kỹ thuật lũy thừa trong dạy học toán ở trường phổ thông

Hàm lũy thừa Theo giáo trình này thì khái niệm lũy thừa với số mũ thực không được đưa vào một cách tường minh mà nó xuất hiện ngầm ẩn thông qua định nghĩa của hàm mũ và các tính chất của

KHÁI NIỆM LŨY THỪA TRONG DẠY HỌC TOÁN

Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Nguyễn Thị Tố Như

[A] Toán cao cấp, tập 2: Phép tính vi phân- Các hàm thông dụng, Guy Lefort

[B] Les Logarithmes et leurs applications, André Delachet

[C] Đại số và giải tích 11, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, 2000, NXBGD

[M] Giải Tích 12 nâng cao, BKHTN, Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, 2008, NXBGD

VIETMATHS.NET

MỞ ĐẦU

I Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Lũy thừa là một đối tượng toán học được đưa vào từ đầu cấp hai và kết thúc ở cuối cấp 3, mặc dù số lượng và nội dung của nó rất ít nhưng nó có một vai trò rất lớn trong chương trình toán Chúng tôi đặc biệt quan tâm đến lũy thừa bởi những lý do sau đây:

- Qua các lần cải cách giáo dục thì mở rộng khái niệm lũy thừa vẫn được đưa vào đầu chương: hàm số mũ-hàm số lôgarit, sau khi học giới hạn Điều đó dẫn chúng tôi đến câu hỏi: Có hay không sự phụ thuộc của lũy thừa vào giới hạn? Lũy thừa có vai trò gì trong việc nghiên cứu hàm mũ

và hàm lôgarit?

- Ở chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000 thì mở rộng khái niệm lũy thừa được đưa vào sau chương giới hạn và trước chương đạo hàm, nhưng sang chương trình cải cách năm 2005 thì nó được đưa vào chương trình lớp 12 sau khi đã học xong chương “đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm” Sự thay đổi này có ý nghĩa như thế nào? Tại sao lại có sự thay đổi đó? Tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa qua hai bộ SGK có gì thay đổi hay không? Khi học khái niệm lũy thừa học sinh gặp phải những khó khăn gì?

- Sau khi tham khảo luận văn của tác giả Nguyễn Hữu Lợi và Phạm Trần Hoàng Hùng, tôi thấy khái niệm lũy thừa, hàm mũ và hàm lôgarit có mối quan hệ mật thiết với nhau Đồng thời, mở rộng khái niệm lũy thừa có thể đưa vào sau khái niệm hàm mũ và hàm lôgarit Từ đó, chúng tôi đặt

ra câu hỏi: tại sao SGK hiện hành lại chọn tiến trình ngược lại? Ý nghĩa của tiến trình đó là gì?

- Có những tương đồng và khác biệt gì về sự xuất hiện cũng như vai trò của lũy thừa trong chương trình đại học và trong chương trình phổ thông ?

2 Mục đích nghiên cứu và khung lý thuyết tham chiếu

Mục đích nghiên cứu của luận văn này là tìm câu trả lời cho một số câu hỏi đặt ra ở trên

Để tìm kiếm câu trả lời, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết didactic toán Cụ thể:

- Lý thuyết nhân chủng học: Quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một tri thức toán học, tổ chức toán học, chuyển đổi didactic

- Hệ sai lầm và khái niệm chương ngại

- Lý thuyết tình huống: Hợp đồng didactic, biến didactic…

 Lý thuyết nhân chủng học

VIETMATHS.NET

Ở đây, chúng tôi chỉ mô tả ngắn gọn hai khái niệm cần tham chiếu của lý thuyết nhân chủng học để tìm câu trả lời cho những câu hỏi đặt ra

 Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân đối với một tri thức

 Tổ chức toán học

Hoạt động toán học là một bộ phận của các hoạt động trong một xã hội; thực tế toán học cũng

là một kiểu thực tế xã hội nên cần xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó

Chính trên quan điểm này mà Yves Chevallard (1998) đã đưa ra khái niệm praxéologie

Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần [T,,,], trong đó T là một

kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật cho phép giải quyết T;  là công nghệ giải thích cho kỹ thuật ;  là lý thuyết giải thích cho công nghệ 

Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một TCTH Bosch M và Y Chevallard (1999) nói rõ: “Mối quan hệ thể chế với một đối tượng, đối với một

vị trí thể chế xác định, được định hình và biến đổi bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân chiếm vị trí này phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định Chính việc thực hiện những nhiệm

vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó

nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn đến làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên”

Do đó, việc phân tích TCTH liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép ta vạch rõ mối quan

hệ R(I,O) của thể chế I đối với tri thức O, từ đó hiểu được quan hệ cá nhân X (chiếm một vị trí nào

đó trong I – giáo viên hay học sinh chẳng hạn) duy trì đối với tri thức O

VIETMATHS.NET

Việc chỉ rõ các TCTH liên quan đến tri thức O cũng giúp ta xác định một số quy tắc của hợp đồng didactic: mỗi cá nhân có quyền làm gì, không có quyền làm gì, có thể sử dụng tri thức O như thế nào chẳng hạn

 Chuyển đổi didactic

Quá trình chuyển đổi thể hiện ở 3 mắc xích sau:

 Mắt xích thứ nhất :  đối tượng tri thức (thể chế tạo tri thức)

Sự tồn tại của một “tri thức khoa học” đã đòi hỏi một sự soạn thảo Ta có thể xem nó như kết quả của một hoạt động khoa học Đây là một hoạt động của con người, gắn liền với lịch sử cá nhân nhà nghiên cứu Nhà nghiên cứu đặt ra một vấn đề Để giải quyết nó, ông ta phải khám phá ra những kiến thức, mà một số trong những kiến thức này được nhà nghiên cứu nhận thấy là đủ mới, đủ hay,

có thể thông báo cho cộng đồng khoa học Để thông báo, nhà nghiên cứu tạo cho những kiến thức này một dạng khái quát nhất có thể được, theo quy tắc suy lý logic đang lưu hành trong cộng đồng khoa học Sự biến đổi kiến thức như vậy là một phần rất quan trọng của hoạt động toán học

«Một nhà nghiên cứu, để thông báo cho những nhà nghiên cứu khác cái mà ông ta nghĩ rằng đã tìm thấy, phải biến đổi nó :

- trước hết nhà nghiên cứu xóa đi thời kỳ khai thủy của nghiên cứu : những suy nghĩ vô ích, những sai lầm, những con đường vòng lắt léo, rất dài, thậm chí dẫn đến ngõ cụt Nhà nghiên cứu cũng bỏ

đi tất cả những gì liên quan đến động cơ cá nhân hay nền tảng hệ tư tưởng của khoa học theo nhận

thức của mình Chúng tôi dùng từ phi cá nhân hóa để chỉ tập hợp những sự gạt bỏ này

- nhà nghiên cứu cũng xóa đi lịch sử trước đó đã dẫn mình đến nghiên cứu này (những mò mẫm, những con đường sai lầm), có khi còn tách nó ra khỏi bài toán đặc biệt mà lúc đầu mình muốn nghiên cứu và tìm một bối cảnh tổng quát nhất sao cho trong đó kết quả vẫn đúng Chúng tôi gọi

việc làm này là phi hoàn cảnh hóa.» (Arsac 1989)

 Mắt xích thứ hai : đối tượng tri thức  đối tượng cần giảng dạy (thể chế chuyển đổi)

Để cho một tri thức có thể đưa ra dạy ở trường được, tức là có thể trở thành một đối tượng cần giảng dạy, thì điều cần thiết là tri thức đó phải chịu một số ràng buộc nào đó

Sau đây là danh sách mà Chevallard đã đưa ra (1985, theo Verret 1975) :

- Tính đơn nhất của tri thức [nghĩa là khả năng vạch ranh giới những tri thức bộ phận có thể được trình bày trong một bài diễn văn tự do]

- tính phi cá nhân hóa của tri thức [nghĩa là sự tách rời tri thức ra khỏi cá nhân]

- sự chương trình hóa việc tiếp thu tri thức [nghĩa là lập chương trình cho việc dạy và kiểm tra tri trức]

VIETMATHS.NET

- tính công khai của tri thức [nghĩa là định nghĩa tường minh trong nội hàm và ngoại diên]

 Mắt xích thứ ba : đối tượng cần giảng dạy  đối tượng được giảng dạy (thể chế dạy

học)

Chính ở bước này mà giáo viên can thiệp : chuyển đổi didactic được tiếp tục trong chính hệ thống dạy học

 Hệ sai lầm và khái niệm chương ngại

Theo Brousseau, nếu có những sai lầm nào đó của học sinh mang tính hời hợt, hết sức riêng biệt, thì cũng có những sai lầm khác khiến chúng ta phải quan tâm, đó chính là những sai lầm không phải ngẫu nhiên học sinh phạm phải

Sai lầm không chỉ đơn giản là do thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra, mà còn là hậu quả một kiến thức trước đây đã từng tỏ ra có ích, đem lại thành công, nhưng bây giờ lại tỏ ra sai hoặc đơn giản là không còn thích hợp nữa Những sai lầm dạng này không phải thất thường hay không dự đoán được trong hoạt động của học sinh, sai lầm bao giờ cũng góp phần xây dựng nên nghĩa của kiến thức thu nhận được Thêm vào đó, những sai lầm ấy, ở cùng một chủ thể, thường liên

hệ với nhau trong một nguồn gốc chung: một cách nhận thức, một quan niệm đặc trưng nhất quán- nếu không nói là đúng đắn, một “kiến thức” cũ đã từng đem lại thành công trong một lĩnh vực hoạt động nào đó

Đặc trưng của chướng ngại là gì?

