Tối ưu hóa dàn phẳng chịu ràng buộc tần số dao động riêng

TÓM TẮTLuận văn này mô tả cách ứng dụng thuật toán Particle Swarm Optimization PSO, Tối ưu hóa kiểu bầy đàn vào việc tính toán hệ dàn phẳng để kết cấu đạt trọng lượng bản thân là nhỏ n

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP.HCM

- oOo

-DƯƠNG VĂN THUẬN

TỐI ƯU HÓA DÀN PHẲNG CHỊU RÀNG BUỘC TẦN SỐ DAO ĐỘNG

RIÊNG

CHUYÊN NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH GIAO

THÔNG

MÃ NGÀNH : 60580205

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS VŨ TRƯỜNG VŨ

LỜI CẢM ƠN

Sau khoảng thời gian hai năm học tập nghiên cứu, dưới sự giảng dạy tận tình của quý thầy cô tại trường Trường Đại Học Giao Thông Vận Tải TP.Hồ Chí Minh, Khoa Công Trình Giao Thông, tôi cảm thấy trưởng thành hơn về kiến thức khoa học chuyên môn trong lĩnh vực chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng công trình giao thông, một phần giúp tôi hoàn thành luận văn này

Tôi chân thành cảm ơn quý thầy cô Trường Đại Học Giao Thông Vận Tải TP.Hồ Chí Minh, Khoa Công Trình Giao Thông Đặc biệt cảm ơn thầy

Vũ Trường Vũ – Giáo viên trực tiếp hướng dẫn đã tận tình hướng dẫn và

giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình làm luận văn

Chân thành cảm ơn các bạn lớp Cao Học Xây Dựng Cầu Hầm niên khóa 2011-2013, các bạn bè đồng nghiệp đã quan tâm động viên, đóng góp ý kiến, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian học tập nghiên cứu tại trường

Mặc dù rất cố gắng hoàn thành luận văn, nhưng do thời gian và kiến thức có hạn, chắc chắn luận văn tốt nghiệp thạc sĩ này vẫn còn những thiếu sót nhất định Vì vậy, kính mong quý thầy cô, quý anh chị và các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến giúp tôi khắc phục và nâng cao kiến thức hơn nữa

Tp Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 4 năm 2015

Tác giả

Dương Văn Thuận

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan:

(i) Luận văn này là công trình nghiên cứu của tôi.

(ii) Số liệu, kết quả trong luận văn nghiên cứu được là trung thực và chưa được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

(iii) Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về nghiên cứu của mình

Học viên

Dương Văn Thuận

TÓM TẮT

Luận văn này mô tả cách ứng dụng thuật toán Particle Swarm

Optimization (PSO, Tối ưu hóa kiểu bầy đàn) vào việc tính toán hệ dàn phẳng

để kết cấu đạt trọng lượng bản thân là nhỏ nhất nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện ràng buộc tần số dao động riêng với biến thiết kế là diện tích tiết diện ngang, hoành độ, tung độ các thanh dàn

Trình tự nghiên cứu như sau:

Bước một, dựa vào cơ sở lý thuyết của thuật toán PSO và ngôn ngữ

Matlab để lập trình một chương trình tính toán tối ưu

Bước hai, thực nghiệm tính toán đối với các bài toán tối ưu chuẩn đã

được các tác giả khác trình bày và tính toán các trường hợp thực tế của kết cấu dàn đang ứng dụng ở nước ta hiện nay

Sau đó, phân tích kết quả tính toán, so sánh với kết quả của các tác giả

khác nhằm đánh giá tính khả thi, độ chính xác, tốc độ, tính mạnh mẽ và tính đơn giản của thuật toán PSO khi áp dụng vào tối ưu kết cấu Rút ra một số kết luận về tỷ lệ các thông số, dạng kết cấu khi thiết kế kết cấu dàn

Đóng góp khoa học chính trong luận văn là chương trình tính toán tối

ưu do tác giả lập trình đã tìm được lời giải tốt hơn các kết quả đã biết Đồng thời, tác giả cũng tìm ra hình dạng kết cấu dàn tối ưu khi thay đổi các thông

số hình học của kết cấu chuẩn nhưng vẫn đảm bảo được tần số dao động riêng giới hạn của hệ kết cấu

