Tìm hiểu quá trình ổn định, quá trình ergodic và ứng dụng

 Quá trình ngẫu nhiên ổn định bậc 1 nếu tính chất thống kê của Xt i và Xt i + c là như nhau với bất kỳ hằng số nào.. Mặt khác các điều kiện cơ bản đối với ổn định bậc 1 và bậc 2 của qu

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN & TRUYỀN THÔNG

- -

BÁO CÁO Học phần: Quá trình ngẫu nhiên và ứng dụng

Đề tài 7: Tìm hiểu quá trình ổn định, quá trình ergodic và ứng dụng

Giảng viên: PGS TS: Nguyễn Thị Hoàng Lan

Hà Nội, ngày 14 tháng 12 năm

2014

74

Vũ Xuân Quỳnh Phạm Văn Tiến Phan Văn Tân Hoàng Anh Chiến Đinh Tuấn Hiệp

201120 05

201123 20

201121 17

201112 47

Mục Lục

Phân công công việc:

VI. Chữa bài tập (Hoàng Anh Chiến – Đinh Tuấn Hiệp)

I. Quá trình ngẫu nhiên ổn định

1 Khái niệm :

 Quá trình ngẫu nhiên ổn định (Stationary Stochastic Processes) là quá trình ngẫu nhiên bất biến khi dịch theo hằng số thời gian

 Quá trình ngẫu nhiên ổn định bậc 1 nếu tính chất thống kê của X(t i ) và X(t i + c) là như nhau với bất kỳ hằng số nào.

 Quá trình ổn định bậc 2 nếu tính chất thống kê của cặp { X(t 1 ), X(t 2 )}

và { X(t 1 +c), X(t 2 +c)} là như nhau với bất kỳ hằng số c.

II Quá trình ngẫu nhiên ổn định theo nghĩa hẹp:

1 Khái niệm

Một quá trình ổn định theo nghĩa hẹp hay ổn định chặt bậc n (n th – other Strict –Sense Stationary – S.S.S ) nếu thỏa mãn điều kiện sau với mọi t i và hằng

số c bất kỳ.

f x ( x 1 , x 2, ….x n , t 1 , t 2, ….t n )≡ f x ( x 1 , x 2, ….x n , t 1 +c, t 2 +c , ….t n +c) (1.1)

Trong đó f x là hàm mật độ đồng thời của các biến X 1 = X(t 1 ), X i = X(t i ), X n = X(t n ) và X i ’ = X(t i + c)….X ’

n = X(t n + c).

2 Tính chất của quá trình ổn định theo nghĩa hẹp bậc 1 :

Từ (1.1) ta có

f x (x, t) ≡ f x (x, t+c).

Với bất kỳ c = -t ta có được

f x (x, t) ≡ f x (x).

Nghĩa là hàm mật độ bậc 1 của X(t) là phụ thuộc t Như vậy:

E[X(t)] = = , constant.

Tương tự , đối với quá trình ổn định theo nghĩa chặt ta có từ quan hệ (1.1) như sau

f x (x 1 , x 2 , t 1 ,t 2 ) ≡ f x (x 1 ,x 2 , t 1 +c,t 2 +c).

Với c nào đó , c = -t 2 ta đạt được

f x (x 1 , x 2 , t 1 ,t 2 ) ≡ f x (x 1 ,x 2 , t 1 -t 2 ).

Như vậy hàm mật độ bậc 2 của quá trình ngẫu nhiên ổn định theo nghĩa chặt chỉ phụ thuộc vào sự khác nhau của các chỉ số thời gian

τ = t 1 – t 2.

Trong trường hợp này hàm tự tương quan được xác định bởi :

R xx (t 1 ,t 2 )= E{X(t 1 )X(t 2 )}

=∫∫x 1 x 2 f x (x 1 x 2 , τ = t 1 -t 2 ) dx1dx 2

=R xx (t 1 ,t 2 ) = R xx (τ) = R xx (-τ),

Nghĩa là hàm tự tương quan của quá trình ngẫu nhiên ổn định bậc 2 theo

nghĩa chặt chỉ phụ thuộc vào sự khác nhau của các chỉ số thời gian τ = t 1 – t 2.