 Chướng ngại là một kiến thực, một quan niệm chứ không phải là một khó khăn hay một sự thiếu kiến thức

 Kiến thức này tạo ra những câu trả lời phù hợp trong bối cảnh nào đó mà ta thường hay gặp

 Nhưng khi vượt ra khỏi bối cảnh này thì nó sản sinh những câu trả lời sai Để có câu trả lời đúng cho mọi bối cảnh cần phải có những thay đổi đáng kể trong quan điểm

 Hơn nữa kiến thức này chống lại những mâu thuẫn với nó và chống lại sự thiết lập một kiến thức hoàn thiện hơn Việc có một kiến thức khác hoàn thiện hơn chưa đủ để kiến thức sai này biến mất, mà nhất thiết phải xác định được nó và đưa việc loại bỏ nó vào tri thức mới

 Ngay cả khi chủ thể ý thức được sự không chính xác của kiến thức chướng ngại này, nó cũng tiếp tục xuất hiện dai dẳng và không đúng lúc

 Lý thuyết tình huống

Trong phần này, chúng tôi cũng chỉ đề cập đến khái niệm cần tham chiếu là hợp đồng didactic

VIETMATHS.NET

Hợp đồng didactic

Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng tri thức là sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ của giáo viên cũng như của học sinh đối với đối tượng đó Nó là một tập hợp những quy tắc (thường không được phát biểu tường minh) phân chia và giới hạn trách nhiệm của mỗi thành viên, học sinh và giáo viên, về một tri thức toán học được giảng dạy

Khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta giải thích các ứng xử của giáo viên và học sinh, tìm

ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một cách rõ ràng và chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học

Theo Annie BESSOT và Claude COMITI (2000), để thấy được hiệu ứng của các hợp đồng didactic, người ta có thể tiến hành như sau:

 Tạo ra một biến loạn trong hệ thống giảng dạy sao cho có thể đặt những thành viên chính (giáo

viên và học sinh) trong một tình huống khác lạ, được gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng bằng cách:

+ Thay đổi các điều kiện sử dụng tri thức;

+ Lợi dụng việc học sinh chưa biết vận dụng một số tri thức nào đó;

+ Tự đặt mình ra ngoài lĩnh vực tri thức đang xét hoặc sử dụng những tình huống mà tri thức đang xét không giải quyết được;

+ Làm cho giáo viên đối mặt với những ứng xử không phù hợp với điều mà họ mong đợi ở học sinh

 Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại, bằng cách:

+ Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học;

+ Phân tích các đánh giá toán học của học sinh trong việc sử dụng tri thức;

+ Phân tích những bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong sách giáo khoa

Đặc biệt, ta cũng có thể nhận ra một số yếu tố của hợp đồng didactic đặc thù cho tri thức bằng cách nghiên cứu những tiêu chí hợp thức hóa việc sử dụng tri thức, việc sử dụng tri thức đó không chỉ được quy định bởi các văn bản hay định nghĩa của tri thức mà còn phụ thuộc vào tình huống vận dụng tri thức, vào những ước định được hình thành (trên cơ sở mục tiêu didactic) trong quá trình giảng dạy Những tiêu chí xác định tính hợp thức của tri thức trong tình huống này không còn phụ thuộc vào bản thân tri thức nữa mà phụ thuộc vào các ràng buộc của hệ thống didactic

Bất kỳ việc dạy một đối tượng tri thức mới nào cũng tạo ra những phá vỡ hợp đồng so với đối tượng tri thức cũ và đòi hỏi thương lượng lại những hợp đồng mới: học tập là quá trình học sinh làm quen với giá trị của những sự phá vỡ này thông qua thương lượng với giáo viên Theo Brousseau, sự thương lượng này tạo ra một loại trò chơi có luật chơi ổn định tạm thời, cho phép các thành viên

VIETMATHS.NET

chính, nhất là học sinh đưa ra các quyết định trong một chừng mực an toàn nào đó, cần thiết để bảo đảm cho họ sự độc lập đặc trưng của quá trình lĩnh hội

Việc nghiên cứu quy tắc của hợp đồng didactic là cần thiết vì để chuẩn bị cho một tương lai, giáo viên phải xem xét đến quá khứ mà hợp đồng hiện hành là dạng thể hiện thực tế của nó Hợp đồng mà giáo viên tác động tiến triển không liên tục, mà được tạo thành từ một chuỗi biến cố rất nhỏ nối tiếp nhau, tương ứng với những sự phá vỡ hợp đồng Phá vỡ hợp đồng là nguyên tắc chủ đạo để có sự tiến triển mong đợi

3 Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu

Trong phạm vi khung lý thuyết tham chiếu, chúng tôi trình bày lại câu hỏi nghiên cứu như sau:

1 Trong thể chế dạy học toán ở bậc đại học, khái niệm lũy thừa xuất hiện theo những tiến

trình nào? Nó có vai trò gì đối với các kiến thức toán học khác? Ý nghĩa của tiến trình đó?

2 Trong thể chế dạy học phổ thông Việt Nam, khái niệm lũy thừa được đưa vào như thế nào?

Nó có vai trò gì trong việc xây dựng khái niệm hàm số mũ và hàm số lôgarit? Các TCTH nào được xây dựng xung quanh khái niệm lũy thừa? Có những thay đổi nào về TCTH được xây dựng xung quanh khái niệm lũy thừa qua các thời kỳ? Có sự khác biệt và tương đồng nào giữa mối quan hệ thể chế với mở rộng khái niệm lũy thừa ở bậc đại học và ở bậc trung học phổ thông? Tìm hiểu sự thay đổi vị trí của lũy thừa trong hai bộ SGK, lí do và ý nghĩa của sự thay đổi đó? Những sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi học và làm việc với lũy thừa?

3 Những quy tắc hợp đồng nào được hình thành giữa giáo viên và học sinh khi dạy và học về

khái niệm lũy thừa?

4 Mối quan hệ thể chế với khái niệm lũy thừa có ảnh hưởng như thế nào lên mối quan hệ cá nhân giáo viên và học sinh với lũy thừa?

4 Phương pháp nghiên cứu

Để đạt được mục đích nghiên cứu đã đề ra, chúng tôi dùng phương pháp nghiên cứu như sau:

- Phân tích một số giáo trình đại học để tìm hiểu cách xây dựng, con đường mở rộng khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học, ý nghĩa của tiến trình đó, cũng như vai trò của nó

- Phân tích thể chế dạy học khái niệm lũy thừa ở bậc trung học phổ thông, so sánh sự khác biệt giữa thể chế đại học và thể chế trung học phổ thông về con đường mở rộng lũy thừa, qua đó tìm hiểu về sự thay đổi vai trò của lũy thừa trong hai lần cải cách SGK gần đây

- Từ những kết quả đạt được ở trên cho phép chúng tôi đề xuất những câu hỏi mới và giả thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng của nó sẽ được kiểm chứng bằng thực nghiệm

VIETMATHS.NET

 Chương I: Khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học

Phân tích khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học Cụ thể là phân tích khái niệm lũy thừa trong một số giáo trình đại học để tìm hiểu tiến trình xuất hiện nó, đặc trưng của các tiến trình này? Vai trò của lũy thừa đối với khái niệm hàm mũ và hàm lôgarit

 Chương II: Khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức cần giảng dạy

Phân tích khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức cần giảng dạy Cụ thể, phân tích chương trình, SGK lớp 6, 7 và hai bộ SGK là Đại số và giải tích 11 (CLHN năm 2000) và SGK Giải tích 12 nâng cao (2005) để làm rõ mối quan hệ thể chế với khái niệm lũy thừa So sánh vai trò của lũy thừa trong hai bộ sách So sánh việc xây dựng khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học và cấp độ tri thức cần giảng dạy Thông qua việc phân tích chương trình và các TCTH, chúng tôi sẽ rút ra các QTHĐ liên quan đến việc dạy và học khái niệm lũy thừa, cũng như những sai lầm mà học sinh gặp phải khi học lũy thừa

 Chương III: Thực nghiệm

Chúng tôi thực nghiệm trên học sinh và giáo viên nhằm tìm hiểu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh, cũng như tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của họ về đối tượng tri thức lũy thừa

- Phần kết luận: Trình bày tóm tắt những kết quả đạt đươc ở ba chương trên và mở ra hướng

nghiên cứu mới từ luận văn có thể có

- Tài liệu tham khảo

VIETMATHS.NET

1.1 Khái niệm lũy thừa trong giáo trình [A]

Khái niệm lũy thừa với số mũ thực được đề cập trong chương 8 với nhan đề “CÁC HÀM LÔGARIT, HÀM MŨ VÀ LŨY THỪA”, thứ tự các mục trong chương như sau:

I Hàm lôgarit

II Hàm mũ III Hàm lũy thừa Theo giáo trình này thì khái niệm lũy thừa với số mũ thực không được đưa vào một cách tường minh mà nó xuất hiện ngầm ẩn thông qua định nghĩa của hàm mũ và các tính chất của hàm

mũ Khái niệm lũy thừa đã được đưa vào giáo trình [A] theo tiến trình sau:

1.1.1 Giai đoạn xuất hiện ngầm ẩn của khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số e qua định nghĩa và tính chất của hàm mũ e

Do khái niệm lũy thừa với số mũ thực được đưa vào ngầm ẩn trong định nghĩa hàm mũ e nên

để hiểu rõ hơn vấn đề này ta hãy xem xét định nghĩa hàm mũ e:

“Ta biết rằng (mệnh đề 2) nếu t là một số thực cho trước, thì phương trình:

Căn bậc nVIETMATHS.NET

có một và chỉ một nghiệm, nó là một số dương thực sự ký hiệu expt (đọc là êch-pônen t) Liên

hệ với mỗi số thực t một số expt ta xác định một ánh xạ từ R vào R + * gọi là hàm mũ e; hàm

này là ngược của hàm lôgarit nêpe (định nghĩa hàm ngược đã trình bày ở 9-1)

Cho t ba giá trị 0, 1 và logs (với s>0) ta được các nghiệm :

exp0=1 ; exp1=e ; exp(logs)=s” (tr 79)

Theo định nghĩa này thì số e được giới thiệu là giá trị của hàm mũ e tại điểm 1, nhưng chưa

cho biết giá trị thực của nó Mặt khác, để định nghĩa hàm mũ e, trước đó giáo trình đã đưa vào khái niệm hàm lôgarit nêpe trong mục I, với kí hiệụ Log (mà SGK Việt Nam thường kí hiệu là ln) Vì vậy, ta hãy quay lại định nghĩa hàm logarit nêpe đã được trình bày trước đó để xem số e được giới

thiệu như thế nào và giá trị của nó bằng bao nhiêu?

