Bài giảng đại số, giải tích và ứng dụng chương 4 nguyễn thị nhung (đh thăng long)

Ghi chó Ghi chó Ghi chó... Ghi chó Ghi chó Ghi chó... Ghi chó Ghi chó Ghi chó... Ghi chó Ghi chó Ghi chó... Ghi chó Ghi chó Ghi chó... Ghi chó Ghi chó Ghi chó... Ghi chó Ghi chó Ghi chó.

Trang 1

¤i sè, gi£i t½ch v ùng döng

Nguy¹n Thà Nhung

Bë mæn To¡n - ¤i håc Th«ng Long

Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011

Nguy¹n Thà Nhung (H THNG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011 1 / 48

Ch÷ìng IV

Ph²p t½nh vi ph¥n h m mët bi¸n

Nghi»m c¥n b¬ng trong mæ h¼nh to¡n kinh t¸ Mæ h¼nh to¡n kinh t¸

Nhúng kh¡i ni»m trong mæ h¼nh to¡n kinh t¸

Mæ h¼nh to¡n kinh t¸ l mæ h¼nh kinh t¸ ÷ñc tr¼nh b y b¬ng ngæn

ngú to¡n håc

Cæng thùc cõa mæ h¼nh To¡n kinh t¸: gçm c¡c ¤i l÷ñng ành l÷ñng

v c¡c h» thùc to¡n håc (ph÷ìng tr¼nh v b§t ph÷ìng tr¼nh) li¶n h»

giúa chóng

V½ dö:

vîi R l l÷ñng m÷a

Ghi chó

Trang 2

Nhúng kh¡i ni»m trong mæ h¼nh to¡n kinh t¸

Bi¸n l mët ¤i l÷ñng m ë lîn câ thº thay êi, hay l mët ¤i l÷ñng

m câ thº nhªn nhi·u gi¡ trà kh¡c nhau

Bi¸n nëi sinh l bi¸n m gi¡ trà cõa chóng t¼m ÷ñc tø mæ h¼nh

Bi¸n ngo¤i sinh l bi¸n m gi¡ trà cõa chóng ÷ñc xem l tçn t¤i b¶n

ngo i mæ h¼nh v ë lîn ch¿ ÷ñc x¡c ành khi dú li»u ÷ñc cho tr÷îc

H¬ng sè l ¤i l÷ñng khæng thay êi v do â èi lªp vîi bi¸n

Tham sè l ¤i l÷ñng ÷ñc gi£ sû º biºu di¹n h¬ng sè cho tr÷îc

nh÷ng khæng ÷ñc g¡n mët gi¡ trà cö thº m câ thº nhªn b§t k¼ mët

gi¡ trà n o

Nhªn x²t: Bi¸n ngo¤i sinh l bi¸n ëc lªp, bi¸n nëi sinh l bi¸n phö

thuëc v o tham sè v bi¸n ngo¤i sinh

Mët sè bi¸n th÷íng g°p trong kinh t¸

Nghi»m c¥n b¬ng trong mæ h¼nh to¡n kinh t¸ C¥n b¬ng

Nhúng kh¡i ni»m v· c¥n b¬ng trong mæ h¼nh To¡n kinh t¸

Tr¤ng th¡i c¥n b¬ng l mët tr¤ng th¡i ên ành m nhâm c¡c bi¸n sè

trong mæ h¼nh ¤t ÷ñc

Do tr¤ng th¡i c¥n b¬ng l ên ành n¶n ph¥n t½ch c¥n b¬ng gåi l ph¥n

t½ch t¾nh

So s¡nh t¾nh l so s¡nh hai tr¤ng th¡i c¥n b¬ng cô v mîi vîi nhau

v do hai tr¤ng th¡i c¥n b¬ng n y l t¾nh n¶n gåi l so s¡nh t¾nh

i·u ki»n c¥n b¬ng l ph÷ìng tr¼nh mæ t£ cho vi»c ¤t ÷ñc c¥n

b¬ng Hai i·u ki»n c¥n b¬ng quen thuëc nh§t trong kinh t¸ l

v

S I pti¸t ki»m = ¦u t÷q, l¦n l÷ñt l c¥n b¬ng cõa mæ h¼nh thà tr÷íng v c¥n b¬ng cõa thu nhªp

Ghi chó

Trang 3

Tr¤ng th¡i c¥n b¬ng trong mæ h¼nh thà tr÷íng ìn

V½ dö 1: Cho mæ h¼nh thà tr÷íng ìn sau:

