Mối quan hệ giữa triết học và khoa học tự nhiên

Khoa học tự nhiên về phần mình cũng ra đời và phát triển trên cơ sở sự phát triển của đời sống vật chất, kinh tế của hội, liên hệ chặt chẽ với triết học và ngay từ đầu đã được xây dựng t

F.Engen đã nói: “Cái thúc đẩy các nhà triết học, hoàn toàn không phải chỉ riêng sức mạnh của tư duy thuần túy như họ tưởng tượng Trái lại, trong thự tế, cái thật ra đã thúc đẩy

họ tiến lên chủ yếu là sự phát triển mạnh mẽ ngày càng nhanh chóng và ngày càng mãnh liệt của khoa học tự nhiên và của công nghiệp” Luận điểm này đã vạch rõ về mặt lý luận, quy luật phát triển tiến lên của triết học sát cánh với khoa học tự nhiên

Khoa học tự nhiên về phần mình cũng ra đời và phát triển trên cơ sở sự phát triển của đời sống vật chất, kinh tế của hội, liên hệ chặt chẽ với triết học và ngay từ đầu đã được xây dựng trên cơ sở nhận thức luận duy vật Khoa học tự nhiên được triết học cung cấp cho phương pháp nghiên cứu chung những phạm trù, những hình thức tư duy logic mà bất kỳ khoa học tự nhiên nào cũng không thể thiếu Với tư cách là thế giới quan, phương pháp luận chung đó, triết học đã đi trước khoa học tự nhiên trên nhiều lĩnh vực, và bằng những tư tưởng chỉ đạo đúng đắn, bằng những dự kiến thiên tài, triết học đã không ngừng vạch đường cho khoa học

tự nhiên tiến lên và giúp cho khoa học tự nhiên phương pháp và công cụ nhận thức để khắc phục những khó khăn, trở ngại vấp phải trên đường đi của mình

Như vậy, trong suốt quá trình lịch sử ra đời và phát triển của mình, triết học duy vật và khoa học tự nhiên luôn luôn gắn bó mật thiết với nhau, nương tựa và thúc đẩy lẫn nhau Trong lịch sử, mỗi hình thức cơ bản của chủ nghĩa duy vật đều tương ứng với một trình độ nhất định của khoa học tự nhiên Logic của sự phát triển bên trong của triết học duy vật là trùng hợp với logic của sự phát triển bên trong của khoa học tự nhiên Sự phát triển của khoa học tự nhiên đến một trình độ nhất định sẽ vạch ra phép biện chứng khách quan của tự nhiên Thích ứng với trình độ khoa học tự nhiên hiện đại là triết học duy vật hiên đại – triết học của chủ nghĩa C.Mac, chủ nghĩa duy vật biện chứng và chủ nghĩa duy vật lịch sử Và mối liên

minh giữa các nhà triết học biện chứng duy vật với các nhà khoa học tự nhiên hiện đại ngày càng chặt chẽ là một tất yếu lịch sử.

II Sự liên minh của triết học và khoa học tự nhiên qua các thời kỳ:

Thời cổ đại Hy Lạp, triết học duy vật mộc mạc và phép biên chứng tự phát là tương ứng với trình độ ban đầu của khoa học tự nhiên Thời bấy giờ, những kiến thức khoa học về tự nhiên, dưới hình thức những dự kiến, những phát kiến rời rạc, chưa có hệ thống, đang hòa lẫn trong kho tàng các kiến thức triết học Những kiến thức khoa học về khoa học tự nhiên lúc này về cơ bản được quy vào khoa học hình học của Euclide, lý thuyết về hệ thống mặt trời của Ptôlêmê, cách tính thập phân của người Ả-rập, vào những kiến thức sơ đẳng về đại số học, những chữ số hiên nay

Lúc này triết học và khoa học tự nhiên chưa có sự phân biệt rõ rệt các nhà triết học duy vật đồng thời cũng là những nhà khoa học tự nhiên Triết học duy vật mộc mạc và biên chứng

tự phát cổ đại Hy Lạp được gọi là triết học tự nhiên

Nhận thức triết học và khoa học tự nhiên đã tạo nên một bức tranh về thế giới , một bức tranh tổng quát đầu tiên trong lịch sử nhận thức khoa học coi thế giới như là một chỉnh thể, một toàn bộ khong phân chia về các sự vật và hiện tượng xảy ra trong tự nhiên Ở đó, mọi cái đều trôi qua, mọi cái đều biến đổi, đều liên hệ, tác động qua lại và chuyển hóa lẫn nhau, không có cái gì là vĩnh viễn, là bất biến