Hàm logairt được định nghĩa tổng quát như sau:

“Một hàm logarit là một ánh xạ từ R *

+ vào R nghiệm phương trình:

(E) f(xt)=f(x)+f(t)

với x và t bất kì trong R * + ” [1,trang 71]

Sau đó, giáo trình [A] đi tìm nghiệm của phương trình (E) với giả thiết hàm f là khả vi Kết quả

chứng minh được rằng: “Các nghiệm của phương trình (E) là:

Nguyên hàm bằng 0 tại 1 của hàm x 1

Mặc dù hàm logarit nêpe đã được định nghĩa nhưng khái niệm cơ số vẫn chưa được đề cập

Khái niệm cơ số chỉ xuất hiện khi định nghĩa hàm logairt cơ số a:

“Hàm logarit cơ số a, ký hiệu log a được xác định trong R *

+ bởi:

log log

log

a

x x

Khác với cách hiểu số e trong định nghĩa hàm mũ e, e ở đây được hiểu là một số mà tại đó hàm logarit nêpe bằng 1: Loge=1 và e=2,71828 1828 hơn kém 5.10-10

Mặt khác, hàm mũ e là hàm số ngược của hàm logarit nepe nên Loge=1  e=exp1 (Đúng theo định nghĩa hàm mũ) Do đó, số e được định nghĩa trong hai trường hợp này là như nhau

Hàm logarit và hàm mũ e đã được định nghĩa Tuy nhiên, khái niệm lũy thừa chưa xuất hiện Sau khi đưa ra định nghĩa hàm mũ e là hàm số ngược của hàm logarit nêpe, các tính chất của hàm mũ e cũng được trình bày tường minh:

“Nếu u, v, u 1 , …,u n là các số thực tuỳ ý và n là một số nguyên dương thì:

Thông qua tính chất (3) exp(nu)=(expu) n ta thấy định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên dương

của một số thực dương đã được đưa vào trước đó: a.a…a=an (tích n số a với aR)

Do hàm mũ e được định nghĩa trên cơ sở hàm lôgarit nêpe nên các tính chất trên hoàn toàn được suy ra từ tính chất đại số của lôgarit nêpe Cũng từ hệ thức (3) giáo trình cho biết thêm:

« Nếu u=1 hệ thức (3) có dạng :

expn=(exp1) n =e n

Phương trình này thiết lập với n nguyên dương, được mở rộng cho mọi giá trị thực :

Ký hiệu e x (đọc «e mũ x») được xác định với mọi số thực x bởi “expx=e x ” [tr 80]

Theo trích đoạn trên thì ex chính là giá trị của hàm mũ e tại điểm x Ngoài ra, ex còn được hiểu như là lũy thừa của e với số mũ thực x

Việc mở rộng lũy thừa cơ số e từ số mũ nguyên dương sang số mũ thực được thực hiện dưới

dạng « expx=e x » chứ không trình bày định nghĩa một cách tường minh

Như phần trình bày trên ta thấy nghĩa của lũy thừa với số mũ thực x, cơ số e chính là giá trị của hàm mũ e tại điểm x

Giáo trình cũng cho thấy sự khác biệt rõ nét giữa lũy thừa với số mũ thực và số mũ nguyên

dương thông qua chú ý : « Nhưng ký hiệu này không cho phép coi e x như một tích các thừa số bằng

e trừ trường hợp x là số nguyên dương » [tr 81]

VIETMATHS.NET

Qua cách trình bày của giáo trình này ta thấy rằng trước khi có một định nghĩa dưới dạng quy ước về lũy thừa với số mũ thực cơ số e thì các tính chất của lũy thừa với số mũ thực cơ số e đã được đưa vào ngầm ẩn thông qua tính chất đại số của hàm mũ e

Khái niệm hàm mũ e, tính chất hàm mũ e đã được trình bày một cách tường minh, thông qua

đó khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số e và các tính chất của nó đã ngầm ẩn xuất hiện Tuy nhiên, nó vẫn chưa có tên gọi một cách chính thức là lũy thừa cơ số e với số mũ thực Hay ta nói rằng, khái niệm và tính chất của hàm mũ e là cơ sở để đưa vào khái niệm và các tính chất của lũy thừa cơ số e với số mũ thực

1.1.2 Giai đoạn xuất hiện ngầm ẩn của khái niệm lũy thừa với số mũ thực, cơ số a qua định nghĩa hàm mũ cơ số a

Theo giáo trình này thì «hàm mũ cơ số a là hàm ngược của hàm lôgarit cơ số a » và biểu thức

biểu diễn hàm mũ cơ số a được xác định như sau :

« Với mọi số thực t, phương trình :

log a x=t  logx t logx t.loga

số mũ nguyên dương

Ở đây lũy thừa cơ số a với số mũ nguyên dương được định nghĩa thông qua hàm mũ a Ngoài

cách viết hàm mũ a là: x=exp(tLoga), hàm mũ a còn có cách viết khác theo trích đoạn sau:

« Với mọi số thực t ta dùng kí hiệu : x=exp(tLoga)=a t

Đây là một định nghĩa của kí hiệu a t (với t nguyên cách viết đó đã được định nghĩa như một tích các thừa số và trong trường hợp này hai định nghĩa là đồng nhất)» [tr83]

Trong trường hợp t là số thực, người ta vẫn dùng kí hiệu at như là exp(tLoga) Hàm mũ a còn được viết dưới dạng: x=at Kí hiệu at cũng chính là lũy thừa cơ số a với số mũ thực Ta thấy lũy thừa cơ số a với số mũ thực vẫn được định nghĩa tương tự như số mũ nguyên dương- định nghĩa thông qua hàm mũ a Theo giáo trình [A], lũy thừa với số mũ thực t, cơ số a chính là giá trị của hàm

VIETMATHS.NET

mũ a tại điểm t Ngoài ra, trong trường hợp t là số n nguyên dương thì lũy thừa cơ số a với số mũ n

là tích của n số a

Quá trình phân tích ở trên cho thấy khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số a được hiểu ngầm ẩn qua việc biểu diễn hàm mũ a và định nghĩa của kí hiệu at Vì vậy các tính chất của lũy thừa với số mũ thực cơ số a cũng được đưa vào ngầm ẩn trong các tính chất của hàm mũ cơ số a

Đây cũng là các tính chất của lũy thừa với số mũ thực cơ số a, 0<a≠1 Cũng theo giáo trình

thì «tất cả các tính chất này là hệ quả trực tiếp của định nghĩa cách viết a t =exp(tLoga) và các tính chất của hàm mũ e.» [tr84]

Như vậy việc định nghĩa hàm mũ cơ số a không yêu cầu phải trình bày trước đó khái niệm lũy thừa với số mũ thực mà ngược lại nó còn sinh ra khái niệm lũy thừa với số mũ thực Giống như nhận định ở trên : việc mở rộng lũy thừa trên tập số thực với cơ số e đã được thực hiện bởi khái niệm và tính chất của hàm mũ e, thì ở đây hàm mũ cơ số a và các tính chất của nó vẫn là cơ sở cho việc mở rộng lũy thừa cơ số a với số mũ thực

Sau khi chứng minh các tính chất trong định lý 2, giáo trình chính thức đề cập đến lũy thừa với

số mũ nguyên:

«Các quy tắc cổ điển về lũy thừa nguyên là một trường hợp đặc biệt các kết quả của định lý

2 vì rằng nếu u và v là các số nguyên thì các cách viết a u và a v là các lũy thừa nguyên bậc u

và v của a nghĩa là các tích của u hay v các thừa số bằng a » [tr 84]

Điều đó có nghĩa là, lũy thừa với số mũ nguyên đã được đưa vào trước đó, nó có các tính chất giống tính chất của hàm mũ, nó được định nghĩa thông qua phép nhân các thừa số bằng nhau

Việc phân tích trên cho chúng ta thấy, khái niệm hàm mũ a, tính chất hàm mũ a đã được trình bày một cách tường minh, thông qua đó khái niệm và tính chất lũy thừa với số mũ thực cơ số a đã ngầm ẩn xuất hiện Tuy nhiên, nó vẫn chưa có tên gọi một cách chính thức là lũy thừa cơ số a với số

mũ thực

1.1.3 Hàm lũy thừa

Xét định nghĩa hàm lũy thừa trong trích đoạn sau :

« Nếu  là một số thực cho trước, hàm lũy thừa f với số mũ  được xác định bằng :

VIETMATHS.NET

f(x)=x 

Ta đã định nghĩa ký hiệu x bằng cách đặt x=e Logx và định nghĩa này chỉ có nghĩa khi x>0 »[ tr 89]

Hàm lũy thừa được định nghĩa thông qua phép đặt « x=e Logx », mà bản chất nó là một định

nghĩa của kí hiệu at, với t là số thực Cũng do cách định nghĩa x=e Logx nên điều kiện đặt ra là x>0

Ở đây, người ta không xét sự thay đổi tập xác định của hàm lũy thừa khi số mũ  thay đổi

Ta thấy, lũy thừa cơ số e là cơ sở để định nghĩa hàm lũy thừa Tuy nhiên, lũy thừa và các tính chất của nó không được nêu ra một cách tường minh nên việc khảo sát hàm lũy thừa cũng không

dựa vào tính chất của lũy thừa mà dựa vào hàm mũ và hàm lôgarit, « vì nó là hợp của hàm lôgarit

và hàm mũ

xu= .Logxf(x)=expu » [tr89]

