các bài thi học sinh giỏi toán thpt hoa kỳ năm 2004 2014

Các bài toán thuộc lãnh vực số học, đại số, hình học, lý thuyết số, tỗ hợp và xác suất và những nội dung khác của chương trình toán phổ thông mà học sinh có thểà giải được mà không cần c

THI HỌC SINH

GIỎI TOÁN THPT HOA KỲ

2004-2014

Trần Quang Nghĩa dịch

VIETMATHS.NET

THI HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC HOA KỲ (AHSME và AMC)) (American High School Mathematics Examination and American Mathematics Competition)

American High School Mathematics Examination (AHSME) là kì thi đầu tiên trong loạt

kì thi dùng để thử thách các học sinh giỏi toán, khối 12 và thấp hơn, từ đó chọn ra đội tuyển đại diện cho nước Mỹ tham gia kì thi Olympic Toán Quốc tế (International Mathematics Olympiad (IMO))

Kì thi AHSME gồm 30 câu hỏi trắc nghiệm 5 lựa chọn làm trong 75 phút Các câu hỏi có độ khó tăng dần

Mỗi trả lời đúng: 5 điểm Mỗi trả lời sai: - 2 điểm Mỗi câu hỏi không làm: 0 điểm nào

Bắt đầu từ năm 2000, kỳ thi AHSME được thay bằng AMC 12 (American Mathematics Competition) dành cho học sinh học lớp 12

Bài thi AMC 12 có 25 câu hỏi trắc nghiệm nhiều lựa chọn trong thời hạn 75 phút

Bắt đầu từ năm 2008 thí sinh không được sử dụng máy tính

Những thí sinh đạt điểm cao sẽ được mời tham gia tiếp vào kỳ thi AIME (American Invitation

Mathematics Examination) Những thí sinh đạt điểm cao trong kỳ thi này lại bước vào kỳ thi UMO (USA Mathematical Olympiad) mà những thí sinh được điểm cao nhất được tập hợp thành đội tuyển dự thi vào kỳ thi danh giá nhất trên thế giới, đó là kỳ thi IMO (International Mathematical Olympiad: (Olympic Toán Quốc Tế)

Các bài toán thuộc lãnh vực số học, đại số, hình học, lý thuyết số, tỗ hợp và xác suất và những nội dung khác của chương trình toán phổ thông mà học sinh có thểà giải được mà không cần công cụ giải tích

Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vn

NĂM 2004

1 Alicia kiếm được 20 đôla mỗi giờ, trong đó phải

trừ ra 1.45% đóng thuế Hỏi Alicia phải đóng thuế

bao nhiêu xu mỗi giờ làm việc? (MỗÃi đôla có 100 xu)

a) 0.0029 b) 0.029 c) 0.29 d) 2.9 e) 29

2 Trong cuộc thi toám AMC, mỗi trả lời đúng

được 6 điểm, mỗi trả lời sai được 0 diem và mỗi câu

hỏi để trống được 2.5 điểm Nếu Charlyn không làm

8 trong 25 câu hỏi, hỏi trong số câu hỏi còn lại cô

phải trả lời đúng bao nhiêu câu để được điểm thi ít

nhất là 100 điểm?

a) 11 b) 13 c) 14 d) 16 e) 17

3 Có bao nhiêu cặp thứ tự những số nguyên dương

(x, y) sao cho x + 2y = 100

a) 33 b) 49 c) 50 d) 99 e) 100

4 Bertha có 6 cô con gái và không con trai Một số

con gái của bà lại có 6 cô con gái và số còn lại

không có người con gái nào Bertha có tất cả 30 con

gái và cháu ngoại gái, và không có cháu cố gái nào

Hỏi có bao nhiêu con gái và cháu gái của Bertha

không có con nào?

a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26

5 Đồ thị của đường thẳng y = mx + n được vẽ

bên dưới Phát biểu nào sau đây là đúng?

7 Một trò chơi với các giơ tông theo luật chơi sau

Trong mỗi vòng chơi, người chơi nào có nhiều giơ tông nhất phải chung cho mỗi người chơi còn lại một giơ tông và thêm một giơ tông nữa vào đống rác Cuộc chơi chấm dứt khi có người chơi hết giơ tông Các người chơi A, B và C bắt đầu với 15, 14 và

13 giơ tông, theo thứ tự Hỏi cuộc chơi được bao nhiêu vòng thì kết thúc?

a) 36 b) 37 c) 38 d) 39 e) 40

8 Tam giác ABC và ABE chồng lên nhau, có một

cạnh chung AB và các góc EAB và ABC đều vuông

AB = 4, BC = 6, AE = 8, và cạnh AC và BE cắt nhau tại D Tìm hiệu số giữa diện tích tam giác ADE và BDC?

a) 2 b) 4 c) 5 d) 8 e) 9

9 Một công ty bán bơ đậu phọng trong những lọ

hình trụ Các nghiên cứu thị trường đề nghị dùng những lọ rộng hơn để tăng thị phần Nếu đường kính của lọ tăng 25% mà không thay đổi thể tích, thì chiều cao phải giảm bao nhiêu phần trăm? a) 10% b) 25% c) 36% d) 50% e) 60%

VIETMATHS.NET

10 Tổng của 49 số nguyên liên tiếp là 75 Tìm số

trung vị?

a) 7 b) 72 c) 73 d) 74 e) 75

11 Giá trị trung bình của tất cả đồng 1 xu, đồng 5

xu, đồng 10 xu, và 25 xu trong ví của Paula là 20 xu

Nếu em có thêm đồng 25 xu nữa thì giá trị trung

bình sẽ là 21 xu Hỏi em có bao nhiêu đồng 10 xu

trong ví?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

12 Cho A = (0, 9) và B = (0, 12) Các điểm A' và B'

nằm trên đường thẳng y = x, và các đoạn AA' và

BB' cắt nhau tại C = (2, 8) Tìm độ dài đoạn A'B'

a) 2 b) 2 2 c) 3 d) 2 + 2 e) 3 2

13 Gọi S là tập hợp những điểm (a, b) trong mặt

phẳng toạ độ sao cho mỗi số a và b có thể bằng - 1,

0 hay 1 Có bao nhiêu đường thẳng phân biệt đi qua

ít nhất hai phần tử của S?

a) 8 b) 20 c) 24 d) 27 e) 36

14 Một dãy ba số thực tạo thành một cấp số cộng

có số hạng đầu tiên là 9 Nếu 2 được cộng vào số

hạng thứ hai và 20 được cộng vào số hạng thứ ba,

ba số mới tạo thành một cấp số nhân Tìm giá trị

nhỏ nhất có thể có của số hạng thứ ba trong cấp số nhân

a) 1 b) 4 c) 36 d) 49 e) 81

15 Brenda và Sally chạy ngược chiều sau trong

đường chạy tròn, bắt đầu từ hai điểm đối tâm Họ gặp nhau đầu tiên sau khi Brenda đã chạy được 100m Lần gặp thứ hai sau khi Sally đã chạy vượt 150

m qua điểm gặp thứ nhất Mỗi cô chạy với tốc độ đều Tìm chiều dai của vòng đua

a) 250 b) 300 c) 350 d) 400 e) 500

16 Tập hợp mọi số thực sao cho

log2004(log2003(log2002(log2001x))) xác định là {x/x > c} Vậy c = a) 0 b) 20012002 c) 20022003

d) 20032004 e) 2003

2002

2001

17 Cho f là hàm số có những tính chất sau:

(i) f(1) = 1, và (ii) f(2n) = x f(n), với mọi n nguyên dương Tìm giá trị của f(2100)

18 Hình vuông ABCD

có cạnh bằng 2 Một nửa đường tròn có đường kính AB được vẽ trong hình vuông, và tiếp tuyến với nửa đường tròn vẽ từ C cắt cạnh AD tại E Tìm độ dài đoạn CE

2

 b)

5 c) 6 d) 5/2 e) 5  5

19 Các đường tròn A, B và C tiếp xúc ngoài với

nhau và tiếp xúc trong với đường tròn D Các đường

VIETMATHS.NET

Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vntròn B và C bằng nhau Đường tròn A có bán kính 1

và qua tâm của đường tròn D Tìm bán kính của

đường tròn B

a) 2/3 b) 3/2 c) 7/8 d) 8/9 e) 1 + 3

20 Chọn ngẫu nhiên các số a và b giữa 0 và 1 một

cách độc lập, và gọi c là tổng của chúng Gọi A, B

và C theo thứ tự là kết quả khi làm tròn a, b và c

đến số nguyên gần nhất Tìm xác suất để A + B =

22 Ba mặt cầu bán kính 1 tiếp xúc nhau đôi một

và nằm trên một mặt phẳng ngang Một mặt cầu

bán kính 2 nằm trên chúng Tìm khoảng cách từ

mặt phẳng đến đỉnh của mặt cầu lớn nhất

có hệ số thực với c2004 ≠ 0 và 2004 nghiệm phức

phân biệt zk = ak + bki , 1 ≤ k ≤ 2004 với ak và

bk là số thực, a1 = b1 = 0 và

1

k k

b





24 Một mặt phẳng chứa các điểm A, B với AB =

1 Gọi S là phần hội của tất cả những hình tròn có bán kính 1 trong mặt phẳng và che phủ đoạn AB Tìm diện tích của S

a) 2 + 3 b) 8/3 e) 3 - 3/ 2 d) 10/3 – 3 e) 4 - 2 3

25 Với mỗi số nguyên n ≥ 4, gọi an là số 0.133n

trong cơ hệ n Tích a4 a5 a99 có thể viết dưới dạng

!

m n

trong đó m và n là số nguyên dương và n là số nhỏ như có thể Tìm giá trị của m

a) 98 b) 101 c) 132 d) 798 e) 962

VIETMATHS.NET

BÀI GIẢI

1 e) 20 đôla bằng 2000 xu, và 1.45% của 2000

là 29 xu => (e)

2 (c) Cô được 8 x 2.5 = 20 điểm cho những câu

hỏi cô không làm Cô phải được

[(100 - 20)/6] = 14 => (c)

3 (b) Mỗi số nguyên y cho ta một nghiệm

nguyên của x Vì y > 0 nên y ≥ 1

Cũng vậy, y = 100 - x Vì x > 0 nên y < 50 => 1

≤ y < 50

Như vậy ta có 49 giá trị của y hay có 49 nghiệm

của phương trình => (b).)

