Tìm hiểu quá trình hồi phục (Renewal Processes) và ứng dụng

2 1 Quá trình hồi phục Renewal processes 1.1 Mở đầu Trong thực tế rất nhiều sự kiện xảy ra một cách ngẫu nhiên và chúng đã được mô hình hóa bằng các lí thuyết về xác suất, thống kê và

Trang 1

Hoàng Anh Đức 20093795 Nguyễn Tố Tuân 20106109

Bùi Trung Dũng 20111264

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ỨNG DỤNG

ĐỀ TÀI: Tìm hiểu quá trình hồi phục

(Renewal Processes) và ứng dụng

Nhóm sinh viên thực hiện:

Giáo viên hướng dẫn: PGS TS Nguyễn Thị Hoàng Lan

Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor

To remove this notice, visit:

www.foxitsoftware.com/shopping

Trang 2

1

Mục lục

Mục lục 1

1 Quá trình hồi phục (Renewal processes) 2

1.1 Mở đầu 2

1.2 Định nghĩa 2

1.3 Tính chất của quá trình hồi phục 3

1.3.1 Strong Law of Large Number (SLLN - Luật số lớn) 3

1.3.2 Elementary renewal theorem (Định lí cơ bản) 4

2 Quá trình hồi phục có hoàn lại (Renewal reward processes) 4

1 Mở đầu 4

2.1 Định nghĩa 5

2.2 Tính chất của quá trình hồi phục có hoàn lại 5

2.2.1 Strong Law of Large Number (SLLN - Luật số lớn) 5

2.2.2 Elementary theorem (Định lí cơ bản) 6

3 Minh họa với Matlab 6

3.1 Minh họa quá trình hồi phục 6

Mã Matlab 6

Kết quả 7

3.2 Minh họa quá trình hồi phục có hoàn lại 7

Mã Matlab 7

Kết quả 8

4 Bài tập ví dụ 8

4.1 Bài tập 1 9

4.1.1 Đề bài 9

4.1.2 Bài giải 9

4.2 Bài tập 2 10

4.2.1 Đề bài 10

4.2.2 Bài giải 10

Phụ lục 12

Chuỗi ngẫu nhiên i.i.d (Independent, identically distributed) 12

Luật số lớn (Strong Law of Large Numbers) 12

Tài liệu tham khảo 13

Trang 3

2

1 Quá trình hồi phục (Renewal processes)

1.1 Mở đầu

Trong thực tế rất nhiều sự kiện xảy ra một cách ngẫu nhiên và chúng đã được mô hình hóa

bằng các lí thuyết về xác suất, thống kê và quá trình ngẫu nhiên Một trong các vấn đề

thường gặp là việc đếm các sự kiện ngẫu nhiên xảy ra trong một mô hình ngẫu nhiên nào

đó Để giải quyết việc này, mô hình về các quá trình đếm (counting processes) được đưa ra

và một ví dụ điển hình là quá trình Poisson (Poisson processes)

Học phần Xác suất - Thống kê đã đề cập tới phân phối Poisson và ứng dụng của nó Trên

quan điểm về quá trình ngẫu nhiên, quá trình Poisson là một quá trình đếm dùng để xác

định số lượng sự kiện ngẫu nhiên đã xảy ra và thời điểm chúng xuất hiện trong một khoảng

thời gian cho trước Nhiều mô hình ngẫu nhiên trên thực tế có thể được mô tả bằng quá

trình Poisson như sự phân rã hạt nhân (phóng xạ), các loại hàng đợi như tổng đài điện thoại,

web server …

Tuy nhiên không phải tất cả các sự kiện ngẫu nhiên trong thực tế đều tuân theo phân phối

Poisson Vì vậy, về mặt lí thuyết ta có thể tổng quát hóa quá trình Poisson bằng một quá

trình ngẫu nhiên khác có phân phối của các sự kiện là G tổng quát Quá trình đang đề cập

đến đây gọi là quá trình hồi phục (renewal processes)

1.2 Định nghĩa

Với là một chuỗi các biến ngẫu nhiên i.i.d.1 có hàm phân phối , nhận các giá

trị trên và có kì vọng [ ] [ ] :

 Đặt

 Các gọi là điểm hồi phục (renewal points)

