BỐN BÀI TOÁN THỂ TÍCH KHỐI đa DIỆN1

Tính chiều cao Để tính được chiều cao thì các em chú ý đường cao của khối đa diện luôn Là Cạnh góc vuông hoặc đường cao ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông.. Sử dụng trong bài toán t

KHU 5 – SƠN VI – LÂM THAO PHONE NUMBER 0981534028

S

A BỐN BÀI TOÁN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

I Các bước giải bài toán thể tích

Bước 1 Xác định đường cao là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.( 4 bài toán thể tích )

Bước 2 Xác định yếu tố góc giữa đường thẳng với mặt phẳng ( nếu đề bài cho dữ liệu )

 Tìm hình chiếu vuông góc của 2 điểm A, B d trên mp (P) là ,

 hình chiếu của d trên mặt phẳng (P) là ′ ′

 Góc giữa d và mp(P) là góc giữa ′ ′ và d

( 'ABA  trên hình vẽ )

Hoặc xác định góc giữa mặt phẳng (P) và mp (Q) ( ít gặp hơn )

 Tìm giao tuyến  của hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng cách nhìn 2 điểm chung

 Xác định mặt phẳng (R)   ( mp (R) chứa 2 đường thẳng cắt nhau vuông góc  )

 Tìm giao tuyến (R)(P)a R; ( )( )Q b

 Góc giữa (P) và (Q) là góc giữa a và b

Ví dụ minh hoạ Cho hình chóp S.ABC, SA(ABC) Góc giữa (SBC) và (ABC) ?

 (SBC) (ABC) BC

SA (ABC) SA BC

Phương pháp dựng mặt phẳng vuông góc với BC ở đây là từ chân

Đường cao A hạ vuông góc đến giao tuyến BC

 Kẻ AH BC H( BC)(SAH)BC

 Góc giữa (SBC) và (ABC) là góc giữa SH và AH = SHA

Bước 3 Tính chiều cao

Để tính được chiều cao thì các em chú ý đường cao của khối đa diện luôn

Là Cạnh góc vuông hoặc đường cao ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông Do đó để tính được chiều cao, các em phải sử dụng các hệ thức lượng cơ bản trong tam giác vuông sau

Tổng quát Cho ABC vuông tại A, đường cao AH BC

 Nếu biết trước cạnh huyền và cạnh góc vuông, ta sử dụng pytago

 CÔNG THỨC tính CẠNH GÓC VUÔNG nếu biết trước CẠNH HUYỀN :

Cạnh góc vuông = cạnh huyền nhân sin góc đối (ABBC.sin )C

Cạnh góc vuông = cạnh huyền nhân cos góc kề (ABBC.cos )B

A

A

B

H

C

A

H

KHU 5 – SƠN VI – LÂM THAO PHONE NUMBER 0981534028

 CÔNG THỨC tính CẠNH GÓC VUÔNG nếu biết trước CẠNH GÓC VUÔNG CÒN LẠI: Cạnh góc vuông = cạnh còn lại nhân tan góc đối hoặc cot góc kề

 CÔNG THỨC tính ĐƯỜNG CAO ỨNG VỚI CẠNH HUYỀN :

2

AB AC AH





 Chú ý thêm định lý hàm số cos với tam giác ABC bất kỳ :

2

BC AB AC  AB AC Cos A

Bước 4 Tính diện tích đáy Muốn tính diện tích đáy thì luôn phải tính các cạnh của đáy trước MỘT SỐ DẠNG ĐÁY CÁC EM THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI

a Đáy là tam giác

 Đặc biệt công thức tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh

luôn luôn được sử dụng trong bài toán khoảng cách

2

a b c

 Với tam giác đều cạnh a : 2 3 3

b Đáy là hình chữ nhật

ADBC AC AB

 S HCN  dài rộng

c Đáy là hình vuông cạnh a

 Đường chéo = cạnh  2 cạnh =

2

Ðuongcheo

hv

d Đáy là hình thoi cạnh a

 Tính diện tích hình thoi ta chia hình thoi thành 2 tam giác bằng nhau Khi đó dễ dàng sử dụng công thức diện tích tam giác đã biết