Bức tranh đầu tiên về thế giới đầu tiên này , về căn bản là tính đúng đắn Nó được tạo ra trên trên những dự kiến thiên tài và những kết luận chính xác về trạng thái của các sự vật và hiện tượng xảy ra trong tự nhiên Nhưng bức tranh mới chỉ nêu lên những hiểu biết về cái toàn thể, mà chưa nêu lên được những hiểu biết chi tiết , những biểu tượng cụ thể của các sự vật, hiện tượng Nó nêu lên được trạng thái vận động, liên hệ, tác động và chuyển hóa lẫn nhau trong giới tự nhiên, nhưng không nêu lên được vì chính cái gì đó đang vận động, liên

hệ, tác động và chuyển hóa lẫn nhau

Thời kỳ Phục hưng, giữa thế kỷ XV, như Enggen nói, đó là thời đại khi mà giai cấp tư sản đập tan sự thống trị của chế độ phong kiến, khi mà ở hậu trường của cuộc chiến đấu giữa giai cấp tư sản thành thị với giai cấp phong kiến quý tộc đã xuất hiện giai cấp nông dân bạo động,

và đi sau nông dân là những người tiền bối cách mạng của giai cấp vô sản hiện đại, lúc đó tay cầm cờ đỏ và đã hô vang chủ nghĩa cộng sản, đó là thời đại đã tạo ra những nhà nước quân chủ lớn ở Châu Âu, đã đập tan sự chuyên chính về tinh thần của Giáo Hoàng, đã làm sống lại thời cổ đại Hy Lạp, đã phá vỡ những giới hạn của thế giới cũ và npói đúng hơn là là lần đầu tiên khám phá ra trái đất Đó là thời đại cần có những người khổng lồ và đã sinh ra những

người khổng lồ về tư tưởng, về nhiệt tình, về tính cách, về tài năng, về mặt học thức….Đó là thời đại của cuộc cách mạng vĩ đại nhất mà trước đó trái đất chưa từng thấy.

Chính trong bầu không khí cách mạng sôi sục ấy của thời đại, khoa học tự nhiên thông qua đấu tranh chống tôn giáo, thần học, chống triết học kinh viện mà phục hồi lại và phát triển lên với một tinh thần triệt để cách mạng chưa từng thấy, nó đã phát triển lên song song với nền triết học mới nổi dậy

Khoa học tự nhiên đi sâu vào phần cụ thể, chi tiết, đã bổ sung vào bức tranh về thế giới

mà các nhà triết học và các nhà khoa học tự nhiên thời cổ đại Hy Lạp đã không làm được Nhưng phương pháp phân tích của khoa học tự nhiên đã bộc lộ nhược điểm của nó Sự vật và hiên tượng trong tự nhiên được xem xét trong trạng thái yên tĩnh, cố định, ở ngoài mọi vận động, biến hóa, trong trạng thái tách biệt, cô lập, ở ngoài mọi liên hệ, tác động, chuyển hóa qua lại lẫn nhau

Chủ nghĩa duy vật thế kỷ XVII – XVIII về căn bản là máy móc, siêu hình Nó tương ứng với trình độ khoa học tự nhiên lúc này Nó tạo nên một bức tranh cụ thể của những cái cụ thể, chi tiết Trình độ lúc này của khoa học tự nhiên đã gây nên tính hạn chế của triết học, thì đến lượt nó, triết học duy vật máy móc, siêu hình, với tư cách là phương pháp luận phổ biến chỉ đạo cho khoa học tự nhiên lại tác động hạn chế trở lại khoa học tự nhiên

Đến giữa thế kỷ XIII, khoa học tự nhiên chuyển sang giai đoạn mới cao hơn, giai đoạn tổng hợp, trở lại nghiên cứu giới tự nhiên với tính cách là một chỉnh thể, toàn bộ, liên tục, vĩnh viễn vận động và phát triển, liên hệ, tác động lẫn nhau không ngừng

Thời đại này, bức tranh mới đã thay thế bức tranh siêu hình để trở lại với bức tranh thời

cổ đại lúc ban đầu, dĩ nhiên trên trình độ cao hơn, hoàn chỉnh hơn.Nó khắc phục được nhược điểm của hai bức tranh trước đây, đồng thời khái quát hóa và nâng cao thêm những yếu tố tích cực vốn có của hai bức tranh trước

Như vậy, logic của sự phát triển bên trong của khoa học tự nhiên cho thấy, lúc đầu xuất hiện quan niệm biện chứng về tự nhiên , biểu thị sự trực quan đối với tự nhiên, coi như là một toàn bộ không phân chia; thay thế cho quan niệm đó là quan niệm máy móc, siêu hình về tự nhiên, phân chia giới tự nhiên thành những bộ phận cá biệt, riêng lẻ, cách xem đó được cố định trong phương pháp tư duy siêu hình, đến lượt nó, quan niệm về máy móc, siêu hình lại được thay thế bằng sự tái tạo lại một cách tổng hợp bức tranh về thế giới trong tính toàn vẹn của nó, trên cơ sở những kết quả đạt được của nhận thức khoa học từ trước đến nay Đi đôi với sự thay thế này là bước diễn biến từ phương pháp tư duy siêu hình sang phương pháp tư duy biện chứng Và logic của sự phát triển bên trong của khoa học tự nhiên là trùng hợp với logic của sự phát triển bên trong của triết học duy vật