Mặt khác các điều kiện cơ bản đối với ổn định bậc 1 và bậc 2 của quá trình ngẫu nhiên ổn định thường khó khan để kiểm chứng

Phần trên đã xét ổn định theo nghĩa hẹp (ổn định chặt ) tiếp theo sẽ xét ổn định theo nghĩa rộng.Wide-Sense Stationary (W.S.S)

III. Quá trình ổn định theo nghĩa rộng

1 Định nghĩa WSS

Một quá trình ngẫu nhiên X(t) được gọi là ổn định theo nghĩa rộng hay quá trình

ổn định bậc 2 nếu thỏa mãn:

- Trung bình theo thời gian bằng hằng số:

- Hàm tự tương quan chỉ phụ thuộc vào khoảng cách giữa 2 thời điểm:

Rxx(tl,t2) = E[X(t + τ)X * (t)] = Rxx(τ) (2-2) với τ = tl – t2

- Hàm Rxx(τ) còn có thể viết dưới dạng

Rxx(τ) = E{X(t+ τ/2)X*( t- τ/2)} (2-3) Đặc biệt E{|X(t)| 2 }=R(0)

Vì thế năng lượng trung bình của quá trình ổn định không phụ thuộc vào t và

có giá trị bằng R(0).

a) Ví dụ 1:

Giả sử x(t) là một quá trình ổn định theo nghĩa rộng:

μ(t) = 3 R(τ) = 9+4e -0.2| τ|

Ta có thể xác định các tham số liên quan của 2 biến z = x(5) , w = x(8):

E[z] = E[w] =3 Rxx(τ)= 9+4e -0.2*3 Cxx(τ)= 4e -0.2*3

- Từ công thức (2.2) cho ta hàm tương quan của một quá trình ngẫu nhiên theo nghĩa rộng chỉ phụ thuộc vào τ = t1-t2:

C(τ) = R(τ)= | μ| 2

và hệ số hiệp phương sai của nó bằng:

r(τ) = C(τ)/C(0)

Vì vậy, C(τ) là hàm tự hiệp phương sai và r(τ) là hệ số tự hiệp phương sai của các biến ngẫu nhiên x(t+ τ) và x(t).

- Hai tiến trình x(t) và y(t) được gọi là quá trình WWS đồng thời nếu mỗi quá trình là WWS và hiệp phương sai chéo chỉ phụ thuộc vào τ = t1 –t2:

Rxy(τ) = E[x(t+ τ)y*(t)]

Cxy(τ) = Rxy(τ) - ηxηy

b) Ví dụ 2:

Nếu x(t) là WWS và

s = thì = 1-t2)dt1dt2 = (2.5)

c) Trường hợp đặc biệt:

- Nếu C(τ) = q(τ) ( quá trình trắng) thì

= 2Tq

- Nếu tiến trình x(t) tương quan phụ thuộc a( a-dependent ) và a<<T thì từ (2.5) ta có:

= = 2T Điều này chỉ ra rằng một quá trình phụ thuộc a với a<<T có thể thay thế bằng nhiễu trắng với

q=

2 Tính chất của WSS

- Sự ổn định theo nghĩa hẹp luôn ngầm thỏa mãn điều kiện ổn định theo nghĩa rộng Tuy nhiên điều ngược lại không phải lúc nào cũng đúng.

- Xét x(t) là quá trình ngẫu nhiên Gausian, thì suy ra được độ ổn định theo nghĩa rộng kéo theo thõa mãn điều kiện ổn định chặt ( ổn định theo nghĩa hẹp) khi các biến là Gausian phối hợp Xi với chỉ số thời gian ti bất kỳ, Xi = X(ti).

- E[X(t)] = μ nên E[(Xt1 - μ)(Xt2 - μ)] = C(t1-t2) tức hàm tự hiệp phương sai của WSS chỉ phụ thuộc khoảng cách thời gian giữa 2 thời điểm.

- Quá trình ngẫu nhiên X(t) ổn định theo nghĩa rộng nếu có trung bình μ = 0 (zero-mean) thì hàm phương sai C(t,s) cũng là hàm tự tương quan và chỉ phụ thuộc vào (t-s)

Thật vậy: C(t,s) = R(t,s) = C(t-s)

- Một quá trình Gauss với trung bình bằng 0 (μ = 0) và hàm covariance có dạng R(t) = D(e -α|t| )/a

được gọi là quá trình ổn định Ornstein-Uhlenbeck.