 Nếu biết cạnh hình thoi và 1 góc ở đỉnh :

ht

S a  Aa  B (1)

 Nếu biết 2 đường chéo : 1

2

ht

2

 Hình bình hành tính theo công thức 1

e Đáy là hình thang

2

ht

 Tìm AH các em sử dụng công thức tính cạnh góc vuông trong tam giác vuông

A

h

a

b

c

A

B

C

D

KHU 5 – SƠN VI – LÂM THAO PHONE NUMBER 0981534028 Bước 5 Tính thể tích khối đa diện

3

chop đay

 V ltru S đ  h

II BỐN BÀI TOÁN THỂ TÍCH TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2016

1) Bài toán 1 Biết trước hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy là H

 H là hình chiếu của S trên đáy SH  (đáy)SH là đường cao

Bài tập minh hoạ 1 cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

2 ; AD 3

AB a a Hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) trùng với trung điểm H của AB Cạnh bên SD tạo với mặt phẳng đáy góc 30 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD?

Đáp án

 SH ABCDSH là đường cao S

 Tìm góc giữa SD với mặt đáy (ABCD)

Hình chiếu của S trên (ABCD) là H; của D là D

 hình chiếu của SD trên (ABCD) là HD

 góc giữa SD với (ABCD) là SDH 30

 Tính chiều cao SH: A D Trong tam giác SDH vuông tại H:

tan 30

2

3 3

 Tính diện tích đáy : S ABCD  AB AD 2 3a2 H

.

S ABCD ABCD

 Các em tham khảo thêm : Tính thể tích khối chóp S.BHDC

BHDC ABCD S BHDC S ABCD

 Tương tự các em có thể tính V S ABC. ;V S BCD. ;V S ADC. ;V S.BAD;V S AHC. ;V SAHC

 Mở rộng : Cách tính thể tích khối chóp có đỉnh là 1 điểm M nằm trên cạnh bên.( Sử dụng trong bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng chứa điểm M thuộc cạnh bên và một cạnh thuộc mặt đáy )

 Trong tam giác chứa đường cao của khối chóp ban đầu đỉnh S {giả sử là SH} và cạnh bên SN{ giả sử SN là cạnh bên chứa M}, kẻ MK SH K  HN Khi đó MK là đường cao của khối chóp mới đỉnh M

Bài tập minh hoạ 1: Gọi M là trung điểm SD Tính thể tích tứ diện MABC

Đáp án : nhận thấy { tam giác chứa đường cao SH và cạnh bên SD (chứa điểm M) là SHD}

Kẻ MK SH K  HDMKABC MK là đường cao của MABC

H

30

A

D

KHU 5 – SƠN VI – LÂM THAO PHONE NUMBER 0981534028

2

3

1

3 2

ABC ABCD





2) Bài toán 2 Khối chóp ( khối đa diện) có một mặt bên vuông góc với đáy

 Đường cao là đường hạ vuông góc từ đỉnh đến giao tuyến của hai mặt phẳng

Định lý sử dụng : nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc thì bất kì đường thẳng a nào nằm trong

(P) và vuông góc với giao tuyến thì đều vuông góc với mp(Q)

   

 

   

 









Bài tập minh hoạ.cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABC 30 Tam giác

SBC đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

 Tìm đường cao









là đường cao

 Tính chiều cao SH ( chú ý SH là đường cao trong tam giác đều ) S

3 60

2

SH SC Sin  a

 Tính diện tích đáy : ( phải tìm được 2 cạch góc vuông )

2

3

3 cos 30 ; sin 30

.AB.AC

1

ABC

S ABC ABC

a

a





3) Bài toán 3 Khối chóp ( khối đa diện có 2 mặt bên cùng vuông góc với đáy

 Đường cao là giao tuyến của hai mặt bên đó

Định lý sử dụng : Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt thứ ba thì giao tuyến của chúng

vuông góc với mặt thứ ba đó

       

;

R



  



Bài tập minh hoạ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A,B; với

ABBCa AD a Hai mặt bên (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD)

Góc giữa mặt (SAB) với đáy bằng 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

