Xây dựng thuật toán lượng tử giải bài toán tìm kiếm với tri thức heuristic

Tiếp sau thuật toán của Deutsch, vào các năm 1 4 và 1 , lần lượt xuất hiện hai thuật toán lượng tử gây tiếng vang lớn, đó là thuật toán phân tích số nguyên của Shor [ ] và thuật toán tìm

Huỳnh Văn Đức

XÂY DỰNG THUẬT TOÁN LƯỢNG TỬ

GIẢI BÀI TOÁN TÌM KIẾM VỚI TRI THỨC HEURISTIC

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

Tp Hồ Chí Minh – Năm 2013

Huỳnh Văn Đức

XÂY DỰNG THUẬT TOÁN LƯỢNG TỬ

GIẢI BÀI TOÁN TÌM KIẾM VỚI TRI THỨC HEURISTIC

Chuyên ngành: KHOA HỌC MÁY TÍNH

Mã số chuyên ngành: 62 48 01 01

Phản biện 1: PGS.TS Phan Trung Huy Phản biện 2: PGS.TS Lê Anh Vũ Phản biện 3: TS Trần Nam Dũng Phản biện độc lập 1: PGS.TS Đoàn Văn Ban Phản biện độc lập 2: TS Hồ Trung Dũng Phản biện độc lập 3: PGS.TS Bùi Xuân Hải

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 GS.TSKH Đỗ Ngọc Diệp

2 GS.TSKH Bùi Doãn Khanh

Tp Hồ Chí Minh – Năm 2013

Chân thành tri ân:

GS TSKH Đỗ Ngọc Diệp,

Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam;

GS TSKH Bùi Doãn Khanh,

Đại học Paris VI, Cộng hòa Pháp Những người thầy đáng kính, đã dày công hướng dẫn và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận án này

Tác giả xin chân thành cảm ơn:

 Quý Thầy Cô Khoa Công nghệ Thông tin, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia TP.HCM;

 Quý Thầy Cô, Nhân viên Khoa Hệ thống Thông tin kinh doanh, Trường Đại học Kinh Tế TP.HCM;

 Quý Thầy Cô, Nhân viên Trường Đại học Kinh Tế TP.HCM;

bởi sự quan tâm giúp đỡ tận tâm và thiết thực trong quá trình nghiên cứu cũng như trong quá trình hoàn thành luận án

Xin chân thành cám ơn quý Giáo sư, Phó Giáo sư đã đọc và góp ý chân thành

để tác giả hoàn thiện luận án

Xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp, những người thân đã động viên giúp đỡ trong suốt quá trình thực hiện luận án

Cuối cùng xin cảm ơn người vợ thân yêu và hai con ngoan đã đóng góp giá trị tinh thần to lớn để chồng, cha hoàn thành công việc

Tp Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2013

Huỳnh Văn Đức

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của tập thể giáo sư hướng dẫn Các kết quả được nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất

kỳ công trình nào khác

Huỳnh Văn Đức

Mục lục

Lời cam đoan iv

Mục lục v

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt ix

Danh mục các hình vẽ, đồ thị x

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 - TỔNG QUAN 10

1 Các khái niệm cơ bản của tính toán lượng tử 10

1.1 Thanh ghi lượng tử 10

1.2 Đo lượng tử 12

1.3 Cổng lượng tử 14

2 Thuật toán lượng tử 16

2.1 Thuật toán lượng tử mức tổng quát 16

2.2 Mô hình dây 18

2.3 Chương trình con 23

3 Tích nửa trực tiếp 25

3.1 Khái niệm 25

3.2 Tích bện 26

4 Cấu trúc đại số Lie 27

4.1 Hệ nghiệm của nhóm Lie 28

4.2 Cấu trúc của su(N) 29

4.3 Cấu trúc của so(2N) 31

4.4 Nhóm Weyl 33

5 Phép biến đổi Hough 34

6 Kết luận 37

Chương 2 - THUẬT TOÁN TÌM MẪU 38

1 Mở đầu 38

2 Phép biến đổi Hough và nhóm 42

2.1 Phép biến đổi Hough cơ bản 42

2.2 Phép biến đổi Hough tổng quát 43

2.3 Tổng quát hóa 44

2.4 Thuật toán tìm mẫu 47

3 Xây dựng thuật toán tìm mẫu 48

3.1. Mô tả hàm Boole quyết định 48

3.2 Cài đặt hàm Boole quyết định 51

3.3 Bổ sung heuristic 57

4 Các ví dụ minh họa 60

4.1 Tìm mẫu tịnh tiến 60

4.2 Tìm chu trình Hamilton 64

5 Kết luận 65

Chương 3 - HỘP ĐEN 67

1 Mở đầu 68

2 Biểu diễn hộp đen 71

2.1 Chéo hóa đồng thời các hộp đen 72

2.2 Biểu diễn hộp đen qua đại số Lie 73

3 Hai cơ sở của đại số Lie của xuyến tối đại chuẩn 75

3.1 Cơ sở chuẩn 76

3.2 Cơ sở Hadamard 77

3.3 Họ các tổ hợp tuyến tính ngắn 78

3.4 Cài đặt cơ sở W 79

3.5 Cài đặt cơ sở W con và cơ sở B 81

4 Cài đặt 87

4.1 Cài đặt các cổng tịnh tiến 88

4.2 Cài đặt các cổng so sánh 90

4.3 Hộp đen nhóm hoán vị 94

5 Kết luận 100

Chương 4 - PHÂN RÃ 102

1 Mở đầu 102

2 Phân rã Cartan chuẩn 106

2.1 Phân rã không gian nghiệm 106

2.2 Phân rã Cartan chuẩn 111

3 Phân rã su(N) 113

4 Phân rã so(2N) 116

5 Cài đặt 120

5.1 Phép biến đổi hoán vị 120

5.2 Cài đặt phép biến đổi dịch chuyển bit 121

6 Kết luận 128

KẾT LUẬN 129

KIẾN NGHỊ 130

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 131

TÀI LIỆU THAM KHẢO 132

CHỈ MỤC 142

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

Trong suốt luận án này, chúng tôi dùng thống nhất:

Ký hiệu

 U(n): nhóm unita cấp n;

 SU(n): nhóm unita cấp n có định thức bằng đơn vị;

 SO(n): nhóm trực giao cấp n có định thức bằng đơn vị;

 u(n): đại số Lie của U(n);

 su(n): đại số Lie của SU(n);

 so(n): đại số Lie của SO(n) ;