Và để phục vụ cho viêc khảo sát nó thì trước đó giáo trình này đã đưa vào khái niệm đạo hàm và tích phân

1.1.4 Hàm ngược của hàm lũy thừa, căn bậc n

Bây giờ ta hãy đi nghiên cứu hàm ngược của hàm lũy thừa Theo giáo trình thì :

Theo định nghĩa này thì hàm lũy thừa với số mũ 1/ là hàm số ngược của hàm lũy thừa với

số mũ  Do đó, đồ thị của hai hàm này đối xứng với nhau qua đường phân giác của các trục

« Đặc biệt nếu  là số nguyên dương n thì số

Ta thấy, do căn bậc n được xây dựng là hàm số ngược của hàm lũy thừa, hàm lũy thừa lại

được định nghĩa là : f  =x=e Logx , nên không thể đưa ra khái niệm căn bậc n của một số âm

VIETMATHS.NET

Theo cách định nghĩa trên thì : n t t1n(t>0) Do đó, dựa vào các tính chất đại số của hàm mũ

cơ số a, ta suy ra được các tính chất của căn bậc n, chẳng hạn :

 Kết luận giáo trình [A]

Khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số a không được trình bày một cách tường minh Nó được đưa vào ngầm ẩn qua hai giai đoạn : ex  ax Lũy thừa với số mũ nguyên dương n, cơ số e được định nghĩa như là tích của n thừa số e, sau đó lũy thừa với số mũ thực cơ số e được mở rộng dưới dạng « ex=expx », lũy thừa với số mũ thực cơ số a xuất hiện ngầm ẩn thông qua khái niệm hàm mũ a và định nghĩa của kí hiệu at, exp(tLoga)=a t , t thực

Ta cũng tìm thấy các tính chất của lũy thừa với số mũ thực thông qua tính chất của hai hàm

mũ cơ số e và cơ số a Trước khi có khái niệm lũy thừa xuất hiện một cách ngầm ẩn thì khái niệm hàm logarit và hàm mũ đã được đưa vào Vì vậy, mở rộng khái niệm lũy thừa không có vai trò gì trong việc định nghĩa hàm logarit và hàm mũ, hàm lũy thừa mà chính hàm mũ cơ số a là cơ sở để xây dựng khái niệm lũy thừa với số mũ thực

Căn bậc n là hàm ngược của một hàm lũy thừa với số mũ nguyên dương, nó được đưa vào sau khi đã biết khái niệm hàm lũy thừa Do đó, căn bậc n không có vai trò gì trong việc định nghĩa lũy thừa Theo giáo trình này thì để định nghĩa cũng như khảo sát hàm mũ và hàm logarit hay hàm lũy thừa người ta dùng giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm Nên các kiến thức toán học này đã được

trình bày trước đó

1.2 Khái niệm lũy thừa trong giáo trình [B]

Trong giáo trình này, mở rộng khái niệm số mũ và lũy thừa được đưa vào phần II- Hàm mũ

và nằm trong chương 1-Hàm lôgarit và hàm mũ Tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa trong giáo trình [B] như sau:

1.2.1 Khái niệm lũy thừa với số mũ hữu tỷ, cơ số a

Lũy thừa

cơ số a với số

mũ thực

Hàm

mũ a

Hàm logarit

cơ số

a VIETMATHS.NET

Do trong giáo trình này, định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ được nhắc lại trong phần xét tính chất của lôgarit, nên để tìm hiểu nó, ta đi xét các tính chất của lôgarit

Không giống như giáo trình [A], ở giáo trình này không đề cập đến hàm số lôgarit tổng quát

mà nghiên cứu cụ thể là hàm lôgarit nêpe Hàm lôgarit nêpe là một ánh xạ f từ tập số thực dương đến tập các số thực thỏa mãn tính chất f(x.y)=f(x)+f(y), f(1)=0, có đạo hàm bằng 1/x

Các tính chất của nó cũng được suy ra từ định nghĩa với kiến thức liên quan là đạo hàm

Đặc biệt, với mọi số nguyên dương n, áp dụng tính chất của hàm lôgairt nêpe : Log(a1a2 an)=Loga1+Loga2+ +Logan với a1, a2, an >0 Ta có Logan =n.Loga với a>0 Từ đây ta

có thể hiểu rằng : với n nguyên dương thì an=a.a a ( n số a, a>0)

Theo giáo trình này thì :

« Hệ thức trên còn đúng với n là số hữu tỷ dương Thật vậy, xét số hữu tỷ r p

 , Loga r =Log1/a r’ loga r’ =-r’Loga=rLoga Tóm lại, hệ thức Loga r =rLoga đúng với mọi số hữu tỷ dương hoặc

=-âm và với mọi a>0 ».[tr3]

Tóm lại, lũy thừa với số mũ hữu tỷ âm được định nghĩa thông qua lũy thừa với số mũ hữu tỷ dương : r 1'

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ, cơ số âm vẫn tồn tại, nhưng có những ràng buộc nhất định dành cho số mũ như số mũ phải là số nguyên chẵn hoặc nếu số mũ có dạng phân số tối giản thì mẫu số phải là số lẻ, tử số là số chẵn

Như vậy, khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên dương, nguyên âm, hữu tỷ đã được định nghĩa trước khi có các định nghĩa về hàm logarit và hàm mũ, và nó là công cụ được dùng để tìm ra một vài tính chất của logarit nêpe Hay nói cách khác nó là công nghệ để giải thích cho một số tính chất của logarit nêpe

1.2.2 Khái niệm lũy thừa với số mũ thực, cơ số e

Sau khi dùng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm logarit nêpe, thì hàm số mũ e xuất hiện

và được định nghĩa là hàm số ngược của hàm logarit nêpe :

« Khi biến y tăng từ 0 đến +, hàm số x=Logy được xác định, liên tục và tăng từ - đến + Nó có hàm số ngược mà chúng ta tạm ký hiệu là y=e(x), xác định, liên tục và tăng từ 0 đến + khi x tăng từ - đến +”

Vì vậy, chúng ta có sự đồng nhất giữa hai kí hiệu « x=Logy và y=e(x) » Cách định nghĩa này

hoàn toàn giống với giáo trình [A] Trong định nghĩa hàm mũ, kí hiệu e(x) được sử dụng nhưng khái niệm cơ số chưa xuất hiện Đến khi trình bày các tính chất của hàm mũ, kí hiệu ex mới được định nghĩa như sau :

«Đặc biệt, nếu kí hiệu e(1)=e (số thực dương duy nhất xác định bởi Loge=1) thì với mọi số

hữu tỉ r=r.1

e(r)=e(r.1)=[e(1)] r =e r

Do đó, ta sẽ dùng kí hiệu e x để chỉ e(x) ngay cả khi x là vô tỉ, ta gọi hàm này là hàm mũ

Với số e, định nghĩa này là mở rộng cho lũy thừa với số mũ vô tỉ Thật vậy, các quy tắc cổ

điển của lũy thừa được áp dụng cho e x với x hữu tỷ hoặc vô tỷ như lũy thừa bình thường» [tr

6]

Giống như giáo trình [A], số e ở đây được hiểu là giá trị mà tại đó logarit nepe bằng 1 hoặc e

là giá trị của hàm mũ e tại điểm 1 Tuy nhiên giá trị thực của e chưa được xác định Sau đó, bằng giới hạn và khai triển Mac-Laurin cho hàm mũ e thì e được xác định là số vô tỉ và có giá trị gần đúng là e 2,71828 Đến đây hàm mũ cơ số e chính thức được viết dưới dạng : y=ex

Lũy thừa với số mũ vô tỷ cơ số e được định nghĩa là : ex = e(x) Với cách định nghĩa này thì ex chính là giá trị của hàm mũ e tại điểm x Giáo trình [B] mở rộng lũy thừa từ er  ex, điều này khác với giáo trình [A]

VIETMATHS.NET

Đoạn trích trên phần nào nói rõ, lũy thừa với số mũ thực cơ số e có đầy đủ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên Ta thấy khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số e được định nghĩa thông qua khái niệm và tính chất của hàm mũ e, vì vậy các tính chất của nó cũng được suy ra từ tính chất

1.2.3 Khái niệm lũy thừa với số mũ thực, cơ số a

Trong mục 7 trang 8, lũy thừa với số mũ thực cơ số a>0 được định nghĩa như sau :

« a x e xLoga với a>0 và x bất kì » Vì sao nó được định nghĩa như vậy, ta hãy xem lí giải của giáo

trình này :

« Chúng ta sẽ định nghĩa lũy thừa với số mũ bất kì cho một số thực dương sao cho các quy

tắc tính toán cũ vẫn còn áp dụng được Chúng ta đã chứng minh rằng Loga r =rLoga, với r hữu tỉ Nói cách khác, a r =e rLoga

Nếu thay r bằng một số thực bất kì x, vì a là số thực dương, vế phải của đẳng thức trên còn

có nghĩa trong khi vế trái thì chưa Do đó, ta sẽ định nghĩa rằng a x e xLoga với a>0 và x bất

kì » [tr 8]

Lũy thừa với số mũ thực cơ số a>0 được định nghĩa thông qua lũy thừa với số mũ thực cơ số

e, mà kiến thức liên quan là logarit nêpe Do lũy thừa ax được biểu diễn là a x e xLoga nên cơ số a luôn dương Dựa vào các tính chất của lũy thừa cơ số e và tính chất của logarit nêpe, người ta chứng minh được các tính chất của lũy thừa với số mũ thực cơ số a >0 Cụ thể :

1, Với mọi a, b dương, với mọi số thực x : exLoga xLogb e  ex Loga Logb(  )  exLogab a bx x  ( ) abx