Chương 2:

VAI TRÒ CỦA TRIẾT HỌC ĐỐI VỚI SỰ PHÁT TRIỂN

CỦA TOÁN HỌC

I Tác động của triết học đến sự phát triển của toán học:

Qua tìm hiểu sơ lược về mối quan hệ của triết học và khoa học tự nhiên, ta thấy sự hình thành, phát triển của triết học không thể tách rời sự hình thành, phát triển của khoa học cụ

thể Einstein đã nhận xét: “Cái khái quát của triết học cần phải dựa trên các kết quả khoa

học Tuy nhiên, mỗi khi đã xuất hiện và được truyền bá rộng rãi, chúng thường ảnh hưởng đến sự phát triển của tư tưởng khoa học khi chúng chỉ ra rất nhiều phương hướng phát triển

sự vật đều có những tọa độ diễn tả ra bằng những dãy 0 và 1 Đó là lĩnh vực toán học chuyên nghiên cứu về các tập hợp mờ tức là những tập hợp không có ranh giới rõ rệt vì không thể khẳng định được một phần tử nào đó là thuộc tập hợp hay không mà chỉ có thể nói đến một xác suất p để phần tử thuộc tập hợp Điều này được ứng dụng rất nhiều trong kỹ thuật máy tính điện tử

II Triết học là cơ sở thế giới quan và phương pháp luận của toán học:

Mỗi khoa học có thế giới quan và phương pháp luận riêng Toán học được xem là khoa học nghiên cứu về các quan hệ số lượng, hình dạng và logic trong thế giới khách quan hay là khoa học nghiên cứu vế cấu trúc số lượng mà người ta có thể trang bị cho một tập hợp bằng một hệ tiên đề Triết học là khoa học về những quy luật chung nhất của sự vận động, phát triển của tự nhiên, xã hội và tư duy

Sau đây ta sẽ minh họa vai trò thế giới quan và phương pháp luận của triết học duy vật biện chứng đối với việc nghiên cứu toán học thể hiện ở các nguyên lý, một số quy luật và cặp phạm trù cơ bản.

1 Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến:

Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến giúp cho các nhà toán học thấy rõ mối liên hệ, tác động qua lại của tất cả các khái niệm, định lý, công thức toán học Chúng không tồn tại một cách độc lập mà liên hệ chặt chẽ, thống nhất, bổ sung cho nhau

Nhìn ở một khía cạnh nhỏ nào đó, chẳng hạn việc định nghĩa một khái niệm, chứng minh một định lý đều phải dựa trên các khái niệm, định lý đã có từ trước; giải một bài tập hình học đôi khi cũng cần phải sử dụng các phép tính của đại số, các hàm số lượng giác… Toán học càng phát triển, tất cả các chuyên ngành của toán học càng gắn bó khăng khít, liên thông với nhau đến mức thật khó phân biệt ranh giới giữa chúng Ví như, sự xuất hiện ngành tôpô đại

số - hình học, hình học vi phân là sự liên thông của hình học với các ngành giải tích, đại số…Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến đòi hỏi chúng ta phải có một quan điểm toàn diện khi nghiên cứu toán học Quan điểm này phải được nhận thức, vận dụng bất kỳ lúc nào Khi giải một bài toán hình học, phải nhìn một điểm, một đường thẳng trong mối liên hệ với các điểm, đường thẳng khác trong sự thống nhất với cả hình vẽ Khi xét một bài toán có thể dùng tất cả các phương pháp của đại số, hình học, lượng giác trong mối liên hệ thống nhất để tìm ra lời giải tổng hợp…

2 Nguyên lý về sự phát triển:

Nguyên lý về sự phát triển cho chúng ta thấy rằng sự phát triển một lý thuyết toán học hay cả lĩnh vực toán học nói chung là một tiến trình khách quan, không phụ thuộc ý muốn cá nhân nào Đó là quá trình giải quyết những mâu thuẫn nảy sinh trong bản thân nội bộ toán học và giải quyết những nhu cầu của thực tiễn

Nguyên lý về sự phát triển đòi hỏi chúng ta phải có quan điểm lịch sử cụ thể trước các vấn đề toán học Chẳng hạn, nhiều học sinh sau khi được đọc nội dung và cách chứng minh định lý Pythagore, định lý về tổng ba góc trong của một tam giác thì thấy quá đơn giản và coi thường nó Nhưng kì thực, việc phát minh ra chúng ở cái thời đại của ông quả thật là vĩ đại và