 Đoạn [ ] gọi là khoảng hồi phục (renewal, renewal cycle)

 gọi là thời gian trễ

Khi đó biến ngẫu nhiên định nghĩa bởi:

(Là giá trị lớn nhất của sao cho )

sẽ chỉ ra số lượng khoảng hồi phục đã xảy ra cho tới thời điểm t Vì vậy nó được gọi

là quá trình hồi phục

1 Xem phụ lục

Trang 4

3

Một ví dụ thực tế của quá trình hồi phục là việc sử dụng một loại máy sản xuất có thời gian sử dụng (thời gian sống) là biến ngẫu nhiên có phân phối nào đó, và một máy mới được thay thế khi máy cũ bị hỏng Ta có thể dễ dàng thấy thời gian sử dụng mỗi máy là thể hiện của chuỗi biến và thời điểm phải thay thế máy đó là đã trình bày Vì vậy chính là quá trình hồi phục để đếm số lượng máy đã phải sử dụng cho tới thời điểm t và nó có thể chỉ ra một số các vấn đề khác mà người quản lí

quan tâm

1.3 Tính chất của quá trình hồi phục

1.3.1 Strong Law of Large Number (SLLN - Luật số lớn)

Gọi [ ] ] là thời gian sống trung bình (expected lifetime) ta có:

2

Với là số lượng khoảng hồi phục (sự kiện) đã xảy ra cho tới thời điểm , công thức này chỉ ra

số lượng sự kiện xảy ra trên một đơn vị thời gian trong thời gian dài (long run, )

Chứng minh

Dễ dàng thấy là điểm hồi phục cuối cùng trước và là điểm hồi phục đầu tiên sau :

2 With probability 1: với xác suất bằng 1

Trang 5

4

Ta có:

 [ ] (luật số lớn với i.i.d.3)

 ( ) ( ) (tương tự và )

Tức là cận dưới và cận trên của đều tiến đến , từ đó ta có điều phải chứng minh

1.3.2 Elementary renewal theorem (Định lí cơ bản)

Định nghĩa hàm hồi phục:

[ ]

Ta có:

[ ] Chứng minh định lí này dựa vào Đẳng thức Wald về thời gian dừng (stopping time) của một chuỗi i.i.d Ta không đề cập đến chứng minh này ở bản báo cáo này

2 Quá trình hồi phục có hoàn lại (Renewal reward processes)

1 Mở đầu

 Quá trình hồi phục còn có thể dùng để biểu diễn miền thời gian sử dụng các máy móc, trong đó loại máy được sử dụng có thời hạn sử dụng (thời gian sống) là ngẫu nhiên và máy được thay thế khi hỏng

 Trên thực tế, máy có thể được thay thế bất kì lúc nào và tốn một chi phí nhất định

 Một cách tổng quát hơn ở những trường hợp khác, chi phí thay đổi (hồi phục) sự kiện có thể là âm (mất đi) hoặc dương (nhận thêm)

Trong phần trên ta đã đề cập tới việc sử dụng quá trình hồi phục để mô hình hóa việc sử dụng và thay thế máy móc Tuy nhiên trong thực tế kinh doanh, việc thay thế máy móc hay bất kì công cụ nào đều tiêu tốn một chi phí nhất định, đồng thời sự kiện này có thể xảy ra bất kì lúc nào, trước hoặc sau khi máy bị hỏng (cũng là ngẫu nhiên)

Tổng quát hơn, chi phí thay đổi (hồi phục) sự kiện không những chỉ là âm (mất đi) mà còn

có thể là dương (nhận thêm vào)

3 Xem phụ lục

Trang 6

5

Vì vậy, quá trình hồi phục có thể được tổng quát hóa thêm một bước bằng cách đưa vào khái niệm về chi phí hồi phục sự kiện (hoàn lại – reward) và ta gọi nó là renewal reward process

2.1 Định nghĩa

Ta có là một quá trình hồi phục với các điểm hồi phục là

Với một chuỗi biến ngẫu nhiên i.i.d có trung bình [ ] , ta định nghĩa quá trình hồi phục có hoàn lại như sau:

Quá trình này chỉ ra mức chi phí đạt được cho tới thời điểm đang xét

Không chỉ được sử dụng để mô tả về việc sử dụng và thay thế máy móc, quá trình hồi phục

có hoàn lại còn có thể mô tả quá trình sản xuất sản phẩm, trong đó thời gian cần thiết để cho ra một sản phẩm là ngẫu nhiên Nếu sản phẩm đó đạt chuẩn thì nó sẽ trả về cho nhà sản xuất một khoản thưởng ( dương) còn nếu nó hỏng thì nhà sản xuất phải mất chi phí

để tiêu hủy nó ( âm) Quá trình hồi phục có hoàn lại trong trường hợp này sẽ chỉ ra được mức lợi nhuận mà nhà sản xuất đạt được sau một thời gian cho trước

2.2 Tính chất của quá trình hồi phục có hoàn lại

2.2.1 Strong Law of Large Number (SLLN - Luật số lớn)

Vẫn với thời gian sống trung bình [ ], ta có:

Trang 7

6

4

Tính chất này chỉ ra lượng chi phí hoàn lại trung bình trong thời gian dài (long run) bằng

2.2.2 Elementary theorem (Định lí cơ bản)

Với [ ], ta có:

3 Minh họa với Matlab

Qua việc nghiên cứu quá trình hồi phục và quá trình hồi phục có hoàn lại, ta thấy dạng của

đồ thị là một hình bậc thang với các bước có độ dài ngẫu nhiên Vì vậy để minh họa, ta cần phải thực hiện các bước sau

i Sinh chuỗi số ngẫu nhiên có chung hàm phân phối

ii Sử dụng chuỗi đã sinh để tính lại độ dài bậc thang theo định nghĩa của quá trình hồi phục

iii Sử dụng công cụ vẽ đồ thị dạng bậc thang của phần mềm minh họa

Để thực hiện các bước này, phần mềm Matlab có các hàm hỗ trợ như sau:

Y = random(name,A,B,C,[m,n, ]) – tạo số random với phân phối “name” và các tham

số A, B, C trên ma trận cỡ mxnx…

B = cumsum(A) – tính tổng dọc theo mảng A

stairs(X,Y) – vẽ đồ thị dạng bậc thang với đầu vào là các ma trận X,Y

3.1 Minh họa quá trình hồi phục

Mã Matlab

num = 1; % số lượng quá trình hồi phục cần minh họa

maxtime = 10; % thời điểm tối đa được minh họa

% khởi tạo ma trận toàn 0 để tính toán và vẽ đồ thị dễ hơn

rntimes = zeros(1, num);

% tạo điểm hồi phục và ghi vào các cột của ma trận

% hàm random này cho các số ngẫu nhiên theo phân phối mũ có trung bình bằng 2

% hàm random này có thể thay thế bằng các hàm sinh số ngẫu nhiên dương khác

i = 1;

while (min(rntimes(i, :))<=maxtime)

rntimes = [rntimes; rntimes(i, :)+random( 'exp' ,2,[1, num])];

i = i+1;

4 With probability 1: với xác suất bằng 1

Trang 8

7

end ;

% tìm các điểm phục hồi vượt quá maxtime và gán lại bằng maxtime

ex_i = find(rntimes>maxtime);

rntimes(ex_i) = maxtime;

% khởi tạo các bước nhảy của quá trình hồi phục và đưa vào các cột ma trận

rncount = [zeros(1, num); ones(size(rntimes, 1)-1, num)];

rncount(ex_i) = 0;

rncount = cumsum(rncount);

stairs(rntimes, rncount);

Kết quả

3.2 Minh họa quá trình hồi phục có hoàn lại

Mã Matlab

num = 1; % số lượng quá trình hồi phục cần minh họa

maxtime = 10; % thời điểm tối đa được minh họa

% khởi tạo ma trận toàn 0 để tính toán và vẽ đồ thị dễ hơn

rntimes = zeros(1, num);

% tạo điểm hồi phục và ghi vào các cột của ma trận

% hàm random này cho các số ngẫu nhiên theo phân phối mũ có trung bình bằng 2

% hàm random này có thể thay thế bằng các hàm sinh số ngẫu nhiên dương khác

i = 1;

while (min(rntimes(i, :))<=maxtime)

rntimes = [rntimes; rntimes(i, :)+random( 'exp' ,2,[1, num])];

Trang 9

8

i = i+1;

end ;

% tìm các điểm phục hồi vượt quá maxtime và gán lại bằng maxtime

ex_i = find(rntimes>maxtime);

rntimes(ex_i) = maxtime;