 Pr(A): xác suất xảy ra biến cố A;

 f B: n B m: tập mẫu ; trong đó, B = {0, 1} và các thành phần của

k

xB được đánh số từ bên phải xx k1, , ,x x1 0x k1 x x1 0 ;

 G và g: nhóm Lie và đại số Lie tương ứng;

 T và t : xuyến tối đại chuẩn và đại số Lie tương ứng;

 H: phép biến đổi Hadamard;

 F: phép biến đổi Fourier lượng tử ;

 U f : hộp đen lượng giá hàm mẫu f;

 G f : phần chính của thuật toán Grover áp dụng lên hàm Boole f;

 U : phép biến đổi được điều khiển (U tác động khi điều kiện được thỏa)

Viết tắt

 Qubit: bít lượng tử;

 HSP: bài toán tìm nhóm con ẩn, thường là của nhóm giao hoán;

 NHSP: bài toán tìm nhóm con ẩn của nhóm không giao hoán

Danh mục các hình vẽ, đồ thị

Hình 1.1: Một trạng thái thanh ghi 2 qubit 11

Hình 1.2: inh họa thuật toán lượng tử dạng tổng quát 18

Hình 1.3: Cổng Hadamard 19

Hình 1.4: Các cổng chuyển pha 1 và 2 qubit 19

Hình 1 : Các cổng Pauli 19

Hình 1 : Cổng CNOT 19

Hình 1 : Thuật toán Deutsch – Jozsa 20

Hình 1 : Phần chính của thuật toán Grover 21

Hình 1 : Thuật toán xấp xỉ pha 22

Hình 1.10: Thuật toán tìm chu kỳ 22

Hình 1.11: Cổng Deutsch – Toffoli 24

Hình 1.12: Phép biến đổi Fourier 25

Hình 2.1: ạng XOR p trong q 54

Hình 2.2: ạng bầu cho h bởi q 55

Hình 2.3: ạng tính tích hai mẫu 56

Hình 2.4: ạng bầu h bởi p 56

Hình 2 : ạng bầu h bởi p tổng quát 57

Hình 2 : ạng bầu k bởi p dùng heuristic h 60

Hình 3.1: Dạng cột của cơ sở B 76

Hình 3.2: Dạng cột của cơ sở W 78

Hình 3.3: Thuật toán cài đặt phép toán cộng lượng tử U+ 89

Hình 3.4: Thuật toán cài đặt phép cộng với hằng U+k 90

Hình 3 : inh họa cài đặt hộp đen so sánh bằng 92

Hình 3 : inh họa cài đặt hộp đen so sánh lớn hơn 93

Hình 3 : inh họa cài đặt hộp đen nhóm hoán vị 97

Tính toán lượng tử có khả năng cách mạng hóa lĩnh vực khoa học máy tính; tuy nhiên, tính toán lượng tử vẫn đang ở trong giai đoạn phôi thai, khả năng của nó có thể đạt bao xa vẫn còn một câu hỏi mở [15] Có ba hoạt động đang cùng diễn ra trên

ba ngành khoa học khác nhau Các nhà vật lý tìm cách chế tạo ra máy tính lượng tử; các nhà toán học xây dựng các mô hình tính toán lượng tử; và các nhà tin học tìm kiếm các thuật toán lượng tử và xây dựng ngôn ngữ mô phỏng tính toán lượng tử

Trong lúc chờ đợi các nhà vật lý khắc phục được các rào cản công nghệ để xây dựng máy tính lượng tử, các nghiên cứu về thuật toán vẫn phải được tiến hành Ở Việt Nam, có thể xem việc nghiên cứu về tính toán lượng tử được khởi đầu vào năm

2004 với một số bài báo tổng quan trên Tạp chí Ứng dụng Toán học của Đỗ Ngọc Diệp (2004), Cao Long Vân (2005, 2006); một số báo cáo hội thảo của các thành viên nhóm Phan Trung Huy (2004, 2005, 2006); về nhóm này, đáng chú ý có 1 đề tài cấp bộ (2006), 1 luận văn thạc sĩ (2011), và phần mềm VQS mô phỏng trên máy tính truyền thống hiện nay (được giới thiệu lần đầu vào năm 2005)

Như vậy việc tìm ra các thuật toán lượng tử hiệu quả luôn có ý nghĩa lớn và rất được quan tâm Cho đến nay chỉ mới xuất hiện một số thuật toán đáng kể, mang tính đột phá mạnh mẽ, có thể xem chi tiết ở các tài liệu mang tính khảo sát, đánh giá

và tổng hợp như [5], [ ] Các nghiên cứu về thuật toán lượng tử vẫn không ngừng được quan tâm ở nhiều khía cạnh khác nhau: liên quan đến đến cấu trúc [1], đến kỹ thuật [10], [27], đến cơ sở lý thuyết nhóm [14], đến các dạng bài toán khác nhau [37], [77], và đến mô hình tính toán [64] Để biết thêm chi tiết về các khái niệm cơ

sở của tính toán lượng tử có thể xem ở các tài liệu, mà phần lớn là sách, như [7], [40], [52], [67], [84], [89], [99], và [101]

Trong phần mở đầu này chúng tôi trình bày về lý do lựa chọn đề tài; mục đích, đối

tượng, phạm vi nghiên cứu và ý nghĩa của đề tài luận án; những kết quả liên quan mật thiết đến đề tài luận án; những tồn tại cần giải quyết; cơ sở lý thuyết, lý luận, giả thiết khoa học và phương pháp nghiên cứu Ngoài ra chúng tôi cũng giới thiệu

vắn tắt về tính toán lượng tử và bài toán tìm kiếm

Giới thiệu

Máy tính lượng tử Kích thước của các đơn vị cơ bản dùng để xây dựng các cấu

trúc mạch của máy tính ngày càng nhỏ, đến lúc nào đó hoạt động của chúng phải tuân theo quy luật của vật lý lượng tử Năm 1982, Feynman [43] đã khẳng định