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU……… vi

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ……… vii

MỞ ĐẦU……… ix

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ TỐI ƯU HÓA KẾT CẤU 1

1.1 Tổng quan về các phương pháp tối ưu[2] 1

1.2 Tổng quan tối ưu hóa kết cấu 7

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 9

2.1 Hệ dàn phẳng[4] 9

2.2 Tính toán dao động riêng hệ dàn phẳng theo phương pháp phần tử hữu hạn[1] 11

2.3 Phần tử hữu hạn trong bài toán động lực học kết cấu 16

2.4 Thuật toán xây dựng ma trận độ cứng và ma trận khối lượng tổng thể.[3] 21

2.5 Thuật toán Particle Swarm Optimization (PSO) 25

CHƯƠNG 3 BÀI TOÁN TỐI ƯU HÓA KẾT CẤU 39

3.1 Bài toán tối ưu tổng quát 39

3.2 Bài toán tối ưu hóa kết cấu hệ dàn bằng phương pháp PSO 40

CHƯƠNG 4 KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN 49

4.1 Kết quả bài toán dàn 10 thanh 49

4.2 Kết quả bài toán dàn 37 thanh 53

4.3 Kết quả bài toán dàn 200 thanh 71

CHƯƠNG 5 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 82

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 82

PHỤ LỤC……… 87

Program10truss.m ……… 88

Program37truss.m ……… 90

Program200truss.m ……….……… 93

Function PSO………95

Function FEM……… 100

Function Penalty……….102

Function assem……… 103

Function wei2e……… 104

Function bar2e……… 104

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

Bảng 2.1 Mối tương quan giữa đàn chim và bài toán tối ưu 26

Bảng 3.2 Phân nhóm diện tích các thanh trong hệ dàn 37 thanh TH1 43

Bảng 3.3 Phân nhóm hoành độ các thanh trong hệ dàn 37 thanh TH2 44

Bảng 3.4 Phân nhóm tung độ nút biên trên trong hệ dàn 37 thanh TH4 44

Bảng 3.5 Phân nhóm diện tích các phần tử hệ dàn 200 thanh 47

Bảng 4.6 Kết quả biến tối ưu cho dàn 10 thanh 50

Bảng 4.7 So sánh lời giải tối ưu với các tác giả khác cho hệ dàn 10 thanh 52

Bảng 4.8 Sai số (%) kết quả tối ưu cho dàn 10 thanh 52

Bảng 4.9 Kết quả các biến tối ưu cho dàn 37 thanh TH1 55

Bảng 4.10 Kết quả tối ưu các biến diện tích cho hệ 37 thanh dàn TH2 58

Bảng 4.11 Kết quả tối ưu diện tích cho hệ 37 thanh dan TH3 61

Bảng 4.12 Kết quả các biến tối ưu cho hệ dàn 37 thanh TH4 63

Bảng 4.13 So sánh kết quả tối ưu TH4 với các trương hợp còn lại 66

Bảng 4.14 So sánh kết quả tối ưu TH4 cho hệ dàn 37 thanh 69

Bảng 4.15 Sai số (%) kết quả tối ưu cho dàn 37 thanh TH4 70

Bảng 4.16 Kết quả các biến tối ưu cho hệ dàn 200 thanh (cm2) 72

Bảng 4.17 So sánh kết quả tối ưu cho hệ dàn 200 thanh 76

Bảng 4.18 Sai số (%) của kết quả tối ưu cho hệ dàn 200 thanh 77

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

MỞ ĐẦU

Tính cấp thiết của đề tài.

Tối ưu hóa được khởi nguồn như một ngành Toán học Nó đa dạng phương pháp tính và ứng dụng hiệu quả trên nhiều lĩnh vực như: Quy hoạch tài nguyên, thiết kế chế tạo máy, điều khiển tự động, quản trị kinh doanh, công nghệ thông tin, kiến trúc, thiết kế xây dựng Trong việc tạo nên các hệ thống hỗ trợ quản lý và phát triển các hệ thống lớn Chính vì vậy, ngày nay các lĩnh vực của tối ưu hóa càng trở nên đa dạng và phong phú

Trong những năm gần đây, cùng với sự phát triển của công nghệ máy tính điện tử, phương pháp tối ưu hoá trong thiết kế kết cấu xây dựng rất được quan tâm nghiên cứu trên toàn thế giới Đặc biệt là ứng dụng các phương pháp tối ưu hiện đại như tối ưu kiểu di truyền (GA), kiểu luyện thép (SA), kiểu đàn chim (PSO) và kiểu đàn kiến(ACO)

Phương pháp tối ưu hóa kiểu đàn chim (Particle Swarm Optimization (PSO)) là một phương pháp mới mà ngày nay người ta rất quan tâm vì những hiệu quả nổi trội của nó so với các phương pháp khác trong giải quyết các bài toán tối ưu hóa trong nhiều lĩnh vực Tuy nhiên, Ở nước ta hiện nay việc vận dụng các phương pháp tối ưu hiện đại trong lĩnh vực tính toán, thiết kế kết cấu xây dựng vẫn chưa được áp dụng rộng rãi làm tăng tĩnh tải và chi phí xây dựng kết cấu hạ tầng

Do vậy đề tài “ Tốı ưu hóa dàn phẳng chịu ràng buộc tần số dao động

riêng” là vấn đề có ý nghĩa thiết thực trong việc thiết kế kết cấu trong xây

dựng nói chung và thiết kế kết cấu cầu dàn ở nước ta hiện nay

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài.

Trên cơ sở các nghiên cứu lý thuyết và vận dụng phương pháp tối ưu kiểu đàn chim (PSO) để đưa ra các giải pháp nhằm tối ưu kích thước và khối lượng hệ dàn phẳng, qua đó có thể xem xét vận dụng phương pháp này tính toán tối ưu các dạng kết cấu cầu dàn phổ biến ở nước ta hiện nay

Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết PSO

Nghiên cứu tính toán phân tích động lực học kết cấu dàn phẳng bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Nghiên cứu mô hình tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab

Phương pháp nghiên cứu

Đề tài được nghiên cứu theo phương pháp lý thuyết và mô hình:

Nghiên cứu lý thuyết:

Nghiên cứu đánh giá các phương pháp tính tối ưu hiện đại và phương pháp tối ưu kiểu đàn chim

Nghiên cứu phương pháp tính toán phân tích động lực học kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn

+ Nghiên cứu mô hình:

Nghiên cứu phân tích các kết quả mô hình tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab Từ đó, nghiên cứu tìm ra lời giải tối ưu cho các hệ thanh dàn ( về mặt định tính và định lượng) và so sánh với các tác giả công bố trước đây

1.1 Tổng quan về các phương pháp tối ưu [2]

Bài toán tối ưu tổng quát :

Định nghĩa bài toán tối ưu: Tìm trạng thái tối ưu của một hệ thống sao cho đạt được một mục tiêu mong muốn về chất lượng theo một nghĩa nào đó.Một bài toán tối ưu hóa thường có 3 yếu tối cơ bản:

Trạng thái: Mô tả trạng thái của hệ thống cần tối ưu hóa.

Mục tiêu: Đặc trưng cho tiêu chuẩn hoặc hiệu quả mong muốn ( chi phí

thấp nhất, hiệu suất cao nhất, trọng lượng nhỏ nhất, thời gian ngắn nhất )

Ràng buộc: Các đặc trưng về kinh tế, kỹ thuật … mà hệ thống phải thỏa

mãn

Hiện nay, để giải các bài toán tối ưu có rất nhiều phương pháp, các

phương pháp giải bài toán tối ưu có thể được phân thành hai dạng chính : cổ

điển và hiện đại.

Lịch sử phát triển các phương pháp tối ưu

Từ thế kỷ thứ 16, một hướng nghiên cứu bài toán cực trị hàm mục tiêu là

phiếm hàm tích phân gọi là phép tính biến phân được Euler Lagrange đề xuất

năm 1766

Từ những năm 30-40 của thế kỷ 20 xuất hiện lý thuyết quy hoạch tuyến

tính do Danzig đề nghị 1939 và Ông cũng đã phát triển phương pháp đơn hình cho các bài quy hoạch tuyến tính vào năm 1947.