đã được áp dụng đến tận ngày nay

3 Quy luật thống nhất và đấu tranh của các mặt đối lập:

Thực tiễn cuộc sống là vô cùng đa dạng và đặt ra vô số vấn đề cần giải quyết mà những kiến thức toán học ở từng thời kỳ chưa cho phép giải quyết ngay được Mâu thuẫn giữa lý luận toán học và thực tiễn cuộc sống là động lực thúc đẩy toán học phát triển để đáp ứng nhu

cầu của cuộc sống Vô số mẩu chuyện lịch sử có thể chứng minh điều này Ví dụ, nhu cầu phân chia lại ruộng đất sau mỗi trận lũ của sông Nil (Ai Cập) đã thúc đẩy hình học phát triển; nhu cầu so sánh các tập hợp như tập hợp người lao động với tập hợp các công cụ lao động đã làm nảy sinh ra phép đếm; nhu cầu nghiên cứu cơ học đã làm nảy sinh ra phép tính vi phân; nhu cầu nghiên cứu đỏ đen trong canh bạc đã làm nảy sinh bộ môn xác suất…

Trong một số trường hợp, động lực thúc đẩy cho lý luận toán học phát triển là mâu thuẫn trong nội bộ lý luận

Sự ra đời của hình học Lobasepxki xuất phát từ băn khoăn của Lobasepxki về việc tại sao loài người trải qua hơn 2000 năm đeo đuổi việc chứng minh tiên đề V của Euclide mà vẫn thất bại nên ông có nghi vấn: “Hay là tiên đề Euclide không phải là hệ quả logic của các tiên

đề khác?” Nghiên cứu của ông trước hết là nhằm sáng tỏ nghi vấn trên

Số ảo cũng ra đời từ mối băn khoăn tại sao những phương trình bậc 3 có 3 nghiệm rõ ràng như x3− =x 0 nhưng nếu giải bằng phương pháp Cacdano lại dẫn đến một phương trình bậc

2 vô nghiệm thực 2 1

0 27

Nếu cứ theo logic ấy, dựa theo quy luật mâu thuẫn, có thể dự đoán rằng rồi sẽ có những lý thuyết nảy sinh từ mối băn khoăn rằng tại sao phương trình Diophante xn +yn =zn lại không có nghiệm khi n > 2 ?

Như vậy là, quy luật mâu thuẫn, hạt nhân của phép biện chứng đã thể hiện tính đúng đắn của nó ngay trong toán học Mâu thuẫn chính là nguồn gốc, động lực phát triển toán học.Quy luật mâu thuẫn cũng đã góp phần thay đổi thế giới quan và định hướng phương pháp luận cho các nhà toán học Họ thấy rõ sự thống nhất biện chứng giữa những khuynh hướng phát triển khoa học trái ngược nhau (chẳng hạn đặc biệt hóa và khái quát hoá), những trường hợp khác nhau (chẳng hạn n 4≤ và n > 4)… để tìm ra con đường giải quyết mâu thuẫn, thúc đẩy sự phát triển tiến lên của toán học

Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn thông qua những bài báo và công trình nghiên cứu khoa học của mình đều thừa nhận: chính tư duy biện chứng đã giúp ông rất nhiều trong nghiên cứu toán học và ngược lại các kết quả nghiên cứu cũng đã củng cố rất nhiều thế giới quan duy vật biện chứng ở ông

Lịch sử toán học cũng đã chứng tỏ trước Lobasepxki có nhiều người tìm cách chứng minh tiên đề Euclide bằng phản chứng Họ phủ nhận tiên đề Euclide với hi vọng sẽ tìm ra mâu thuẫn Nhưng họ không tìm ra mâu thuẫn logic mà chỉ phát hiện ra những sự kiện kỳ quái trái

với trực giác và rút lui Trái lại, Lobasepxki có những nhận thức về không gian nên cho rằng những điều kỳ quái đó không tồn tại trong cuộc sống đời thường nhưng có thể tồn tại trong

vũ trụ bao la đã chứng minh sau này Abel chứng minh sự không giải được bằng căn thức của các phương trình đại số bậc n > 4 Galois không chịu dừng ở đó nên cuối cùng đã đưa ra tiêu chuẩn khiến ta thấy rõ mâu thuẫn mà thống nhất giữa 2 trường hợp n 4≤ và n > 4 và kết quả là lý thuyết Galois ra đời Có thể nói, quy luật mâu thuẫn mở ra một thế giới quan và phương pháp luận cho các nhà toán học, tạo cho họ niềm tin vượt qua những khó khăn lớn, kiên trì đeo đuổi sự nghiệp nghiên cứu của mình và cuối cùng đạt được những kết quả thật là

vĩ đại Như vậy, quy luật thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập được coi là hạt nhân của phép biện chứng Nó vạch rõ nguồn gốc, động lực của sự phát triển toán học