% khởi tạo các bước nhảy của quá trình và đưa vào các cột ma trận

rncount = [zeros(1, num); rand(size(rntimes, 1)-1, num)];

rncount(ex_i) = 0;

rncount = cumsum(rncount);

stairs(rntimes, rncount);

Kết quả

4 Bài tập ví dụ

Trang 10

4.1 Bài tập 1

4.1.1 Đề bài: Cho biến ngẫu nhiên X, Y tuân theo phân phối chuẩn đồng thời với các

tham số:

= 3; = 4; = 1; = 2; =1

2 Tìm luật phân phối của f(y|x) và f(x|y)

4.1.2 Giải:

+ X, Y tuân theo phân phối chuẩn đồng thời nên có hàm mật độ đồng thời:

1 2(1 − )

−

− 2 ( − )( − )

+ Tính hàm mật độ biên: Đặt = => 1 − = Suy ra:

−( − ) 2(1 − ) +

( − )

1 − − 2

2

( ( ) )

( )

Áp dụng tích phân: ∫ = √2 , ta có: ( ) = 1

√2 exp − −

2

2 2

+ Từ đó có các hàm mật độ biên:

√2 exp −

( − )

2 ℎ ~ ( ; )

√2 exp −

( − )

2 ℎ ~ ( ; ) + Từ đó ta có các hàm mật độ có điều kiện:

( | ) = ( , )

( ) =

1

( | ) = ( , )

( ) =

1

Suy ra ( | ) ~ ( + ( − ); (1 − ))

Và ( | ) ~ ( + ( − ); (1 − ))

Thay số ta được: ( | ) ~ ( + 1; 3) ( | ) ~ ( + 2; )

9

Trang 11

4.2 Bài tập 2

4.2.1 Đề bài: 2 biến x và y không tương quan và x y  Biểu diễn nếu

zx jy thì:

z

Khi  u jv Đây là dạng vô hướng của công thức (8-62)

4.2.2 Bài làm:

+Do x và y là 2 biến ngẫu nhiên không tương quan nên với z x jythì phương sai

của z là:

2

     (1)

Ngoài ra 2 2

+Hàm đặc trưng của biến z là:

 

2

1 exp

z

(3)

Thay (1) và (2) vào (3), ta được:

 

z

+Mặt khác: Gọi véc-tơ ngẫu nhiên X x y, 

Ta có hàm mật độ của X là:

1

+Như vậy: f z z  f x y , 

10

Trang 12

+Ta có: u jv ⇒ 2 2

   (4) +Ta có hàm:

exp 4

(5)

Thay (1) và (4) vào (5) ta được:

exp

2

exp 2

11

Trang 13

12

Phụ lục

Chuỗi ngẫu nhiên i.i.d (Independent, identically distributed)

Là một chuỗi các số ngẫu nhiên hoặc một chuỗi các biến ngẫu nhiên có chung hàm phân phối

và độc lập đối với nhau

Luật số lớn (Strong Law of Large Numbers)

Với là một chuỗi biến ngẫu nhiên i.i.d thì:

∑ [ ]

w p.1 = với xác suất bằng 1

Chỉ ra rằng khi thực hiện một phép thử càng nhiều lần thì trung bình cộng các giá trị đo được càng tiến đến gần với trung bình của sự kiện ngẫu nhiên

Trang 14

13

Tài liệu tham khảo

Geiger, Jochen 2007 Applied Stochastic Processes 2007

Jun, C H 2002 Chapter 3 Renewal Theory 2002

Kaj, Ingemar and Gaigalas, Raimundas Renewal processes Department of Mathematics

[Online] Uppsala University http://www2.math.uu.se/research/telecom/software/strenewal.html

Kapodistria, Stella and Resing, Jacques 2012 Renewal theory and its application TU/e

[Online] 2012

Papoulis, Athanasios 1991 Probability, Random Variables, and Stochastic Processes s.l :

McGraw-Hill, Inc., 1991 0-07-048477-5

Wikipedia Law of large numbers Wikipedia [Online]

http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers

— Poisson process Wikipedia [Online] http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_process

— Renewal Theory Wikipedia [Online] http://en.wikipedia.org/wiki/Renewal_theory

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	1,75 MB