“một hệ cơ học lượng tử không thể được mô hình bởi các hệ cổ điển, mà chỉ có thể

được mô hình bởi một hệ cơ học lượng tử khác” và lần đầu tiên đề xuất sử dụng hệ

lượng tử thực hiện việc tính toán, khai sinh ý tưởng sử dụng các hiệu ứng cơ học lượng tử để làm tính toán Khả năng lưu trữ theo cấp số nhân, kết hợp với một số

hiệu ứng như rối lượng tử (quantum entanglement), đã dẫn các nhà nghiên cứu

thăm dò sâu hơn vào sức mạnh của máy tính lượng tử

Mô hình tính toán lượng tử Deutsch lần đầu tiên đặt ra câu hỏi “liệu có thể tính

toán trên máy tính lượng tử hiệu quả hơn trên máy tính cổ điển?” [34] Trả lời câu

hỏi này cần phải đưa ra mô hình tính toán cũng như các thuật toán có thể được thực hiện trên đó Về mô hình máy tính lượng tử, vào năm 1982, Feynman phác thảo một

mô hình máy tính lượng tử trừu tượng [43]; năm 1985, Deutsch đưa ra mô hình máy tính lượng tự phổ dụng và mô hình máy Turing lượng tử; năm 1989, Deutsch tiếp tục đưa ra mô hình mạng tính toán lượng tử, còn được gọi mô hình dây (quantum

unit wires) [35] Trong luận án này chúng tôi dùng mô hình dây để minh họa các

thuật toán lượng tử và gọi là sơ đồ dây hoặc mạng

Thuật toán lượng tử Năm 1985 Deutsch đưa ra thuật toán đầu tiên, thuật toán

Deutsch, xác định xem một hàm có là hằng hoặc cân bằng, về sau được tổng quát hoá thành thuật toán Deutsch – Jozsa vào năm 1992 [36] Các thuật toán lượng tử khi được đưa ra đều phải hiệu quả hơn thuật toán cổ điển khi cùng giải quyết một

bài toán Cho đến hiện nay, chúng ta đang có nhiều bài toán NP khó [87] và việc tìm ra một thuật toán giải quyết một bài toán như vậy thật sự có ý nghĩa Tiếp sau thuật toán của Deutsch, vào các năm 1 4 và 1 , lần lượt xuất hiện hai thuật toán

lượng tử gây tiếng vang lớn, đó là thuật toán phân tích số nguyên của Shor [ ] và thuật toán tìm kiếm của Grover [4 ]; trong đó, thuật toán Shor tăng tốc mũ còn thuật

toán Grover tăng tốc bậc hai so với các thuật toán cổ điển tốt nhất được biết

Bài toán tìm kiếm Một lớp lớn các bài toán trong khoa học máy tính có thể được

quy về bài toán tìm kiếm: “Tìm phần tử x ∈ D ⊂ X thỏa điều kiện P ” Trong lĩnh

vực tính toán lượng tử, dĩ nhiên thuật toán nổi tiếng của Grover là tìm kiếm, nhưng ngay cả một thuật toán nổi tiếng khác, thuật toán phân tích số nguyên của Shor, cũng là tìm kiếm; một cách tổng quát, thuật toán Shor đi tìm các phần tử sinh của một nhóm con chưa biết Bài toán tìm các phần tử sinh của một nhóm con chưa biết

như vậy được gọi là bài toán tìm nhóm con ẩn (Hidden Subgroup Problem – HSP)

Trong lúc bài toán HSP đã được giải với các nhóm giao hoán, thì vẫn còn đó các thách thức với các nhóm không giao hoán, có thể xem chi tiết ở [8], [9], [11], [48], [63], [66], [76], [92], [96], [113] Ta cũng có bài toán đẳng cấu đồ thị, một bài toán

thuộc lớp NP, cũng được quy về bài toán HSP [50], do đó cũng là bài toán tìm

kiếm Gần đây, vào năm 200 , Lomonaco đã chỉ ra rằng thuật toán của Grover và

của Shor là rất gần nhau; cụ thể, thuật toán Grover thực chất nhằm giải một bài toán

tìm nhóm con ẩn của một nhóm không giao hoán (Non Abelian Hidden Subgroup

Problem – NHSP) [80]

Lý do chọn đề tài

Tính cần thiết Xây dựng thuật toán lượng tử là một thách thức nhưng cũng là cơ

hội Lĩnh vực này hứa hẹn thu hút các nhà khoa học máy tính, đặc biệt những ai có

cơ sở toán học tốt, nhanh chóng tiếp cận và sớm có các đóng góp

Sự thành công của tiếp cận đại số trong xây dựng thuật toán lượng tử Bằng cách

dùng công cụ lý thuyết nhóm để giải thích và tổng quát hóa thuật toán phân tích số nguyên của Shor, đã hình thành khung thuật toán hiệu quả cho lớp bài toán HSP

Liên quan đến bài toán NHSP chúng tôi quan sát thấy nhiều thuật toán thành công trong trường hợp làm việc với nhóm tích nửa trực tiếp, xem [41], [95], [96] Tiếp cận đại số cũng cho ra các thủ tục phân rã một phép biến đổi unita thành các cổng lượng tử, cơ sở để xây dựng thuật toán lượng tử

Sự thành công của phép biến đổi Fourier lượng tử Trong quá trình phát triển của

thuật toán lượng tử, phép biến đổi Fourier luôn có vai trò quan trọng Kể từ khi dùng công cụ lý thuyết nhóm nghiên cứu, phép biến đổi Fourier trở thành công cụ chính giải bài toán HSP, xem [8], [65], [66], [85], [91] Liên quan đến nhóm là tích trực tiếp hoặc tích nửa trực tiếp, xuất hiện vai trò của phép biến đổi Clebsch – Gordan [75] Phép biến đổi Clebsch – Gordan dần trở thành công cụ hiệu quả trong

thiết kế thuật toán lượng tử giải bài toán NHSP, xem [8], [9], [75] Gần đây xuất hiện phiên bản lượng tử của phép biến đổi wavelet, xem [44], [61], vốn được dùng

rộng rãi trong lĩnh vực xử lý ảnh Các phép biến đổi loại này có thể mang những nét tươi mới trong xây dựng thuật toán lượng tử [114]

Chưa có các nghiên cứu về hộp đen một cách có hệ thống Hầu hết các thuật toán

lượng tử đều sử dụng hộp đen Trong thuật toán lượng tử, một hộp đen là biểu diễn của một hàm dưới dạng một phép biến đổi unita, lượng giá đồng thời các giá trị của hàm dưới dạng trạng thái tổ hợp tuyến tính của các trạng thái cơ sở, xem công thức (1.14), chương 1 Hộp đen thường dùng để biểu diễn dữ liệu bài toán nhưng vẫn chưa được nghiên cứu thỏa đáng, các thuật toán thường chấp nhận sự tồn tại của các hộp đen, trong lúc các thuật toán xây dựng lại thường làm việc với hàm tường minh dưới dạng công thức [5], [31]