2, Với mọi a>0, với mọi x, y : a a x. y a x y , ( )a x ya xy

Thật vậy, a a ex y  x a y alog elog  e(x y Loga)  ax y

Ngoài hai tính chất này thì giáo trình không trình bày thêm tính chất nào nữa Như vậy, các tính chất của lũy thừa cơ số a với số mũ thực được trình bày nhưng không đầy đủ

Quá trình phân tích trên cho thấy, lũy thừa cơ số e là cơ sở để mở rộng khái niệm lũy thừa với

số mũ thực cơ số a, còn các tính chất của lũy thừa cơ số e và logarit nêpe là công nghệ để giải thích cho các tính chất của lũy thừa ax Một điểm khác biệt của giáo trình này so với giáo trình [A] là định nghĩa ax xuất hiện trước khi hàm mũ cơ số a được định nghĩa

Sau khi mở rộng khái niệm số mũ và lũy thừa, giáo trình đưa ra khái niệm hàm mũ a như sau :

« Để nghiên cứu hàm số y=a x với a>0, ta nhắc lại định nghĩa

VIETMATHS.NET

y=a x =e xLoga hàm số này xác định với mọi x, tăng nếu a>1, giảm nếu 0<a<1 Nếu a>1, a x tiến đến 0 khi x tiến ra -, a x tiến ra + khi x tiến ra + Nếu 0<a<1, a x tiến đến + khi x tiến ra -, a x tiến đến 0 khi x tiến ra + Nếu a=1, y=a x =1 là hàm hằng” [tr9]

Ta thấy, hàm mũ cơ số a được định nghĩa dựa trên khái niệm lũy thừa với số mũ thực: y=a x =e xLoga Cũng do cách định nghĩa này mà đường biểu diễn của hàm số y=ax được suy ra từ đường biểu diễn của hàm số y=ex

Định nghĩa hàm lôgarit được đưa ra sau khi đã có định nghĩa hàm mũ a Hàm số y=Logax có thể viết y Log x a Logx

Loga

  hoặc một cách tương đương là x=ay Theo giáo trình này thì hàm logarit

cơ số a là hàm số ngược cùa hàm mũ cơ số a nên các tính chất của nó tương tự như các tính chất của hàm mũ a, đường biểu diễn của nó có được nhờ phép lấy đối xứng đồ thị hàm mũ a qua đường phân giác thứ nhất Trong giáo trình [A], hàm mũ a là hàm số ngược của hàm logarit cơ số a Cách định nghĩa hàm logarit cơ số a ở đây hoàn toàn ngược lại với giáo trình [A] Hàm mũ a, hàm logarit cơ số

a đã được định nghĩa, vậy hàm lũy thừa có được đưa vào giáo trình này không? Việc khảo sát nó được thực hiện như thế nào?

Để tìm câu trả lời cho những câu hỏi trên, ta hãy xét trích đoạn trong mục 10, trang 10 của giáo trình này:

“Vì lũy thừa với số mũ thực đã được định nghĩa, nên ta có thể khảo sát hàm số y x  với 

là hằng số thực bất kì Chúng ta giới hạn việc khảo sát với x>0 vì hàm này chỉ xác định với x<0 trong nhưng trường hợp đặc biệt của  ( nguyên hoặc  hữu tỉ có dạng phân số tối giản và mẫu số là lẻ)”

Điều này khẳng định lại một lần nữa sự thay đổi điều kiện của cơ số khi số mũ thay đổi Người

ta chỉ xét x,  là số thực bất kì khi x>0, điều này hoàn toàn phù hợp với định nghĩa lũy thừa với số

mũ bất kì được đưa vào trước đó Lũy thừa với số mũ thực là cơ sở để định nghĩa hàm lũy thừa Căn cứ vào định nghĩa của lũy thừa với số mũ thực thì y x  eLogx “Dưới dạng này, tính

chất của hàm lũy thừa có thể suy ra từ tính chất của hàm Logx”.[tr10]

Kết luận giáo trình [B]

Giáo trình [B] mở rộng khái niệm lũy thừa thông qua bốn giai đoạn: lũy thừa với số mũ nguyên lũy thừa với số mũ hữu tỷ lũy thừa với số mũ thực cơ số e  lũy thừa với số mũ thực

cơ số a Cơ sở để định nghĩa lũy thừa với số mũ thực cơ số e là hàm mũ e, đến lượt nó lại là cơ sở để

mở rộng lũy thừa với số mũ thực cơ số a

VIETMATHS.NET

Khái niệm lũy thừa trong giáo trình [B] được trình bày tường minh chứ không còn ngầm ẩn như giáo trình [A]

Hàm mũ cơ số a được định nghĩa dựa trên khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số a, do đó các tính chất của nó cũng được suy ra từ tính chất của lũy thừa Sau đó, người ta xem hàm logarit cơ

KẾT LUẬN CHƯƠNG I

Sau đây là một số kết quả chính trong quá trình phân tích chương I:

+ Tiến trình mở rộng khái niệm lũy thừa trong hai giáo trình đều giống nhau ở chỗ : mở rộng lũy thừa với số mũ thực cơ số e : « ex=expx (hoặc ex=e(x)) rồi đến mở rộng lũy thừa với số mũ thực cơ

số a : ax=exp(xLoga) hoặc ax= exLoga Ở đây, ta thấy có hiện tượng mở rộng về số mũ lẫn cơ số của lũy thừa Tuy nhiên cơ sở cho phép thực hiện việc mở rộng lũy thừa trong hai giáo trình là khác nhau Nếu như giáo trình [A] mở rộng lũy thừa cơ số a với số mũ vô tỉ dựa trên hàm mũ a và định nghĩa của kí hiệu at, thì giáo trình [B] lại dựa vào lũy thừa cơ số e

+ Ở giáo trình [A] ta không thấy được vai trò của lũy thừa trong việc xây dựng hàm mũ và hàm logarit thì ở giáo trình [B] ta thấy được phần nào vai trò của lũy thừa trong việc chứng minh các tính chất của hàm logarit nêpe, cũng như việc định nghĩa hàm mũ cơ số a, hàm lũy thừa

+ Khái niệm lũy thừa được đưa vào ngầm ẩn trong giáo trình [A] và trình bày tường minh trong giáo trình [B] Căn bậc n không có vai trò gì trong việc mở rộng khái niệm lũy thừa

Bảng 1.1: So sánh các khái niệm cần định nghĩa giữa hai giáo trình [A] và [B]

Giáo trình Khái niệm cần định nghĩa Cơ sở để định nghĩa

A

Lũy thừa cơ số e với số mũ thực Hàm mũ Hàm mũ a Hàm logarit cơ số a Lũy thừa cơ số a với số mũ thực Hàm mũ a

B

Lũy thừa với số mũ nguyên dương Phép nhân Lũy thừa với số mũ nguyên âm LT với số mũ nguyên dương Lũy thừa với số mũ hữu tỷ LT với số mũ nguyên dương

Lũy thừa cơ số e với số mũ thực Hàm mũ e Lũy thừa cơ số a với số mũ thực Lũy thừa cơ số e với số mũ thực Hàm mũ a VIETMATHS.NETLũy thừa cơ số a

Chương 2:

KHÁI NIỆM LŨY THỪA

Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY

2.1 Mục tiêu của chương 2

Thông qua việc phân tích chương trình và SGK ở trường phổ thông chúng tôi muốn làm rõ tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, từ đó thấy được vai trò của lũy thừa đối với việc xây dựng các khái niệm liên quan như hàm số mũ và hàm số lôgarit

Trên cơ sở những gì chúng tôi đã phân tích ở chương 1 sẽ làm rõ được những điểm giống và khác nhau giữa cách xây dựng khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học và tri thức cần giảng dạy Giải thích được lý do vì sao có sự khác biệt giữa hai tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học và tri thức cần giảng dạy Vai trò của lũy thừa trong việc xây dựng các khái niệm hàm mũ và hàm lôgarit có thay đổi như thế nào từ cấp độ tri thức khoa học đến cấp độ tri thức cần giảng dạy

Cụ thể, chúng tôi sẽ phân tích chương trình và SGK ở trường THCS và THPT

Ở trường THCS chúng tôi sẽ phân tích chương trình và SGK lớp 6, 7

Ở trường THPT chúng tôi phân tích chương trình và SGK qua hai thời kì : chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000- Đại số và giải tích lớp 11 và chương trình chuyên ban năm 2005- Giải tích 12 nâng cao

Theo chương trình chỉnh lý hợp nhất thì mở rộng khái niệm lũy thừa được đưa vào chương trình lớp 11, với chương trình phân ban thì nó được đưa vào chương trình 12 Do đó, việc phân tích hai bộ sách của hai thời kì có thể cho chúng tôi thấy mục đích của sự thay đổi này Qua đó làm rõ được vai trò, chức năng của khái niệm lũy thừa

Đối với chương trình phân ban chúng tôi sẽ phân tích bộ sách nâng cao vì sách nâng cao trình bày các vấn đề phong phú hơn, bài tập cũng đa dạng hơn sách cơ bản

Thông qua quá trình phân tích các tổ chức toán học, chúng ta sẽ thấy được sự thay đổi của các TCTH qua hai thời kì Từ đó làm rõ các ràng buộc của thể chế và các qui tắc hợp đồng liên quan đến khái niệm lũy thừa, cũng như những sai lầm mà học sinh gặp phải khi làm việc với đối tượng lũy thừa trong buổi đầu tiếp cận (lớp 6,7) và đã qua một thời gian sử dụng (lớp 12)

2.2 Khái niệm lũy thừa ở chương trình trung học cơ sở

2.2.1 Khái niệm lũy thừa ở lớp 6 (SGK hiện hành)

Trong SGK 6, học sinh được học lũy thừa với số mũ tự nhiên ở chương I phần số học

VIETMATHS.NET

Lũy thừa với số mũ tự nhiên được định nghĩa như sau:

“Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

.

