chinh phục hình học phẳng oxy và kĩ thuật giải hệ phương trình (tài liệu free)

chinh phục hình học phẳng oxy và kĩ thuật giải hệ phương trình chinh phục hình học phẳng oxy và kĩ thuật giải hệ phương trình chinh phục hình học phẳng oxy và kĩ thuật giải hệ phương trình chinh phục hình học phẳng oxy và kĩ thuật giải hệ phương trình chinh phục hình học phẳng oxy và kĩ thuật giải hệ phương trình chinh phục hình học phẳng oxy và kĩ thuật giải hệ phương trình chinh phục hình học phẳng oxy và kĩ thuật giải hệ phương trình chinh phục hình học phẳng oxy và kĩ thuật giải hệ phương trình chinh phục hình học phẳng oxy và kĩ thuật giải hệ phương trình chinh phục hình học phẳng oxy và kĩ thuật giải hệ phương trình

Khóa học Chinh phục Hình phẳng Oxy và Kĩ thuật giải Hệ phương trình – Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

CHINH PHỤC ĐIỂM 8-9-10 MÔN TOÁN – Phần 1

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

PHẦN 1 : ĐỀ BÀI Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm M(5; 7) nằm trên cạnh BC Đường tròn đường kinh AM cắt BC tại B, cắt BD tại N(6; 2), đỉnh C thuộc đường thẳng d: 2x− − =y 7 0 Tìm

tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết hoành độ đỉnh C nguyên và hoành độ đỉnh A bé hơn 2

x x y x y x y y x

 + − = + + −







Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) : (C x−1)2+ −(y 2)2 =5 và đường thẳng

d x+ + =y Từ điểm A thuộc d kẻ hai đường thẳng lần lượt tiếp xúc với (C) tại B và C Tìm tọa độ

điểm A biết rằng diện tích tam giác ABC bằng 8

Câu 4: Giải hệ phương trình ( 3 ) 3 ( )2







Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(-2; 1), điểm A thuộc trục tung,

điểm C thuộc tia Ox và góc BAC bằng 30 độ Bán kinh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 5

Xác định tọa độ điểm A và C

Câu 6: Giải hệ phương trình

2

y x xy x y

x x x y x x y x x





+ + + + + − + = + +



Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC là M(3; –1) Tọa độ điểm

E(–1; –3) thuộc đường thẳng chứa đường cao qua đỉnh B Đường thẳng AC qua F(1; 3) Tìm tọa độ các

đỉnh của tam giác ABC biết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có đường kinh AD với D(4; –2)

Câu 8: Giải hệ phương trình

2

2

x

x y y x y

x y y

x



− − + − =







Câu 9: Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2

x + y + z = x Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

2

P

x y y x xy z

+

Câu 10: Cho , ,a b c là các số thực không âm

4

2 2 a b c a b c

PHẦN 2: LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm M(5; 7) nằm trên cạnh BC Đường tròn đường kinh AM cắt BC tại B, cắt BD tại N(6; 2), đỉnh C thuộc đường thẳng d: 2x− − =y 7 0 Tìm

tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết hoành độ đỉnh C nguyên và hoành độ đỉnh A bé hơn 2

Lời giải:

Ta có tứ giác ABMN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AM

do vây
ANM =900 Mặt khác
AMN =
ABN =450 (cùng chắn



AN )

Do đó ANM∆ vuông cân tại N Ta có: AN x: −5y+ =4 0

Gọi A(5t−4;t) Khi đó: AN =MN ( ) (2 )2

⇔ − + − =

7

5

u

u loai

=





= ⇔ − + − = ⇔

=



Do vậy C( )7; 7 ⇒K( )4; 4 ⇒AC x: − =y 0;BD x: + − =y 8 0

Lại có: BC x: =7⇒B( )7;1 ⇒D( )1; 7

Vậy A( ) ( ) ( ) ( )1;1 ;B 7;1 ;C 7; 7 ;D 1; 7

x x y x y x y y x

 + − = + + −







Lời giải:

Điều kiện:

2

0

1

2

y x

y x

⇔

− ≥ ≥



Phương trình (1) của hệ phương trình tương đương

3

(*)

x x y x y x y x y y x x y x y x y x y x

x y x x y x x y x

+ − = + − + − ⇔ − − − = + −

⇔ − − = + − + −

Đặt y−x2 =t phương trình (*) trở thành x3− =t3 x2+ + ⇔t2 tx (x t− ) (x2+ +tx t2)=x2+ +tx t 2

2

⇔ − = ⇔ = −x t t x ⇒ y−x = −x

Điều kiện có nghiệm x≥1 Với 2

1

y−x = −x thay vào phương trình (2) ta có

Khóa học Chinh phục Hình phẳng Oxy và Kĩ thuật giải Hệ phương trình – Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