Các nghiên cứu dùng thông tin heuristic vẫn đang bị bỏ ngỏ Rất nhiều thuật toán

sử dụng thuật toán Grover, dù nó chỉ tăng tốc bậc hai so với cổ điển, xem [18], [19], [46], [51] Liệu thông tin heuristic có giúp tăng tốc Grover không ? Câu trả lời còn rất hạn chế Năm 1 , Cerf đề nghị dùng Grover tìm ứng viên trong lời giải bộ phận, rồi tổ hợp lại [25] Trước đó, từ năm 1 , Hogg đã tìm cách đưa heuristic vào các góc pha của phép biến đổi unita dạng đường chéo để giải bài toán tìm kiếm

tổ hợp [53] Ngoài ra Brassard vào năm 2000 đề nghị một dạng hàm heuristic dùng cho Grover [19]

Mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu và ý nghĩa của đề tài luận án

Mục đích Xây dựng thuật toán giải bài toán tìm mẫu, được biểu diễn bằng hộp đen,

dựa trên thuật toán Grover và phép biến đổi Hough, cho phép bổ sung thông tin heuristic

Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án vẫn là phép

biến đổi unita, phần chính của một thuật toán lượng tử Phạm vi nghiên cứu của

luận án giới hạn trong hộp đen và phép biến đổi trực giao SO(2N)

Ý nghĩa khoa học Áp dụng thành công công cụ lý thuyết nhóm cho thấy có thể sử

dụng được các kết quả của toán học hiện đại trong xây dựng thuật toán lượng tử

Ý nghĩa thực tiễn Nhiều bài toán có khối lượng dữ liệu đồ sộ, đặc biệt trong lĩnh

vực khai phá dữ liệu (data mining) Hộp đen biểu diễn dữ liệu bài toán có thể được xây dựng với số cổng lượng tử ít hơn rất nhiều

Những kết quả liên quan mật thiết đến đề tài luận án

Dùng heuristic Các kết quả của Cerf [25], của Hogg [54], [55], [56], [57], [58],

[59], [60], và của Brassard [19] Cerf làm việc với bài toán có cấu trúc, dùng Grover tìm ứng viên trong lời giải bộ phận trong các không gian con, rồi xây dựng cách tổ hợp chúng lại; còn Hogg làm việc với bài toán có ràng buộc, bổ sung thông tin về các ràng buộc vào các phần tử pha, hình thành một bộ khung heuristic; trong khi đó, Brassard đề xuất một dạng hàm heuristic chuyển bài toán tìm kiếm sang không gian

khác hiệu quả hơn Ngoài ra, chúng tôi cho rằng việc tìm ra hàm f, là hằng trên các

lớp kề, trong bài toán tìm nhóm con ẩn thật sự là một heuristic hiệu quả

Phiên bản lượng tử của một số phép biến đổi có ý nghĩa Các phiên bản lượng tử

cài đặt các phép biến đổi sin, cosin, Slan và Hartley có thể xem ở [2], [74] Phiên bản lượng tử cài đặt phép biến đổi wavelet có thể xem ở [44], [61] Phép biến đổi Fourier được cài đặt rất sớm từ năm 1 với độ phức tạp O(n2

) [72] và vẫn tiếp tục

được dùng hiệu quả cho đến nay (mặc dù có một phiên bản xấp xỉ có độ phức tạp

O(nlog(n/ε)) được giới thiệu vào năm 2000 [50], trong đó ε là độ chính xác được yêu cầu, nhưng theo quan sát của chúng tôi, chưa thấy được dùng trong các thuật toán lượng tử)

Bài toán tìm mẫu dùng hộp đen biểu diễn dữ liệu bài toán Có nhiều thuật toán

lượng tử giải bài toán thực tế dùng trực tiếp các hộp đen gốc, biểu diễn dữ liệu gốc của bài toán Cách xây dựng thuật toán phần lớn mang tính trực giác có được từ cách giải cổ điển [82], [83]

Phân rã phép biến đổi unita Thuật toán lượng tử được xây dựng bởi các cổng

lượng tử Như vậy một phép biến đổi được sử dụng trong xây dựng thuật toán cần phải được phân tích thành dãy các cổng Với một số phép biến đổi cụ thể, các ý tưởng cụ thể có thể được vận dụng thành công, xem [2], [44], [61], [74] Một hướng

đi khác, tìm các phương pháp tổng quát cho một phép biến đổi tùy ý Gần đây, dùng định lý phân rã Cartan, tận dụng mối quan hệ giữa nhóm Lie và đại số Lie, một số thủ tục phân rã đã được giới thiệu, xem [21], [22], [23], [33], [38], [39], [69], [70], [86], [100], [102], [106] Kết quả phân rã hiệu quả phép biến đổi Fourier và một số phép biến đổi có số chiều nhỏ, xem [106], [108], [109], [110]

Những tồn tại cần giải quyết

Heuristic Thuật toán Grover giúp giải bài toán tìm kiếm tổng quát Hạn chế chủ

yếu của nó nằm ở khả năng tăng tốc chỉ ở mức bậc hai so với cổ điển Như vậy một thuật toán cổ điển nếu được bổ sung thông tin heuristic sẽ vẫn hiệu quả hơn nhiều

so với thuật toán Grover Quan tâm đến thuật toán Grover, chúng tôi cho rằng để dùng hiệu quả thuật toán này nên xem xét đến khả năng sử dụng heuristic bổ sung, giúp thu hẹp không gian tìm kiếm

Hộp đen Mặc dù các hộp đen thường xuyên xuất hiện trong các thuật toán lượng

tử, nhưng chúng tôi vẫn chưa tìm thấy các kết quả nghiên cứu riêng về hộp đen Các hộp đen là giao hoán với nhau nên có thể được chéo hóa đồng thời, do đó cùng nằm

trong một xuyến tối đại nào đó của nhóm U(N) Chéo hóa đồng thời các hộp đen

cho phép khảo sát chúng một cách gián tiếp trên đại số Lie của xuyến tối đại chuẩn Ngoài ra có thể thấy phần còn lại chưa được phân rã của các thủ tục phân rã theo kiểu Cartan cũng giao hoán với nhau Như vậy hộp đen có thể là một giải pháp cho việc hoàn tất các thủ tục phân rã

Phép biến đổi Hough Hiện chúng tôi chưa quan sát thấy có các phiên bản lượng

tử cài đặt các phép biến đổi Hough Ngoài ra dù đã có các cài đặt lượng tử, các phép

như sin, cosin, Hartley, Slan, và wavelet vẫn chưa thấy có ứng dụng trong xây dựng thuật toán lượng tử