Từ những năm 50 của thế kỷ 20 xuất hiện lý thuyết quy hoạch lồi do

Kuhn và Tucker (1951) Phát triển điều kiện cần và đủ cho một bài toán tối

ưu và đặt nền tảng để giải quyết các bài toán quy hoạch phi tuyến về sau này

Theo đó, Bellman (1957) cũng thể hiện sự đóng góp của mình khi phát biểu

nguyên lý tối ưu cho các bài toán quy hoạch động

Từ những năm 50-60 xuất hiện lý thuyết điều khiển được và điều khiển

tối ưu do Feldbaum đề xuất năm 1960.

Những năm 70 của thế kỷ 20 hình thành nhiều hướng nghiên cứu khác

nhau như tối ưu không lồi, tối ưu phi tuyến, tối ưu rời rạc, tối ưu tổ hợp và tối

ưu đa mục tiêu

Đến hai thập niên cuối thế kỷ 20, mới xuất hiện các thuật toán tối ưu

hiện đại như phương pháp tối ưu kiểu tiến hóa, kiểu mô phỏng luyện thép,

kiểu bầy đàn ( đàn chim, đàn kiến, đàn ong )

1.1.1 Phương pháp tối ưu cổ điển

Một số phương pháp tối ưu cổ điển có thể kể đến: Phương pháp tiêu

chuẩn tối ưu, phương pháp đồ thị, phương pháp gradient,… và có thể được

chia thành hai nhóm chính:

Nhóm phương pháp trực tiếp: Hàm mục tiêu được cực tiểu hóa bằng các

thuật toán giải tích, số học Đại diện cho nhóm này là phương pháp quy hoạch

tuyến tính Phương pháp này tổng quát và có thể áp dụng cho nhiều trường

hợp điều kiện ràng buộc, hàm mục tiêu có dạng tuyến tính

Nhóm phương pháp gián tiếp: Lời giải tối ưu xảy ra khi thỏa mãn tiêu

chuẩn về ứng xử nào đó cho trước Đại diện cho nhóm này là phương pháp

tiêu chuẩn tối ưu Phương pháp này cho hiệu quả tính toán cao nhưng lại phụ

thuộc ứng xử đặc biệt của trạng thái của hệ thống cần tối ưu nên trong nhiều trường hợp không đạt đến giá trị tối ưu thật sự

Cụ thể phương pháp tối ưu cổ điển bao gồm:

Bài toán quy hoạch tuyến tính: Hàm mục tiêu và các ràng buộc có dạng

phương trình hoặc bất phương trình tuyến tính như vậy miền khả nghiệm là

một miền lồi đa diện

Bài toán quy hoạch phi tuyến: Hàm mục tiêu hoặc một trong các ràng

buộc có dạng phương trình hoặc bất phương trình phi tuyến, bao gồm tối ưu

trơn ( hàm mục tiêu và hàm ràng buộc là trơn), tối ưu lồi ( hàm mục tiêu và hàm ràng buộc là lồi), tối ưu không lồi ( hàm mục tiêu và vùng khả nghiệm không lồi)

Tối ưu rời rạc hay tối ưu tổ hợp : Vùng khả nghiệm là các tập rời rạc,

trường hợp các biến số nhận được giá trị nguyên hay còn gọi là bài toán quy

hoạch nguyên

Tối ưu đa mục tiêu : Mục tiêu là các hàm không hòa hợp nhau, bài toán

đa mục tiêu có thể chia ra nhiều dạng bài toán con phụ thuộc vào tính chất của hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc

Quy hoạch ngẫu nhiên : Các bài toán tối ưu mà trong đó các biến

không có giá trị xác định mà chỉ mô tả bằng các tham số xác suất

Quy hoạch động : Bài toán tối ưu mà các đối tượng được xét có thể

chia ra nhiều giai đoạn hoặc quá trình phát triển theo thời gian

Nhìn chung, các phương pháp tối ưu cổ điển chỉ phù hợp cho một số bài toán nhất định Nếu thuật toán có khả năng tìm nghiệm chính xác, dùng được cho cả hàm tuyến tính và phi tuyến thì thời gian tính toán lâu hoặc có khả

năng rơi vào điểm tối ưu địa phương khi gặp các bài toán đa cực trị (Hình

1.1) Thuật toán chỉ phát huy ưu điểm cho hàm tuyến tính Vì sử dụng nhiều

điều kiện giải tích cũng như việc phải tính gradient, tích phân, đạo hàm riêng rất nhiều khiến cho phương pháp này trở nên phức tạp Nghĩa là, hàm mục

tiêu và các ràng buộc phải có dạng biểu thức tường minh mới thực hiện tính toán được.

Hình 1.1 Cực đại, cực tiểu địa phương và toàn cục

1.1.2 Phương pháp tối ưu hóa hiện đại [5]

Các thuật toán tối ưu hiện đại có khả năng tìm kiếm và phân tích trên nhiều trường cùng lúc nên thời gian tính toán nhanh hơn so với các phương pháp tối ưu hóa cổ điển, đồng thời cho xác suất tìm được lời giải toàn cục cao hơn Và một điểm chung thú vị của các phương pháp tối ưu hiện đại nữa là đều dựa trên các hiện tượng tự nhiên Sử dụng các qui luật xác suất và chỉ dùng thông tin từ hàm mục tiêu trong quá trình tìm lời giải tối ưu mà không dùng đến gradient Hiên nay, có rất nhiều thuật toán tối ưu được áp dụng cho hiệu quả cao trên nhiều lĩnh vực, ta có thể điểm qua các thuật toán nổi tiếng như sau :

Genetic Algorithms (GAs, Giải thuật di truyền) được Holland giới thiệu

vào năm 1962[21] và hoàn chỉnh vào năm 1975[22] Ý tưởng của thuật toán được lấy từ sự chọn lọc tự nhiên trong quá trình tồn tại và tiến hóa của các quần thể sinh vật Các thông tin di truyền của mỗi cá thể được lưu trữ trong

các chuỗi nhiễm sắc thể và thông qua phép Lai ghép (crossover), Đột biến (mutation), Chọn lọc (selection) các cá thể có sự thay đổi về mặt di truyền,

những cá thể thích nghi tốt sẽ tồn tại Về sau các nhà khoa học tiếp tục phát triển và hoàn thiện thuật toán này

