kĩ thuật công phá hệ phương trình và phương trình kĩ thuật công phá hệ phương trình và phương trình kĩ thuật công phá hệ phương trình và phương trình kĩ thuật công phá hệ phương trình và phương trình kĩ thuật công phá hệ phương trình và phương trình kĩ thuật công phá hệ phương trình và phương trình kĩ thuật công phá hệ phương trình và phương trình kĩ thuật công phá hệ phương trình và phương trình kĩ thuật công phá hệ phương trình và phương trình
Trang 1CÔNG PHÁ PHƯƠNG TRÌNH và HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P1
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
PHẦN 1 : ĐỀ BÀI (Cố gắng vận hết công lực trước khi xem giải nhé các em)
Câu 1 Giải hệ phương trình
3 2
2 2
y
− − + + = +
Câu 2 Giải hệ phương trình
2
3
1
x
+
Câu 3 Giải phương trình ( )2 ( 2 )2 2 ( )
3
x− = x − x− + −x + +x x∈ℝ
Câu 4 Giải hệ phương trình
3 3
2
+ + + + = + + +
− + − = + − + − −
Câu 5 Giải hệ phương trình
3
+
Câu 6 Giải bất phương trình ( ) ( 2 )
4 x+ +1 2 2x+ ≤ −3 x 1 x −2
Câu 7 Giải hệ phương trình
3
2
Câu 9 Giải hệ phương trình 43 4 3 2 ( )
x y R
x x y x y xy x y
+ + − + =
∈
2 2
x − + x − −x x x + = x − +x
PHẦN 2: LỜI GIẢI CHI TIẾT
(Nếu có nhầm lẫn, sai sót mong các hạ lượng thứ)
Câu 1 Giải hệ phương trình
3 2
2 2
y
− − + + = +
Lời giải
Trang 2Điều kiện x≥1,y> −2 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
3 2
2
y
+ +
2
t t
′
Rõ ràng hàm số trên liên tục và đồng biến trên toàn tia Ox thực nên thu được
( )∗ ⇔ f x( )= f ( y+2)⇔ =x y+2
Phương trình thứ hai của hệ trở thành 13 x− +1 9 x+ =1 16x⇔16x−13 x− −1 9 x+ =1 0
1 1
3
1 2
x
x
− =
Kết luận hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( ) 5 7
4 16
Câu 2 Giải hệ phương trình
2
3
1
x
+
Lời giải
Điều kiện 2; 1
9
( )
2
1
x x
y x
+ + +
+
9
′
Hàm số liên tục và đồng biến trên miền t dương nên thu được
Phương trình thứ hai của hệ trở thành
2 2
2
0
a ab b
a ab b
y
a ab b
− + +
− + +
− + +
Trang 3Vì 1 2 1 2 0, 2
9
y
y
+
+ +
( ) (2 ⇔ y−2)(y− = ⇔ ∈3) 0 y { } ( ) ( ) ( )2;3 ⇒ x y; = 8;3 , 3; 2
Thử lại, kết luận hệ có hai nghiệm kể trên
Câu 3 Giải phương trình ( )2 ( 2 )2 2 ( )
3
x− = x − x− + −x + +x x∈ℝ
Lời giải
Điều kiện 1− ≤ ≤x 1
3
x − x− − x − x− + = −x + x
1−x + x = +1 2 x 1−x ≥1⇒ 1−x + ≥x 1
Đặt 3 x2−2x− =2 t thu được 3 2 2( ) 0
1
t
t
=
≥
1
x
x
≥
≤ −
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm duy nhất x= −1
Câu 4 Giải hệ phương trình
3 3
2
+ + + + = + + +
− + − = + − + − −
Lời giải
Điều kiện 1 3 2
;
x≥ y≥ Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
1
0
x y x y
x y
x y
−
Phương trình thứ hai của hệ trở thành
3
2
x− + x − = + − + −x
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
3 2 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1
x− + x − ≤ − + + − + = + − ≤ + − + −x
Do đó phương trình ẩn x có nghiệm khi các dấu đẳng thức xảy ra, tức là 2x− =1 3x3− = ⇔ =2 1 x 1
Câu 5 Giải hệ phương trình
3
+
Lời giải
Trang 4Điều kiện
0 0
2 2
0
x x
y
≥
≥
≥
⇒
3
3
x y
+
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= y Phương trình thứ hai trở thành
≥
Kết luận hệ phương trình có nghiệm duy nhất x= =y 1
Câu 6 Giải bất phương trình ( ) ( 2 )
4 x+ +1 2 2x+ ≤ −3 x 1 x −2
Lời giải:
ĐK: x≥ −1 (*)
Khi đó (1) ⇔4 x+ +1 2 2x+ ≤ − −3 x3 x2 2x+2
Nhận thấy x= −1 thỏa mãn bất phương trình đã cho
2 0
+
Khi đó (2) ⇔ − ≥ ⇔ ≥x 3 0 x 3 Kết hợp với (*) ta được x≥3 thỏa mãn
Đ/s: x= −1 hoặc x≥3
Câu 7 Giải hệ phương trình
3
Lời giải
Điều kiện 1 0;2 0 0
⇔
≥
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
Trang 51 2 1 0 0
x y
−
−
+ > ⇒ − = ⇔ =
Phương trình thứ hai của hệ tương đương 123 x3+7x =x2+8x+15
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số thực không âm ta có
3
x x + = x x + ≤ + + + = + + ⇒ x + x≤x + +x
Do đó phương trình ẩn x có nghiệm khi 8x=x2+ = ⇔ =7 8 x 1
Kết luận hệ có nghiệm duy nhất x= =y 1
2
Lời giải
Điều kiện
2
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
1
x y
− −
− + + − Phương trình thứ hai của hệ trở thành
Khi đó phương trình thứ hai của hệ trở thành 2 ( )
Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có
2 2
2
x
x x
− −
Do đó phương trình (1) có nghiệm khi các dấu đẳng thức xảy ra, tức là 2 1 12 1
x
x x
− =
⇔ =
− =
Đối chiếu điều kiện, kết luận hệ vô nghiệm
Câu 9 Giải hệ phương trình 43 4 3 2 ( )
x y R
x x y x y xy x y
+ + − + =
∈
Lời giải:
5x 5x 4x y 4xy x y y 0
5x x 1 4xy x 1 y x 1 0 x 1 5x 4xy y 0
Trang 6⇔5x−4xy− = ⇔ −y 0 y 5x= −4xy.
Áp dụng BĐT Côsi ta có x4+y4+ =2 x4+y4+ + ≥1 1 44 x y4 4.1.1=4 xy ≥4xy
Dấu " "= xảy ra
4 4
1 1
1 0
xy
= =
= = −
Thử lại ta được x= =y 1 thỏa mãn
Đ/s: ( ) ( )x y; = 1;1
2 2
x − + x − −x x x + = x − +x
Lời giải:
ĐK:
2
2
1
1 3
x x
x
x x
≥
≥
⇔
≤ −
≥
( )
2 2 3x − ≤ +1 2 3x − =1 3x +1
2 2
Kết hợp với (2) ⇒VT( )1 <VP( )1 ⇒∀ ≥x 1 đều không thỏa mãn (1)
• Xét với 1
3
2 2
t − + t + +t t t + = t + +t
2t 2t 2 t 1 2 2t 2t 3t 1 2 6t 2 3t 1 5t 10t 5
2
t
2
t
Trang 7( )2
t t
Đặt
5
t T
Với
2
3
Khi đó (2) ( )2
Đ/s: x= −1
Thầy Đặng Việt Hùng