Phân rã phép biến đổi SO(2N) Các thủ tục phân rã cho đến nay đều làm việc với

ma trận unita, có các số hạng là các số phức Trong khi đó vẫn có nhiều phép biến đổi là trực giao với các số hạng là các số thực như sin, cos, wavelet (ngay cả phép biến đổi Fourier khi phân rã cũng xuất hiện các ma trận thành phần có các số hạng

là các số thực) Trong đó, các phép biến đổi hoán vị, hoán vị các véc tơ cơ sở, cũng xuất hiện nhiều trong các thuật toán lượng tử

Những kết quả mới của luận án bao gồm:

1 Thuật toán lượng tử giải bài toán tìm mẫu với thông tin heuristic Mẫu chịu

tác động của nhóm H và thuật toán nhằm cài đặt hàm Boole f xác định trên

H, xác định lời giải bài toán Hàm f được sử dụng trong thuật toán Grover để

giải bài toán Thuật toán cho phép dùng một phần tử nhóm làm heuristic, thu

hẹp không gian tìm kiếm trên một lớp kề của một nhóm con K cho trước

2 Kỹ thuật phân tích hộp đen thành các cổng lượng tử Hộp đen được biểu diễn qua các phần tử đại số Lie của xuyến tối đại chuẩn Các phần tử này được xây dựng hiệu quả bởi dãy tác động phụ hợp của các cổng CNOT và Toffoli

lên cơ sở của đại số Lie su(2) Dùng kỹ thuật này, các phép biến đổi so sánh,

tịnh tiến và hoán vị dùng để xây dựng thuật toán tìm mẫu cũng được cài đặt hiệu quả

3 Thủ tục phân rã Cartan chuẩn Chọn một phân rã Cartan hạng cực đại từ xuyến tối đại chuẩn của nhóm tương ứng, thủ tục được xây dựng có sự kết

hợp của phân rã không gian nghiệm Áp dụng phân rã đồng thời các phép biến đổi hoán vị, cung cấp một cách cài đặt khác các phép biến đổi của nhóm hoán vị, tùy thuộc ý đồ của người xây dựng thuật toán giải bài toán cụ thể

Cơ sở lý thuyết, lý luận, giả thiết khoa học và phương pháp nghiên cứu

Cơ sở lý thuyết, lý luận

1 Thuật toán lượng tử: thuật toán Grover và hộp đen;

2 Phép biến đổi Hough;

3 Tác động phụ hợp;

4 Lý thuyết nghiệm của nhóm Lie;

5 Nhóm tích nửa trực tiếp và nhóm tích bện (wreath product);

6 Hàm heuristic

Giả thiết khoa học

1 Cài đặt phép biến đổi Hough dùng hộp đen, cho phép bổ sung heuristic;

2 Cài đặt hộp đen qua các cổng Deutsch-Toffoli;

3 Cài đặt phép biến đổi hoán vị dùng hộp đen và thủ tục phân rã

Phương pháp nghiên cứu

1 Cài đặt phép biến đổi Hough Tổng quát hóa phép biến đổi Hough dưới

thuật ngữ tác động nhóm Mô tả các hàm bầu chọn thông qua các phép toán nhóm Biểu diễn tác động nhóm, phép toán nhóm, và hàm bầu chọn bằng hộp đen Dùng các hộp đen này và các hộp đen biểu diễn dữ liệu bài toán xây dựng phiên bản lượng tử cho phép biến đổi Hough

2 Cài đặt heuristic Mô tả hàm heuristic qua phép toán nhóm Vẫn dùng hộp

đen biểu diễn nhóm con và phép toán hợp thành của nhóm, qua đó thiết kế thuật toán cho phép cài đặt heuristic

3 Cài đặt hộp đen Chéo hóa đồng thời các hộp đen, chuyển bài toán về khảo

sát phần tử đại số tương ứng trên đại số Lie Chọn cơ sở không gian véc tơ thích hợp và dùng tác động phụ hợp của các cổng CNOT và Toffoli cài đặt

hiệu quả các phần tử cơ sở này Phân rã một hộp đen lúc này đơn giản là giải một bài toán đại số tuyến tính Áp dụng cài đặt các hộp đen dùng trong mô hình thuật toán tìm mẫu

4 Phân rã phép biến đổi SO(2N) Chọn một phân rã Cartan từ phân rã không

gian nghiệm hình thành từ các nghiệm định nghĩa trên xuyến tối đại chuẩn

của SO(2N) Cách làm này cho phép phân rã tiếp theo vẫn làm việc với

SO(2N) Hơn nữa việc chọn xuyến tối tại chuẩn đủ tường minh để xây dựng

thủ tục phân rã

5 Sử dụng heuristic Mô tả phép biến đổi hoán vị dưới dạng hộp đen điều

khiển cho phép bổ sung heuristic qua các giá trị điều khiển Ngoài ra, sắp xếp các phép biến đổi hoán vị dưới dạng tổng trực tiếp cho phép phân rã đồng thời cũng là một cách bổ sung heuristic

Cấu trúc luận án

Luận án gồm phần mở đầu, 4 chương nội dung, và phần kết luận Các đóng góp chính của luận án được trình bày trong chương 2, chương 3, và chương 4

Chương 1 trình bày tổng quan về thuật toán lượng tử, tích nửa trực tiếp, cấu trúc đại

số Lie và phép biến đổi Hough

Chương 2 xây dựng mô hình và khung thuật toán cho bài toán tìm mẫu với thông tin heuristic, sử dụng tích nửa trực tiếp của nhóm và phép biến đổi Hough

Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu hộp đen thông qua đại số Lie của xuyến

tối đại chuẩn của nhóm Lie SU(N) Các kết quả này giúp cài đặt hiệu quả các phép

biến đổi dùng trong xây dựng mô hình thuật toán ở chương 2

Chương 4 đề xuất phân rã Cartan chuẩn, là sự kết hợp giữa phân rã không gian nghiệm và phân rã Cartan Chương này cũng đề xuất một thủ tục phân rã cho phép phân rã các biến đổi trực giao

Trong chương này chúng tôi trình bày vắn tắt về cấu trúc đại số Lie, tích bện và phép biến đổi Hough Chúng tôi cũng giới thiệu các khái niệm cơ bản của tính toán lượng tử và tổng quan về thuật toán lượng tử

1 Các khái niệm cơ bản của tính toán lượng tử

Các khái niệm cơ bản của tính toán lượng tử bao gồm: thanh ghi lượng tử, đo lượng

tử, cổng lượng tử Chúng tôi cũng giới thiệu một số phép biến đổi unita quan trọng thường được dùng trong xây dựng các thuật toán lượng tử Về thanh ghi lượng tử,