Qd a bPpa, b ¡ 0q,

trong â Qd,Qs,P l l÷ñng c¦u, l÷ñng cung v gi¡ b¡n cõa h ng hâa,

a, b, c, d l c¡c tham sè

a X¡c ành bi¸n nëi sinh, bi¸n ngo¤i sinh v tham sè trong mæ h¼nh

b Gi£i th½ch i·u ki»n c¡c tham sè trong mæ h¼nh

Tr¤ng th¡i c¥n b¬ng trong mæ h¼nh thà tr÷íng hai h ng hâa

V½ dö 2: T¼m nghi»m c¥n b¬ng cõa mæ h¼nh thà tr÷íng hai h ng hâa bi¸t

h m cung v h m c¦u ÷ñc cho bði:

Qd1 10 2P1 P2

Tr¤ng th¡i c¥n b¬ng trong mæ h¼nh thu nhªp quèc d¥n

V½ dö 3: T¼m nghi»m c¥n b¬ng cõa mæ h¼nh thu nhªp quèc d¥n sau:

C α βpY T q pα ¡ 0, 0 β 1q,

T γ δY pγ ¡ 0, 0 δ 1q trong â, Y l thu nhªp quèc d¥n, C l ti¶u dòng cõa c¡c hë gia ¼nh cho

h ng hâa v dàch vö, T l thu¸, Y T ÷ñc gåi l thu nhªp kh£ döng I0

l l÷ñng ¦u t÷, G0 l chi ti¶u cõa ch½nh phõ

a X¡c ành bi¸n nëi sinh, bi¸n ngo¤i sinh, tham sè trong mæ h¼nh

b Gi£i th½ch i·u ki»n cõa c¡c tham sè trong mæ h¼nh

Ghi chó

Trang 4

¤o h m cõa h m mët bi¸n v c¡c kh¡i ni»m li¶n quan Kh¡i ni»m ¤o h m cõa h m mët bi¸n

Kh¡i ni»m ¤o h m

Gi£ sû h m sè y f pxq x¡c ành tr¶n kho£ng pa, bq Cho x0,x P pa, bq,

khi bi¸n sè thay êi tø gi¡ trà x0tîi gi¡ trà mîi x, ë thay êi ÷ñc o

bði hi»u x x0;

Hi»u sè ∆x x x0, ch¿ l÷ñng thay êi gi¡ trà cõa x ÷ñc gåi l sè

gia cõa èi sè Khi x thay êi tø gi¡ trà ban ¦u x0 tîi gi¡ trà mîi

Gi¡ trà cõa h m sè y f pxq thay êi tø f px0q tîi f px0 ∆xq Hi»u sè

∆f pxq f pxq f px0q f px0 ∆xq f px0q, ch¿ l÷ñng thay êi t÷ìng

ùng cõa y, ÷ñc gåi l sè gia cõa h m sè

T¿ sè

∆y

f px0 ∆xq f px0q

∆x biºu di¹n tèc ë thay êi trung b¼nh cõa bi¸n sè y khi bi¸n sè x thay

êi tø x0 ¸n x

Kh¡i ni»m ¤o h m

ành ngh¾a

Cho h m sè y f pxq x¡c ành tr¶n kho£ng pa, bq v x0P pa, bq N¸u giîi

h¤n

lim

∆xÑ0

∆y

∆x lim∆xÑ0

f px0 ∆xq f px0q

∆x tçn t¤i v húu h¤n th¼ giîi h¤n n y ÷ñc gåi l ¤o h m cõa h m sè y f pxq

t¤i x0

Kh¡i ni»m ¤o h m

Chó þ:

Khi ∆x d¦n tîi 0, ta k½ hi»u ∆x l dx, v gåi l mët ¤i l÷ñng væ còng

b², tùc l mët ¤i l÷ñng c ng ng y c ng d¦n tîi 0 nh÷ng khæng bao

gií b¬ng 0 Khi ∆x l mët ¤i l÷ñng væ còng b² th¼ ∆y t÷ìng ùng

công l mët ¤i l÷ñng væ còng b² v ta k½ hi»u l dy Nh÷ vªy, tø ành

ngh¾a ¤o h m ta th§y ¤o h m cõa h m sè y f pxq t¤i x0ch½nh l

t¿ sè dydx

¤o h m cõa y f pxq t¤i x x0 ÷ñc k½ hi»u l f1px0q ho°c dydx

(dy

dx|x x0).