IV Tính dừng Ergodic

1 Khái niệm:

Tính dừng Ergodic đảm bảo rằng nếu một tham số thống kê nào đó của quá trình được tính bằng kỳ vọng tức là trung bình tổng thể thì tham số đó cũng có thể tính theo trung bình đối với một quỹ đạo đơn lẻ

Khi quá trình ngẫu nhiên thuộc về một loại cụ thể như quá trình Ergodic, thì lấy trung bình theo thời gian bằng với lấy trung bình theo tập hợp, và các tính chất thống kê của quá trình này có thể được xác định bằng cách lấy trung bình theo thời gian trên một hàm mẫu của quá trình Với quá trình Ergodic, thì phải

là quá trình dừng chặt (ngược lại là không đúng) Tuy nhiên, với các hệ thống truyền thông, trong đó có thỏa mãn các điều kiện của quá trình WSS, thì ta chỉ cần quan tâm đến trung bnhf và hàm tự tương quan

Quá trình ngẫu nhiên là quá trình Ergodic theo trị trung bình nếu

Và quá trình Ergodic theo hàm tự tương quan nếu

Việc kiểm tre Ergodic của quá trình ngẫu nhiên thường rất khs Thực tế cần phải xem việc chuyển đổi giữa lấy trung bình theo thời gian và lấy trung bình tập hợp có hợp lý không Giả định hợp lý trong phân tích các tín hiệu truyền thông là dạng sóng được coi là ergodic theo trung bình và hàm tự tương quan

Vì đối với quá trình ergodic, trung bình theo thời gian bằng với lấy trung bình tập hợp, nên các thông số thiết kế cơ bản như: giá trị dc, rms, công suất trung bình liên quan với các momen của quá trình ergodic Dưới đây là tổng hợp các quan hệ này

 Đại lượng mx = E{x(t)} là mức một chiều dc của tín hiệu

 Đại lượng mx2 là công suất dòng chuẩn hóa trong thành phần một chiều dc

 Moment bậc 2 của X(t) là E{X2(t)} là tổng công suất chuẩn hóa trung bình

 Đại lượng 2(t)} là giá trị trung bình bình phương căn nguyên rms của tín hiệu dòng điện hoặc điện áp

 Phương sai x2 là công suất chuẩn hóa trung bình trong tín hiệu biến đổi theo thời gian hoặc thành phần xoay chiều của tín hiệu

 Nếu quá trình có trung bình 0 (nghĩa là, mx=mx2=0), thì x2 = E{X2} và

phương sai chính là giá trị trung bình bình phương (căn bậc 2 của trị trung bình), phương sai thể hiện tổng công suất trên tải chuẩn hóa

 Độ lệch chuẩn x là giá trị rms của thành phần xoay chiều của tín hiệu.

 Nếu mx = 0, thì x là giá trị rms của tín hiệu

2 Tính chất của tính dừng Ergodic

Tính dừng Ergodic có hai dạng: Ergodic kỳ vọng và Ergodic hiệp phương sai

Ergodic kỳ vọng

Định nghĩa: quá trình ngẫu nhiên dừng nhân giá trị thực {X(t)} được gọi là

ergodic kỳ vọng nếu kỳ vọng µ của quá trình trung bình thời gian của một quỹ đạo bất kỳ

E[X(t)]=

Giới hạn theo phương trung bình:

Đặt XT =

Với XT là giá trị trung bình thời gian trên [-T;T] của {X(t)}

Khi T→∞, giới hạn T là giá trị trung bình của quỹ đạo trên toàn trục số

Đối với qua trình ngẫu nhiên tổng quát,giới hạn đã nêu là một biến ngẫu nhiên, tức là phụ thuộc vào ζ S

Sau đây là một ví dụ về ergodic kỳ vọng:

• Ví dụ : Xét dãy dừng {X(n)} với CX(n) = Pa|n|,(0<a<1) Khi đó:

= → 0 (N→∞) Suy ra {X(n)} là dãy ergodic kỳ vọng

Ergodic phương sai

Định nghĩa: Quá trình dừng nhận giá trị thực {X(t)} được gọi là ergodic

phương sai nếu phương sai V của nó bằng phương sai theo thời gian của một quỹ đạo bất kỳ, tức là :

V=E[(X(t) - µ)2]= )2dt Ergodic phương sai được chia theo các trường hợp:

- Trường hợp kỳ vọng đã biết

- Trường hợp chưa biết kỳ vọng

- Ergodic tự hiệp phương sai

- Ergodic hiệp phương sai chéo

Giới hạn theo bình phương trung bình:

 Trường hợp đã biết kỳ vọng: ta thay kỳ vọng vào công thức tính ra như

bình thường

 Trường hợp chưa biết kỳ vọng: Cần dùng trung bình thời gian XT để ước lượng, rồi sau đó tính ước lượng