60

30

A

H

KHU 5 – SƠN VI – LÂM THAO PHONE NUMBER 0981534028

 Tìm đường cao

Gọi OACBD

;





 Tìm góc giữa (SAB) và (ABCD)

Dễ thấy dựa vào tên các điểm giống nhau : SAB  ABCDAB

Tư duy : Theo đúng nguyên tắc tổng quát, từ chân đường cao O các em hạ vuông góc đến giao tuyến AB S

Hạ OH AB H AB



SOH  SABSH SOH;   ABCDOH A D

 Góc giữa (SAB) và (ABCD) là góc giữa SH và OH H O

 60

SHO

 Tính chiều cao SO : ( các em nên vẽ tách mặt phẳng đáy riêng để đưa về hình học phẳng giúp dễ dàng trong việc tính các cạnh cần tìm )

1 1

3

;SO OH tan 60

a



  A D

 Tính

2

3

ABCD

S ABCD ABCD

4) Bài toán 4 Khối chóp ( khối đa diện đều )

4.1 Chóp đều

 Đáy là đa giác đều : hình vuông, hình tam giác đều

 Các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo với mặt đáy một góc

 Mặt bên là tam giác cân và cùng tạo với mặt đáy một góc

 Đường cao là đường nối đỉnh với tâm đáy ( giao 2 đường chéo với hình vuông; giao 3 đường trung tuyến với tam giác đều )

Bài tập minh hoạ Cho chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

 Tìm đường cao :

Gọi O là giao điểm AC và BD

O

H

KHU 5 – SƠN VI – LÂM THAO PHONE NUMBER 0981534028



  là đường cao

 Tính chiều cao SO : S Theo py – ta – go trong tam giác SOD vuông tại O:

 

2 2

2

;

2



A D

 Tính S ABCD a2 B C

.

S ABCD ABCD

4.2 Lăng trụ đều

 Là lăng trụ đứng :

Các cạnh bên song song bằng nhau và vuông góc với đáy  cạnh bên là đường cao

Các mặt bên là hình chữ nhật

Hai mặt phẳng đáy song song và bằng nhau

 Có đáy là đa giác đều

 Chú ý Lăng trụ xiên khác lăng trụ đứng là các mặt bên là hình bình hành Như vậy ta dựng

đường cao của lăng trụ xiên giống như bài toán khối chóp

Bài tập minh hoạ Cho lăng trụ đều ABC A B C AB ' ' '; a Đường thẳng A B' tạo với mặt đáy một

góc bằng 60 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '

 ABC A B C là lăng trụ đều  ' ' ' A A' ABCA A' là đường cao

 Tìm góc giữa A B' và ABC : A C 

Hình chiếu vuông góc của A B' trên ABC là AB 60 60 

 góc giữa A B' và ABC là góc giữa  A B' và AB B

B AB

 Tính chiều cao : A A' B B'  AB tan 60 a 3

ABC

S  AB AC   a A' C '

' ' '

3 '

2

ABC A B C ABC

Tham khảo thêm : B'

'B

B ABC ABC ABC A B C

C A A B C A B C ABC A B C

 Thể tích tứ diện ABB C : ' '

O

KHU 5 – SƠN VI – LÂM THAO PHONE NUMBER 0981534028

AA B ABB ABB C C ABB C AA B C ABC A

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

B BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

 Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P) M

Khi đó : dM, P  MH (P) H

 Đây là một bài toán mà nhiều em cảm thấy khó khăn Vì vậy để giúp các em dễ dàng hơn trong việc giải bài toán này, các em hãy phân biêệt rõ các dạng sau

1 KHOẢNG CÁCH TỪ CHÂN ĐƯỜNG CAO M ĐẾN MẶT PHẲNG (P) CẮT MẶT ĐÁY ( TRONG ĐỀ THI THƯỜNG LÀ CÁC MẶT BÊN )

Giả sử tổng quát với đường cao là SM

Bước 1 Tìm giao tuyến d của mặt phẳng (P) với mặt phẳng đáy

Bước 2 Từ chân đường cao M, kẻ MH d H d

Khi đó d SMH

Bước 3 Tìm giao tuyến  của mặt bên (P) với (SMH) Từ chân đường cao M , kẻ

 