4 (e) Vì Bertha có 6 con gái, nên Bertha có

30 - 6 = 24 cháu ngoại, không có ai trong số đó

có con gái Trong số các cô con gái của Bertha,

có 24/6 = 4 có con gái, vì thế 6 - 4 = 2 không có

con gái

Do đó, trong số các con gái và cháu ngoại của

Bertha, có 24 + 2 = 26 không có con gái => (e)

5 (b) Có vẻõ đường thẳng có độ dốc là - 1/2 => m

= - 1/2 Và tung độ gốc (tung độ giao điểm của

đường thẳng với trục tung là 4/5 => b = 4/5

Vậy U - V lớn nhất => (a)

7 (b) Vì Xét một ván gồm ba vòng, trong đó

người chơi có x + 1, x, và x - 1 giơ tông

Sau vòng 1, người chơi theo thứ tự có x - 2, x + 1,

x giơ tông

Sau vòng 2, người chơi theo thứ tự có x - 1, x - 2,

x + 1 giơ tông Sau vòng 3, người chơi theo thứ tự có x, x - 1, x -

2 giơ tông

Vậy sau mỗi ba vòng, mỗi người chơi đều mất 1 giơ tông, và cứ thế tiếp diễn

Do đó sau 12 ván tức 36 vòng chơi, người chơi A,

B, C còn lại 3, 2, và 1 giơ tông theo thứ tự Thêm một vòng nữa thì A mất hết 3 giơ tông của mình và cuộc chơi kết thúc => (b)

8 (b) Kí hiệu [ .] chỉ diện tích, ta có:

[ABE] - [ABC] = [ADE] + [ABD] - [ABD] [BDC] = [ADE] - [BDC]

Ta có: [ABE] = 1/2 8 4 = 16 và [ABC] = 1/2 6 4

= 6 Vậy hiệu số là 16 - 12 = 4 => (b)

9 (c) Khi đường kính tăng 25%, nó tăng thành

5/4, do đó diện tích đáy tăng (5/4) 2 = 25/16 Để giữ thể tích không đổi, chiều cao phải là

1 16

25 / 1625

chiều cao ban đầu, tức là giảm 36% => (c)

10 (c) Số trung vị là số chính giữa cdua dãy số

khi sắp xếp dãy số theo thứ tự Vì các số nguyên liên tiếp nên số trung vị cũng là số trung bình, do

VIETMATHS.NET

Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vnđó số trung vị là 75 /49 = 73 => (c)

11 (a) Gọi x (tính bằng xu) là số tiền Paula có

ban đầu, và số đồng tiền em có là n

Suy ra x = 80 Do đó dễ thấy Paula có 3 đồng 25

xu, 1 đồng 5 xu, và không có đồng 10 xu nào

Tương tự, phương trình BB' qua B và C là

Trường hợp 3: các đường còn lại qua hai điểm, một đỉnh và một điểm không phải là đỉnh trên cạnh đối diện Có 4 đỉnh và ứng với mỗi đỉnh có hai điểm trên cạnh đối diện , tất cả là 4 2 = 8 Vậy có tất cả 6 + 6 + 8 = 20 đường thẳng => (b)

14 (a) Gọi d là công sai, như vậy 9, 9 + d + 2,

9 + 2d + 20 là ba số hạng của cấp số nhân Suy ra:

(11 + d)2 = 9 (29 + 2d) <=> d2 + 4d - 140 = 0 <=> d = -14 hay d = 10 Vậy giá trị nhỏ nhất là d = - 14 và số hạng thứ ba

là 2(- 14) + 29 = 1 => (a)

15 (c) Gọi x là độ dài của đường đua Khi gặp

lần nhất, Brenda đã chạy 100m, khi đó Sally chạy được x/2 - 100

Trong lần gặp thứ hai, Sally đã chạy 150m, khi đó Brenda đã chạy được x - 150 mét Vì hai người chạy với tốc độ không đổi, ta có tỉ lệ thức:

VIETMATHS.NET

Áp dụng đl Pitago vào tam giác BDE:

r2 + h2 = (2 - r)2 <=> h2 = 4 - 4r (1) Áp dụng Pitago vào tam giác BAE:

r2 + (h + 1)2 = (r + 1)2 <=> h2 + 2h = 2r (2) Thế r từ (2) vào (1): h2 = 4 - 2(h2 + 2h)

<=> 3h2 + 4h - 4 = 0

Vì h > 0, ta được h = 2/3 => 2r = (2/3)2 + 2(2/3) = 16/9 => r = 8/9

=> (d)

20 (e) Ta xét các trường hợp sau:

TH 1 0 + 0 = 0 Xác suất để a < 1/2 và b < 1/2 là (1/2)2 = 1/4 Khi đó c = a + b chạy từ 0 đến 1 và phân phối đối xứng qua 1/2, và ta muốn c < 1/2

Do đó xác suất là (1/4)/2 = 1/8

TH 2 0 + 1 = 1 Xác suất để a < 1/2 và b > 1/2 là 1/4 Lúc này 1/2 < a + b = c < 3/2 => c = 1 (đương nhiên) Do đó xác suất là 1/4

TH 3 1 + 0 = 1 Như trường hợp 2

VIETMATHS.NET

Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vn

TH 4 1 + 1 = 2 Như trường hợp 1

Vậy xác suất cần tìm là:

2(1/8 + 1/4) = 3/4 => (e)

21 (d) Đây là tổng vô hạn của một cấp số nhân,

số hạng đầu là a1 = cos0 = 1, công bội là q

Nối các tâm mặt cầu ta được khối chóp tam giác

đều có cạnh đáy là 2 và cạnh bên là 3 Ta dễ

dàng tính được chiều cao SO của hình chóp này

(e) Vậy không có lý do gì (e) phải bằng 0 Giá trị này chính là P(1), và không có chứng cớ gì để thấy 1 là nghiệm của P(x)

24 (c) Khi đường tròn đỏ di chuyển quanh đoạn

AB, chúng che phủ phần mà ta muốn tìm Ở phía trái, hình tròn quay quanh B Ở bên phải, hình tròn quay quanh A Tuy nhiên ở phía trên và dưới, hình tròn phải qua A và B để cho ta cung

VIETMATHS.NET

giới hạn trên và dưới

S là hình có dạng quả trứng, có diện tích bằng:

2(hình quạt xanh) + 2(hình quạt đỏ) - 2(tam giác đều)

Vì nhân tử duy nhất ở tử ma đi với 98 là 2 do đó n

là nhỏ nhất

Vậy m = 13 37 2 = 962 => (e)

VIETMATHS.NET

Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vn

3 Một hình chữ nhật có đường chéo x gấp hai lần

chiều rộng Tìm diện tích hình chữ nhật

a) x2/4 b) 2x2/5 c) x2/2 d) x2 e) 3x2/2

4 Một cửa hàng bán cửa sổ với giá 100 $ một

chiếc Tuần này cửa hàng khuyến mãi mua bốn

tặng một Dave cần bảy cửa sổ và Dong cần tám cửa

sổ Họ tiết kiệm được bao nhiêu tiền nếu mua

chung chứ không mua riêng?

a) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) 500

5 Trung bình của 20 số là 30, và trung bình của

30 số khác là 20 Trung bình của 50 số trên là

a) 23 b) 24 c) 25 d) 26 e) 27

6 John và Mike ở cách nhau 13 dặm Hôm qua,

John đạp xe đến nhà Mike một lúc sau đó Mike

cũng khởi hành đạp xe thăm John Khi họ gặp

nhau, John đã đi gấp hai thời gian mà Mike đi và

với tốc độ bằng 4/5 tốc độ của Mike Hỏi Mike đã

đi bao nhiêu dặm trước khi gặp nhau?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

7 Hình vuông EFGH ở bên trong hình vuông

ABCD sao cho mỗi cạnh của EFGH có thể được kéo

dài để qua một đỉnh của ABCD Hình vuông ABCD

có độ dài cạnh bằng 50 và BE = 1 Tìm diện tích

ủa hình vuông EFGH

a) 25 b) 32 c) 36 d) 40 e) 42

8 Cho các chữ số A, M và C sao cho

(100A + 10M + C)(A + M + C) = 2005 Tìm A

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

9 Có hai giá trị của a sao cho phương trình

4x2 + ax + 8x + 9 = 0 có nghiệm duy nhất Tìm tổng các giá trị này

a) - 16 b) - 8 c) 0 d) 8 e) 20

10 Một khối lập phương bằng gỗ có độ dài n đơn

vị được sơn đỏ trên tất cả sáu mặt và sau đó được cắt ra thành n3 khối lập phương đơn vị Có đúng một phần tư tổng số các mặt của khối lập phương đơn vị có màu đỏ Tìm n

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

11 Có bao nhiêu số gồm ba chữ số thỏa mãn tính

chất là chữ số chính giữa là trung bình của hai chữ số đầu và cuối?

a) 41 b) 42 c) 43 d) 44 e) 45

12 Một đường thẳng qua điểm A(1, 1) và B(100,

1000) Có bao nhiêu điểm khác có toạ độ nguyên cũng nằm trên đoạn thẳng giữa A và B?

a) 0 b) 2 c) 3 d) 8 e) 9

13 Một ngôi sao năm cánh đều ABCDE được vẽ

và tại mỗi đỉnh có một con số được chọn trong tập hợp {3, 5, 6, 7, 9} Mỗi đỉnh có số khác nhau, ví dụ

A = 3, B = 5, C = 6, D = 7, E = 9 Gọi AB là tổng của các số tại A và B, và tương tự Nếu AB, BC,

CD, DE, và EA lập thành một cấp số cộng (không nhất thiết phải tăng), tìm giá trị của CD