đo lượng tử và cổng lượng tử có thể xem [6], [68]; về phép biến đổi Fourier có thể xem [97]; tổng quát và đầy đủ, có thể xem ở các cuốn sách [40], [67], [84], [89]

Có thể xem khác biệt cơ bản của máy tính lượng tử so với máy tính cổ điển nằm ở 2 điểm chính: qubit so với bit, và cổng lượng tử so với phép toán logic Trong lúc bit chỉ lưu một giá trị 0 hoặc 1, thì qubit lưu đồng thời hai giá trị này ở dạng chồng chất trạng thái mà khi kết hợp lại thành một thanh ghi, thanh ghi cổ điển vẫn chỉ lưu một giá trị còn thanh ghi lượng tử có khả năng lưu tất cả các giá trị quan tâm, cũng dưới dạng chồng chất trạng thái Ngoài ra trong lúc các phép toán logic nhận các bit đầu vào và trả kết quả cho bit đầu ra, thì các cổng lượng tử tác động lên qubit làm thay đổi chính nó, nghĩa là xử lý đồng thời các giá trị nằm trong thạng thái chồng chất Như vậy máy tính lượng tử ưu việt hơn máy tính cổ điển ở chỗ nó có khả năng lưu trữ và xử lý đồng thời các giá trị quan tâm

1.1 Thanh ghi lượng tử

Tại một thời điểm, trong lúc bit cổ điển nhận một trong hai giá trị 0 hoặc 1, thì bit

lượng tử, được gọi là qubit, lại nhận đồng thời cả hai giá trị này Dùng ký hiệu

bra-ket (Paul Dirac, 1902-1984), một qubit là một hệ vật lý gồm các trạng thái

0 0 1 1

b   , với 0, 1 là các số phức thỏa 0212 1, và 0 , 1là cơ sở chính tắc của 2

Thanh ghi lượng tử lưu trữ đồng thời các giá trị tính toán hình thành một phân bố

xác suất xác định Một thanh ghi n qubit là một hệ vật lý gồm các trạng thái

2 1 0

n

k k

1

n

k k

nh 1.1: Một trạng thái thanh ghi 2 qubit

Ở đây, ta có Pr(k = 3) = 4/7 Hai trạng thái 1 và 2 được xem là một nếu

1.2 Đo lượng tử

Tính toán lượng tử làm việc trên nhiều qubit, trong đó một số qubit được nhóm lại thành các thanh ghi để thuận tiện trong việc mô tả, xử lý Muốn xác định kết quả chúng ta phải thực hiện một phép đo trên một hoặc nhiều thanh ghi này Kết quả đo thu được một trạng thái thuần trên các thanh ghi được đo trong lúc thay đổi trạng thái trên hệ con các thanh ghi còn lại

Trong cơ học lượng tử, trạng thái của hạt (vi mô) được mô tả bởi hàm sóng, là một véc tơ đơn vị trong không gian Hilbert phức, được gọi là không gian Hilbert liên kết với hạt Một đại lượng vật lý được mô tả bởi một toán tử Hermite là toán tử tuyến tính tự liên hợp với các trị riêng là các giá trị đo được của đại lượng này Kết quả đo

sẽ làm suy sụp hàm sóng, đưa trạng thái của hạt về trạng thái riêng là véc tơ riêng đơn vị ứng với trị riêng vừa được đo Ký hiệu  là trạng thái của hạt và a là véc

tơ riêng đơn vị ứng với trị riêng a, khi ấy xác suất đo được a là

2

a

p  a  Xét đại lượng vật lý có hai giá trị (ví dụ spin của hạt có spin ½ như điện tử hay proton) Toán tử mô tả nó có 2 trị riêng ứng với 2 véc tơ riêng được chọn làm cơ sở chính tắc của không gian Hilbert liên kết biểu diễn tất cả các trạng thái của hạt Hai véc tơ riêng này được ký hiệu là 0 và 1 Để mã hóa dữ liệu cho tính toán lượng

tử, chúng ta quy ước trị riêng đo được ứng với chúng là 0 và 1 tương ứng Nhờ đó chúng ta không quan tâm đến hạt nào được chọn làm qubit và đại lượng nào được chọn để đo Kết quả ta có mô hình toán học thuần túy

Xác suất đo được một trạng thái thuần được tính như sau Trước hết, nếu đo trên tất

cả các qubit của hệ, ở trạng thái (1.1), như đã đề cập ở trên, ta có

Pr k  j  p j  j (1.2)

Tổng quát, phân tích hệ thành 2 thanh ghi, thứ tự n và m qubit, viết lại (1.1)

1.3 Cổng lượng tử

Tính toán lượng tử đổi trạng thái hệ bằng phép biến đổi unita, được phân tích thành

tích của các phép biến đổi tác động lên không quá 2 qubit, gọi là cổng lượng tử

k z

Một số phép biến đổi quan trọng

Có một số phép biến đổi unita đóng vai trò quan trọng trong tính toán lượng tử, chúng là

1 Phép biến đổi Hadamard, ký hiệu Hn , hoặc H (ký hiệu giống với cổng

Hadamard, nếu không sợ nhầm lẫn)

 

2 1

0

1

n

x y y

x y x y





 , (xj) và (yj) là biểu diễn nhị phân của x và y

2 Phép biến đổi Fourier, ký hiệu F

2

2 1 2 0

n n

i xy y

102

n

ki n k

Ở đây, phép biến đổi điều khiển đóng vai trò như cấu trúc rẽ nhánh trong tính toán

cổ điển, còn hộp đen thường dùng để biểu diễn dữ liệu bài toán Trong hầu hết tài liệu phép toán cộng ở (1.14) là phép XOR theo từng bit; cũng có tài liệu [59] coi đây là phép cộng mod 2m

, với m là số qubit của thanh ghi thứ 2

2 Thuật toán lượng tử

Trong mục này chúng tôi giới thiệu thuật toán lượng tử ở mức tổng quát, đơn giản nhất; giới thiệu mô hình dây và minh họa một số thuật toán; cũng giới thiệu cách cài đặt1 hiệu quả các phép đổi quan trọng đã được giới thiệu trong mục trước, coi chúng

là các chương trình con

Có thể xem sự khác biệt cơ bản giữa thuật toán lượng tử và thuật toán cổ điển là ở cách quản lý và sử dụng biến để lưu trữ và xử lý dữ liệu Qua đó lập trình viên cũng thay đổi cách tư duy lập trình của họ Trong thuật toán cổ điển lập trình viên thoải mái sử dụng các biến mà khả năng lưu trữ và xử lý dữ liệu của chúng được xác định qua các kiểu dữ liệu khác nhau được xây dựng sẵn hoặc do họ tự định nghĩa lấy Với phép gán và các cấu trúc điều khiển tuần tự, lặp và rẽ nhánh, lập trình viên kiểm soát các biến của chương trình mang ít nhiều trực giác Ngược lại, trong thuật toán lượng tử lập trình viên chỉ dùng duy nhất một biến, là kết hợp của nhiều qubit lưu trữ đồng thời các giá trị thuộc lĩnh vực bài toán cần giải, và xử lý nó bằng cách