2 2

−  − − − = − − ⇔ − − + = − −

⇔ −  − − = −  − − 

Đặt a= 2x−1,b= −x 1 phương trình (**) trở thành

a b − =b a − ⇔ ab − =a a b− ⇔b a−b ab+ =

+) Với

a b x x

x x



= ⇒ − = − ⇔ ⇔ ⇔

− + =

+) Với 2ab+ =1 0⇒2(x−1) 2x− + = ⇔1 1 0 2 1( −x) 2x− =1 1 (***)

Phương trình có nghiệm khi 1 1

2≤ ≤x

27

⇒ Phương trình (***) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( )x y; =(2+ 2;9+6 2)

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) : (C x−1)2+ −(y 2)2 =5 và đường thẳng

d x+ + =y Từ điểm A thuộc d kẻ hai đường thẳng lần lượt tiếp xúc với (C) tại B và C Tìm tọa độ

điểm A biết rằng diện tích tam giác ABC bằng 8

Lời giải:

Gọi ( )C tâm I, AI∩BC={ }H , tham số A a( ; 2− −a)

2

AI a a

AB AI IB a a





= − = − + + −



Mặt khác ABI∆ vuông tại B có BH là đường cao nên

− + +

= + =

2

BH

→ =

− + +

2

AH AB BH

= − =

− + +

Vì 8=S∆ABC =2S ABH = AH BH ↔ AH BH2 2 =64

Điều này ( ) ( )

− + + = → =  +  + ≥ 

2

t

t

−

↔ = ↔ − + − = ( ) ( 2 )

↔ − − + = ↔ =t 25

Điều này ( ) (2 )2 1 ( (1; 3) )

A a

=



↔ − + + = ↔ →

= − −

Vậy có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu là A(1; 3− ) hoặc A(4; 6− )

Câu 4: Giải hệ phương trình ( 3 ) 3 ( )2







Lời giải

2



⇔

+ ≥ − ≥

Phương trình thứ hai của hệ tương đương với

( ) ( )

2

2 3

5

2 3

5

y y x

x

x x x x

x x

+ − + − − = − +

+ − + +

+ −

3

2

3

y− y+ ≥ ∀ ≥y ⇒ y− y+ ≥

5

x x x x

x x

+ + + +

+ + + + > ∀ ∈ ⇒ + > ∀ ∈ 

+ −

2

− ≥ ⇔ ≥ ⇒ ∈ 

 . Xét đ n thời c c hàm số

3

2

= − + ∈ ⇒ = − > ∀ ∈ 

= + ∈ ⇒ = + > ∀ ∈

Hai hàm số trên đều liên tục và đồng biến trên miền tương ứng

h x = x − x+ x + x = f x g x là tổ hợp hai hàm đồng biến nên nó đồng

3 1;

2

3

2

x

 

∈  

 

y− y+ ≥ ∀ ≥ −y ⇒ x − x+ x + x+ −y y+ ≥

Phương trình thứ nhất của hệ có nghiệm khi các dấu đẳng thức đồng thời xảy ra, tức là x=1;y=1

Khóa học Chinh phục Hình phẳng Oxy và Kĩ thuật giải Hệ phương trình – Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(-2; 1), điểm A thuộc trục tung,

điểm C thuộc tia Ox và góc BAC bằng 30 độ Bán kinh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 5

Xác định tọa độ điểm A và C

Lời giải:

Theo định lý hàm sin trong

BC

sinBAC

∆ → = →BC= 5

C c

C c BC c



=



→ = = + + ↔ →

= − −

2;1 0; 0

0;

C







( )

0; 12 1

12 1 1

3

cos

A a

a a BAC



= − +

2;1 4;



= − −





( )

1 8 3

a a

− +

12 1 8 2 12 12 1 8 2 12 0

1 12 6 12 19 0;

1 12 6 12 19

2 2

1 12 6 12 19 1 12 6 12 19

0;

A a

2

2

( 12 1 ;) ( )0; 0 ( 12 1 ;) ( )0; 0

Câu 6: Giải hệ phương trình

2

y x xy x y

x x x y x x y x x





+ + + + + − + = + +



Lời giải:

ĐK:

2

x xy x y



 − + − ≥  + − + ≥  + − ≥

(*)