T = XT)2dt=2(t)dt-X2

T

 Ergodic hiệp phương sai:

• Nếu {X(t)} có kỳ vọng đã biết, có thể xét {X(t)- }

• Nếu {X(t)} có kỳ vọng chưa biết,có thể dùng XT để ước lượng và xét {X(t) –XT } với lưu ý rằng kết quả khác chính xác với T lớn

Như vậy có thể giả sử rằng quá trình là quy tâm, tức là E(Xt) = 0

 Ergodic hiệp phương sai chéo

Hai quá trình nhận giá trị thực, dừng đồng thời {X(t)} và {Y(t)} được dọi là ergodic hiệp phương sai chéo nếu quá trình dừng ergodic tự hiệp phương sai,hơn nữa hiệp phương sai của chúng

CXY(τ)=E[(X(t+ τ)-µX)(Y(t)- µY)]

Chú ý : Tính chất ergodic kỳ vọng và ergodic tự hiệp phương sai hay được

sử dụng hơn cả Chính vì thế quá trình có hai tính chất này còn được gọi là ergodic suy rộng

V Thực hành Matlab

1 Giới thiệu về phần mềm Matlab

MATLAB là viết tắt từ "MATrix LABoratory", là phần mềm cung cấp môi trường tính toán số và lập trình, do công ty MathWorks thiết kế MATLAB cho phép tính toán số với ma trận, vẽ đồ thịhàm số hay biểu đồ thông tin, thực hiện thuật toán, tạo các giao diện người dùng và liên kết với những chương trình máy tính viết trên nhiều ngôn ngữ lập trình khác

Với thư viện Toolbox, MATLAB cho phép mô phỏng tính toán, thực nghiệm nhiều mô hình trong thực tế và kỹ thuật

Hình ảnh chương trình Matlab

Ngôn ngữ lập trình

Ngôn ngữ lập trình dùng trong hệ tính toán số cũng có tên gọi là MatLab.

Nó thuộc kiểu lập trình thủ tục (với một số đặc điểm của lập trình hướng đối tượng mới được bổ sung trong các phiên bản gần đây

Các kiểu dữ liệu

MatLab có đầy đủ các kiểu dữ liệu đơn giản như: số nguyên, số thực, kí tự,

logic (boolean).

Chuỗi kí tự được đặt trong dấu nháy đơn hoặc nháy kép, chẳng hạn "Viet Nam"

Kiểu dãy (sequence) có dạng dau:buoc:cuoi bao gồm một véc-tơ gồm các

phần tử bắt đầu từ số dau tăng dần theo từng buoc cho đến bằng (không vượt quá) số cuoi Kết quả cho ra một véc-tơ hàng:

1.2:0.2:1.7 %chú thích: tương đương với [1.2 1.4 1.6]

1.2:0.2:1.8 %chú thích: tương đương với [1.2 1.4 1.6 1.8]

Kiểu ma trận đóng vai trò trung tâm trong MatLab Ví dụ một ma trận hai hàng ba cột như sau (hết một hàng cần dấu chấm phẩy để phân tách, nhưng không nhất thiết xuống dòng):

[ -3 4 5.2;

2.1 -8 7.6 ]

MatLab còn có một số kiểu dữ liệu khác cao cấp hơn: kiểu cell, kiểu struct (bản ghi).

Các phép tính với ma trận

Các phép cộng trừ hai ma trận cùng kích thước được thực hiện bình thường Đặc biệt với phép nhân, MatLab phân biệt hai toán tử: * dành cho phép nhân

ma trận và * dành cho nhân từng cặp phần tử tương ứng của hai ma trận

>> a = [2 3; 2 4]

2 3

2 4

>> a * a % chính là bình phương ma trận A

10 18

12 22

>> a.* a % chỉ là bình phương TỪNG PHẦN TỬ của A

4 9

4 16

Với phép tính lũy thừa cũng tương tự Chẳng hạn, với ví dụ trên ta có thể viết lần lượt là a^2 và a.^2

Cú pháp

Trước đây MatLab không phân biệt chữ in, chữ thường (giống như Fortran) Các phiên hơn gần đây lại có sự phân biệt này (theo ngôn ngữ C) Các từ khóa đều viết chữ thường

• Lệnh gán có dạng giống như nhiều ngôn ngữ lập trình khác: tên_biến = giá_trị_biểu thức Thông thường máy sẽ in ra kết quả của biến sau khi gán, nếu ta không kết thúc lệnh gán bởi dấu ;