áp dụng các cổng lượng tử hoặc các phép biến đổi unita được chấp nhận lên các qubit thích hợp Không có phép gán, chỉ có phép đo Biến được khởi tạo, được xử lý bởi các phép biến đổi unita, và được đo để rút ra giá trị giúp tìm lời giải của bài toán Cấu trúc rẽ nhánh cũng khác, dưới tác dụng của các phép biến đổi được điều khiển, chỉ các giá trị của biến thuộc một không gian con nào đó bị thay đổi Để xây dựng thành công một thuật toán lượng tử, lập trình viên lúc này cần có kiến thức về toán học và vật lý học hiện đại Như vậy thuật toán lượng tử chỉ ưu việt hơn thuật toán cổ điển khi nó được hiện thực trên một máy tính lượng tử thật sự

2.1 Thuật toán lượng tử mức tổng quát

Trong tính toán lượng tử bài toán chính là tìm một phép biến đổi unita đưa hệ từ trạng thái 0 về trạng thái  , chứa nhiều thông tin cho phép giải quyết một bài

1

Trong khoa học máy tính, cài đặt thuật toán là hiện thực nó bằng một ngôn ngữ lập trình cụ thể Với thuật toán lượng tử, do chưa có máy tính lượng tử và cũng chưa có ngôn ngữ lập trình cho nó, chúng tôi chọn mô hình dây làm đích đến (xem mục Chương 1 -2.2 bên dưới) Trong luận án này, thuật ngữ cài đặt được hiểu là dãy các cổng lượng tử và các phép biến đổi được chấp nhận, được thể hiện trên mô hình dây

toán nào đó Sau đó, chúng ta sẽ thực hiện một phép đo trên trạng thái  để có thông tin về lời giải Kết quả đo sẽ nhận được một giá trị nguyên và để lại hệ với trạng thái tương ứng; giá trị thu được là ngẫu nhiên với phân bố xác suất xác định theo công thức đã biết (1.3)

Như vậy một thuật toán lượng tử sẽ gồm ba bước chính:

1 Chuẩn bị trạng thái đầu của thanh ghi 0

2 Thực hiện phép biến đổi unita  U 0

3 Đo trên thanh ghi (con) để nhận giá trị tính toán

Để có một thuật toán lượng tử cụ thể, phép biến đổi unita U sẽ phải được tường

minh bởi một dãy các cổng lượng tử; cũng cho phép dùng các phép đổi được xây dựng trước, xem như các chương trình con

2.2 Mô hình dây

Một mô hình trực quan, được giới thiệu bởi Deutsch [35], được gọi là mô hình dây,

là một mô hình máy tính lượng tử đơn giản tương đương với mô hình máy Turing

lượng tử [16] Trong mô hình này có nhiều dây đặt song song nhau, mỗi dây biểu

diễn một thanh ghi, trên đó phép biến đổi unita tác động lên thanh ghi nào sẽ được gắn lên dây tương ứng Như vậy, bằng cách gắn tuần tự các cổng lượng tử lên các dây, chúng ta xây dựng các phép biến đổi unita tác động trên nhiều qubit Số cổng dùng để xây dựng một phép biến đổi được gọi là độ phức tạp tính toán

Cũng vậy muốn đo thanh ghi nào chúng ta gắn thiết bị đo lên dây tương ứng Hình 1.2 minh họa thuật toán lượng tử tổng quát dùng mô hình dây2

nh 1.2: Minh họa thuật toán lượng tử dạng tổng quát

Một trong những bài toán chính của tính toán lượng tử là phân tích phép biến đổi

unita U ở trên thành các cổng lượng tử, trong đó phép biến đổi unita ứng với một

cổng lượng tử được xây dựng nhờ vào tích tensor

2 Hầu hết các sơ đồ dây được vẽ trong luận án này có sử dụng tập tin xyqcirc.tex, 14/03/2004, của tác giả I Chuang, ichuang@mit.edu

Ta có mô hình dây của một số cổng lượng tử

Định nghĩa 1.3

Số lượng các hộp đen được dùng trong thuật toán được gọi là độ phức tạp truy vấn

Thuật ngữ độ phức tạp tính toán cũng được dùng khi phân tích một phép biến đổi unita thành các cổng lượng tử

Một số thuật toán minh họa

Trong mục này chúng tôi liệt kê một số thuật toán lượng tử; chứng minh tính đúng đắn của mỗi thuật toán có thể xem trong tài liệu tham khảo Dùng mô hình dây, các

thuật toán được vẽ thành sơ đồ và gọi là sơ đồ dây

2.2.1 Thuật toán Deutsch – Jozsa

Cho họ F các hàm Boole n biến gồm các hàm hoặc là hằng hoặc là cân bằng (số các

phần tử có ảnh bằng 1 và số các phần tử có ảnh bằng 0 là bằng nhau) Thuật toán

Deutsch – Jozsa, dùng 2 thanh ghi n-qubit và 1-qubit (xem Hình 1.7), sẽ xác định

một hàm thuộc F là hằng hay cân bằng, tùy vào giá trị đo được trên thanh ghi thứ

nhất là bằng không hay khác không

nh 1.7: Thuật toán Deutsch – Jozsa

Hình 1.7 cho thấy thuật toán Deutsch – Jozsa có độ phức tạp truy vấn O(1); còn độ phức tạp tính toán phụ thuộc vào số cổng lượng tử cài đặt Uf

2.2.2 Thuật toán tìm kiếm Grover

Với hàm Boole n biến f, ký hiệu

  0 

G  H I U H I U , (1.15)

được dùng như là phần chính yếu của thuật toán Grover (hình 1.8), trong đó U0 là

hộp đen của f0, với f0(x) = 1 khi và chỉ khi x = 0, còn U f là hộp đen của f



trên thanh ghi thứ nhất [49]

nh 1.8: Phần chính của thuật toán Grover

Vì dấu không ảnh hưởng đến xác suất tìm kiếm, có thể dùng Gf thay cho –Gf

Ví dụ 1.4

Cho hàm Boole 3 biến

x 0 1 2 3 4 5 6 7

f(x) 0 1 0 0 0 0 0 0 Bảng sau minh họa các hệ số của x u thử áp dụng Gf 2 lần, để ý 23 3