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

14 Người ta xóa ngẫu nhiên một chấm của một

hột xúc sắc tiêu chuẩn, biết rằng các mặt đều có

VIETMATHS.NET

cùng cơ hội như nhau Hột xúc sắc sau đó được đỗ

Tìm xác suất sao cho mặt hiện lên có một số lẻ các

chấm

a) 5/11 b) 10/21 c) 1/2 d) 11/21 e) 6/11

15 Gọi AB là đường kính của đường tròn và C là

điểm trên đoạn AB sao cho 2 AC = BC Gọi D và E

là các điểm đường tròn sao cho DC vuông góc AB

và DE là đường kính thứ hai Tìm tỉ số diện tích hai

tam giác DCE và ABD

a) 1/6 b) 1/4 c) 1/3 d) 1/2 e) 2/3

16 Ba đường tròn có bán kính s được vẽ trong

phần tư thứ nhất của mặt phẳng xy Đường tròn thứ

nhất tiếp xúc với hai trục, đường tròn thứ hai tiếp

xúc với đường tròn thứ nhất và trục x, và đường

tròn tiếp xúc với đường tròn đầu tiên và trục y Một

đường tròn bán kính r > s tiếp xúc với hai trục và

đường tròn thứ hai và thứ ba Tìm r/s

a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10

17 Cắt một khối lập phương hai lần ta được ba

khối lăng trụ tam giác, trong đó có hai khối bằng nhau, như trong hình 1 Khối lập phương sau đó được cắt theo cách tương tự dọc theo các đường gạch đứt đoạn như trong hình 2, ta được chín khối Tìm thể tích khối có chứa đỉnh W

a) 1/12 b) 1/9 c) 1/8 d) 1/6 e) 1/4

18 Một số được gọi là "có dáng nguyên tố" nếu nó

là hợp số nhưng không chia hết cho 2, 3, hoặc 5 Ba số nhỏ nhất "có dáng nguyên tố" là 49, 77, và 91 Có

168 số nguyên tố nhỏ hơn 1000 Hỏi có bao nhiêu số

"có dáng nguyên tố" nhỏ hơn 1000?

a) 100 b) 102 c) 104 d) 106 e) 108

19 Một tốc độ kế của một ô tô đã hỏng nhảy từ

chữ số 3 đến chữ số 5, luôn bỏ qua chữ số 4, dù ở bất cứ vị trí nào Nếu tốc độ kế hiện giờ là 002005,

VIETMATHS.NET

Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vnhỏi ô tô đã thực sự đi được bao nhiêu dặm?

21 Nếu có bao nhiêu cặp ba thứ tự những số

nguyên (a, b, c), với a ≥ 2, b ≥ 1, và c ≥ 0, thỏa

logab = c2005 và a + b + c = 2005?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

22 Một hình hộp chữ nhật P nội tiếp trong hình

cầu bán kính r Diện tích của hình hộp là 384, và

tổng chiều dài 12 cạnh là 112 Tìm r

a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

23 Hai số phân biệt a và b chọn ngẫu nhiên trong

tập hợp {2, 22, 23, , 225} Tìm xác suất sao cho

logab là một số nguyên?

a) 2/25 b) 31/300 c) 13/100 d) 7/50 e) ½

24 Cho P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)

Có bao nhiêu đa thức Q(x) sao cho tồn tại một đa

thức R(x) bậc 3 sao cho

P(Q(x)) = P(x) R(x)

a) 19 b) 22 c) 24 d) 27 e) 32

25 Gọi S là tập hợp những điểm có toạ độ (x, y, z)

trong đó x, y, z được chọn trong tập hợp ({0, 1, 2}

Có bao nhiêu tam giác đều có tất cả đỉnh đều thuộc

S?

a) 72 b) 76 c) 80 d) 84 e) 88

VIETMATHS.NET

4 (a) Với n cửa sổ, cửa hàng giảm giá 100 [n/5]

(hàm số phần nguyên) Dave được giảm giá

100 [7/5] = 100

Và Dong được giảm giá

100 [8/5] = 100

Tổng số là được giảm 200

Nếu mua chung, họ được giảm

100 [15/5] = 300

Do đó họ tiết kiệm được 300 - 200 = 100 => (a)

5 (b) Tổng hai mươi số đầu là 20 30 = 600

Tổng ba mươi số sau là 20 30 = 600

Vậy trung bình của 50 số là:

(600 + 600)/50 = 24 => (b)

6 (b) Gọi dJ và dM là đoạn đường đi của John và

Mike, và gọi t, r là thời gian và tốc độ của Mike,

7 (c) Điều khó khăn nhất trong bài toán này là

hình dung ra hình vẽ Vì mỗi cạnh của hình

vuông EFGH kéo dài đều qua một đỉnh của

ABCD, ta thấy rằng EFGH phải nghiêng như hình vẽ Gọi x là độ dài cạnh hình vuông EFGH Dùng định lí Pythagore trong tam giác vuông ADG

12 + (x + 1)2 = ( 50 )2 => (x + 1)2 = 49 => x = 6 Vậy diện tích hình vuông EFGH là 36 => (c)

8 (d) Phương trình đã cho là phương trình

nguyên, do đó ta phân tích 2005 = 5 401

Dễ thấy rằng: (A, M, C) = (4, 0, 1) => A = 4: (d)

9 (a) Phương trình có thể viết

0 = (2x  3)2 = 4x2  12x + 9 Vậy  12 = a + 8 => a = 4, - 20

Tổng các giá trị của a là - 16 => (a)

nghiệm duy nhất khi biệt số

<=> a 2 + 16a - 80 = 0 Phương trình này có 2 nghiệm mà tổng là - 16

10 (b) Có tất cả 6n3 mặt của khối lập phương đơn vị , trong đó có 6n2 mặt được sơn đỏ

Vậy xác suất là: 6 23 1

VIETMATHS.NET

Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vntất cả 9 5 = 45 số cần tìm => (e)

12 (d)

Để thuận tiện, ta dời A đến điểm gốc và B

đến điểm (99, 999) Đường thẳng AB có phương

trình

y = 999x/99 = 111x/11

Tung độ sẽ nguyên nếu x chia hết cho 11, do đó

x là 11, 22, , 88, có tất cả 8 điểm => (d)

13 (d) AB + BC + CD + DE + EA =

2(A + B + C + D + E)

Tổng A + B + C + D + E luôn bằng:

3 + 5 + 6 + 7 + 9 = 30,

do đó cấp số cộng có tổng là 2 30 = 60

Vì CD là số hạng chính giữa, nên là trung bình

cộng của năm số, và bằng 60/5 = 12 => (d)

14 (d) Có tất cả:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 chấm

Xét các trường hợp sau:

* Chấm được bỏ đi từ một mặt chẵn

Có (2 + 4 + 6)/21 = 4/7 để điều này xảy ra Khi

đó có 4 mặt lẻ, cho ta xác suất là

7 621

* Chấm được bỏ đi từ một mặt lẻ

Có (1 + 3 + 5)/21 = 3/7 để điều này xảy ra Khi

đó có 2 mặt lẻ, cho ta xác suất là

7 67

Vậy đáp số là 8/21 + 1/7 = 11/21 => (d)

15 (b) Gọi O là tâm đường tròn

=> (c)

16 (d) Không mất tính tổng quát có thể giả sử s

= 1 Đoạn nối tâm CD = r + 1

Từ C vẽ đường song song trục x và từ D vẽ đường thẳng song song trục y, chúng tạo với CD thành tam giác vuông CDG có CG = r - 1 và DG

18 (a) Theo đề có 168 số nguyên tố nhỏ hơn

1000, ta nên dùng giả thiết này và sử dụng phương pháp loại trừ Ta chia các số từ 1 đến

1000 thành vài nhóm: S2 nhóm chia hết cho 2, S3

nhóm chia hết cho 3û, S5 nhóm chia hết cho 5, nhóm các số nguyên tố không kể 2, 3, 5 và

VIETMATHS.NET

nhóm số "có dáng nguyên tố"

Do đó số những số "có dáng nguyên tố" là

19 (b) Đếm mà không có chữ số 4 tương đương

với đếm trong cơ hệ 9, chỉ khác là trong cơ hệ 9

thì chữ số 9 không có Vì nhảy số, nên chữ số 5

biểu thị 4 dặm đi, và ô tô đã đi 20049 dặm

Đổi về cơ sô 10:

20059 = 93(2) + 90(5) = 792(2) + 1(5)

= 1458 + 5

= 1463

Vậy đáp số là 1463 - 1 = 1462 => (b)

20 (e) Với hai hàm số f(x) = 2x, 0 ≤ x ≤ 1/2 và

f(x) = 2 - 2x, 1/2 < x ≤ 1 , ta có thể thấy rằng f(x)

luôn thuộc [0, 1], do đó ta không cần lo lắng về

tập xác định của f(n)(x)

Hơn nữa, mỗi lần ta thay đổi f(x), phương trình

cuối cùng sẽ thuộc một dạng khác và do đó ta

được một giá trị khác của x Mỗi lần ta đều có hai

lựa chọn cho f(x) và ta có tất cả 2005 lựa chọn

Do đó, đáp số là 22005 => (e)

21 (d) Ta có: c2005

a = b Xét các trường hợp:

* c = 0: a0 = b => b = 1 Ta được (2004, 1, 0)

* c = 1: a1 = b => a = b Ta được (1002, 1002, 1)

* c ≥ 2: số mũ 22005 của a rất lớn và vì a ≥ 2 nên

số b vô cùng lớn và điều kiện a + b + c = 2005

không thỏa

Vậy chỉ có 3 cặp ba thỏa yêu cầu => (d)

22 (b) Hộp P có kích thước a, b, và c Do đó ta

có

2ab + 2ac + 2bc = 384 4a + 4b + 4c = 112 => a + b + c = 28

Vì đường kính của hình cầu là đường chéo của hình hộp, do đó r = 2 2 2

/ 2

a  b  c

Ta có:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc hay (28)2 = 4r2 + 384 <=> 4r2 = 400

Giá trị lớn nhất của x là 12, và ta được

12 1

 cách chọn ra 2 số phân biệt Vậy xác suất là 62/600 = 31/300 => (b)

24 (b) Vì R(x) có bậc 3 nên P(x) R(x) có bậc 6

Do đó P(Q(x)) có bậc 6, suy ra Q(x) phải có bậc

3 vì P(x) có bậc 3

P(Q(1)) = (Q(1) - 1)(Q(1) - 2)(Q(1) - 3) = P(1) R(1) = 0

P(Q(2)) = (Q(2) - 1)(Q(2) - 2)(Q(2) - 3) = P(2) R(2) = 0

P(Q(3)) = (Q(3) - 1)(Q(3) - 2)(Q(3) - 3) = P(3) R(3) = 0

Suy ra Q(1), Q(2), Q(3) mỗi số phải bằng 1, 2 hay 3 Vì một tam thức xác định duy nhất bằng

ba điểm , có 3 * 3 * 3 = 27 tam thức Q(x) khác nhau sau khi các giá trị Q(1), Q(2), Q(3) được chọn