n

n thừa số

a  a a a (n ≠ 0) » [tr26]

a gọi là cơ số và n gọi là số mũ

Khái niệm lũy thừa với số mũ tự nhiên được hình thành từ phép nhân nhiều thừa số giống

nhau, phép nhân đĩ được gọi là phép nâng lên lũy thừa Lũy thừa với số mũ nguyên dương được

định nghĩa hồn tồn giống với giáo trình đại học Lũy thừa bậc n của a là một trường hợp đặc biệt của một phép nhân

Lũy thừa được hình thành từ một phép tốn mà học sinh đã làm quen từ rất sớm, đĩ là phép nhân Tuy nhiên, kí hiệu của lũy thừa thì rất mới Trong thời gian đầu tiếp cận nĩ, cĩ thể học sinh sẽ khĩ sử dụng Vì vậy, nên chăng cĩ hoạt động giúp học sinh phân biệt cơ số, số mũ, cũng như cách tính lũy thừa như sau:

Chép lại và điền vào bảng sau đây giống như ở cột số 1

« 3 mũ 4 » « 0,7 mũ 5 » « -2 mũ 6 »

Từ một ví dụ cụ thể, SGK giới thiệu hai phép tốn trên lũy thừa là: a a m. n a m n ; a m:a n a m n (1)

Cơng thức (1) hồn tồn cĩ thể chứng minh được bằng cách dùng định nghĩa, nhưng cĩ thể

do yêu cầu giảm tải nên SGK khơng chứng minh Theo tơi nên chứng minh cơng thức (1) nhằm khắc sâu định nghĩa cho học sinh

Thơng qua khái niệm bình phương một số, học sinh biết được một loại số mới trong các số tự

nhiên, đĩ là số chính phương-số bằng bình phương của một số tự nhiên

Sau đĩ, SGK trình bày một vài ứng dụng của lũy thừa như:

 Lũy thừa được dùng để viết gọn một tích cĩ nhiều thừa số giống nhau

 Thơng qua bài tốn phân tích một số ra thừa số nguyên tố, lũy thừa được dùng để viết gọn lại kết quả phân tích đĩ Chính nhờ cách viết theo lũy thừa mà học sinh xác định ƯCLN và BCNN một cách nhanh nhất Ngồi ra, nĩ cịn giúp cho chúng ta xác định được số tự nhiên

cĩ bao nhiêu ước số

Ví dụ: Tìm ƯCLN(36, 84, 168)

Trước hết ta phân tích ba số trên ra thừa số nguyên tố :

36=2 2 3 2 ; 84=2 2 3.7 ; 168=2 3 3.7 Chọn ra các thừa số chung, đĩ là 2 và 3 Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, số mũ nhỏ nhất của

3 là 1 Khi đĩ :

VIETMATHS.NET

ƯCLN(36, 84, 168)=2 2 3=12 [tr55]

Ví dụ : 63 3 7  2 nên số lượng ước của 63 là : (2+1)(1+1)=6

Tổng quát đối với số m a b c x y z (với a, b, c là số nguyên tố) thì số lượng ước của m bằng : (x+1)(y+1)(z+1)

2.2.2 Khái niệm lũy thừa ở lớp 7

Ở lớp 7 học sinh được làm quen với khái niệm lũy thừa của một số hữu tỷ với số mũ tự nhiên Nó được đưa vào chương trình sau khi đã học các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các số hữu

tỷ Về cơ bản khái niệm lũy thừa của một số hữu tỷ với số mũ tự nhiên được định nghĩa tương tự như SGK lớp 6, nhưng các tính chất của lũy thừa được đưa vào phong phú hơn

Cụ thể, ngoài phép tính tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số, SGK trình bày thêm công thức lũy thừa của lũy thừa, lũy thừa của một tích và lũy thừa của một thương :

Theo sách giáo viên thì « Để giảm nhẹ lý thuyết, SGK cho học sinh « tính và so sánh » rồi

đưa ra các quy tắc để học sinh thấy các quy tắc này là hợp lý SGK không chứng minh và cũng không yêu cầu học sinh chứng minh » [tr28]

Như vậy, SGK đưa vào lũy thừa của một số hữu tỷ ở lớp 7 nhằm hoàn thiện các phép toán trên tập hợp số hữu tỷ bao gồm : phép cộng, trừ, nhân, chia, phép nâng lên lũy thừa, nó được nghiên cứu như một đối tượng toán học mà chưa có một ứng dụng nào rõ nét SGK có đưa vào định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên âm trong bài đọc thêm như sau:

“Cùng với lũy thừa với số mũ tự nhiên, người ta còn xét cả lũy thừa với số mũ nguyên âm của

một ứng dụng nhỏ của lũy thừa với số mũ nguyên âm là “Lũy thừa với số mũ nguyên âm của 10

thường được dùng để viết những số rất nhỏ cho thuận tiện Ví dụ, khối lượng của nguyên tử hydro (0,00…0166g) được viết gọn là 1,66.10 -24 g”[tr 23]

Rõ ràng lúc này có thể đưa khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên âm vào bài học chính thức nhưng vì trong chương trình lớp 7, lũy thừa với số mũ nguyên âm nói riêng chưa có nhiều công dụng Trong thực tiễn, lũy thừa với số mũ nguyên âm thường được sử dụng để biểu diễn những đại lượng rất nhỏ, nhưng học sinh lớp 7 vẫn chưa dùng nhiều những đại lượng này trong toán học và các môn học khác

VIETMATHS.NET

Mặc dù vậy, những bài tập về lũy thừa với số mũ nguyên âm vẫn có trong SBT lớp 7

Quá trình phân tích trên cho chúng ta thấy, khái niệm lũy thừa từ lớp 6 chuyển qua lớp 7 tuy không

mở rộng về số mũ nhưng nó được mở rộng về cơ số, từ số tự nhiên sang số hữu tỷ

Các quy tắc tính của lũy thừa đều được SGK lớp 6 và lớp 7 thừa nhận mà không chứng minh, điều đó làm cho học sinh nhớ các quy tắc này một cách máy móc Lũy thừa với số mũ tự nhiên mặc

dù được xây dựng từ phép nhân- rất quen thuộc đối với học sinh nhưng nó có cách kí hiệu riêng, tên gọi riêng, nên trong những năm đầu học tập và sử dụng nó, học sinh có thể mắc phải những sai lầm khi sử dụng các quy tắc tính, cũng như định nghĩa lũy thừa

Một điều nữa làm cho học sinh lớp 6,7 gặp khó khăn khi học khái niệm lũy thừa đó là cách kí hiệu lũy thừa Ở đây, SGK đã không đưa ra được lý do vì sao phải có cách kí hiệu như thế, mà điều này hoàn toàn có thể giải thích được Chính vì vậy, học sinh không hiểu được ý nghĩa của cách ghi khái niệm lũy thừa Nên khi học các tính chất lũy thừa, học sinh gặp rất nhiều sai lầm

Chúng tôi dự đoán học sinh có thể mắc phải những sai lầm do sử dụng các quy tắc hành động sau:

n

b b

 Đối với qui tắc 1,2: Học sinh có thể hiểu như sau: an bao gồm tích của n số a, tích của n

số a có thể ghi thành an Hoặc học sinh áp dụng một quy tắc tính của phép cộng sang cho phép nhân là:

 Quy tắc 3 hình thành từ sự “pha trộn” trong việc sử dụng hai quy tắc tính a a m. na m n và

2.3 Khái niệm lũy thừa ở trường trung học phổ thông

2.3.1 Khái niệm lũy thừa trong SGK CLHN năm 2000 [C]

2.3.1.1 Lũy thừa với số mũ nguyên

Trong chương trình này “Mở rộng khái niệm lũy thừa” được đưa vào chương “Hàm số mũ” đặt sau chương “Giới hạn”

Mở rộng khái niệm lũy thừa với số mũ thực được thực hiện qua các giai đoạn: lũy thừa với số

mũ nguyên, lũy thừa với số mũ hữu tỷ và lũy thừa với số mũ vô tỉ

Đầu tiên, học sinh được học khái niệm lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm của một số thực thông qua định nghĩa sau :

Đó cũng là lý do vì sao SGK nhắc lại định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên dương ở đầu bài Cách định nghĩa này hoàn toàn giống trong SGK lớp 7 Điều cần lưu ý là trong lũy thừa với số mũ nguyên âm, cơ số phải có điều kiện là khác 0

 Các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên

Các tính chất biểu thị bằng đẳng thức được trình bày ở mục 3, trang 143 như sau:

Các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên đều được thừa nhận mà không chứng minh vì theo như

tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11 thì “Chúng có thể suy ra từ định nghĩa một cách không khó

khăn, mặc dù phải xét từng trường hợp” [tr 77]

Ngoài 5 tính chất quen thuộc biểu thị bằng đẳng thức mà học sinh đã được làm quen từ cấp 2, SGK giới thiệu thêm 3 tính chất mới của lũy thừa được biểu thị bằng bất đẳng thức:

a) Nếu 0<a<b thì a n <b n , n>0

a n >b n , n<0 b) Nếu a>1 thì a m > a n với m>n c) Nếu 0<a<1 thì a m < a n với m>n

Các tính chất trên sẽ là một công cụ giúp học sinh giải quyết các bài toán so sánh hai lũy thừa thuận lợi hơn Các tính chất này chưa xuất hiện ở SGK lớp 7 Do đó, SGK 7 chỉ đưa ra các bài toán so sánh hai lũy thừa dưới dạng “tính và so sánh” Các bài toán so sánh hai lũy thừa bằng cách đưa về cùng số mũ hoặc cơ số chỉ có trong SBT và rất hạn chế

2.3.1.2 Lũy thừa với số mũ hữu tỷ

Để định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ, SGK đưa ra định nghĩa căn bậc n (n nguyên dương) của một số thực a như sau:

“Căn bậc n (n N * ) của số thực a là số thực b, nếu có, sao cho b n =a Như vậy, theo định nghĩa, căn bậc n của a là nghiệm của phương trình x n =a” [tr144]