Evolutionary Programming (EP, Lập trình tiến hóa) được Fogel giới

thiệu năm 1960[15], khác với GAs, EP làm việc trên số thực và chỉ có hai phép toán đột biến và chọn lọc Tiếp đó, Rechenberg[32] đã giới thiệu thuật

toán Evolution Strategies (ESs, Chiến lược tiến hóa) tương tự như GAs, ESs

làm việc trên số nhị phân và cũng có ba phép toán tiến hóa Cả hai thuật toán trên đều thuộc nhóm các giải thuật tiến hóa Eas

Simulated Annealing (SA, Mô phỏng luyện thép) được hai nhà khoa học

Kirkpatrick[27] và Černý công bố giải thuật này một cách độc lập lần lượt vào năm 1983 và năm 1985 SA mô phỏng quá trình luyện thép, nghĩa là ban đầu gia nhiệt cao rồi để nguội dần đi Tùy thuộc vào các thông số điều khiển quá trình làm nguội sẽ ảnh hưởng đến chất lượng của sản phẩm Kirkpatrick

đã chỉ ra rằng, giải thuật của Metropolis mô phỏng quá trình làm nguội của vật liệu bằng kĩ thuật Monte Carlo có thể được áp dụng cho các bài toán tối

ưu

Tabu Search (TS, Tìm kiếm với danh sách cấm) do Glover[17] đề nghị

năm 1986 Trong phương pháp này, việc tìm kiếm lời giải tối ưu được dựa trên ký ức những lời giải tiềm năng trước đó Danh sách cấm cho phép khoanh vùng những miền đã khảo sát để những lời giải mới phát sinh ở vòng lặp sau không phạm vào miền đã tìm kiếm rồi Tránh được việc tìm kiếm trùng lắp mà còn khuyến khích việc đa dạng hóa các khả năng hoặc hướng tìm kiếm khác

Ant System (Bầy kiến) do Dorigo[12] và cộng sự giới thiệu năm 1991,

và sau đó là phiên bản nâng cấp Ant Colony Optimization (ACO, Tối ưu hóa

theo kiểu đàn kiến) năm 1999[11] Phương pháp này dựa trên quan sát việc

tìm mồi của đàn kiến Trong lúc di chuyển từ tổ đến nguồn thức ăn, mổi con

kiến để lại các vệt mùi (pheromone) Những hướng có nồng độ mùi đậm hơn

nghĩa là số lần kiến đi từ tổ đến nguồn thức ăn ngắn hơn, hướng đó sẽ thu hút các con kiến khác Sau một thời gian nhất định, đàn kiến sẽ di chuyển trên một tuyến đường đó là tuyến đường ngắn nhất từ tổ đến nguồn thức ăn.Việc tìm kiếm cực trị của bài toán chính là tìm đường đi ngắn nhất từ tổ đến nguồn thức ăn của bầy kiến

Particle Swarm Optimization (PSO, Tối ưu hóa kiểu bầy đàn), do

Kennedy và Eberhart[26] đề xuất năm 1995, mô phỏng ứng xử của đàn chim khi tìm kiếm nguồn thức ăn Trong quá trình tìm kiếm, từng cá thể liên tục điều chỉnh vị trí và vận tốc dựa theo kinh nghiệm bản thân (dựa trên vị trí tốt nhất mà nó đã đạt được) và kinh nghiệm của bầy đàn xung quanh (dựa trên vị

trí tốt nhất mà các cá thể khác trong bầy đã đạt được) PSO có hai mô hình:

mô hình toàn cục và mô hình địa phương Trong mô hình toàn cục, một cá thể

có thông tin từ chính nó và từ toàn bộ quần thể, trong khi với mô hình địa phương, một cá thể có thông tin từ chính nó và từ một phần của quần thể Vì vậy, mô hình toàn cục cho kết quả nhanh hơn mô hình địa phương Để cải

thiện khả năng tìm kiếm của PSO, Clerc[9] và Kennedy đưa ra một bản PSO cải tiến được cho là tốt hơn PSO thu hút nhiều sự quan tâm và được xem như

là một giải thuật tìm kiếm toàn cục, nhưng nó cũng có thể hội tụ sớm vào các lời giải tối ưu địa phương và thậm chí không đảm bảo đạt được các cực trị địa phương

Differential Evolution (DE, tạm dịch Tiến hóa khác biệt hoặc Tiến hóa

vi phân), do Storn và Price[31] đề xuất vào năm 1995, DE làm việc trên số

thực và có các khái niệm tương tự như các giải thuật tiến hóa

Harmony Search (HS, Tìm kiếm sự hài hòa) được Geem[16] và cộng sự

đã đề xuất vào năm 2001, là phương pháp tối ưu dựa trên sự hài hòa về các tần số âm thanh

Big Bang-Big Crunch (BBBC, Vụ nổ lớn – vụ co lớn) do Erol[14] và

cộng sự trình bày vào năm 2006, dựa trên lý thuyết vụ nổ Big Bang và sự hội

tụ tại điểm trọng trường kỳ dị để tìm ra giá trị tối ưu

Artificial Bee Colony (ABC, Đàn ong nhân tạo) Karaboga[24] đưa ra

vào năm 2005, dựa trên sự phối hợp giữa ba nhóm ong: tìm mồi, quan sát và trinh sát

Các phương pháp tối ưu truyền thống đều dựa trên tính liên tục, tính khả

vi của hàm mục tiêu và các ràng buộc thì các phương pháp tối ưu hiện đại nói trên không cần các điều kiện đó Các bài toán thực tế không phải lúc nào cũng được biểu diễn bằng những hàm số liên tục và khả vi Hơn nữa, dạng tường minh của hàm mục tiêu và các ràng buộc nhiều lúc không có sẵn

Trong những trường hợp này, các phương pháp tối ưu hiện đại thể hiện hết giá trị và sự tiện lợi của nó Tuy nhiên, khuyết điểm của chúng là khối lượng tính toán lớn Nhưng hiện nay, khoa học máy tính rất phát triển đã hỗ trợ rất đắt lực trong việc sử dụng và phát triển các phương pháp này

1.2 Tổng quan tối ưu hóa kết cấu

Các bài toán tối ưu hóa kết cấu cũng là một dạng của quy hoạch toán học

với mục tiêu tối ưu có thể là: tiết diện ngang nhỏ nhất, hình dáng thanh mảnh nhất, cấu trúc đơn giản nhất, chi phí thấp nhất… Các biến thiết kế có thể là

kích thước tiết diện, đặc trưng hình học của tiết diện, sơ đồ kết cấu (có thể là

biến liên tục hoặc rời rạc)