4 Quy luật phủ định của phủ định:

Đây là quy luật phát triển vô cùng phổ biến của tự nhiên, lịch sử và tư duy Nó vạch ra xu hướng tất yếu đi lên của mọi sự vận động, phát triển cũng như vạch ra xu hướng phát triển toán học

Engen đã đánh giá tầm quan trọng của quy luật phủ định của phủ định đối với khoa học tự

nhiên: “Vậy phủ định của phủ định là cái gì? Là quy luật phát triển của tự nhiên, của lịch sử

và của tư duy vô cùng phổ biến và chính vì vậy mà có một tầm quan trọng và một ý nghĩa vô cùng lớn, một quy luật có giá trị đối với động vật và thực vật, đối với địa chất học, toán học, lịch sử…”

Engen đã mô tả quy luật phủ định của phủ định trong toán học: “Hãy lấy một số đại số nào đó, ví dụ a chẳng hạn, phủ định nó đi thì ta có −a Phủ định cái phủ định này đi bằng cách nhân −a với −a thì ta sẽ có a2, tức là số dương như trước nhưng ở bậc cao hơn, ở lũy thừa bậc hai Bởi vì cái phủ định bị phủ định đã gắn rất chặt trong a2 khiến cho a2 trong mọi trường hợp đều có 2 số căn bậc hai tức là a và −a và việc không thể gạt bỏ cái phủ định bị

phủ định, không thể gạt bỏ số căn âm chứa trong bình phương ấy có một ý nghĩa rất rõ rệt trong các phương trình bậc hai”

Một ví dụ khác, Enggen giả sử rằng ông có 2 biến x và y và làm cho chúng trở thành những số vi phân nghĩa là giả sử x và y là nhỏ vô hạn đến nỗi không còn gì hết ngoài các tỉ

số của chúng đối với nhau, một tỷ số không có một cơ sở nào có thể gọi là cơ sở vật chất

được cả, một tỷ số về số lượng mà không có một số lượng nào đó; như vậy thì dy

đã biến mất đi, cái lúc chúng mất biến đi mà ta xác định được đó chính là một mâu thuẫn Như vậy, ông đã phủ định x và y nhưng không phải phủ định đến mức là không quan tâm gì đến nó nữa như lối phủ định của phép siêu hình mà phủ định theo một lối tương ứng với trường hợp đã định Như vậy là thay cho x và y , ông đã có cái phủ định chúng, tức dx và

dy Lại tiếp tục làm tính coi dx và dy là những số thực và phủ định cái phủ định nghĩa là chuyển công thức vi phân thành tích phân và thay thế cho dx và dy ta lại có được những số

thực x và y nhưng lúc đó không phải là ông ở vào chỗ mà ông đã xuất phát: “Trái lại tôi đã

giải đáp được bài toán mà hình học và đại số học thông thường có lẽ đã nát óc ra mà cũng không giải quyết nổi”.

Các nhà toán học nhiều khi đã sử dụng tư duy biện chứng và quy luật phủ định của phủ định một cách không ý thức

Lobasepxki khi phát minh ra hình học mang tên mình chỉ nghĩ là mình đã phủ định hình học Euclide chứ không nghĩ là mình mở rộng hình học Euclide Những khái quát của ông và các tác giả cho thấy hình học Lobasepxki phủ định hình học Euclide đồng thời là sự mở rộng hình học Euclide Như vậy một phát minh vĩ đại như hình học Lobasepxki cũng không thoát khỏi quy luật phủ định của phủ định tức phủ định có tính kế thừa

Quy luật phủ định của phủ định chỉ rõ xu hướng phát triển của toán học Toán học trải qua những lần phủ định liên tiếp trong đó quá trình phủ định biện chứng xảy ra khách quan trên cơ sở kế thừa những nền toán học đã có từ trước và những phát minh toán học ra đời không phải là sự phủ định sạch trơn mà trên cơ sở những phát minh, những kết quả đã có từ lâu của các nhà toán học tiền bối

Quy luật của phủ định của phủ định cũng cho chúng ta thấy rằng trong quá trình phủ định một kết quả toán học, chúng ta phải biết kế thừa có chọn lọc, tiếp thu những cái tích cực của chúng để mở rộng, phát triển lên

5 Cặp phạm trù bản chất - hiện tượng:

Bản chất là phần cơ bản nhất, sâu xa nhất, bền vững nhất trong nội dung Bản chất có ý nghĩa quyết định đối với sự vật nghĩa là bản chất không còn thì sự vật không còn là nó nữa

mà thành một sự vật khác

Ví dụ khi nói về nội dung của hình học thì những tính từ đi theo hai chữ “hình học” như

