệ tọa độ Decac Độ dài của các vector được bỏ qua và ta chỉ quan tâm đến hướng của chúng Vấn đề độ dài được xác định bởi thông số basis-size

basis-size [vector3]: xác định độ dài của ba vector mạng cơ sở

size [vector3]: xác định kích thước mạng Nếu bất kỳ chiều nào có kích thước đặc biệt „no-size‟, khi đó chiều tính toán được giảm đi một; một cách rõ ràng hơn thì hàm điện môi đồng nhất theo hướng đó

- Xác định thông số các đối tượng

Geometry-object:

material [loại vật liệu]: loại vật liệu làm nên vật Có 3 dạng vật liệu chính

dielectric: là loại vật liệu đồng nhất, đẳng hướng, tuyến tính có đặc tính: epsilon [number]: hằng số điện môi của vật liệu

dielectric-anisotropic: là loại vật liệu điện môi đồng nhất, tuyến tính và có thể không đẳng hướng

material-funtion: là loại vật liệu cho phép ta xác định đặc tính như một hàm của vị trí

air, vacuum [loại vật liệu]: hai loại vật liệu được xác định trước là có hằng số điện môi bằng một

nothing [loại vật liệu]: loại vật liệu khoan một lỗ thông qua các vật thể

center [vector3]: điểm trung tâm của vật Không có giá trị mặc định

radius [số]: bán kính của vật

height [số]: độ dài dọc theo các trục

axis [vector3]: hướng của vật, mặc định là song song với trục z

Dạng hình học của đối tượng:

Dạng cầu „sphere‟: radius [số]: bán kính của vật

Dạng trụ „cylinder‟: radius [số]: bán kính đáy của vật; height [number]: độ dài dọc theo các trục; axis [vector3]: hướng của vật, mặc định là song song với trục z

Dạng nón „cone‟: radius2 [số]: bán kính trên của hình trụ, mặc định là 0, lúc này ta

(geometric-object-lattie-duplicates obj-list [ux uy uz]): sao chép đối tượng trong

„obj-list‟ bằng bội số của vector mạng cơ sở Các vector cơ sở có giá trị tùy ý, khi không xác định thì ta mặc định chúng bằng một

- Các hàm chuyển đổi tọa độ: cho phép ta chuyển đổi qua lại giữa các tọa độ mạng, tọa độ Decac và tọa độ mạng đảo

(lattice→Cartesian x) (Cartesian→lattice x)

(reciprocal→Cartesian x)(Cartesian→reciprocal x)

(reciprocal→lattice x)(lattice→reciprocal x)

- Giới hạn khoảng tính toán

resolution [số or vector3]: xác định độ phân giải của lưới tính toán, số điểm ảnh trên một đơn vị ô mạng Nếu độ phân giải là vector3 thì nó xác định độ phân giải của các hướng khác nhau là khác nhau, trường hợp còn lại độ phân giải đồng nhất theo các hướng Giá trị mặc định là 10

dimensions [số nguyên]: xác định số chiều tính toán Mặc định là ba Ngoài ra ta

có thể sử dụng biến số geometry-lattice có kích thước „no-size‟ trong bất kỳ chiều không gian nào mong muốn

k-points [dang sách vector3]: Danh sách các vector sóng Block để tính toán các vùng năng lượng, được tạo thành từ vector mạng đảo Các vector lưới mạng đảo được định nghĩa như sau: cho các vector mạng Rj (không phải các vector mạng cơ sở), vector mạng đảo Gj thỏa mãn Rj*Gj = 2*pi*deltai,j Thông thường, các vector sóng phải ở trong vùng Brillouin thứ nhất Mặc định điểm k là không (danh sách trống)