Ví dụ

t = 2 * 3 % hiện thị t = 6

t = t + 1; % t có giá trị bằng 7 nhưng không hiển thị lên màn hình

• Khai báo hàm số (ví dụ như hàm bình phương tên tham số vào là x, tên tham

số ra là y:

function y = binhPhuong(x)

binhPhuong = x * x;

end

• Cấu trúc rẽ nhánh, lặp:

for i = 1:3 % chú ý rằng vòng lặp theo dạng dãy

disp(1/i)

end

i = 0

while i < 4

i = i + 1; % không cho hiển thị ra màn hình

disp(i) % hiển thị giá trị i

end

Cú pháp đặc biệt (syntactic sugar)

Để tăng tốc độ lập trình, nhất là thao tác từ dấu nhắc lệnh, MatLab cho phép nhiều kiểu cú pháp viết tắt Chẳng hạn để xem hướng dẫn về lệnh plot thì hai câu lệnh sau là tương đương:

doc('plot')

doc plot % chú thích: cách viết gọn, đồng thời bỏ dấu ngoặc tròn và dấu nháy

Một ví dụ nữa là các số trong một véc-tơ hàng không cần có dấu phẩy ngăn cách

v1 = [2, 3, 4]

v2 = [5 6 7] % cũng hợp lệ!

Và ngay cả cách gọi file lệnh từ dấu nhắc cũng là một dạng rút gọn đặc biệt Chẳng hạn ta cần chạy file tinhtong.m trong thư mục hiện hành:

>> tinhtong

Tính năng vẽ đồ thị

Vẽ đồ thị là một tính năng được trau chuốt trong MatLab; với rất nhiều kiểu

đồ thị khác nhau như biểu đồ dạng đường, biểu đồ chấm điểm, các lớp màu

(patch) hai chiều, đường đồng mức và các đường cong, mặt congba chiều Ngoài ra MatLab còn cung cấp giao diện để người dùng trực tiếp biên tập hình vẽ, điền vào các ghi chú theo ý muốn

Vẽ đồ thị dạng đường

Giả sử có dãy số liệu V đo theo thời gian t Trong MatLab, V và t đều có dạng vec tơ có cùng độ dài Khi đó lệnh vẽ đồ thị với trục hoành là t và trục tung là V có dạng:

plot(t, V)

xlabel('t (s)') % viết tiêu đề các trục

ylabel('V (m/s)')

Vẽ đồ thị dạng lớp màu

Một cách hiệu quả để biểu thị các trường vật lí trong không gian hai chiều là dùng lớp màu Chẳng hạn T là một ma trận 2 chiều lưu giữ giá trị nhiệt độ của một tấm kim loại hình chữ nhật, thì việc hiển thị phân phối nhiệt độ bằng một lớp màu được thực hiện dễ dàng:

pcolor(T)

Vẽ trường vec tơ

Cũng như đồ thị lớp màu, việc hiển thị trường vec tơ rất cần thiết trong các ngành khoa học - vật lí Để vẽ trường véc-tơ hai chiều của các ma trận u và v, dùng lệnh:

quiver(u,v)

2 Thực hành trên Matlab

Xét ví dụ:

Giả sử x(t) là quá trình WSS:

Ta có thể xác định được các tham số liên quan của 2 biến z = x(5), w = x(8): E[z] = E[w] = 3

Rxx(3) =

Cxx(3)=

Vẽ hàm

Code trên phần mềm Matlab:

t2=8;

t1=5;

E=t2-t1;

e=2.71828;

teta=-2.5:0.5:2.5;

for i=1:length(teta)

b(i)=4*e^(-0.2*abs(teta(i)));

a=E*E;

rxx=a+b;

end

plot(teta ,rxx);

title('Ham tu tuong quan theo Rxx');

ylabel('Rxx(T)');

xlabel('T');

Kết quả thu được:

Nhận xét: Từ đồ thị thu được ta thấy Hàm là hàm đối xứng và chỉ phụ thuộc vào khoảng cách giữa 2 thời điểm t1, t2 (|t1-t2|=)

Và hàm đạt giá trị cực đại khi =0

VI Tài liệu tham khảo

1 Jochen Geiger, section 2: Renewal processes, Applied Stochastic

Processes, 2007

2 Athanasios Papoulis, chapter 10: General Concepts, Probability, Random

Variables, and Stochastic Processes, third edition, McGraw-Hill, Inc