VIETMATHS.NET

Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vnTuy nhiên ta phải loại trừ ra những trường hợp

Q(x) không phải là tam thức, cụ thể:

Rõ ràng ta không có thêm hàm số hằng nào

khác Đối với mọi hàm bậc nhất, ta có

2 Q(2) = Q(1) + Q(3)

Do đó nên ta cũng không có thêm hàm số bậc

nhất nào khác

Vậy có tất cả 27 - 5 = 22 hàm số Q => (b)

25 (c) Cách 1(không nghiêm nhặt)

Xét khối lập phương đơn vị (có 9 khối) Lấy 1

đỉnh, và nối ba đỉnh kề cận với đỉn ấy, ta được

tam giác đều (hình bên) tam giác đều này có

cạnh bằng 2 Vì thế với mỗi khối lập phương

đơn vị, ta có 8 tam giác đều ứng với 8 đỉnh Vậy

có tất cà 9 8 = 72 tam giác đều

Với khối lập phương có cạnh bằng 2 (chỉ có 1

khối), ta còn được tam giác đều bằng cách nối

trung điểm của ba cạnh không liên tiếp và không

song song (hình dưới)

Chú ý với mỗi cạnh trong nhóm 4 cạnh song

song được chọn, ta có hai tam giác đều (xanh và

đỏ), do đó có tất cả 4 2 = 8 tam giác đều loại

này (có độ dài 6 )

Vậy có tất cả 72 + 8 = 80 tam giác đều

VIETMATHS.NET

NĂM 2006

1 Tìm tổng (- 1)1 + (- 1)2 + + (- 1)2006

a) - 2006 b) - 1 c) 0 d) 1 e) 2006

2 Với mọi số thực x và y, ta định nghĩa

x^y = (x + y)(x - y)

Tìm 3^(4^5)

a) - 72 b) - 27 c) - 24 d) 24 e) 72

3 Một trấn đấu bóng được chơi giữa hai đội

Cả hai đội được 34 điểm, trong khi đội I thắng

hơn điểm đội II 14 điểm Hỏi đội II được mấy

điểm?

a) 10 b) 14 c) 17 d) 20 e) 24

4 Mary trả tiền mua năm món tại cửa hàng

Giá năm món đó là 7$.99, 4$99, 2$99, 1$99, và

0$.99 Mary dùng tờ 20$ đôla để trả Số nào sau

đây gần nhất với số phần trăm của số tiền 20$

mà Mary được thối lại?

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

5 John đi về hướng đông 3 dặm mỗi giờ,

trong khi đó Bob cũng đi về hướng đông, nhưng

với tốc độ 5 dặm mỗi giờ Nếu Bob hiện giờ ở

cách John 1 dặm về hướng tây, hỏi cần bao

nhiêu phút Bob mới bắt kịp được John?

a) 30 b) 50 c) 60 d) 90 e) 120

6 Francesca dùng 100 gam nước cốt chanh, 100

gam đường, và 400 gam nước để làm limonade

Trong 100 gam nước cốt chanh có 25 calori,

trong 100 gam đường có 386 calori Nước không

chứa calori Hỏi trong 200 gam nước lemonade

có bao nhiêu calori?

a) 129 b) 137 c) 174 d) 223 e) 411

7 Ông bà Lopez có hai con Khi họ đi ô to

của mình, hai người ngồi băng trước, và hai người kia ngồi ở băng sau Ông hay bà Lopez phải ngồi vào tay lái Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chổ ngồi?

a) 4 b) 12 c) 16 d) 24 e) 48

8 Các đường thẳng x = y/4 + a và y = x/4 +

b cắt nhau tại điểm (1, 2) Tìm a + b

a) 0 b) 3/4 c) 1 d) 2 e) 9/4

9 Có bao nhiêu những số nguyên chẵn gồm 3

chữ só có tính chất là những chữ số, khi đọc từ trái sang phải, là theo thứ tự tăng dần nghiêm cách

a) 21 b) 34 c) 51 d) 72 e) 150

10 Trong một tam giác có độ dài cạnh là số

nguyên, một cạnh dài gấp ba lần cạnh thứ hai, và chiều dài cạnh thứ ba là 15 Tìm giá trị lớn nhất của chu vi của tam giác

a) 43 b) 44 c) 45 d) 46 e) 47

11 Joe và JoAnn mỗi người mua 12 ao-xơ cà

phê chứa trong một ly dung tích 16 ao-xơ Joe uống 2 ao-xơ cà phê của mình rồi thêm 2 ao-xơ kem JoAnn thêm 2 ao-xơ kem, khuấy tan trong

ly cà phê rồi uống 2 ao-xơ Tìm tỉ số lượng kem trong cà phê của Joe với lượng kem trong cà phê của JoAnn hiện giờ?

a) 6/7 b) 13/14 c) 1 d) 14/13 e) 7/6 VIETMATHS.NET

Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vn

12 Parabol y = ax2 + bx + c có đỉnh (p, p) và

cắt trục y tại (0, - p), trong đó p ≠ 0 Tìm b

a) - p b) 0 c) 2 d) 4 e) p

13 Hình thoi ABCD đồng dạng với hình thoi

BFDE Diện tích của hình thoi ABCD là 24, và

góc BAD = 60o Tìm diện tích của hình thoi

BFDE

a) 6 b) 4 3 c) 8 d) 9 e) 6 3

14 Elmo làm N bánh kẹp Với mỗi bánh kẹp

thịt anh dùng B cục bơ lạc giá 4 xu một cục và

J cục mứt giá 5 xu mỗi cục Giá của bơ lạc và

mứt để làm tất cả bánh kẹp là 2$53 Giả sử B, J,

và N là những số nguyên dương với N > 1 Tìm

giá của mứt mà Elmo dùng để làm bánh kẹp

a) 1.05 b) 1.25 c) 1.45 d) 1.65 e) 1.85

15 Các đường tròn có tâm O và P có bán kính

2 và 4, tiếp xúc ngoài nhau Những điểm A và

B trên đường tròn tâm O, và các điểm C và D

trên đường tròn tâm P, sao cho đoạn AD và BC

là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn

Tìm diện tích lục giác AOBCPD

a) 18 3 b) 24 2 c) 36 d) 24 3 e) 32 2

16 Lục giác đều ABCDEF có đỉnh A và C ở

(0, 0) và (7, 1) Tìm diện tích của nó

a) 20 3 b) 22 3 c) 25 3 d) 27 3 e) 50

17 Ta có hai hột xúc sắc đặc biệt trong đó xác

suất để ném được 1, 2, 3, 4, 5, và 6 theo tỉ lệ 1: 2: 3: 4: 5: 6 Tìm xác suất để ném hai hột được tổng hai mặt là 7

a) 4/63 b) 1/8 c) 8/63 d) 1/6 e) 2/7

18 Một vật thể trong mặt phẳng chuyển động

từ điểm mắt lưới đến mắt lưới khác Tại mỗi bước, vật thể có thể di chuyển một đơn vị sang phải, một đơn vị sang trái, một đơn vị lên hay xuống Nếu vật thể bắt đầu từ điểm gốc và đi một đoạn đường gồm mười bước, hỏi có bao nhiêu điểm khác nhau có thể là điểm cuối cùng?

a) 120 b) 121 c) 221 d) 230 e) 231

19 Ông Jones có tám đứa con tuổi tác khác

nhau Cả gia đình đi chơi, đứa con lớn nhất 9 tuổi trông thấy một bảng số xe có 4 chữ số trong đó có 2 cặp chữ số giống nhau "nhìn kìa ba!" cô bé la lên "Số đó chia hết cho mỗi tuổi của tụi con!" "Đúng vậy," Ông Jones trả lời, "và hai chữ số cuối cùng của nó đúng là tuổi của ba." Số nào dưới đây không phải là tuổi của một VIETMATHS.NET

trong những đứa con của ông Jones?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

20 Gọi x là số được chọn ngẫu nhiên từ

khoảng (0, 1) Tìm xác suất sao cho

[log104x] - [log10x] = 0?

Trong đó [x] chỉ số nguyên lớn nhất nhỏ hơn

hay bằng x

a) 1/8 b) 3/20 c) 1/6 d) 1/5 e) ¼

21 Hình chữ nhật ABCD có diện tích 2006

Một elip có diện tích 2006 đi qua A và có tiêu

điểm ở B và D Tìm chu vi của hình chữ nhật

(Diện tích hình elip là ab trong đó 2a và 2b là

độ dài hai trục.)

a) 16 2006/ b) 1003/4 c) 8 1003

d) 6 2006 e) 32 1003 /

22 Biểu thức (x + y + z)2006 + (x - y - z)2006

có thể được khai triển và rút gọn những số

hạng đồng dạng Kết quả còn lại mấy số hạng?

a) 6018 b) 671,676 c) 1,007,514

d) 1,008, 016 e) 2, 015,028

23 Các tam giác cân ABC vuông tại C Điểm

P bên trong tam giác sao cho PA = 11, PB = 7,

và PC = 6 Các cạnh góc vuông AC và BC có

độ dài s = a b 2, trong đó a và b là những

số nguyên dương Tìm a + b

a) 85 b) 91 c) 108 d) 121 e) 127

24 Gọi S là tập hợp tất cả những điểm (x, y)

trong mặt phẳng toạ độ sao cho 0 ≤ x ≤ /2 và

0 ≤ y ≤ /2

Tìm diện tích của tập con của S trong đó

sin2x - sinxsiny + sin2y ≤ 3/4

Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vn

3.(a) Số điểm của đội II là (34 - 14)/2 = 10 => (a)

4.(a) Giá tiền tổng cộng của các món đồ là

(8 - 0 01) + (5 - 0 01) + (3 - 0 01) + (2 - 0 01)

+ (1 - 0 01) = 19 - 0 05 = 18 95

Số tiền thối là 20 - 18.95 = 1 05

Vậy phần trăm là:

20

100 05

1 x = 5 25 => (a)

5 (a) Mỗi giờ Bob đi hơn John 5 - 3 = 2 dặm Vì

Bob ở sau John 2 dặm nên sẽ cần 1/2 giờ = 30

phút mới bắt kịp John => (a)

6 (b) Có 25 + 386 = 411 calori trong 600 gam

lemonade Do đó có 411/3 = 137 calori trong 200

gam lemonade => (b)