M,P 

MK   d MK

Bài toán minh hoạ cơ bản.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy ; SA2a a, Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Tư duy : Dễ dàng nhận thấy A là chân đường cao , (SBC) là mặt bên Ta làm như sau :

Bước 1 Tìm giao tuyến của (SBC) và mặt đáy (ABC)

Bước 2 Từ chân đường cao A, kẻ AH vuông góc BC





Bước 3 Tìm giao tuyến của (SBC) và (SAH) là SH Từ chân đường cao A ,kẻ AK vuông góc SH Như vậy khoảng cách từ A đến (SBC) chính là AK

SBC  SAHSH Kẻ  , 

A SBC

SA AH



S

Trong tam giác ABC : sin 60 3

2

Thay số :   

 

2

3

2

2 57 2

19 3

2

2

A SBC

  

2 KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM N BẤT KỲ ĐẾN MẶT PHẲNG (P) CẮT MẶT ĐÁY

B

K

H

KHU 5 – SƠN VI – LÂM THAO PHONE NUMBER 0981534028 ( TRONG ĐỀ THI THƯỜNG LÀ MẶT BÊN )

Bước 1 Tính khoảng cách từ chân đường cao M đến mặt bên (P) như dạng 1

Bước 2 Sử dụng bổ đề sau để đưa về khoảng cách từ N đến (P)

 Nếu MN cắt mặt phẳng (P) tại H thì :   

 

 

,

,

N P

M P

 Nếu MN P dM P,  dN P, 

Bài toán minh hoạ ( tiếp tục bài toán 1 ) b, Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Tính khoảng cách từ

G đến mặt phẳng (SBC)

Bước 1 Đã tính được khoảng chách từ chân đường cao A đến (SBC)

 

 , 

2 57

19

A SBC

Bước 2 Gọi M là trung điểm BC AG cắt (SBC) tại M   

 

,

,

1 3

G SBC

A SBC

   (tính chất trọng tâm)

 

 ,   ,   

G SBC A SBC

 Trong trường hợp mặt phẳng (P) chứa đường cao, các em không thể tính khoảng cách

từ chân đường cao được Khi đó các em phải chuyển sang dạng số 3

3 KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM N BẤT KÌ ĐẾN MẶT PHẲNG (P) CHỨA ĐƯỜNG CAO Bước 1 Tìm giao tuyến d của mặt phẳng (P) với mặt đáy

Bước 2 Chọn điểm M bất kỳ thuộc đáy Kẻ MH d dM, P  MH

Bước 3 Sử dụng bổ đề như dạng 2

 Nếu MN cắt mặt phẳng (P) tại H thì :   

 

 

,

,

N P

M P

 Nếu MN P dM P,  dN P, 

Bài toán minh hoạ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật ABa AD, a 3 Cạnh bên SA vuông góc với đáy M là điểm trên BC sao cho BM 2MC Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAC)

Tư duy : Dễ dàng nhận thấy (SAC) chứa đường cao SA Như vậy ta làm như sau :

Bước 1 Tìm giao tuyến mặt (SAC) với mặt đáy (ABCD) S

Bước 2 Chọn B thuộc mặt đáy Kẻ BH vuông góc AC A

2

2 3

B SAC

B C

D

H

M

KHU 5 – SƠN VI – LÂM THAO PHONE NUMBER 0981534028 Bước 3 Sử dụng bổ đề : BM cắt (SAC) tại C

 

 

 

,

,

M SAC

M SAC B SAC

B SAC

4 TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG (P){ MẶT PHẲNG (P) ĐI QUA 1 ĐIỂM TRÊN CẠNH BÊN VÀ 1 ĐƯỜNG THẲNG NẮM TRONG MẶT ĐÁY} Các em đưa bài toán về bài toán tính khoảng cách trong khối chóp mới tạo bởi điểm M trên cạnh bên đề bài cho với mặt phẳng đáy của khối chóp ban đầu bằng cách:

 Trong tam giác chứa đường cao của khối chóp ban đầu đỉnh S {giả sử là SH} và cạnh bên SN{ giả sử SN là cạnh bên chứa M}, kẻ MK SH K  HN Khi đó MK là đường cao của khối chóp mới đỉnh M