Đây là một khái niêm mới vì ở cấp 2 học sinh chỉ được làm quen với căn bậc hai, bậc ba Từ định nghĩa trên, ta thấy khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên dương là cơ sở để định nghĩa căn bậc

n Vì căn bậc n của a là nghiệm của phương trình xn=a nên để tìm số nghiệm của phương trình này người ta dùng phương pháp đồ thị, tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y x n với đường thẳng y=a Kết quả thu được từ quá trình biện luận như sau:

1.“Nếu n lẻ thì mọi số thực a đều có căn bậc n duy nhất, cùng dấu với a, kí hiệu là n a

2 Nếu n chẵn thì số âm không có căn bậc n; số 0 có căn bậc n bằng 0; số dương có hai căn bậc n đối nhau Người ta quy ước viết căn dương bậc n (n chẵn) của số dương a là n a , căn âm là -

Từ định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên người ta mở rộng ra định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ:

“a là một số thực dương, r là một số hữu tỉ có dạng r m

n

 , trong đó m là một số nguyên, n là

một số nguyên dương Ta định nghĩa

Lũy thừa với số mũ hữu tỷ được định nghĩa gián tiếp thông qua khái niệm căn bậc n của một

số dương Theo định nghĩa trên thì lũy thừa với số mũ hữu tỷ luôn biểu diễn được qua căn bậc n, tuy nhiên không phải lúc nào căn bâc n của một số cũng có thể chuyển về lũy thừa với số mũ hữu tỷ, nó chỉ chuyển được khi biểu thức dưới dấu căn là số dương, do không chú ý đến điều kiện của cơ số nên học sinh dễ mắc sai lầm trong quá trình chuyển đổi một biểu thức từ căn sang lũy thừa của một

số với số mũ hữu tỷ

Cách định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ trong SGK hoàn toàn khác với giáo trình đại học

Ở bậc đại học thì lũy thừa với số mũ hữu tỷ dương được định nghĩa dựa trên lũy thừa với số mũ nguyên dương: ( )

p

q p q

a a (p, q nguyên dương) và lũy thừa với số mũ hữu tỷ âm được định nghĩa thông qua lũy thừa với số mũ hữu tỷ dương: r 1'

r

a a

a  a  a (a>0)” [tr 147]

VIETMATHS.NET

Trong định nghĩa này nêu rõ điều kiện của cơ số a>0 Sở dĩ có điều kiện này là vì n a, (n chẵn) chỉ có nghĩa khi a≥0 và am (m nguyên) chỉ xác định khi a≠0 Tại sao SGK không đưa ra lũy thừa của số a<0 với số mũ hữu tỷ ?

Theo tài liệu hướng dẫn giảng dạy lớp 11 thì:

“Nếu a<0, và số mũ là phân số tối giản dạng

Điều này được tài liệu HDGD toán 11 lý giải như sau: “Căn cứ vào định nghĩa, có thể chứng minh

rằng lũy thừa với số mũ hữu tỷ có các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên Song phép chứng minh cũng phức tạp Vì vậy SGK đã thừa nhận, không chứng minh các tính chất ấy”

Việc SGK không liệt kê các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỷ cũng gây cho học sinh những khó khăn nhất định khi giải toán Bởi vì chỉ có định nghĩa thôi thì chưa đủ để nhấn mạnh cho học sinh biết sự khác biệt rất lớn về cơ số trong lũy thừa với số mũ nguyên và số mũ hữu tỷ

Theo tôi, để chứng minh các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ thì ta phải dùng các tính chất của căn bậc n, nhưng trong giáo trình này không trình bày tường minh các tính chất của căn bâc

n nên ở đây ta chỉ thừa nhận các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ

2.3.1.3 Lũy thừa với số mũ vô tỷ

Để hoàn thành việc định nghĩa lũy thừa với số mũ thực, người ta định nghĩa lũy thừa với số

mũ vô tỷ Cũng như đối với lũy thừa với số mũ hữu tỷ, cơ số phải là một số a>0 SGK đưa ra định nghĩa sau:

“Cho a là một số dương và  là một số vô tỉ Xét một dãy bất kì những số hữu tỉ

Giới hạn của dãy số ( a r n ) gọi là lũy thừa với số mũ vô tỉ  của số dương a, kí hiệu a Vậy

a=lim a r n .[tr148]

Lũy thừa với số mũ thực được xây dựng dựa trên lũy thừa với số mũ hữu tỷ và giới hạn của một dãy lũy thừa Đó cũng là lý do vì sao, mở rộng khái niệm lũy thừa luôn được đặt sau chương

“Giới hạn” Do lũy thừa với số mũ vô tỉ được định nghĩa thông qua lũy thừa với số mũ hữu tỷ nên

cơ số a>0 Mặc dù lũy thừa với số mũ thực được định nghĩa tường minh nhưng học sinh cũng phải ngầm ẩn thừa nhận hai điều trong định nghĩa này, đó là:

- dãy  a r n có giới hạn

- Giới hạn đó không phụ thuộc vào dãy (rn)

Chính điều đó làm cho học sinh gặp khó khăn khi tiếp nhận định nghĩa này SGK chỉ đưa ra một ví

dụ để minh họa:

Ví dụ:

“Số 2 là một số vô tỉ, được biểu diễn dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

2 1, 414213  Đặt r1 1;r2  1, 4;r3 1, 41; r4 1, 414; ta được một dãy số hữu tỷ (r n ) tăng,

bị chặn bởi 2 và có giới hạn là 2 Xét dãy số những lũy thừa tương ứng của 3:

Ngoài ra không có một bài tập nào trong SGK đề cập đến bản chất của định nghĩa lũy thừa với số mũ vô tỉ, chính điều đó làm cho khái niệm này lu mờ trong cách hiểu của học sinh, theo thời gian học sinh chỉ biết làm việc tính toán trên lũy thừa với số mũ vô tỷ nhưng không hiểu được bản chất của nó là gì

Mặc dù, các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỷ, số mũ vô tỷ, về cơ bản là giống nhau, nhưng phạm vi hợp thức của cơ số đã bị thu hẹp

Quá trình phân tích trên cho chúng ta thấy, SGK hầu như không có ví dụ nào được đưa ra nhằm giúp cho học sinh thấy được sự khác nhau cơ bản về cơ số của lũy thừa khi số mũ thay đổi ngoài định nghĩa

Như vậy, SGK chỉ mở rộng khái niệm lũy thừa trên tinh thần mở rộng số mũ của nó, còn cơ

số thì không thay đổi, điều này có phần khác với giáo trình đại học Trong giáo trình đại học, người

ta mở rộng lũy thừa trên cơ số e rồi mới mở rộng trên cơ số a

VIETMATHS.NET

2.3.1.4 Vai trò của lũy thừa

Sau khi đã hoàn thiện việc mở rộng khái niệm lũy thừa, SGK giới thiệu hàm lũy thừa như sau:

“Hàm số y=x , trong đó  là số thực tùy ý, được gọi là hàm số lũy thừa”

Ta thấy, mở rộng khái niệm lũy thừa là tiền đề để định nghĩa hàm số lũy thừa Dựa vào các định nghĩa lũy thừa với số mũ khác nhau người ta tìm được tập xác định của hàm số lũy thừa Hay

tập xác định của hàm lũy thừa y=x  tùy thuộc vào giá trị của  Cụ thể:

Với  nguyên dương, tập xác định là R Với  nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là R\ 0 Với  không nguyên, tập xác định là (0; +)

Điều này hoàn toàn khác so với giáo trình [A], giáo trình [A] chỉ định nghĩa hàm lũy thừa với điều kiện x>0 Do tại thời điểm này học sinh chưa được học đạo hàm nên SGK dùng tính chất của lũy thừa để xét tính đơn điệu của hàm số lũy thừa

Theo tài liệu hướng dẫn giảng dạy 11 thì “các tính chất của lũy thừa với số mũ thực được

dùng để nghiên cứu hàm số mũ”

Để thấy rõ điều đó, ta xét định nghĩa hàm số mũ trong SGK trang 151:

“Hàm số mũ cơ số a (a>0 và a≠1) là hàm số xác định bởi công thức y a x

(khi a=1 thì y=1 x =1 với mọi x thuộc R)”

Định nghĩa này đã sử dụng khái niệm lũy thừa với số mũ thực ax Hay mở rộng khái niệm lũy

thừa là cơ sở để định nghĩa hàm số mũ Chính vì vậy “Tất cả các tính chất của hàm số mũ đều suy

ra từ các tính chất của lũy thừa với số mũ thực” [ tr151]

Dựa vào các tính chất của lũy thừa ta có:

Với a>1 thì ax>at  x>t

Với 0<a<1 thì ax>at  x<t

Từ đó kết luận: hàm số mũ đồng biến khi cơ số a>1 và nghịch biến khi cơ số 0<a<1

Ở đây người ta không thể xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số mũ bằng công cụ giải tích là đạo hàm vì khái niệm đạo hàm chưa được đưa vào ở thời điểm này Do đó, tính chất của lũy thừa với số mũ thực là công cụ duy nhất được dùng để nghiên cứu một vài tính chất của hàm số mũ

Các tính chất của hàm số mũ chỉ được liệt kê mà không chứng minh, lí do được SGK đưa ra

là: “phép chứng minh phần lớn vượt ra ngoài chương trình toán học bậc phổ thông” [tr 151]

Như vậy, mở rộng khái niệm lũy thừa cho phép sử dụng khái niệm ax, x để định nghĩa hàm

số mũ, hàm lũy thừa Ngoài ra các tính chất của lũy thừa còn có chức năng là công nghệ giải thích cho các tính chất của hai hàm số này Do đó, nó sẽ là một yếu tố lý thuyết giải thích cho kiểu nhiệm

VIETMATHS.NET

vụ có công nghệ là các tính chất của hàm số mũ Chúng ta sẽ thấy rõ hơn điều này qua việc phân tích một vài kiểu nhiệm vụ liên quan đến “Hàm số mũ”:

b y e

c y

- Đưa về dạng hàm số mũ (nếu cần)