7 (b) Trước tiên ta xếp chổ ngỗi các bé

Bé đầu tiên có thể đặt ngồi trong 3 chổ

Bé thứ hai có thể đặt ngồi trong 2 chổ

Tiếp theo có 2 x 1 cách xếp chổ ngồi cho người

9 (b) Số phảøi tìm là abc

Vì a khác 0 và c chẵn, do đó b có thể chọn từ 2 đến 7

* b = 2: Suy ra a = 1 (1 cách chọn), còn c có 3 cách chọn

* b = 3: a có 2 cách chọn, còn c có 3 cách chọn

* b = 4: a có 3 cách chọn còn c có 2 cách chọn Và cứ thế Đáp số là

52

10 (a) Nếu gọi x là cạnh có độ dài cạnh thứ hai,

thì độ dài cạnh thứ nhất là 3x, và độ dài cạnh thứ

ba là 15 Theo bất đẳng thức trong tam giác, ta có:

x + 15 > 3x => x < 7 5

Vì ta muốn chu vi lớn nhất nên ta lấy x lớn nhất ,

do đó x = 7 Vậy cạnh đầu tiên là 21

Chu vi là 21 + 7 + 15 = 43 => (a)

11 (e) Joe có 2 ao-xơ kem trong ly cà phê như

đề bài

JoAnn có 14 ao-xơ thức uống, và uống 1/7

ly cà phê kem Do đó cô đã uống 1/7 lượng kem, còn lại 2 (6/7) ao-xơ kem

Vậy tỉ số là:

)7/6(.2

2 = 7/6 => (e)

12 (d) Thế (0, - p) vào phương trình parabol:

- p = a(0)2 + b(0) + c => c = - p

VIETMATHS.NET

Vậy phương trình parabol là y = ax2 + bx - p

Hoành độ đỉnh của parabol là x = p = - b/2a

13 (c) Tỉ số diện tích hai hình thoi là bình phương

tỉ số hai cạnh hay hai đường chéo tương ứng của

Vậy tỉ số hai diện tích là 1/3

Do đó diện tích hình thoi BFDE là 24/3 = 8

=> (c)

14 (d) Theo đề bài, ta biết rằng

253 = N(4B + 5J) (đơn vị là xu)

Vì 253 = 11 23, và vì N là một số nguyên, nên

4B + 5J = 11 hay 23

Ta thấy ngay không có số nguyên dương B và J

thỏa giá trị 11, do đó 4B + 5J = 23

(OA + DP) OH = (2 + 4) 32

= 24 2 => (b)

16 (c) Gọi O là tâm lục giác Vì 6 tam giác cân

như trong hình đều bằng nhau nên diện tích lục giác bằng hai lần diện tích tam giác đều ACE Mà AC2 = 72 + 12 = 50 nên diện tích cần tìm là

Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vntrên hột thứ hai là

441

621

6.21

Tương tự với 5 trường hợp khác

Vậy xác suất cần tìm là

63

8441

56441

4.3441

5.3441

18 (b) Gọi điểm đầu là (0, 0) Sau mười bước ta

có thể đến vị trí (x, y) trong đó |x| + |y| ≤ 10

Hơn nữa, mỗi bước sẽ làm thay đổi tính chẵn lẻ

của đúng một toạ độ Suy ra sau 10 bước ta chỉ

có thể ở tại vị trí (x, y) trong đó x + y là chẵn

Có thể chứng minh dễ dàng là những vị trí thỏa

mãn hai điều kiện vừa nêu đều có thể đi đến

được

Khi đã chọn x thuộc { - 10, , 10} , ta có

11 - |x| cách chọn cho y, thành ra có tất cả 121 vị

trí có thể => (b)

19 (b) Gọi a, b là các chữ số trong bảng số xe

Đầu tiên số xe chia hết cho 9 và có dạng aabb,

abba hay abab Theo điều kiện chia hết cho 9, ta

suy ra tổng các chữ số a + b chia hết cho 9

Sau khi thử bằng các giá trị khác nhau, ta đi đến

b = 0 hay 5

Nêu b = 5, số không thể chia hết cho 2

Nếu b = 0, số phải là 9900, và không chia hết

Phương trình thứ hai cho 10k ≤ 4x < 10k + 1

Kết hợp, ta được: 10k ≤ x <

4

10k1

Suy ra với mỗi số nguyên k, ta được một khoảng

giá trị, và những khoảng này đôi một cách biệt

* Với k ≥ 0 khoảng tương ứng cách biệt với (0, 1), do đó bị loại

* Với k < 0, các khoảng nghiệm đều nằm trong (0, 1) Do đó đáp số là tổng độ dài của các khoảng nghiệm ứng với k < 0

Độ dài khoảng nghiệm ứng với k là

2

10.3104

 

6

19

1.2

3 10102

21 (e) Gọi l và w là chiều dài và rộng của hình

chữ nhật Gọi 2a là trục lớn và 2b là trục nhỏ, ta có: lw = ab = 2006

TỪ định nghĩa của elip: l + w = 2a (1) Đường chéo của hình chữ nhật BD là tiêu cự của elip, cho ta: l2 + w2 = 4c2 = 4(a2 - b2) (2)

22 (d) Đặt P = y + z, biểu thức thành:

d(x + P)2006 + (x - P)2006

Dùng công thức khai triển nhị thức, ta được

xn + Pxn - 1 + + Pn - 1x + Pn + xn - Pxn - 1 + -

Pn - 1x + PnVIETMATHS.NET

(ta có thể bỏ đi hệ số vì chỉ quan tâm đến số các

số hạng)

Đơn giản ta được :

2( xn + P2xn - 2 + + Pn - 2x2 + Pn)

Ta có thể bỏ các số 2 và tất cả số hạng x thì kết

quả vẫn không thay đổi Do đó ta cần tìm số các

số hạng của biểu thức

1 + P2 + P4 + + P2004 + P2006

Vì P = y + z nên Pn có n + 1 số hạng Do đó biểu

thức sẽ có

1 + 3 + 5 + + 2005 + 2007 số hạng

Ta dễ dàng tìm được tổng này vì là tổng của

1004 số lẻ liên tiếp, và bằng

7225170

144

169

26

2 4

2

3sin

2

12

cos3

Bằng cách thử bằng điểm (π/6, π/6), điểm này thỏa bất phương trình đã cho, chứng tỏ diện tích cần tìm là diện tích hình ngũ giác chứa điểm gốc

Ta có thể tính diện tích này bằng cách lấy diện tích hình vuông trừ đi diện tích ba tam giác, và được A = π2/6 => (c)

VIETMATHS.NET

Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vn

25 (b) Từ điều kiện an + 2 = |an + 1 - an| suy ra an + 3

và an cùng chẵn hay cùng lẻ với mọi n ≥ 1

Vì a2006 lẻ nên a2 cũng lẻû Vì a2006 = 1 và an là bội

số của USCLN (a1, a2) với mọi n, suy ra

1 = USCLN (a1, a2) = USCLN(33 37, a2)

Có 499 sổ lẻ trong khoảng [1, 998], trong đó có

166 số là bội số của 3, 13 số là bội số của 37, và

4 bội số của 3 37 = 111 Do đó số những giá trị

của a2 không thể vượt quá:

499 - 166 - 13 + 4 = 324

Để chứng tỏ thực sự có đúng 324 giá trị, chú ý

rằng với n ≥ 3, an < max(an - 2, an - 1) bất cứ khi

nào an - 2 và an - 1 đều dương

Do đó aN = 0 với số N 1999 nào đó

Nếu USCLN(a1, a2) = 1, thì aN - 2 = aN - 1 = 1, và

với n > N dãy số tuần hoàn qua các giá trị 1, 1, 0

Ngoài ra nếu a2 lẻ, thì a3k + 2 lẻ với mọi k ≥ 1, do

đó a 2006 = 1

VIETMATHS.NET

Năm 2007

1 Mỗi vé xem hát giá 20 đôla Susan mua 4 vé sử

dụng khuyến mãi giảm 25% giá vé Pam mua 5 vé sử

dụng khuyến mãi giảm 30% giá vé Hỏi Pam trả hơn

Suasan mấy đôla?

a) 2 b) 5 c) 10 d) 15 e) 20

2 Một hồ nuôi các cảnh hình hộp chữ nhật có

kích thước 100cm x 40 cm, chiều cao 50 cm, chứa

đầy nước đến chiều cao 40 cm Trong hồ ta đặt một

viên đá có kích thước 40cm x 20 cm x 10 cm Hỏi

mực nước trong hồ dâng lên bao nhiêu cm?

a) 0.5 b) 1 c) 1.5 d) 2 e) 2.5

3 Trong hai số nguyên lẻ liên tiếp, số lớn gấp ba

số nhỏ Tìm tổng của chúng

a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 e) 20

4 Kate đi xe đạp trong 30 phút với tốc độ 16

dặm/giờ, sau đó đi bộ trong 90 phút với tốc độ 4

dặm/giờ Hỏi tốc độ trung bình trong lộ trình của cô

tính bằng dặm/giờ

a) 7 b) 9 c) 10 d) 12 e) 14

5 Năm ngoái ông Public nhận thừa kế Ông phải

trả thuế liên bang 20% trên thừa kế nhận được, và

10% thuế tiểu bang trên phần thừa kế còn lại Tổng

cộng ông đã trả 10500 $ cho hai loại thuế Hỏi thừa

kế ông nhận được là bao nhiêu đôla?

a) 30000 b) 32 500 c) 35 000 d) 37 500 e) 40 000

6 Tam giác ABC và ADC cân với AB = BC và

AD = DC Điểm D ở bện trong tam giác ABC, góc

ABC là 400, và góc ADC là 1400 Tìm số đo độ của

góc BAD

a) 20 b)30 c) 40 d) 50 e) 60

7 Cho a, b, c, d, và e là năm số hạng liên tiếp của

một cấp số cộng, và giả sử a + b + c + d + e = 30 Trong năm số trên, có thể tính được số nào?