 Bài toán đưa về 1 trong 3 dạng ở trên

Bài tập minh hoạ cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA2avà SA vuông góc với đáy M là trung điểm SB Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AMC)

Tư duy : Nhận thấy mặt phẳng (AMC) có M thuộc cạnh bên SB và AC thuộc mặt đáy (ABC) Đường cao khối chóp ban đầu S.ABC là SA

Vậy ta làm như sau :

 Trong tam giác SAB{tam giác chứa đường cao SA và cạnh bên chứa điểm M là SB}, kẻ

MK SA K AB MK  ABC MK là đường cao khối chóp M.ABC

2

SA







 Tính khoảng cách từ chân đường cao K đến (AMC)

 AMC  ABCAC {tìm giao tuyến của mặt (AMC) với mặt đáy (ABC)}

 Kẻ KH  AC{từ chân đường cao K kẻ vuông góc với giao tuyến AC vừa tìm được}

Lại có MK ACMHKAC

 MHK  AMCMH

K AMC

MK KH





2

3

4

AKC ABC

a

B

M

K

H

E

S

KHU 5 – SƠN VI – LÂM THAO PHONE NUMBER 0981534028

2

3

19 3

4

K AMC

MK KH

  

 Sử dụng bổ đề : BK cắt (AMC) tại A

,

,

2 57

19

B AMC

B AMC K AMC

K AMC

5 PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH ĐỔI ĐỈNH ĐỂ TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM BẤT

KỲ ĐẾN MẶT PHẲNG (P)

Nghe tên có vẻ là mới lạ, nhưng nếu các em để ý thì thực ra phương pháp này các em đã được học trong hình học phẳng khi tính diện tích tam giác ABC Các em có thể coi A là đỉnh thì BC là đáy; B

là đỉnh thì AC là đáy; C là đỉnh thì AB là đáy

Giờ thầy sẽ hướng dẫn các em tư duy sang hình học không gian : với khối chóp S A A A thì ta có 1 2 3 thể coi lần lượt S A A A, 1, 2, 3 là đỉnh và mặt tương ứng tạo bởi 3 điểm còn lại là đáy Khi đó từ công thức tính thể tích khối chóp ta xây dựng được công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng sau : NẾU MUỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ A THÌ TA COI 1 A LÀ ĐỈNH ,MẶT TẠO BỞI 3 1

ĐIỂM CÒN LẠI LÀ ĐÁY

1 2 3

1 2 3

2 3

,

3

S A A A A A A S A A A SA A SA A

S A A A

A SA A

SA A

V d

S



 Phương pháp này giúp các em tư duy tưởng tượng kém sẽ làm được các bài toán khoảng cách mà không cần dựng hình

 Muốn tính diện tích tam giác đáy là mặt bên của chóp, ta cần tính 3 cạnh của nó bằng cách áp dụng Py – ta – go vào các tam giác chứa đường cao

 Để tính diện tích tam giác nằm trong một mặt bên ta sẽ so sánh với diện tích mặt bên đã biết cách tính theo công thức tỷ lệ diện tích : A

Cho tam giác ABC MBC Khi đó : ABM

ABC





 B C

 Muốn tính thể tích chóp ta so sánh thể tích chóp cần tìm với khối chóp ban đầu đề bài cho bằng 1 trong 2 cách sau :

 Tỷ số thể tích bằng tỷ số diện tích đáy nếu 2 mặt phẳng đáy trùng nhau.( các đỉnh của đáy này thuộc các đường nằm trong đáy kia hay đáy này chính là một phần nhỏ của đáy kia) Trường hợp này thường gặp hơn

 Sử dụng công thức tỷ lệ thể tích : Cho chóp S.ABC Các điểm M N P, , SA SB SC, , Khi đó

;

Bài tập minh hoạ cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA2avà SA vuông góc với đáy M la trung điểm SB Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AMC)

Tư duy : Dễ dàng nhận thấy (AMC) chứa chân đường cao A Ta làm như sau:

Bước 1 Tính thể tích khối chóp đề bài cho ban đầu ( đã làm ở ý 1 trong đề thi )

M