√

√

√

√

√

√

Lần 2

√

√

√

√

√

√

√

√

Ta có Pr (x = 1) = 121/128 ≈ 96%

2.2.3 Thuật toán xấp xỉ pha

Cho phép biến đổi unita U n-qubit, biết u là véc tơ riêng của U ứng với giá trị riêng e i Dùng hai thanh ghi m-qubit và n-qubit, thuật toán xấp xỉ pha tìm , sai số

tùy ý phụ thuộc m, với xác suất lớn hơn 4/2, xem [19], [67]

nh 1.9: Thuật toán xấp xỉ pha

Đo trên thanh ghi thứ nhất được k, ta có Pr 2 42

độ phức tạp truy vấn là tuyến tính theo m Để ý tích các phép biến đổi trong hình

1.9 trước F† là cài đặt của phép biến đổi tách pha (1.12) như tính toán dưới đây

m m m

ik k

2.2.4 Thuật toán tìm chu kỳ

Xét hàm Boole f, n biến trị véc tơ 2 m chiều, tuần hoàn với chu kỳ r, f(x) = f(y) khi và chỉ khi x = y + r Giả sử 2n = rl, thuật toán tìm chu kỳ (hình 1.10) luôn đo được k, nếu khác không sẽ là bội của l Thuật toán dùng 2 thanh ghi n-qubit và m-qubit

nh 1.10: Thuật toán tìm chu kỳ

Thật đáng ngạc nhiên, thuật toán đơn giản này là phần lượng tử của thuật toán tìm bậc, cũng là phần lượng tử của thuật toán phân tích số nguyên nổi tiếng của P.Shor

[97] Xét bài toán: Cho các số nguyên a, N nguyên tố cùng nhau, N khá lớn Gọi r là

số nguyên dương bé nhất sao cho ar 1 mod N Tìm r?

Gọi {m} M là số nguyên thỏa {m} M  m (mod M) và -M/2 < {m} M  M/2 (M chẵn),

có một thuật toán cổ điển tìm được r trong thời gian đa thức, nếu n thỏa N2  2n <

2N2 và 0 < y < M = 2n, |{yM} M|  r/2 Thuật toán tìm chu kỳ sẽ giúp tìm y thỏa điều kiện trên Với f(x) = ax mod N, thuật toán tìm chu kỳ sẽ tìm y thỏa |{yM} M|  r/2

với xác suất lớn hơn hay bằng

2 2

4 1 11

cũng được xem là cổng, chúng được gọi là các cổng điều khiển Trong số các cổng điều khiển, cổng điều khiển

x



 còn được gọi là các cổng Deutsch – Toffoli (hình 1.11) có vai trò quan trọng trong xây dựng các thuật toán lượng tử

nh 1.11: Cổng Deutsch – Toffoli

Với các chương trình con, cần thiết tìm ra các thủ tục xây dựng chúng với độ phức tạp đa thức Như đã thấy, ngoại trừ hộp đen, các chương trình con đề cập trong mục này đều đã được xây dựng với độ phức tạp đa thức

Với n > 6, n-2 (σx ) được xây dựng từ 8(n – 5) cổng Toffoli

Trong lúc độ phức tạp của phép biến đổi Fourier là O(n2

) [40], xem ví dụ sau

GN H

Tổng quát, cho hai nhóm N và H, trên tập tích GNHđịnh nghĩa phép toán kết

hợp để G là nhóm tích nửa trực tiếp của N bởi H như sau

Xét đồng cấu : H  Aut N , tập tích GNHlà một nhóm với phép toán

  u x v y, , ux v xy, , trong đó x   x Ký hiệu tích nửa trực tiếp dạng này là G  N  H

Để thuận tiện, ta tường minh phần tử nghịch đảo của tích nửa trực tiếp

Đặt N = t

t T G

 là nhóm tích trực tiếp của các bản sao của G, Gt = G với tất cả t thuộc T Ký hiệu mỗi phần tử của N là bộ (at) với chỉ số t lấy trong T và at thuộc G với mọi t Khi ấy với mỗi h thuộc H, h tác động lên tập chỉ số cảm sinh một phép

hoán vị lên các phần tử của bộ và ta có đồng cấu nhóm : H  Aut N  cho bởi

Trong luận án này chúng tôi thường xuyên làm việc với nhóm đối xứng Sn, là nhóm

các hoán vị của tập n phần tử; thông thường ký hiệu [n] là tập n số tự nhiên đầu tiên

bắt đầu từ 1, trong luận án này, chúng tôi bắt đầu từ 0

4 Cấu trúc đại số Lie

Ký hiệu N 2n, đại số Lieg của nhóm Lie G được khảo sát trong mục này là

su(N) và so(N) Nhắc lại nhóm Lie U(N) là nhóm các phép biến đổi unita N chiều,

Quan hệ giữagvà G, xem [24], [32], [104], được cho bởi ánh xạ mũ exp: g G là

một toàn ánh, còn quan hệ giữa hai biểu diễn phụ hợp được cho bởi

x x

ad e

là biểu diễn phụ hợp củag Trực tiếp từ định nghĩa, ta có

với U là phép biến đổi unita, còn α là số phức có modul bằng đơn vị

4.1 ệ nghiệm của nhóm Lie

Nghiệm của nhóm Lie cung cấp một phương pháp hiệu quả để nghiên cứu cấu trúc

nhóm Lie và đại số Lie Xét nhóm Lie G là U(N) hoặc SU(N) hoặc SO(2N) (lý

thuyết hệ nghiệm tiếp theo chỉ đúng cho các nhóm này), ký hiệu t là đại số Lie của

một xuyến tối đại của G, hệ nghiệm của G là họ hữu hạn các ánh xạ tuyến tính xác

định trên t

Định nghĩa 1.4 [105]

Một ánh xạ tuyến tính khác không  : t  được gọi là một nghiệm của G nếu tồn tại một không gian con 2 chiều l  g, được gọi là không gian nghiệm, với cơ sở trực giao  e f, sao cho với mọi x t, ta có

, ,

Như vậy không gian nghiệm là không gian con bất biến dưới tác động phụ hợp của

các phần tử của xuyến tối đại T Số chiều của t được gọi là hạng của G, rank(G) =

dim( t ) Ta có dim(G) – rank(G) chẵn, đặt m =1/2(dim(G) - rank(G)), G có đúng m

không gian nghiệm, gọi là lj Khi ấy g được phân rã thành [105]

1

m j