a) a b) b c) c d) d e) e

8 Một đa giác hình sao được vẽï trên mặt đồng hồ

bằng cách vẽ dây cung từ số 12 đến 5, từ 5 đến 10, từ

10 đến 3, , cuối cùng trở lại số 12 Tìm góc ở mỗi đỉnh của đa giác sao tính bằng độ

a) 20 b) 24 c) 30 d) 36 e) 60

9 Yan đang ở giữa đường từ nhà mình đến sân

vận động Để đến sân vận động, anh có thể đi bộ thẳng đến đó hoặc đi bộ về nhà lất xe đạp đạp đến sân vận động Anh đạp xe nhanh gấp 7 lần đi bộ, và cả hai cách đều chiếm cùng thời gian như nhau Tìm tỉ số khoảng cách từ chỗ Yan đến nhà và đến sân vận động

a) 2/3 b) 3/4 c) 4/5 d) 5/6 e) 7/8

10 Một tam giác có độ dài cạnh theo tỉ lệ 3 : 4 : 5

nội tiếp trong đường tròn bán kính 3 Tìm diện tích của tam giác

a) 8.64 b) 12 c) 5π d) 17.28 e) 18

11 Một dãy số hữu hạn gồm các số nguyên có ba

chữ số có tính chất là chữ số hàng chục và chữ số đơn vị của mỗi số hạng theo thứ tự là chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục của số hạng tiếp theo, và chữ số hàng chục và chữ số đơn vị của số hạng cuối cùng theo thứ tự là chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục của số hạng cuối cùng Chẳng hạn dãy số như thế có thể bắt đầu với các số hạng 247, 475 và

756, và kết thúc với số hạng 824 Gọi S là tổng của tất cả các số hạng trong dãy Tìm thừa số nguyên tố lớn nhất luôn chia hết S

a) 3 b) 7 c) 13 d) 37 e) 43

VIETMATHS.NET

Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vn

12 Các số nguyên a, b, c và d không nhất thiết

phân biệt, được chọn ngẫu nhiên và độc lập trong

những số từ 0 đến 2007, kể cả 0 và 2007 Tìm xác

suất để được ad - bc là số chẵn

a) 3/8 b) 7/16 c) 1/2 d) 9/16 e) 5/8

13 Một mẩu phô mai rớt tại điểm (12, 10) trong

mặt phẳng toạ độ Một chú chuột chạy theo đường

thẳng y = - 5x + 18 Đến điểm (a, b), chú ta bắt đầu

đi xa mẩu phô mai hơn là đi gần Tìm a + b

15 Tập hợp {3, 6, 9, 10} được bổ sung thêm phần tử

thứ năm, không bằng với bốn số trên Số trung vị

năm số bây giờ thì bằng với số trung bình Tìm

tổng tất cả những giá trị có thể có của n

a) 7 b) 9 c) 19 d) 24 e) 26

16 Có bao nhiêu số có ba chữ số được tạo thành

bởi ba chữ số phân biệt sao cho một chữ số là trung

bình của hai chữ số kia

19 Tam giác ABC và ADE có diện tích 2007 và

7002 theo thứ tự, với B = (0, 0), C = (223, 0), D = (680, 380), và E = (689, 389) Tìm tổng tất cả những hoành độ có thể có của A

a) 282 b) 300 c) 600 d) 900 e) 1200

20 Cắt góc tại đỉnh một khối lập phương đơn vị

sao cho sáu mặt của nó thành một bát giác đều Tìm tổng thể tích các tứ diên được cắt bỏ

a)

3

72

5  b)

3

27

10 c)

3

22

3

d)

3

112

8  e)

3

24

6

21 Tổng các nghiệm, tích các nghiệm và tổng các

hệ số của hàm số f(x) = ax2 + bx + c đều bằng nhau Giá trị chung ấy phải là giá trị nào dưới đây? a) hệ số của x2 b) hệ số của x

c) tung độ mà đồ thị y = f(x) cắt trục y

d) một hoành độ giao điểm của đồ thị y = f(x) với trục x

e) trung bình của hoành độ hai giao điểm với trục x

22 Với mỗi số nguyên dương n, gọi S(n) là tổng

các chữ số của n Có bao nhiêu giá trị của n sao cho

n + S(n) + S(S(n)) = 2007?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

23 Hình vuông ABCD có diện tích 36, và đoạn

AB song song với trục x Các đỉnh A, B, và C lần lượt nằm trên đồ thị y = logax, y = 2logax, và y = 3logax theo thứ tự Tìm a

a) 6 3 b) 3 c) 3 6 d) 6 e) 6

VIETMATHS.NET

24 Với mỗi số nguyên n > 1, đặt F(n) là số các

nghiệm của phương trình sinx = sin(nx) trên đoạn

[o, π]



2007 2

)(

25 Ta gọi một tập hợp các số nguyên là thoáng

nếu nó không chứa nhiều hơn một số trong bất kỳ

ba số nguyên liên tiếp nào Hỏi trong tập hợp {1, 2,

3, , 12} có bao nhiêu tập con thoáng, kể luôn tập

2 (d) Thể tích gạch là 8000 cm3 Đáy hồ có diện tích 4000cm2 Với mỗi cm dâng lên, thể tích nước tăng 4000 cm3; do đó khi thể tích tăng 8000cm3

thì nước dâng cao thêm 2 cm => (d)

3.(a) Gọi n là số nguyên nhỏ, ta có:

Vậy n = 1 => (a)

4.(a) Quảng đường Kate đi là :

16 (1/2) + 4 (3/2) = 14 dặm Thời gian đi mất hai giờ, do đó tốc độ trung bình là :

14/2 = 7 dặm/giờ => (a)

5 (d) Sau khi trả thuế , ông còn 0.8 x 0.9 = 0.72

phần thừa kế còn lại

Vì 10500 là 0.28 thừa kế nên toàn bộ thừa kế là

BAD = BAC - DAC = 50 => (d)

7 (c) Gọi f là công sai,

VIETMATHS.NET

Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vn

Vì không xác định được f, ta không thể biết được

giá trị những số hạng khác => (c)

8 (c) Góc giữa 12, 5 và 10 chắn cung bằng 1/6

đường tròn có số 60o, do đó góc đó bằng 30o

=> (c)

9 (b) Gọi khoảng cách từ vị trí đầu của Yan đến

vận động trường là a và khoảng cách từ vị trí đầu

của Yan đến nhà là b Ta tìm b/a từ phương trình

10 (a) Tam giác này vuông nên cạnh huyền là

đường kính đường tròn => 2r = 6 Các canh còn

lại là: 6 (4/5) = 4.8 và 6 (3/5) = 3.6 và diện tích

là : (1/2)(4.8)(3.6) = 8.64 => (a)

11 (d) Một chữ số cho trước xuất hiện là chữ số

hàng trăm, hàng chục, và đơn vị của một số hạng với cùng số lần như nhau

Gọi k là tổng các chữ số đơn vị trong tât cả số hạng Thế thì S = 111k = 3 37k, do đó S phải chia hết cho 37 => (d)

Để thấy nó khôngcần chia hết cho số nguyên tố nào lớn hơn, dảõy 123, 231, 312 cho ta

S = 666 = 2 32 37

12 (e) Những lúc duy nhất mà ad - bc chẵn là

khi ad và bc cùng chẵn hay cùng lẻ

Xác suất để ad lẻ là 1/2 1/2 = 1/4, do đó xác suất chẵn là 3/4

Vậy xác suất ad - bc chẵn là

(1/4)2 + (3/4)2 = 5/8 => (e)

13 (b) Ta phải tìm chân đoạn vuông góc từ A(12,

10) đến đường thẳng y = - 5x + 18

Phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với đường thẳng y = - 5x + 18 là

=> 2 + 8 = 10 => (b)

14 (c) Nếu biểu diễn số 45 thành tích của năm

số nguyên phân biệt , thì trị tuyệt đối của tích bốn

VIETMATHS.NET

số ít nhất là |(- 3)(- 1)(1)(3)| = 9, do đó không thể

có nhân tử nào có trị tuyệt lớn hơn 5

Do đó các nhân tử là năm trong các số  3,

1,  5

Tích của sáu số này là - 225 = (- 5)(45), do đó

các nhân tử là - 3, - 1, 1, 3 và 5 Các giá trị tương

ứng của a, b, c, d, e là 9, 7, 5, 3 và 1, và tổng

của chúng là 25 => (c)

15 (e) Số trung bình là 6, 9, hay n Xét các

trường hợp sau:

* Trung bình là 6: Thì n ≤ 6 và

26

5

1096

* Trung bình là 9: Thì n ≥ 9 và

17 9

5

10 9 6

3     n   n 

* Trung bình là n: Thì 6 < n < 9 và

75

1096

Cả ba trường hợp đều có giá trị, do đó kết quả là

2 + 7 + 17 = 26 => (e)

16 (c) Ta có thể tìm số các cấp số cộng tăng có

độ dài 3 từ 0 đến 9, và sau đó tìm tất cả các

hoán vị có thể có của những dảõy này

Công sai Dãy số Số các dãy

1 012, , 789 8

2 024, , 579 6

3 036, , 369 4

4 048, , 159 2

Có tất cả 2 + 4 + 6 + 8 = 20 dãy số Mỗi dãy cho

ta 3! = 6 hoán vị, như vậy có tất cả 120 số

Tuy nhiên ta phải loại ra những số bắt đầu bằng

0, có 2! 4 = 8 số như thế, do đó đáp số là 112 =>

=> cos(a - b) = 1/3 => (b)

18 (d) Một đa thức bậc 4 có 4 nghiệm Vì các hệ

số là thực, các nghiệm còn lại phải là số liên hiệp của hai nghiệm đã cho, tức là 2 - i và - 2i Suy ra:

[x - (2 + i)][x - (2 - i)](x - 2i)(x + 2i) = 0 hay (x2 - 4x + 5)(x2 + 4) = 0

hay x4 - 4x3 + 9x2 - 16x + 20 = 0 Đáp số là - 4 + 9 - 16 + 20 = 9 => (d)

Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vn

Thể tích của khối tứ diện tại mỗi góc có chiều

cao là x/ 2 và đáy là tam giác vuông cân, diện

tích (1/2)( x/ 2)2 = x2/4, nên có thể tích là

(1/3)(x2/4)( x/ 2) = x3/12 2

Thế giá trị của x, ta được thể tích tứ diện đã cắt

ra ở mỗi góc là

24

27

Có tất cả 8 khối, do đó (b)

21 (a) Tổng hai nghiệm là - b/a, tích hai nghiệm

là c/a, và tổng các hệ số là a + b + c Ta có

- b/a = c/a => b = - c

Suy ra a + b + c = a + b - b = a, do đó giá trị

chung cũng bằng hệ số a của x2 => (a)

Để bác bỏ những lựa chọn khác, chú ý:

* (b): thì b = - b/a, không nhất thiết đúng

* (c): thì c = c/a, không nhất thiết là đúng

* (d): hoành độ giao điểm là nghiệm của phương

trình, như vậy đã loại bỏ nghiệm kia

* (e): trung bình của hoành độ là phân nửa tổng

22 (d) Rõ ràng n > 1900 Ta có thể xét ba trường

hợp sau:

TH1: n ≥ 2000 Quan sát ta được n = 2001 TH2: n < 2000, n = 19xy, x + y < 10

Nếu thiết lập phương trình, ta đi đến 4x + y =

32 Phương trình có nghiệm duy nhất thỏa điều kiện x = 8, y = 0

logax2 = y => x2 = ay = (ay/2)2 = x2

Vì khoảng cách giữa A và B là 6, ta có

x2 - x - 6 = 0, cho ta x = - 2 và 3

Tuy nhiên, nghiệm âm bị loại

Thế x = 3 vào phương trình cuối cùng:

1

)12()

2/1(2

x

(j nguyên dương)

Vì x ≤ π nên j ≤ n/2 Do đó có 1 + [n/2]

nghiệm trong trường hợp này

Phương trình sau cho:

1

22

VIETMATHS.NET

(k nguyên dương)

Vì x ≤ π nên k ≤ (n - 1)/2 Do đó có [(n - 1)/2]

nghiệm trong trường hợp này

Tuy nhiên phải loại ra những nghiệm trùng, xảy

ra khi

)1(2

)1)(

12(1

21

)1

k n

j  

tức là 2(n + 1) chia hết (2j + 1)(n - 1)

Nếu n chẵn, thì (2j + 1)(n - 1) là lẻ, do đó điều

này không xảy ra

Nếu n = 3 (mod 4), thì không có trùng nghiệm, vì

một bội số của 8 không thể chia hết một số

không phải là bội số của 4

Chỉ còn trường hợp n = 1(mod 4) Trong trường

hợp này, (n + 1)/2 chia hết (2j + 1)(n - 1)/4

Vì (n + 1)/2 và (n - 1)/4 là nguyên tố cùng nhau

(trừ hai lần số thứ hai cho số thứ nhất được 1),

(n + 1)/2 phải chia hết 2j + 1

Những tập con thoáng của Sn + 1 có thể chia

thành hai nhóm:

* A = những tập con không chứa n + 1 Rõ ràng

|A| = Sn

* B = những tập con chứa n + 1 ta có |B| = Sn - 2,

vì bỏ số n + 1 từ bất kỳ tập nào trong B cũng cho

một tập hợp thoáng với mọi phần tử nhiều nhất là

bằng n - 2, và mỗi tập hợp thoáng như thế có thể

được tạo thành từ đúng một tập hợp thoáng trong

41, S(1)) = 60, S(11) = 88, và S(12) = 129 Đáp số là (e)

VIETMATHS.NET

Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vn

Năm 2008

1 Ông chủ bật một máy làm bánh lúc 8:30 AM

Đến 11:10 AM máy đã hoàn tất một phần ba công

việc của ngày Hỏi đến mấy giờ thì máy hoàn tất

công việc của ngày?

1  là a) 6/7 b) 7/6 c) 5/3 d) 3 e) 7/2

3 Giả sử 2/3 của 10 trái chuối bằng giá với 8 trái

cam Hỏi bao nhiêu trái cam có giá bằng 1/2 của 5

4 4 12

16

 là một số nguyên Phát biểu nào sau đây đúng đối với x?

a) x là số âm

b) x chẵn, những không nhất thiết là bội số của 3

c) x là bội số của 3, nhưng không nhất thiết chẵn

d) x là bội số của 6, nhưng không nhất thiết là bội

số của 12

e) x là bội số của 12

6 Heather so sánh giá của một máy tính mới tại

hai cửa hàng khác nhau Cừa hàng A rao bớt 15% so

với giá niêm yết sau đó nhận được 90$ tiền thưởng,

còn cửa hàng B rao bớt 25% so với giá niêm yết

cũng bằng giá niêm yết ở cửa hàng A Heather tiết

kiệm được 15$ khi mua máy tính ở cửa hàng A thay

vì cửa hàng B Hỏi giá niêm yết của máy tính là bao nhiêu đôla?

a) 750 b) 900 c) 1000 d) 1050 e) 1500

7 Trong khi Steve và Leroy câu cách cách bờ biển

1 dặm, thuyền của họ bị thủng, và nước tràn vào với tốc độ 10 galong mỗi phút Thuyền câu sẽ chìm nếu nước vào hơn 30 galong Steve bắt đầu chèo vào bờ với tốc độ 4 dặm một giờ, trong khi Leroy tát nước

ra khỏi thuyền Tìm tốc độ nhỏ nhất, tính bằng galong mỗi phút, mà Leroy phải tát nước ra để họ có thể đến bờ mà không bị chìm

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

8 Tìm thể tích của khối lập phương có diện tích

mặt ngoài gấp hai lần diện tích của khối lập phương có thể tích bằng 1?

a) 2 b) 2 c) 2 2 d) 4 e) 8

9 Màn hình TV đời cũ có tỉ số tương quan hình

ảnh là 4: 3 Nghĩa là tỉ số giữïa chiều rộng và chiều cao là 4 : 3 Nhiều phim lại không có tỉ số tương quan này, do đó khi chiếu lên màn hình TV 4:3, người ta phải che lại phần dư bằng hai dãy băng đen bằng nhau ở phía trên và dưới màn hình Giả sư một phim có tỉ số tương quan 2 : 1 được chiếu trên

TV đời cũ có đường chéo màn hình là 27 inch HỏÛi chiều cao, tính bằng inch, của mỗi dãy đen che a) 2 b) 2.25 c) 2.5 d) 2.7 e) 3

10 Dough có thể quét vôi căn phòng trong 5 giờ

Dave có thể quét cũng gian phòng ấy trong 7 giờ Dough và Dave cùng quét vôi căn phòng và nghĩ một giờ để ăn trưa Gọi t là tổng thời gian tính bằng

VIETMATHS.NET

giờ mà họ cần để hoàn tất công việc cùng nhau, kể

cà giờ ăn trưa Phương trình nào dưới đây thỏa bởi t?

11 Ba khối lập phương mỗi khối được tạo thành

bởi mô hình cho bởi hình dưới Sau đó chúng được

xếp chồng lên nhau trên bàn sao cho 13 số thấy

được có tổng số lớn nhất như có thể Tổng số này là

bao nhiêu?

a) 154 b) 159 c) 164 d) 167 e) 189

12 Một hàm số f có tập xác định [0, 2] và tập giá

trị [0, 1] Tập xác định và tập giá trị của hàm số g

định bởi g(x) = 1 - f(x + 1) lần lượt là

a) [- 1, 1], [ - 1, 0] b) [-1, 1], [0, 1]

c) [0, 2], [ - 1, 0] d) [1, 3], [ - 1, 0]

e) [1, 3], [0, 1]

13 Những điểm A và B nằm trên đường tròn tâm

O và góc AOB = 60o Một đường tròn thứ hai tiếp

xúc trong với đường tròn thứ nhất và tiếp xúc với

cả đoạn OA lẫn OB Tìm tỉ số diện tích của đường

tròn nhỏ với đường tròn lớn?

16 Số log(a3b7), log(a5b12), và log(a8b15) là ba số hạng đầu tiên của một cấp số cộng, và số hạng thứ 12 là log(bn) Tìm n

2 /1 1

n

n

a a

Có bao nhiêu số nguyên dương a1 ≤ 2008 sao cho a1

nhỏ hơn a2, a3, và a4? a) 250 b) 251 c) 501 d) 502 e) 1004

18 Một tam giác ABC có cạnh 5, 6, 7 , đặt trong

hệ trục Oxyz sao cho một đỉnh thuộc trục x, một đỉnh thuộc trục y , và một đỉnh thuộc trục z Tìm thể tích khối OABC

a) 85 b) 90 c) 95 d) 10 e) 105

19 Trong khai triển tích

(1 + x + x2 + + x27)(1 + x + x2 + + x14)2, tìm hệ số của x28

a) 195 b) 196 c) 224 d) 378 e) 405

20 Tam giác ABC có AC = 3, BC = 4, và AB = 5

Điểm D trên cạnh AB và và CD chia đôi góc vuông Các đường tròn nội tiếp tam giác ADC và BCD có bán kính ra và rb.Tìm tỉ số ra/ rb

28

)210(

21 Một hoán vị (a1, a2, a3, a4 a5) của (1, 2, 3, 4, 5)

nếu an-1 chẵn nếu an-1 lẻ

VIETMATHS.NET

Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vn

được gọi to đuôi nếu a1 + a2 < a4 + a5 Có bao nhiêu

hoán vị to đuôi?

a) 36 b) 40 c) 44 d) 48 e) 52

22 Một bàn tròn có bán kính 4 Sáu tấm đệm

hình chữ nhật được đặt trên bàn Mỗi tấm có chiều

dài x và chiều rộng là 1 (xem hình dưới) Chúng

duopc sắp xếp sao cho mỗi tấm có hai góc ở mép

bàn, và hai góc này là hai góc trên chiều dài x Hơn

nữa, các tấm đệm được đặt sao cho các góc trong

của chúng chạm với các góc trong của những tấm

kế cận Tìm x

a) 2 5 3 b) 3 c)

2

37

d) 2 3 e)

2

32

5

23 Các nghiệm của phương trình

z4 + 4z3i - 6z2 - 4zi - i = 0

là đỉnh của một đa giác lồi trong mặt phẳng phức

Tìm diện tích của đa giác

a) 25/8 b) 23/4 c) 2 d) 25/4 e) 23/2

24 Tam giác ABC có góc C = 60o và BC = 4

Điểm D là trung điểm của BC Tìm giá trị lớn nhất

Giả sử (a100, b100) = (2, 4), tìm a1 + b1 a) 97

21

 b)

99

21

Vì máy bắt đầu chạy lúc 8: 30 AM, nên công việc

kết thúc lúc 4: 30 PM => (d)

2 (a) Vì (1/2 + 2/3) = 7/6 nên nghịch đảo là 6/7

=> (a)

3 (c) (2/3) 10 = 20/3 trái chuối bằng 8 trái cam,

do đó 1 trái chuối bằng : 8/(20/3) = 6/5 trái cam

Suy ra 5/2 trái chuối bằng

(5/2)(6/5) = 3 trái cam

=> (c)