Trong những năm gần đây, các phương pháp tối ưu hiện đại được ứng

dụng vào lĩnh vực thiết kế tối ưu hóa kết cấu trong lĩnh vực xây dựng

Một số công trình ứng dụng phương pháp tối ưu hiện đại trong tối ưu hóa kết cấu trên thế giới đã được công bố như : Jakiela[23] và đồng sự dùng

GAs tối ưu hóa sơ đồ kết cấu Blachut và Paul[7] dùng TS để tối ưu hóa các

bình và vòm chịu áp suất ngoài Viana[39] và đồng sự tối ưu hóa hệ giảm chấn dao động bằng ACO Schutte và Groenwold[33] cũng tối ưu hóa dàn

bằng PSO, Vũ[6] sử dụng DE và PSO để tối ưu hóa kết cấu vỏ bình áp suất Với HS có thể kể công trình Degertekin[10] tối ưu hóa kết cấu thép Phương pháp BB-BC được Tabakov[38] dùng trong tối ưu hóa các lớp composite; Camp, Omkar[8] và cộng sự áp dụng phương pháp ABC để tối ưu hóa đa

mục tiêu các kết cấu composite

Sonmez[37] tối ưu dàn phẳng và dàn không gian bằng ABC Serra và Venini[35] dùng ACO tối ưu hóa dàn phẳng có xét đến điều kiện ổn định, Perez và Behdinan[30] dùng PSO để tối ưu hóa dàn phẳng và dàn không gian Hansen và Horst[20] dùng ESs để tối ưu hóa dàn phẳng và kết cấu máy bay Wang[41], Lingyun[28], kaveh[25] và cộng sư dùng CSS và CSS-BBBC, Shahin Jalili[36] dùng thuật toán BBO và CBBO,Gomes[18] tối ưu hóa dàn phẳng và dàn không giang chịu ràng buộc tần số dao động riêng

Theo những tài liệu mà tác giả tìm kiếm được tại Việt Nam, chưa có tác

giả nào sử dụng thuật toán PSO (Tối ưu hóa kiểu bầy đàn) để tối ưu hóa kết

cấu dàn chịu ràng buộc tần số dao động riêng được công bố Do đó, luận văn

này sẽ sử dụng thuật toán PSO để nghiên cứu tối ưu kết cấu dàn phẳng có xét

đến ràng buộc tần số dao động riêng.

Dàn là một kết cấu gồm các thanh được liên kết với nhau bằng các khớp

ở hai đầu mỗi thanh

Nhịp dàn là khoảng cách giữa các gối tựa của dàn.

Nút dàn là giao điểm của các thanh, tại nút dàn các thanh được liên kết

với nhau bằng liên kết khớp

Biên trên là những thanh biên ngang phía trên hệ dàn.

Biên dưới là những thanh biên ngang phía dưới hệ dàn.

Hệ thanh bụng là những thanh nằm trong chu vi hệ dàn bao gồm các

thanh đứng và các thanh xiên

Đốt dàn là khoảng cách giữa 2 nút thuộc đường biên dàn.

Dàn phẳng là hệ dàn có tải trọng và các thanh dàn nằm trong 1 mặt

phẳng ( hay còn gọi là dàn hai chiều)

2.1.2 Giả thuyết tính toán cho hệ dàn

Để tính toán dàn được đơn giản ta thừa nhận những giả thuyết sau :

- Nút của dàn phải nằm tại giao điểm của các trục thanh và liên kết tại nút là liên kết lý tưởng ( các đầu thanh quy tụ tại nút có thể xoay một cách tự

do không ma sát)

- Tải trọng tác dụng lên hệ dàn chỉ đặt ở vị trí các nút dàn

Với các giả thuyết trên các thanh dàn sẽ làm việc như một thanh chịu kéo nén đúng tâm ( lực dọc, ứng suất, biến dạng trùng với trục của thanh dàn)

Nhược điểm của hệ dàn: Trên thực tế các thanh dàn được liên kết với

nhau bởi liên kết đinh tán hoặc mối hàn, rất hiếm khi được liên kết bằng khớp ( bulông, chốt…) nên các khớp này không phải là các khớp lý tưởng nên việc tính toán hệ dàn chỉ cho kết quả gần đúng so với thực tế

Ưu điểm của hệ dàn : Kết cấu dàn có thể vượt qua những nhịp lớn và tiết

kiệm được vật liệu vì thanh chịu kéo nén đúng tâm nên ứng suất phân bố đều trên toàn tiết diện, các thớ làm việc như nhau Nếu dùng dầm vượt nhịp lớn thì chiều cao dầm phải lớn và vật liệu không đồng đều vì trong dầm mô men uốn và ứng suất phân bố không đồng đều trên toàn tiết diên, dọc theo trục dầm và giữa các thớ biên, thớ giữa và thớ dưới

Các công trình nổi tiếng được biết đến với thiết kế hệ dàn như : Tháp Eiffel ở Paris, Cầu Cảng Sydney, và cầu dây văng Oresund nối giữa Copenhagen và Malmoe…

2.2 Tính toán dao động riêng hệ dàn phẳng theo phương pháp phần tử hữu hạn[1]

2.2.1 Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM )

Để giải và tính toán các bài toán về kết cấu cơ học, ngoài các phương pháp giải tích ta còn có các phương pháp số Do các bài toán cơ học thường dẫn đến việc giải các phương trình vi phân với các điều kiện biên xác định

nào đó Vì vậy, thời kỳ đầu của các phương pháp số là : các phương pháp tích

phân số và phương pháp sai phân hữu hạn Cùng với sự phát triển của máy

tính điện tử, phương pháp phần tử hữu hạn ra đời và phát triển rất mạnh mẽ

và là một phương pháp được dùng rất phổ biến hiện nay khi tính toán các bài toán cơ học Nó cũng đã được áp dụng để có được nhiều chương trình tính toán cho các dạng bài toán cơ học khác nhau: Tính cho dàn thanh, khung không gian, các kết cấu dạng tấm, vỏ,

Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là phương pháp chia vật thể biến

dạng thành nhiều phần tử có kích thước hữu hạn

Một số định nghĩa cơ bản trong FEM :

+ Phần tử ( Element ): Là các miền con Ve thuộc miền V của hệ do yêu cầu của phương pháp, miền V được rời rạc hóa thành các phần tử Ve