Ghi chó

Trang 5

Mët sè t½nh ch§t cõa ¤o h m

ành l½

N¸u h m sè y f pxq câ ¤o h m t¤i x0th¼ f pxq s³ li¶n töc t¤i x0

ành l½

Cho y f pxq l h m sè câ ¤o h m tr¶n pa, bq Khi â

N¸u f1px0q ¡ 0 th¼ f pxq çng bi¸n xung quanh l¥n cªn cõa iºm x0

N¸u f1px0q 0 th¼ f pxq nghàch bi¸n xung quanh l¥n cªn cõa iºm x0

N¸u f1pxq ¡ 0 th¼ f pxq çng bi¸n tr¶n pa, bq

N¸u f1pxq 0 th¼ f pxq nghàch bi¸n tr¶n pa, bq

¤o h m cõa h m mët bi¸n v c¡c kh¡i ni»m li¶n quan ¤o h m v c¡c kh¡i ni»m li¶n quan

¤o h m v kh¡i ni»m cªn bi¶n trong kinh t¸

Trong kinh t¸ ta th÷íng sû döng kh¡i ni»m cªn bi¶n, v½ dö chi ph½ cªn bi¶n,

s£n ph©m cªn bi¶n theo lao ëng, xu h÷îng ti¶u dòng cªn bi¶n, Theo

ành ngh¾a gèc th¼ þ ngh¾a cõa "cªn bi¶n" trong chi ph½ cªn bi¶n l chi ph½

bä ra khi s£n xu§t th¶m mët ìn và s£n ph©m, hay trong s£n ph©m cªn bi¶n

theo lao ëng l l÷ñng s£n ph©m t«ng th¶m khi sè lao ëng ¦u v o t«ng

th¶m mët X²t theo ngæn ngú to¡n håc, n¸u vi¸t h m s£n xu§t d÷îi d¤ng

Q f pLq th¼ h m s£n ph©m cªn bi»n theo lao ëng ÷ñc vi¸t th nh

∆L,

ð ¥y, ∆L 1 v ∆Q f pL 1q f pLq

¤o h m v kh¡i ni»m cªn bi¶n trong kinh t¸

º thuªn ti»n cho vi»c t½nh to¡n, thay v¼ cho ∆L 1 ta cho ∆L Ñ 0 v

khi â

MPL dQdL f1pLq

Nhúng ph¥n t½ch tr¶n cho ta mð rëng kh¡i ni»m cªn bi¶n qua ành ngh¾a

sau:

ành ngh¾a

Trong to¡n kinh t¸ khi · cªp ¸n kh¡i ni»m cªn bi¶n tùc l chóng ta ·

cªp ¸n kh¡i ni»m ¤o h m

Ghi chó

Trang 6

Mët sè h m cªn bi¶n th÷íng g°p trong kinh t¸

V½ dö 1

Cho h m s£n xu§t Cobb-Douglas câ d¤ng

Q f pLq 2L1{4.

¤o h m v kh¡i ni»m so s¡nh t¾nh

Ph¥n t½ch so s¡nh t¾nh l b i to¡n li¶n quan ¸n vi»c so s¡nh hai tr¤ng

th¡i c¥n b¬ng cô v mîi vîi nhau

Tr¤ng th¡i c¥n b¬ng ÷ñc x¡c ành bði nghi»m c¥n b¬ng hay l tªp

c¡c gi¡ trà cõa bi¸n nëi sinh c¥n b¬ng

Bi¸n nëi sinh c¥n b¬ng ÷ñc x¡c ành theo tham sè v bi¸n ngo¤i sinh

Ph¥n t½ch so s¡nh t¾nh ch½nh l t¼m tèc ë thay êi cõa cõa bi¸n nëi

sinh c¥n b¬ng theo sü thay êi cõa tham sè v bi¸n ngo¤i sinh v do

â ¤o h m câ þ ngh¾a quan trång trong so s¡nh t¾nh

Ghi chó

Trang 7

¤o h m v ë dèc cõa mët ÷íng

Ta câ thº xem ç thà cõa mët h m sè y f pxq gièng nh÷ l mët h»

thèng gçm c¡c d¢y nói v c¡c thung lông, vîi x ÷ñc k½ hi»u l và tr½

ùng dåc theo tröc x (tùc l kho£ng c¡ch l bao nhi¶u t½nh tø mët

iºm theo h÷îng æng ho°c h÷îng t¥y) v y l ë cao cõa và tr½ ùng

so vîi tröc x (hay l cao bao nhi¶u so vîi m°t n÷îc biºn)