4 (b) Tích phải tính bằng:

5024

20082008

.2004

2004 12

5 (b) Ta có: (2x/3) - (x/6) = x/2 là số nguyên nên

x là số chẵn => (b)

6 (a) Tiền thưởng 90$ của cửa hàng A tốt hơn

10% khuyến mãi của cửa hàng B là 15$ Do đó

khuyến mải 10% bằng với 90 - 15 = 75 $

Suy ra giá niêm yết là 750 $ => (a)

7 (d) Phải cần 1/4 giờ = 15 phút để đến được

bờ

Vì chỉ có 30 galong nước được phép tràn vào

thuyền nên chỉ có 30/15 = 2 galong được phép

tràn vào mỗi phút Vì mỗi phút có 10 galong nước

tràn vào nên Leroy phải tát 10 - 2 = 8 galong

nước mỗi phút => (d)

8 (c) Thể tích khối lập phương là 1 thì cạnh có

độ dài là 1, suy ra diện tích mặt ngoài là 6 12 =

6

Do đó diện tích khối lập phương đã cho có diện tích mặt ngoài là 2 6 = 12 và độ dài cạnh là 2, suy ra có thể tích là ( 2)3 = 2 2 => (c)

9 (d) Cho chiều rộng và chiều cao của màn hình

là 4x và 3x, và chiều rộng và chiều cao của phim chiếu là 2y và y Theo định lí Pitago, đường chéo

(4x)+

232

2

3x y  x x  x  = 2.7 => (d)

10 (d) Doug quét vôi 1/5 căn phòng mỗi giờ

Dave quét 1/7 căn phòng mỗi giờ Hai người làm chung trong t - 1 giờ, do đó ta có phương trình (1/5 + 1/7)( t - 1) = 1 => (d)

11 (c) Để làm tổng của 13 mặt thấy được lớn

nhất, ta có thể làm tổng của những số trên 5 mặt

bị che nhỏ nhất

Hai khối phía dưới mỗi khối có cặp mặt đối diện

bị che Khi gấp mô hình để tạo ra khối thì các mặt đối diện là (1, 32), (2, 16), và (4, 8)

Rõ ràng 4 + 8 = 12 có tổng nhỏ nhất Khối trên cùng có một mặt bị che Mặt có số nhỏ nhất là mặt 1

Do đó, tổng nhỏ nhất của 5 mặt bị che là 2 12 +

1 = 25 Vì tổng của những số trên tất cả các mặt

VIETMATHS.NET

Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vnlà : 3(32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1) = 189, do đó tổng

lớn nhất của 13 mặt thấy được là:

189 - 25 = 164 => (c)

12 (b) g(x) được xác định khi f(x + 1) xác định

Do đó tập xác định là mọi x sao cho x + 1 

[0, 2] => x  [ - 1, 1]

Vì f(x + 1)  [0, 1] nên - f(x + 1)  [ - 1, 0]

Do đó: g(x) = 1 - f(x + 1)  [0, 1] là tập giá trị của

g(x)

Vậy đáp số là [ - 1, 1], [0, 1] => (b)

13 (b) Gọi P là tâm đường tròn nhỏ có bán kính

r, và Q là tiếp điểm của đường tròn nhỏ với OA

Gọi C là tiếp điểm của hai đường tròn

Tam giác PQO là tam giác nửa đều, do đó:

14 (a) Diện tích không đổi qua phép tịnh tiến, do

đó sau khi dời sang 6 đơn vị và lên trên 7/2 đơn

vị, ta có bất đẳng thức:

|3x| + |2y| ≤ 3 tạo thành một hình kim cương (hình thoi) tâm là gốc O và có đỉnh (± 1, 0), (0, ± 1 5)

Do đó độ dài các đường chéo là 2 và 3 Suy ra diện tích là:

(1/2) 2 3 = 3 => (a)

15 (d) k = 20082 + 22008  82 + 24  4 + 6  0 (mod 10)

Vì thế k2  0 (mod 10)

Vì k = 20082 + 22008 là một bội số của 4 và chữ số đơn vị của những lũy thừa của 2 lặp lại theo chu kỳ của 4, 2k  24  6 (mod 10)

Do đó k2 + 2k  0 + 6  6 (mod 10)

Vì thế chữ số đơn vị là 6 => (d)

16 (d) Đặt A = log(a) và B = log(b)

Ba số hạng đầu tiên lần lượt là 3A + 7B, 5A + 12B, 8A + 15B, và số hạng thứ 12 là nB

17 (d) Mọi số nguyên dương có thể biểu diễn

dưới dạng 4n, 4n + 1, 4n + 2, hoặc 4n + 3, trong đó n là số nguyên không âm

* Nếu a1 = 4n, thì a2 = 4n/2 = 2n < a1

* Nếu a1 = 4n + 1, thì a2 = 3(4n + 1) + 1 = 12n + 4, và a3 = (12n + 4)/2 = 6n + 2, và a4 = (6n + 2)/2 = 3n + 1 < a1

* Nếu a1 = 4n + 2, thì a2 = 2n + 1 < a1

* Nếu a1 = 4n + 3, thì a2 = 3(4n + 3) + 1

= 12n + 10, và a3 = (12n + 10)/2 = 6n + 5,

VIETMATHS.NET

và a4 = 3(6n + 5) + 1 = 18n + 16

Vì 12n + 10, 6n + 5, 18n + 16 > 4n + 3, mỗi số

nguyên dương a1 = 4n + 3 sẽ thỏa mãn:

a1 < a2, a3, a4

Vì một phần bốn của những số a1 ≤ 2008 có thể

biểu diễn dưới dạng 4n + 3, trong đó n là một số

nguyên không âm, đáp số là 2008/4 = 502

=> (d)

18 (c) OA = a, OB = b, OC = c với AB = 5, BC =

6, CA = 7

Ta có: a2 + b2 = 52 , b2 + c2 = 62, c2 + a2 = 72

Cộng hai phương trình đầu và cuối rồi trừ với

phương trình giữa, ta được:

a2 = (52 + 72 - 62)/2 = 19

Tương tự: b2 = 6 và c2 = 30

Vì OA, OB, OC vuông góc từng đôi một nên thể

tích OABC là abc/6 = (19 6 30)/6 = 95 => (c)

19 (d) Đặt A = (1 + x + x2 + + x14) và

B = (1 + x + x2 + + x27)

Ta khai triển A A B

Vì có 15 số hạng trong A, nên có 152 = 225 cách

chọn một số hạng từ mỗi A Tích của những số

hạng được chọn là xn với n là số nguyên từ 0 đến

28

Với n ≠ 0, có một và chỉ một x28 - n trong B Ví dụ,

nếu ta chọn x2 từ A, thì có đúng một số hạng

trong B, cụ thể là x24 để tích là x28

Vì chỉ có một cách để chọn một số hạng từ mỗi A

để có tích là x0, nên có 225 - 1 = 224 cách để chọn một số hạng từ mỗi A và một số hạng từ B để được tích là x28

Vậy hệ số của x28 là 224 => (c)

20 (a) Theo tính chất phân giác:

/32/2

7/20





Ta biết công thức diện tích tam giác :

|  | = rs với r là bán kính đường tròn nội tiếp và s là nửa chu vi, do đó :

b b

a a

r s

r s BCD

=> (e)

21 (d) Có tất cả 5! = 120 hoán vị

Với mỗi hoán vị (a1, a2, a3, a4, a5) sao cho

a1 + a2 < a4 + a5, có chính xác một hoán vị sao cho a1 + a2 > a4 + a5, do đó ta chỉ cần đếm số hoán vị sao cho a1 + a2 = a4 + a5

1 + 4 = 2 + 3, 1 + 5 = 2 + 4, và 2 + 5 = 3 + 4 là

VIETMATHS.NET

Thi Học Sinh Giỏi Toán THPT Hoa Kỳ www.hoctoancapba.com.vnnhững hoán vị duy nhất thỏa a1 + a2 = a4 + a5

Có 3 hoán vị các số, 2 khả năng các số a1 + a2

và a4 + a5 thuộc vế trái hay phải, và 22 = 4 khả

năng để sắp xếp a1 , a2 , a4 , a5, do đó có tất cả

Vì có 6 tấm đệm nên tam giác BOC đều, gọi x là

cạnh của nó Suy ra:

góc OCD = góc OCB + góc BCD

3  => (c)

23 (d) Phương trình có thể viết:

z4 + 4z3i + 6z2i2 + 4zi3 + i4 = 1 + i

<=> (z + i)4 = 1 + i = 2(cosπ/4 + isinπ/4)

Ta có thể áp dụng phép tịnh tiến - i và phép quay

góc - π/4 (bảo toàn diện tích) để đơn giản thành:

z4 = 21/2

Các nghiệm của phương trình này được tạo ra bằng cách quay gócπ/2 lần lượt bốn lần quanh gốc O, ta được đa giác là hình vuông, độ dài nửa đường chéo là (21/2)1/4 = 21/8

Do đó diện tích hình vuông là:

2

) 2 2 ( 1/8 2 = 25/4 => (d)

24 (d)

Đặt x = CA, ta có:

tan(BAD) = tan(BAF - DAE) Mà tan(BAF) = 2 3/(x - 2)

và tan(DAE) = 3 /(x - 1), ta có theo công thức cộng:

tan =

8331

3.2

321

1

32

32

x x

x x

Ta có:

3243

8.2388

x x

3

 => (d)

25 (d) Dãy này có thể biểu diễn bằng cách sử

dụng phép nhân ma trận như sau:

n

n o o

o o

n n n

n

b

a b

a b

a

30cos30

sin

30sin30

cos23

1

13

đồng hồ và sau đó phóng to (phép vị tự) tâm là

gốc toạ độ với tỉ số là 2

Thành ra, bắt đầu với (a100, b100), ta đi ngược lại

phép biến đổi trên 99 lần sẽ được (a1, b1)

Quay điểm (2, 4) cùng chiều kim đồng hồ một

góc 99 30o  90o sẽ cho ta điểm (4 , - 2)

Phép vị tự tỉ số 1/299 sẽ cho ta điểm (a1, b1) =

(4/299, - 2/299) = (1/297, - 1/298)

Vậy a1 + b1 = 1/298 => (d)

VIETMATHS.NET