+ Nút ( Node ): Là các điểm định trước trên biên của phần tử, thông qua

các nút này các phần tử Ve được liên kết với nhau tạo thành một miền liên tục

V ban đầu

+ Hàm xấp xỉ ( Approximation function): Biểu diễn dạng phân bố của ẩn

số cần tìm theo một quy luật trong phạm vi từng phần tử

+ Vectơ chuyển vị nút phần tử [ ]q ( hay vectơ bậc tự do của phần tử) chính là tập hợp tất cả các bậc tự do của phần tử Ve

+ Vectơ chuyển vị nút tổng thể [ ]Q là tập hợp tất cả các bậc tự do của tất

cả các nút của toàn hệ

+ Vectơ tham số [ ]a ( hay là vectơ các tọa độ tổng quát) là tham số hàm xấp xỉ, các tham số này không được tính trực tiếp mà sẽ biểu diễn qua vectơ chuyển vị nút của phần tử

Theo ý nghĩa của hàm xấp xỉ trong bài toán kết cấu, người ta thường chia làm 3 mô hình sau đây :

- Mô hình tương thích: Biểu diễn dạng phân bố của chuyển vị trong

phần tử, ẩn số là các chuyển vị và đạo hàm của nó Xác định từ hệ phương trình được thiết lập trên có sở nguyên lý biến phân Lagrange hay nguyên lý thế năng toàn phần dừng

- Mô hình cân bằng: Biểu diễn dạng gần đúng của ứng suất hoặc nội lực

bên trong phần tử, ẩn số là lực tại nút xác định từ hệ phương trình được thiết lập trên có sở nguyên lý biến phân Castigliano hay nguyên lý năng lượng hệ toàn phần dừng

- Mô hình hổn hợp: Biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị

và ứng suất hay nội lực trong phần tử, coi chuyển vị và ứng suất là hai yếu tố độc lập riêng biệt Ẩn số được xác định từ hệ phương trình thành lập trên cơ

sở nguyên lý biến phân Reisner-Helinge

Trong ba mô hình trên thì mô hình tương thích được sử dụng rộng rãi hơn cả, hai mô hình còn lại chỉ sử dụng hiệu quả cho một số bài toán Trong khuôn khổ luận văn này, tác giả sử dụng mô hình tương thích để tính toán giá trị hàm mục tiêu, và các thông số liên quan

Ưu điểm của FEM

- Số tọa độ tổng quát có thể chọn tùy ý bằng cách chia số lượng các

phần tử

- Kết quả càng chính xác khi tăng số lượng phần tử ( số bậc tự do), càng

chia nhiều phần tử kết quả càng chính xác

- Hàm nội suy được chọn như nhau cho tất cả các phần tử.

- Các thông số tại nút chỉ ảnh hưởng đến các phần tử lân cận.

- Áp dụng đơn giản cho các hệ kết cấu phức tạp bằng cách ghép nối ma

e

E A k

U T

Thay q’ = Tq vào biểu thức trên, ta được

2 2

2 2

2 2

m lm m

lm

lm l

lm l

m lm m

lm

lm l

lm l

l

A E k

e

e e

Từ các ma trận độ cứng của các phần tử và nhờ bảng ghép nối phần tử, ta

sẽ thu được ma trận độ cứng chung của cả hệ thanh

2.2.3 Ma trận khối lượng của phần tử có khối lượng phân bố

Xét một vật liệu có khối lượng riêng ρ bằng hằng số Từ công thức

e e e

0 1 0 2

e e e

2.3 Phần tử hữu hạn trong bài toán động lực học kết cấu

2.3.1 Các khái niệm cơ bản trong động lực học kết cấu

Động lực học công trình nghiên cứu dao động của kết cấu gây ra bởi các tải trọng động và các tải trọng biến đổi theo thời gian Tải trọng động này gây

ra các chuyển vị, nội lực, phản lực và ứng suất phụ thuộc vào thời gian Do vậy, trong bài toán động không tồn tại nghiệm duy nhất như trong bài toán tĩnh, trong bài toán động học, cần phải xác định các giá trị liên tiếp của các chuyển vị theo thời gian trước khi đi xác định giá trị lớn nhất của lực, phản lực hay ứng suất được dùng để xác định để thiết kế hay kiểm tra kết cấu

Mặc dù, sự khác nhau giữa việc phân tích động lực học và phân tích tĩnh học kết cấu được thể hiện thông qua thông số thời gian nhưng về bản chất là

do lực quán tính Đặc trưng động học của bài toán được xét đến, nếu lực quán tính đóng vai trò quan trọng so với các lực tác dụng lên kết cấu Ngược lại, bài toán sẽ được giải quyết như bài toán tĩnh học nếu như tải trọng tác dụng chỉ gây ra các lực quán tính nhỏ

Giả sử một kết cấu bị biến dạng đàn hồi, nếu ta loại bỏ lực tác dụng một cách tức thời, khi ấy kết cấu sẽ dao động xung quanh vị trí cân bằng Chuyển

động có chu kỳ này được gọi là dao động riêng Số chu kỳ trong một đơn vị thời gian được gọi là tần số; chuyển vị lớn nhất từ vị trí cân bằng được gọi là

biên độ.

Trong thực tế, dao động sẽ giảm dần nếu có lực cản Tuy nhiên, nếu lực cản không lớn, sự khác nhau giữa tần số dao động riêng không có lực cản và tần số dao động riêng có lực cản nhỏ Vì vậy ta bỏ qua ảnh hưởng của lực cản khi sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để nghiên cứu dao động riêng của kết cấu

Tải trọng động là tải trọng có vị trí tác dụng, phương, chiều, độ lớn thay

đổi theo thời gian bao gồm 2 loại chính: Tải trọng động có chu kỳ và tải trọng không có chu kỳ

Bậc tự do của hệ dao động: Số thông số độc lập cần thiết để xác định vị

trí của tất cả các khối lượng trên hệ đó khi dao động

Hệ có khối lượng tập trung trong trường hợp này ta chỉ xét đến lực quán

tính gây ra bởi các khối lượng tập trung và chấp nhận các giả thuyết sau :

- Các khối lượng tập trung được coi là chất điểm

- Bỏ qua biến dạng dọc trục khi các thanh chịu uốn

Dao động tự do ( dao động riêng ) là dao động của hệ không có tải trọng

động duy trì trên hệ

Dưới đây ta xét bài toán dao động riêng không có lực cản của vật

2.3.2 Mô tả bài toán

I = ∫ Ldt (2.20)Biểu diễn L theo các biến mở rộng (q q1, , ; , , 2 q q q n & &1 2 q& ) ; trong n

Để minh hoạ, chúng ta xét ví dụ sau:

2.3.3 Vật rắn có khối lượng phân bố

Khảo sát một vật rắn với khối lượng phân bố (Hình 2.11)

Hình 2.6 Vật thể có khối lượng phân bố.