“Ơclit”, “Lôbasepki” nói lên bản chất của hình học mà ta đang đề cập đến Cái làm nên bản chất đó là tiên đề Ơclit hay là tiên đề Lôbasepki Nếu bỏ tiên đề Ơclit đi thì hình học Ơclit ko còn nữa

Hoặc khi nói về nội dung của đại số thì tính từ “tuyến tính” chẳng hạn cũng nói lên bản chất của đại số mà ta đang đề cập đến Cái làm nên bản chất đó chính là tính chất:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dụ, hình học Ơclit có thể biểu hiện ra bên ngoài bằng định lý “Tổng các góc trong một tam

giác bằng 180o” hay bằng định lý Pitago đối với tam giác vuông; những định lý đó sẽ không còn đúng nữa nếu ta phủ định tiên đề Ơclit

Theo quan điểm triết học, bản chất là tổng hợp những mặt, những mối liên hệ tất nhiên, tương đối ổn định bên trong sự vật, quy định sự vận động và phát triển của sự vật còn hiện tượng là biểu hiện ra bên ngoài của bản chất Sự thống nhất giữa bản chất và hiện tượng còn thể hiện ở chỗ bản chất và hiện tượng về căn bản là phù hợp với nhau Như vậy, quan điểm đúng đắn này cũng được thể hiện rõ trong toán học

Một ví dụ khác, bản chất của khái niệm liên tục cũng là định nghĩa tương tự khái niệm

giới hạn: “Một hàm số f x( ) được gọi là liên tục tại x0 khi và chỉ khi ( ) ( )

6 Cặp phạm trù lý luận – thực tiễn:

Lịch sử toán học cho chúng ta thấy rằng mâu thuẫn giữa lý luận và thực tiễn là động lực

cơ bản của sự phát triển toán học

Trong giai đoạn đầu, do nhu cầu sản xuất và thực tiễn đời sống mà toán học đã khai sinh với tính cách là toán học kinh nghiệm: nhu cầu đo đạc lại đất đai sau mỗi trận lụt, tính diện

tích, thể tích các hình làm nảy sinh ra hình học; nhu cầu cân, đong, đo, đếm, so sánh, ước lượng nảy sinh các số tự nhiên rồi phân số Sản xuất phát triển, hàng hóa nhiều lên, yêu cầu cân, đong, đo, đếm phát triển không thể thực hiện trực tiếp với mức độ chính xác thấp của ước lượng, người ta chú ý đến sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các đối tượng Trong đại số xuất hiện các phương trình tìm ẩn số Điều này lại làm xuất hiện mâu thuẫn: sự bất lực trước các phương trình x 2 0, x+ = 2− =2 0 đòi hỏi bổ sung số âm, số vô tỉ rồi số thực ra đời …Toán học bước lên trình độ lý luận mới

Toán học hiện đại phát triển với một tốc độ chóng mặt Nhu cầu nghiên cứu những lĩnh vực không thể khẳng định “đúng, sai” làm toán học mờ ra đời Những bài toán cực trị trong cuộc sống không thể giải quyết bằng toán học liên tục hình thành lĩnh vực “toán học rời rạc” Xuất phát từ thực tế không thể tính chính xác, ngành “toán học tính toán” ra đời

Như vậy là, mặc dù sự trừu tượng hóa trong toán học diễn ra rất cao nhưng không vì thế

mà toán học xa rời thực tiễn Trong quá trình thỏa mãn nhu cầu của thực tiễn, toán học có thể sáng tạo ra những khái niệm, công cụ không phản ánh trực tiếp thế giới khách quan nhưng điều đó chỉ để toán học tiến lên phía trước đáp ứng nhu cầu đặt ra Chẳng hạn, khái niệm không gian 4 chiều vốn không tồn tại trước mắt và tỏ ra khó hình dung nhưng nó lại tạo thuận lợi khi nghiên cứu các bài toán cực trị

Lịch sử cũng cho thấy rằng, những lý luận tưởng chừng vô nghĩa vì không phù hợp với hoàn cảnh hiện tại nên một thời bị người ta bác bỏ, lên án thì cuối cùng đã có thực tiễn kiểm tra tính đúng đắn Hình học Lobasepxki ứng dụng trong lý thuyết tương đối, lý thuyết nhóm ứng dụng vào tinh thể học và cơ học lượng tử, …Tuy nhiên cũng phải thừa nhận rằng, lý thuyết toán học không ra đời từ thực tế mà từ mâu thuẫn trong nội bộ toán học và nó chỉ phát triển mạnh mẽ khi được kiểm nghiệm bởi thực tiễn Hình học Rieman phát triển mạnh mẽ sau khi tìm thấy ứng dụng vào lý thuyết tương đối Điều này càng khẳng định, mâu thuẫn giữa lý luận và thực tiễn là động lực cơ bản thúc đẩy toán học phát triển