(x y 2) (3x y 2) 0 4(x 1) 0 x 1 0

Khi đó ( )1 ⇔ + =y 3 2 (x+1 3)( x−y) ⇔ + =y 3 2 x+1 3x−y

Đặt 2 2 ( ) ( )

x+ = ≥a x− = ≥y b ⇒ a − =b x+ − x−y = +y

⇒ phương trình mới 2 2 ( )( )

a b

a b ab a b a b

a b

=



− = ⇔ − + = ⇔ + =

3

x

y

= −



+ = ⇒ + + − = ⇔ + = − = ⇔

= −



x y

⇒ + + = − − + = − < ⇒ không thỏa mãn (*) ⇒ Loại

a b a b x x y

x x y y x

+ ≥ ≥ −

− = ⇔ = ⇒ + = − ⇔ ⇔

+ = − = −

x +x x+ x− + + x + x− x+ + = x + +x

⇔ + + + + + = + +

⇔ + + − + + + − + − =

( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( )

1 0

x

3

x

Ta có

2

1 5

0 3

1 1

0

3

+ + + + Do đó ( )3 ⇔ − = ⇔ =x 1 0 x 1⇒ y=2.1 1 1.− =

Thử lại x= =y 1 thỏa mãn hệ đã cho

Đ/s: ( ) ( )x y; = 1;1

Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC là M(3; –1) Tọa độ điểm

E(–1; –3) thuộc đường thẳng chứa đường cao qua đỉnh B Đường thẳng AC qua F(1; 3) Tìm tọa độ các

đỉnh của tam giác ABC biết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có đường kinh AD với D(4; –2)

Lời giải:

Khóa học Chinh phục Hình phẳng Oxy và Kĩ thuật giải Hệ phương trình – Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

Gọi H là trực tâm tam giác ABC ta có: CH/ /BD⊥AB và BH/ /CD

do vậy BHCD là hình bình hành suy ra M là trung điểm của BC đồng

thời là trung điểm của HD

Khi đó H( )2; 0 suy ra PT đường cao BH là: x− − =y 2 0

Do vậy AC x: + − =y 4 0 và CD: x− − =y 6 0

Suy ra C=CD∩AC⇒C(5; 1− )⇒B(1; 1− )⇒BC y: = −1

Khi đó AH x: =2⇒A( )2; 2

Vậy A( ) (2; 2 ;B 1; 1 ;− ) (C 5; 1− )

Câu 8: Giải hệ phương trình

2

2

x

x y y x y

x y y

x



− − + − =







Lời giải:

Điều kiện:

1

2 0

3

2

x y

y y



− − ≥

− > ⇔

Phương trình (1) của hệ phương trình tương đương

1

1

y

x y

x y x y x y x y

y

x y x y x y x y

y x

− +

− − + − = ⇔ − − + − = − +

⇔ − − − − + − + − − =

−

− − + − − + −

− − + − − + −

⇔ = −

2

y≥ nên

1

0

y

y

x y x y + x y x y + >

− − + − − + −

Với y = −x 1 thay vào phương trình (2) ta có

( )

2 2

2

− − + − − = ⇔ − + − − =

⇔ − + + − − − = ⇔ − + + − − − =

− − +

− − + −

−

⇔ − +  + = ⇔ = ⇒ =

− − + −

x x

x

Vì 5

2

x

−

− − + −

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( ) ( )x y; = 3; 2

Câu 9: Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn x2 +4y2+4z2 =2x

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

2

P

x y y x xy z

+

Lời giải

Chúng ta có:

y x y

+ +

Từ đánh giá

2

z x y x y z x y x x y x y x x y

x z x

x y x z x x y

x y x y

+ ≤ + ⇔ + + + ≤ + + +

+

+ + +

Do đó suy ra

2

2

2

4

P

x y y x xy z

x y x y x y z xy x

+

= −  = − −  ≤ +  +   + 

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1

4

Dấu đẳng thức xảy ra khi

x x y

x y z x

 = +



= + ⇔ = = =





Câu 10: Cho , ,a b c là các số thực không âm

4

2 2 a b c a b c

Lời giải

Không giảm tính tổng quát, giả sử a≥ ≥ ≥b c 0 suy ra ab≥c2 Do đó xét hiệu sau ta có:

2

0

a b c a b c b a b c a c a b a c b c

a b ab c

a b

b c a c a c b c

Từ đó kết hợp với đánh giá quen thuộc 2a2 +2b2 ≥ +a b, suy ra

2a 2b c a b c a b c 2 2a 2b c 2 a b c 2 a b

Do đó, áp dụng bất đẳng thức AM – GM chúng ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho bằng 6 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= =b 1;c=0

Khóa học Chinh phục Hình phẳng Oxy và Kĩ thuật giải Hệ phương trình – Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

PHẦN 3: THÔNG BÁO QUAN TRỌNG GIẢM HỌC PHÍ MÔN TOÁN TRÊN MOON.VN TRONG NGÀY 17/02/2016

Thầy Đặng Việt Hùng