Biểu thức xác định thế năng đã trình bày trong (2.23), còn động năng được xác định bởi:

1

2

T V

T = ∫ u u dV& &ρ (2.28) Trong đó ρ là khối lượng riêng của vật liệu; u& là véctơ vận tốc tại điểm

x với các thành phần u&, v& và w&

u & = [ u v & & w & ] (2.29)

Theo phương pháp FEM, vật thể được chia thành các phần tử; trong mỗi

phần tử, ta biểu diễn chuyển vị u theo các chuyển vị nút q nhờ các hàm dạng

N:

u = N q (2.30) Thay (2.30) vào (2.28) ta thu được động năng của phần tử:

do đó: MQ KQ&&+ = 0 (2.36)

Khi dao động riêng, tất cả các điểm của hệ dao động cùng pha, vì vậy ta

có thể viết: Q = U sin ωt (2.37) Trong đó U là véctơ dao động nút và ω (rad/s) là tần số góc

Thế phương trình (2.37) vào (2.36), ta được:

KU =ω2MU (2.38)

Đây là bài toán trị riêng tổng quát Ta cũng có thể viết (2.38) dưới dạng:

KU =λMU (2.39)

Ở đây, U là véctơ riêng, biểu thị mod dao động ứng với trị riêng λ

= được đo bằng Hz (số chu kỳ/giây) (2.41)

Mỗi giá trị tần số ω ứng với một dạng dao động cụ thể Có nhiều phương pháp giải hệ phương trình (2.39) để tìm các trị riêng và dạng dao động của hệ như :

- Phương pháp đa thức đặc trưng

- Phương pháp thương số Reileigh để xác định giá trị riêng lớn nhất, giá trị riêng bé nhất

- Phương pháp khử dần giá trị riêng đã biết để tính các trị riêng tiếp theo…

Trong luận văn này, tác giả mô hình hóa các bước tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab Tính trị riêng của phương trình dao động bằng thủ tục hàm Eig(K,M) với 2 biến đầu vào là ma trận độ cứng tổng thể và ma trận khối lượng tổng thể, từ giá trị trị riêng thu được ta tính được tần số dao động riêng của hệ kết cấu

2.4 Thuật toán xây dựng ma trận độ cứng và ma trận khối lượng tổng thể.[3]

Việc ghép các ma trận độ cứng k e và ma trận khối lượng m e của các

phần tử để tạo ra ma trận độ cứng K và ma trận khối lượng M tổng thể cho cả

hệ, từ đó thiết lập hệ phương trình dao động riêng là một vấn đề quan trọng

Ta sẽ cộng các số hạng của ma trận độ cứng và ma trận khối lượng của mỗi phần tử vào các vị trí tương ứng của ma trận độ cứng và ma trận khối lượng tổng thể

Cách dễ nhất để ghép các phần tử là gán số cho mỗi dòng và cột của ma trận độ cứng phần tử đúng với bậc tự do của phần tử Sau đó, chúng ta sẽ làm việc qua các số hạng của ma trận phần tử; tức là cộng các số hạng này vào ma trận chung mà mỗi dòng, mỗi cột cũng được gán đúng những số trên.

2.4.2 Tính tần số dao động riêng bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Một chương trình tính bằng FEM thường gồm các khối chính sau:

Bước 1: Đọc các dữ liệu đầu vào: Các dữ liệu này bao gồm các thông tin

mô tả nút và phần tử (lưới phần tử), các thông số cơ học của vật liệu (môđun đàn hồi, khối lượng riêng ), các thông tin về tải trọng tác dụng và thông tin

về liên kết của kết cấu (điều kiện biên)…

phần tử

Bước 3: Xây dựng ma trận độ cứng tổng thể K và ma trận khối lượng M

cho cả hệ (sử dụng thuật toán ghép nối phần tử)

Bước 4: Áp đặt các điều kiện liên kết trên biên kết cấu, bằng cách biến

đổi ma trận độ cứng K và ma trận khối lượng M tổng thể

Bước 5: Giải phương trình trị riêng tổng quát bằng thủ tục làm

Eig(K,M), xác định nghiệm của hệ

Bước 6: Tính toán các đại lượng khác của bài toán (tần số góc, tần số

dao động v.v.)

Bước 7: Tổ chức lưu trữ kết quả và in kết quả, vẽ các biểu đồ, đồ thị của

các đại lượng theo yêu cầu

Sơ đồ tính toán với các bước trên được biểu diễn như Hình 2.7.

Đọc dữ liệu đầu vào

- Các thông số cơ học của vật liệu

- Các thông số hình học của kết cấu

- Các thông số điều khiển lưới

- Tải trọng tác dụng

- Thông tin ghép nối các phần tử

- Điều kiện biên

Xây dựng ma trận độ cứng K và khối lượng chung M

Áp đặt điều kiện biên

2.5 Thuật toán Particle Swarm Optimization (PSO)

2.5.1 Thuật toán PSO chuẩn

Phương pháp tối ưu bầy đàn: Là một dạng của các thuật toán tiến hóa

quần thể đã được biết đến trước đây như thuật giải di truyền (Genetic

algorithm – GA ), Thuật toán đàn kiến (Ant colony algorithm) Tuy nhiên,

PSO khác với GA ở chỗ nó thiên về sử dụng sự tương tác giữa các cá thể trong một quần thể để khám phá không gian tìm kiếm

Tối ưu hóa bầy đàn, dựa trên hành vi của một nhóm hoặc bầy đàn của loài côn trùng, chẳng hạn như kiến, mối, ong, ong bắp cày và một đàn chim Một cá thể chim trong một đàn gọi là cá thể trong một quần thể, mỗi một cá thể sử dụng trí thông minh riêng của mình và trí tuệ quần thể để thực hiện mục tiêu tìm kiếm