- Xét cơ số: nếu cơ số lớn hơn

1 thì đồng biến, cơ số nhỏ hơn

1 thì nghịch biến

Công nghệ :

- Tính chất 4 của hàm số

mũ

Lý thuyết:

- Tính chất của lũy thừa

T 2 : Tìm x

trong đẳng

thức ax=b

BT6 trang 155 Tìm x biết

a b

- Áp dụng tính chất :am=anm=n (0<m,n1)

Từ đó, xác định giá trị của x

Công nghệ:

- Tính chất 5 của hàm số

mũ

Lý thuyết:

- Tính chất của lũy thừa

4 ( )

x x

f x 



CMR: nếu a+b=1 thì f(a)+f(b)=1

- Tính giá trị của f tại các điểm

- Tính giá trị của biểu thức ở vế trái đẳng thức với các giá trị của f

- So sánh giá trị hai vế của đẳng thức và kết luận

Công nghệ:

- Giá trị của hàm số tại điểm xác định

- Tính chất của lũy thừa

T 4 : Giải

phương

trình

BT 3.1 trang 153 Giải phương trình

về dạng lũy thừa có cùng cơ số

- Sử dụng hệ thức ax=ab để tìm

Công nghệ:

- Tính chất của lũy thừa VIETMATHS.NET

nghiệm

BT 3.1 trang 153 Giải phương trình

- Giải pt tìm t

- Chọn giá trị t và sử dụng phép tính logarit để tìm nghiệm

Công nghệ:

- Định nghĩa lũy thừa

Bảng tóm tắt trên cho thấy, định nghĩa và tính chất của lũy thừa có một tầm ảnh hưởng mạnh

mẽ đến các kiểu nhiệm vụ liên quan đến hàm số mũ

Tiếp theo, người ta định nghĩa hàm logarit thông qua khái niệm hàm số ngược, hàm logarit là hàm số ngược của hàm mũ

Mặc dù lôgarit được định nghĩa dựa trên hàm số lôgarit nhưng các định lí về lôgarit muốn

chứng minh thì “phương pháp chung là quy về các tính chất của lũy thừa, thông qua hàm số mũ”

Qua quá trình phân tích trên ta thấy có sự khác biệt rõ nét giữa tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa

ở bậc đại học và trung học phổ thông

Ở bậc đại học thì mở rộng khái niệm lũy thừa được thực hiện nhờ khái niệm và tính chất của hàm số mũ, hàm số mũ lại được định nghĩa nhờ vào hàm lôgarit, mà các kiến thức liên quan là đạo hàm và nguyên hàm

Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy thì mở rộng khái niệm lũy thừa được thực hiện tường minh

và kiến thức liên quan là giới hạn, hàm số mũ không xuất phát từ hàm logarit mà nó được hình thành dựa trên khái niệm lũy thừa với số mũ thực, và hàm mũ còn là cơ sở để định nghĩa hàm lôgarit

Theo tác giả Nguyễn Hữu Lợi thì có thể giải thích lí do có sự khác biệt đó như sau: “Do hàm số mũ

được giảng dạy trước khi học sinh học về đạo hàm và tích phân Song tiến trình định nghĩa hàm mũ

VIETMATHS.NET

ở bậc đại học lại sử dụng đến kiến thức này Do đó SGK không thể định nghĩa theo tiến trình ở đại học được” [tr25]

Ngoài ra, trong quá trình giải phương trình mũ, lôgarit và bất phương trình mũ, lôgarit ta cũng sử dụng các tính chất của lũy thừa

Ví dụ: Giải phương trình

9x+1 = 272x+1 [tr 120, SGK]

Lời giải:

9x+1 = 272x+1  32(x+1) = 33(2x+1)  2(x+1)=3(2x+1)  4x=-1 x= -1/4

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= -1/4

2.3.1.5 Các tổ chức toán học gắn liền với khái niệm lũy thừa

a, Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 1: “Đơn giản biểu thức chứa lũy thừa”

Ví dụ 1: Bài 4/155 Đơn giản biểu thức:

 Dùng các tính chất của lũy thừa, các hằng đẳng thức và ứng dụng của định lí Vi-et:

ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) với x1, x2 là hai nghiệm của tam thức bậc hai ax2+bx+c để đưa biểu thức về dạng tích Sau đó rút gọn

Công nghệ-Lý thuyết  1 - 1:

- Định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ, căn bậc n

- Định lý Vi-ét

- Phép nhân đa thức với đa thức

Với (a>0; a1; a3/2)

VIETMATHS.NET

Nhận xét:

- Trong các bài toán đơn giản biểu thức thì điều kiện của cơ số có lúc được nhắc đến, và đôi lúc

không được nhắc đến Cụ thể như bài 8/150 SGK sau đây:

Trong 12 bài tập thuộc KNV này có 4 bài không nêu điều kiện của cơ số

- Khi bài toán yêu cầu đơn giản biểu thức thì học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện xác định của biểu thức Ngược lại, học sinh phải biết rút gọn biểu thức mà SGK hay giáo viên cung cấp bằng cách áp dụng các định nghĩa và tính chất của lũy thừa Hệ quả tất yếu của vấn đề này là gì? Đây là một điều cần được quan tâm và nó có thể được đề cập trong một nghiên cứu khác của chúng tôi

Một biến thể của kiểu nhiệm vụ này được cho ở bài 4/150: Đưa biểu thức vào trong dấu căn

Đề bài như sau:

“Đưa biểu thức vào trong dấu căn

- Căn cứ vào điều kiện đã cho, ta xét dấu biểu thức nằm ngoài dấu căn

- Sau đó đưa biểu thức vừa xét dấu vào trong dấu căn theo quy tắc

2 2

neáu A 0,B 0 neáu A<0, B 0

Mặc dù bài toán “đưa nhân tử vào trong dấu căn” cũng là một hình thức rút gọn biểu thức nhưng kĩ thuật giải hoàn toàn khác Ở đây chủ yếu dùng những kiến thức về căn bậc hai, hoàn toàn không dùng đến tính chất của lũy thừa

Số liệu thống kê các bài tập và ví dụ thuộc kiểu nhiệm vụ T 1 :

- Đơn giản biểu thức (kĩ thuật giống T1)

- Thay giá trị của biến vào biểu thức (nếu có) và thực hiện phép tính

nhận học sinh sử dụng MTBT để tính kết quả của bài toán ra giá trị gần đúng

Từ hai kiểu nhiệm vụ trên, chúng tôi dự đoán sự tồn tại ngầm ẩn các quy tắc hợp đồng sau:

R 1 : Khi đơn giản biểu thức hoặc tính giá trị của biểu thức, học sinh không có trách nhiệm kiểm tra

điều kiện xác định của biểu thức đó Ngược lại, học sinh phải biết rút gọn biểu thức mà SGK hay giáo viên cung cấp bằng cách áp dụng các định nghĩa và tính chất của lũy thừa

R 2 : Kết quả tính toán của biểu thức chứa lũy thừa với số mũ vô tỉ và số mũ hữu tỉ là một giá trị

chính xác, chứ không phải là giá trị gần đúng

R 3 : Không sử dụng MTBT để tính giá trị của biểu thức chứa lũy thừa với số mũ hữu tỉ và vô tỉ

Số liệu thống kê các bài tập và ví dụ thuộc kiểu nhiệm vụ T2:

VIETMATHS.NET

- 3b : + Bình phương hai vế đẳng thức đã cho.

+ Dùng hằng đẳng thức để rút gọn hai vế và đưa về một đẳng thức luôn đúng

Công nghệ-Lý thuyết  3 - 3 :

- Định nghĩa và tính chất của lũy thừa

- Phép biến đổi tương đương, định nghĩa căn bậc 2

- Phép nhân đa thức với đa thức: A.(B+C)=A.B+A.C

Nhận xét:

Với x>0, y>0, x y

VIETMATHS.NET

Ta thấy chỉ có 1 bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này trong phần ôn tập chương và ba bài trong SBT Các đẳng thức đưa ra có vế trái tương đối phức tạp còn vế phải là một số hoặc là một biểu thức đơn giản Đẳng thức cần chứng minh chỉ chứa chữ mà không chứa số

Số liệu thống kê các bài tập và ví dụ thuộc kiểu nhiệm vụ T3:

- Dùng tính chất n m a m n. ađể tách rời các căn lồng vào nhau

- Dùng định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ để chuyển

- Định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên dương

Nhận xét: KNV này nhằm giúp cho học sinh sử dụng thành thạo các tính chất của căn và lũy thừa,

rèn luyện quá trình chuyển đổi từ căn sang lũy thừa với số mũ hữu tỷ Do trong đề bài luôn cho sẵn điều kiện của các chữ trong biểu thức, nên học sinh không có thói quen chú ý đến điều kiện là cơ số phải dương Dẫn đến những sai lầm mà học sinh có thể gặp về sau khi giải quyết các KNV đòi hỏi phải tìm điều kiện của cơ số trong lời giải

Số liệu thống kê các bài tập và ví dụ thuộc kiểu nhiệm vụ T4:

VIETMATHS.NET

Kiểu nhiệm vụ Ví dụ SGK SBT Tổng cộng

e) Tổ chức toán học gắn liền với nhiệm vụ T 5: “Tìm các số thực  thoả điều kiện cho trước”

Ví dụ 1: Bài tập 7/150 SGK Tìm số thực  sao cho:

- Ta chuyển các lũy thừa về cùng cơ số

- Sau đó, sử dụng các tính chất của lũy thừa để tìm  như :

ax=at  x=t

ax <at  x< t nếu a>1

ax<at  x>t nếu 0<a<1 để tìm số thực 

f) Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T 6: “Khử căn thức ở mẫu”

Ví dụ : Bài 5/150 Trục căn ở mẫu số của các biểu thức sau:

VIETMATHS.NET