C£ nh leo nói v nh kinh t¸ ·u °c bi»t quan t¥m ¸n ë dèc C¡c

nh leo nói hiºn nhi¶n chó þ ¸n chuy»n hå ang chu©n bà l¶n dèc

hay xuèng dèc, v c¡c nh kinh t¸ th¼ l¤i quan t¥m ¸n chuy»n ç thà

cõa mët h m sè l dèc l¶n (gièng ÷íng cung) hay dèc xuèng (gièng

÷íng c¦u)

Minh Håa

¤o h m v ë dèc cõa mët ÷íng

ë dèc t¤i mët iºm b§t k¼ x câ thº ÷ñc o bði ë chuyºn ëng ∆x (ch¯ng

h¤n, ∆x 5 hay i v· b¶n ph£i 5), o b¬ng ë thay êi ë cao ∆y (ch¯ng

∆x º t½nh ë dèc (ð ¥y,

∆y

20

5 4, ngh¾a l méi b÷îc b¤n i v· ph½a tr÷îc, b¤n ¢ i xuèng

4 b÷îc, d§u ¥m ð ¥y cho ta bi¸t l i xuèng) Tø â ta câ ành ngh¾a sau:

ành ngh¾a

Cho h m sè y f pxq câ ¤o h m t¤i x x0 ë dèc cõa h m sè

y f pxq t¤i x0 ch½nh l h» sè gâc cõa ti¸p tuy¸n cõa f pxq t¤i x0hay l

¤o h m f1px0q t¤i iºm x0

Ghi chó

Trang 8

Minh Håa

C¡c qui tc t½nh ¤o h m H m chi ph½, h m doanh thu v h m lñi nhuªn

H m chi ph½

H m têng chi ph½ TC f pQq;

H m chi ph½ cè ành FC;

H m chi ph½ bi¸n êi VC;

H m chi ph½ trung b¼nh: AC TCQ ;

H m chi ph½ cè ành trung b¼nh: AFC FCQ ;

H m chi ph½ bi¸n êi trung b¼nh: AVC VCQ ;

H m doanh thu v h m lñi nhuªn

H m têng doanh thu: TR PQ;

H m lñi nhuªn: Π TR TC

Ghi chó

Trang 9

V½ dö

Cho h m têng chi ph½ cõa mët doanh nghi»p câ d¤ng

T¼m h m chi ph½ bi¸n êi, chi ph½ cè ành cõa doanh nghi¶p

T¼m h m chi ph½ trung b¼nh, chi ph½ cªn bi¶n cõa doanh nghi»p

T¼m ¤o h m cõa h m chi ph½ bi¸n êi v cho nhªn x²t

C¡c qui tc t½nh ¤o h m ¤o h m cõa mët sè h m sè sì c§p

B£ng ¤o h m cõa mët sè h m sè sì c§p

f pxq logax, a ¡ 0, a 1, x ¡ 0 f1pxq x ln a1 , vîi måi x ¡ 0

C¡c qui tc t½nh ¤o h m C¡c qui tc t½nh ¤o h m

Qui tc têng, t½ch, th÷ìng

Cho f pxq, gpxq l c¡c h m sè câ ¤o h m Khi â ta câ c¡c qui tc t½nh

¤o h m sau:

Qui tc têng: pf pxq gpxqq1 f1pxq g1pxq;

Qui tc têng têng qu¡t:

pf1pxq f2pxq fnpxqq1 f1

1pxq f1

2pxq f1

npxq

Qui tc t½ch: pf pxqgpxqq1 f1pxqgpxq f pxqg1pxq;

Qui tc t½ch têng qu¡t:

pf1pxqf2pxq fnpxqq1

f1

1pxqf2pxq fnpxq f1pxqf1

2pxq fnpxq f1pxqf2pxq f1

npxq Qui tc th÷ìng: gpxqf pxq f1pxqgpxq f pxqgg2pxq 1pxq,gpxq 0

Ghi chó

Trang 10

V½ dö

T½nh ¤o h m cõa c¡c h m sè sau:

a f pxq ?3

x ?2x x2x 1

b f pxq 2x log2x x ln x

V½ dö

Cho h m doanh thu trung b¼nh AR f pQq T¼m h m doanh thu cªn bi¶n

v cho nhªn x²t

V½ dö

Cho h m têng chi ph½ TC TCpQq

a T½nh h m chi ph½ trung b¼nh AC

b T½nh ë dèc cõa h m chi ph½ trung b¼nh AC1pQq

c So s¡nh chi ph½ trung b¼nh AC v chi ph½ cªn bi¶n MC düa tr¶n ë

dèc cõa AC

Ghi chó

Trang 11

¤o h m cõa h m hñp hay qui tc chuéi

Cho h m sè z f pyq v y upxq hay z f pupxqq Khi â ta câ qui tc

t½nh ¤o h m cõa z theo x nh÷ sau:

z1pxq f1pupxqq.u1pxq hay z1

x z1

yy1

x.

Ta câ công câ thº vi¸t d÷îi d¤ng t÷ìng ÷ìng:

dz

dz dy

dy

dx.

B£ng t½nh ¤o h m cõa h m hñp

zpxq upxqα, αP R z1pxq αuα 1u1pxq, vîi måi x

zpxq aupxq,a ¡ 0 z1pxq aupxqln au1pxq, vîi måi x

upxq ln a,

a ¡ 0, a 1, upxq ¡ 0 vîi måi x : upxq ¡ 0

upxq,

V½ dö

T½nh ¤o h m cõa c¡c h m sè sau:

a zpxq p3x2 2x 1q10

c zpxq ex 2 x 1

d zpxq log2px2x 1q, x ¡ 0

Ghi chó

Trang 12

¤o h m cõa h m ng÷ñc

ành ngh¾a

Cho h m sè f pxq N¸u tçn t¤i h m gpxq sao cho f pgpxqq gpf pxqq x

th¼ gpxq ÷ñc gåi l h m ng÷ñc cõa f pxq v ÷ñc k½ hi»u l f1pxq

ành l½

Cho h m sè f pxq N¸u f pxq l h m ìn i»u th¼ f pxq câ h m ng÷ñc

Nhªn x²t: Khi f pxq l h m kh£ vi th¼ f pxq ìn i»u khi f1pxq ¡ 0, @x

ho°c f1pxq 0, @x Nh÷ vªy ta câ thº kiºm tra vi»c tçn t¤i h m ng÷ñc

cõa f pxq düa tr¶n vi»c x²t d§u cõa ¤o h m f1pxq

V½ dö

Chùng minh r¬ng nhúng h m sè sau câ h m ng÷ñc tr¶n mi·n ch¿ ra t÷ìng

ùng v t½nh ¤o h m h m ng÷ñc cõa chóng:

a f pxq ax b, a 0

b f pxq Axα,A 0, α 0, x ¡ 0

c f pxq x5 x3 x, x P R

ành l½ ¤o h m h m ng÷ñc

ành l½

Cho h m sè f pxq câ ¤o h m v câ h m ng÷ñc l f1pxq Khi â h m

ng÷ñc f1pxq công câ ¤o h m v ÷ñc cho bði cæng thùc:

pf1q1pxq f1pf11pxqq hay

pf1q1py0q f1px0q1 , vîi y0 f px0q

Nhªn x²t:

Ghi chó

Trang 13

V½ dö

a T½nh f1p3q

b T½nh pf1q1p3q

Vi ph¥n Kh¡i ni»m v· vi ph¥n

Kh¡i ni»m v· vi ph¥n

Cho h m sè y f pxq Khi x thay êi mët l÷ñng ∆x th¼ y t÷ìng ùng thay

êi mët l÷ñng ∆y N¸u l÷ñng thay êi cõa x l õ nhä th¼ ta k½ hi»u l dx

v l÷ñng thay êi õ nhä t÷ìng ùng cõa y ta k½ hi»u l dy

ành ngh¾a

Cho h m sè f pxq L÷ñng thay êi õ nhä dx, dy t÷ìng ùng ÷ñc gåi l vi

ph¥n cõa bi¸n sè v vi ph¥n cõa h m sè

Vi ph¥n Mèi quan h» giúa vi ph¥n v ¤o h m

Mèi quan h» giúa vi ph¥n v ¤o h m

Cho h m sè y f pxq Ta câ f1pxq dy

Nhªn x²t:

Cæng thùc (3) cho ta t½nh ë thay êi cõa h m sè y khi x thay êi

mët l÷ñng væ còng b²

Khi ∆x khæng ÷ñc x²t l væ còng b² th¼ ta vi¸t:

Ghi chó

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	583,04 KB