Việc tìm ra các mô hình Poincare, Cayley-Klein chứng minh hệ tiên đề của hình học Euclide là phi mâu thuẫn Mô hình không gian vật lý chúng tỏ hệ tiên đề Hilbert là phi mâu thuẫn, tiêu chuẩn quan trọng nhất trong ba tiêu chuẩn cho sự tồn tại đúng đắn của một hệ tiên

đề Nhưng cũng chính thực tiễn lại làm cho người ta phải suy xét kỹ thêm các cơ sở của toán

học Ví dụ, bài toán “Tôi nói dối”, nghịch lý mà Russell đặt ra đã từng gây ra một cuộc

khủng hoảng trong toán học Cuối cùng Godel (1906 – 1978) đã chứng minh rằng, có những cái “đúng” nhưng không chứng minh được và những nghịch lý nhắc ta rằng không nên tin tuyệt đối vào toán học mà muốn tin nó, phải kiểm tra lại trong thực tiễn Chẳng hạn, người ta

chỉ tin Einstein khi thực nghiệm đã chứng minh được những kết luận do ông nêu ra bằng suy diễn toán học Thực tiễn là tiêu chuẩn chân lý trong toán học.

Nắm vững sự thống nhất giữa phạm trù lý luận và thực tiễn đòi hỏi các nhà toán học không tuyệt đối hóa phạm trù nào mà phải thấy được mối quan hệ biện chứng của chúng Tóm lại, nếu nhìn một cách phiến diện bề ngoài, triết học dường như chẳng có một vai trò đáng kể nào đối với toán học Không có triết học, toán học vẫn có những phát minh, vẫn đạt được nhiều thành tựu to lớn và phát triển Tuy vậy, kỳ thực, theo tôi, quan điểm ấy là chưa toàn diện Với vai trò là thế giới quan và phương pháp luận chung nhất cho các khoa học trong đó có toán học, triết học đã đi trước toán học trên nhiều lĩnh vực và bằng những tư tưởng chỉ đạo đúng đắn, bằng những dự kiến thiên tài, triết học đã không ngừng vạch đường cho toán học tiến lên và giúp cho toán học phương hướng và công cụ nhận thức để khắc phục những khó khăn, trở ngại vấp phải trên đường đi của mình, thay vì phải tự tìm đường đi một cách mò mẫm, không tự giác Sau đây ta sẽ tìm hiểu xem toán học có vai trò như thế nào đối với triết học?

Chương 3:

VAI TRÒ CỦA TOÁN HỌC ĐÓI VỚI SỰ PHÁT TRIỂN

CỦA TRIẾT HỌC

I Vai trò của các ký hiệu toán học trong nhận thức khoa học

Trên cơ sở nghiên cứu lịch sử phát triển của toán học, chúng ta nhận thấy rằng, kết cấu logic và sự phát triển của các lý thuyết toán học ngày càng phụ thuộc vào việc sử dụng các ký hiệu toán học và sự cải tiến các ký hiệu đó Ngày nay, chúng ta đã có đầy đủ căn cứ để khẳng định rằng, các ký hiệu toán học không những chỉ là phương tiện thuận lợi cho việc nghiên cứu khoa học nói chung và toán học nói riêng, mà chúng còn có một giá trị nhận thức luận to lớn Sở dĩ các ký hiệu toán học có vai trò quan trọng như vậy là do nội dung khách quan của chúng quy định

Chúng ta đều biết rằng, nhiều nhà triết học duy tâm thường khẳng định tư duy của con người không có khả năng đưa ra các chân lý khách quan Song, trên thực tế họ lại luôn minh chứng cho nhận thức luận duy tâm của mình bằng cách sử dụng hệ thống ký hiệu và công thức toán học do các nhà toán học đưa ra Giải thích việc sử dụng hệ thống này, các nhà triết học duy tâm cho rằng, đối tượng của toán học mang tính trừu tượng cao, trong khi quy luật phát triển của toán học lại rất phức tạp, ngôn ngữ ký hiệu thì ngày càng được sử dụng nhiều trong toán học, nên các chân lý toán học không có tính khách quan Từ đó, họ coi toán học chỉ là một hệ thống ký hiệu đã được lựa chọn từ trước một cách thích hợp và căn cứ vào đó

để minh chứng cho học thuyết của mình Bác bỏ quan niệm đó, các nhà triết học duy vật đã dựa vào toàn bộ quá trình phát triển của tri thức khoa học để chỉ ra sai lầm của chủ nghĩa duy tâm về đối tượng của toán học và phân tích một cách đúng đắn nội dung, ý nghĩa của các ký hiệu toán học