Thuật toán PSO ra đời vào năm 1995 tại một hội nghị của IEEE bởi James Kennedy và Russell Eberhart Thuật toán có nhiều ứng dụng quan trọng trong tất cả các lĩnh vực mà ở đó đòi hỏi phải giải các bài toán về tối ưu hóa

Trong bối cảnh tối ưu hóa đa biến phát triển mạnh như hiện nay, PSO được giả định là mỗi cá thể ban đầu đặt tại các địa điểm ngẫu nhiên trong không gian nhiều chiều Mỗi cá thể có hai đặc điểm: Vị trí và vận tốc Mỗi cá thể lấy ngẫu nhiên không gian đang xét và nhớ vị trí tốt nhất (về nguồn thức

ăn hoặc giá trị hàm mục tiêu) mà nó đã phát hiện ra Các cá thể truyền đạt thông tin về các vị trí tốt với nhau và điều chỉnh vị trí cá nhân, vận tốc của nó dựa trên các thông tin nhận được tại vị trí tốt nhất

Ví dụ, xem xét các hành vi của các loài chim trong một đàn Mặc dù mỗi

con chim có một trí thông minh hạn chế nhưng chúng có thể kiểm soát được hành vi theo các quy tắc sau:

1 Không đi quá gần với các con chim khác (Nguyên tắc gắn kết)

2 Điều tiết theo hướng trung bình của các con chim khác ở lân cận trong đàn (Nguyên tắc tách )

3 Chọn vị trí phù hợp với vị trí "trung bình“ giữa các con chim khác để

không quá xa với các con chim trong bầy (Nguyên tắc liên kết)

PSO được phát triển dựa trên mô hình sau đây:

1 Khi một con chim nằm một mục tiêu chính là nguồn thức ăn (tối đa của hàm mục tiêu ), nó ngay lập tức truyền thông tin cho tất cả các con chim khác

2 Tất cả các con chim khác trong đàn đổ về các mục tiêu đó nhưng không trực tiếp

3 Mổi con chim có một trí nhớ ghi lại các sự kiện trong quá trình tìm kiếm nguồn thức ăn

Các mô hình tìm kiếm ngẫu nhiên trong không gian thiết kế cho các giá trị cực trị của hàm mục tiêu Như vậy, bài toán tìm cực trị hàm mục tiêu và quá trình tìm kiếm thức ăn của đàn chim có thể được mô hình hóa như sau:

Bảng 2.1 Mối tương quan giữa đàn chim và bài toán tối ưu

Không gian tìm kiếm 3 chiều Không gian D chiều

Mục tiêu tìm kiếm Hàm mục tiêu

Xét bài toán tối ưu của hàm f trong không gian D chiều Mỗi vị trí trong không gian là một điểm tọa độ D chiều Hàm f gọi là hàm mục tiêu xác định

trong không gian D chiều và nhận giá trị thực Mục đích là tìm ra điểm cực

tiểu của hàm f trong miền xác định nào đó

Ta bắt đầu xem xét sự liên hệ giữa bài toán tìm thức ăn với bài toán tìm cực tiểu của hàm theo cách như sau: Giả sử số lượng thức ăn tại một vị trí tỉ lệ

nghịch với giá trị của hàm f tại vị trí đó Có nghĩa là, ở một vị trí mà giá trị hàm f càng nhỏ thì số lượng thức ăn càng lớn Việc tìm vùng chứa thức ăn nhiều nhất tương tự như việc tìm ra vùng chứa điểm cực tiểu của hàm f trên

không gian tìm kiếm

Trong một hệ thống PSO, mỗi phần tử trong bầy đàn sẽ thay đổi vị trí bằng cách di chuyển nhiều vị trí khác nhau trong không gian tìm kiếm cho đến khi tìm được vị trí tốt nhất Khái niệm về sự thay đổi những điểm tìm

kiếm của thuật giải PSO được biểu diễn ở Hình 2.8

Hình 2.9 Khái niệm về sự thay đổi điểm tìm kiếm của PSO.

k i

X là vị trí của cá thể thứ i, tại thế hệ thứ k

+

k 1 i

X là vị trí của cá thể thứ i, tại thế hệ thứ k+1

k i

V là vận tốc của cá thể i, tại thế hệ thứ k

+

k 1 i

V là vận tốc của cá thể i, tại thế hệ thứ k+1

Pbest i

V là vận tốc theo Pbest

Gbest i

V là vận tốc theo Gbest

Pbest i là vị trí tốt nhất của cá thể thứ i

Gbest i là vị trí tốt nhất của cá thể trong quần thể

Để cho dễ hiểu tư tưởng của thuật toán PSO Chúng ta xem xét một ví dụ như sau: Giả sử có một bầy chim đang tìm kiếm thức ăn trong một vùng nào

đó Tất cả các con chim là không biết thức ăn ở đâu Tuy nhiên, chúng biết là thức ăn cách xa bao nhiêu sau mỗi lần bay đi bay lại (lặp)

Câu hỏi đặt ra là: Cách tốt nhất để tìm được thức ăn là gì? Câu trả lời đơn giản là, theo sau những con chim gần chỗ thức ăn nhất PSO phỏng theo kịch bản này và sử dụng nó để giải các bài toán tối ưu Trong PSO, mỗi giải

pháp đơn, trong ví dụ trên mỗi con chim ( “bird”), được gọi là cá thể Mỗi cá thể có một giá trị thích nghi (fitness value), được đánh giá bằng hàm đo độ thích nghi (fitness function), và một vận tốc (velocity) để định hướng việc bay

(flying), tìm kiếm, của nó Các cá thể sẽ duyệt (fly through) không gian bài

toán bằng cách theo sau các cá thể có điều kiện tốt nhất hiện thời (current

optimum particles)

Bằng việc cập nhật các thế hệ (lần lặp), PSO là được khởi tạo bởi một nhóm ngẫu nhiên các cá thể, tìm kiếm giải pháp tối ưu Trong mỗi thế hệ, mỗi

cá thể là được cập nhật bởi hai giá trị: Giá trị thứ nhất, Pbest là nghiệm tốt nhất

đạt được cho tới thời điểm hiện tại ( fitness value ) Giá trị thứ hai, Gbest là nghiệm tốt nhất của quần thể đạt được cho tới thời điểm hiện tại