Theo quan điểm duy vật biện chứng, các ký hiệu toán học, trước hết được sử dụng để ghi lại các khái niệm và các mệnh đề toán học Chẳng hạn, trong số học các số tự nhiên, các ký hiệu 1, 2,3, biểu thị đặc điểm về lượng của nhóm đối tượng chứa một, hai, ba,… đối tượng Các ký hiệu > , = , < biểu diễn những sự tương quan, chẳng hạn 1< 2 (1 bé hơn 2) Đồng thời, người ta còn sử dụng đấu hiệu các phép tính số học như: + , , , :− × để biểu thị những

mối liên hệ có thể có giữa các số tự nhiên Tất cả các ký hiệu nói trên cho phép ta diễn đạt một cách hoàn toàn chính xác nhiều mệnh đề của số học các số tự nhiên Ví dụ, ký hiệu (4 6) 10 = 7 2× − × biểu diễn một mệnh đề số học

Trong đại số học, người ta thường dùng các ký hiệu là các chữ như a, b,c, , x, y, z, để biểu đạt các thông số và những đại lượng biến thiên Chẳng hạn, trong phương trình

2

ax +bx c 0+ = , mỗi hệ số a, b,c có thể nhận bất kỳ giá trị thực nào, còn ẩn số x cần tìm là thuộc tập hợp các số phức Việc sử dụng các ký hiệu về đại lượng biến thiên cho phép ta diễn đạt ở dạng tổng quát các quy luật của đại số và cả các quy luật của các lý thuyết toán học khác Chẳng hạn như: a b c a (b c) , a b c (a b) c a (b c)− − = − + = =

Trong thực tế, nếu chúng ta khảo sát những sự thể hiện khác nhau của cùng một tiêu đề xuất phát thì không những chỉ các khái niệm về đối tượng của lý thuyết thay đổi, mà cả các khái niệm về sự tương quan và liên hệ giữa chúng cũng thay đổi Chẳng hạn, trong hệ tiên đề pêanô, các ký hiệu > , = , < , +, , , :− × sẽ có ý nghĩa khác nhau tuỳ theo ký hiệu 1, 2,3,

biểu thị các số tự nhiên về lượng hay về thứ tự Ví dụ, ký hiệu 3< 4 nếu biểu thị về lượng thì

có nghĩa là 3 bé hơn 4, song nếu biểu thị về thứ tự thì có nghĩa là 3 đứng trước 4

Như vậy, có thể nói, các ký hiệu toán học cho phép ta ghi lại một cách cô đọng và dưới dạng dễ nhận thức những mệnh đề rất rườm rà trong ngôn ngữ thông thường Nhờ đó, ta có thể dễ nhớ và có khả năng nắm được nội dung của chúng Đồng thời, các ký hiệu này còn được sử dụng một cách có hiệu quả trong toán học để ghi lại các khái niệm và các mệnh đề, mỗi khi chúng phản ánh được những tương quan về lượng và những hình dạng không gian nhất định của thế giới hiện thực Chính vì vậy, trước khi sử dụng những ký hiệu vào những lập luận của mình, nhà toán học cần chỉ rõ mỗi ký hiệu như thế biểu thị cái gì, nếu không sẽ dẫn đến những hiểu biết sai lệch điều mà các ký hiệu muốn nói và khi đó mọi lập luận trong toán học sẽ không thể tiếp tục tiến hành Chỉ khi ý nghĩa của các ký hiệu đã được thiết lập một cách chính xác, chúng ta mới có khả năng hiểu được điều mà các quan hệ muốn diễn đạt.Với cách diễn đạt nội dung của nó bằng lời Rõ ràng, việc phát biểu công thức này bằng lời sẽ dài dòng hơn rất nhiều, và nếu so sánh cách chứng minh bất đẳng thức trên bằng ký hiệu với cách chứng minh bằng lời thì chúng ta càng nhận thấy sự thuận tiện của việc sử dụng các ký hiệu toán học

Tuy nhiên, không phải lúc nào các ký hiệu toán học cũng có thể biểu diễn một cách ngắn gọn nội dung toán học và các khoa học khác Các ký hiệu toán học sẽ không thực hiện được nhiệm vụ chủ yếu này của chúng, nếu chúng chỉ là những biểu hiện ngắn gọn của những dạng ngôn ngữ dài dòng hơn Chẳng hạn, việc xây dựng cơ học cổ điển đã diễn ra với việc sử dụng các vectơ để diễn tả chuyển động Theo đánh giá của Albert Einstein, ở đây toàn bộ công việc

đã làm chỉ là chuyển những sự kiện đã được thừa nhận từ trước thành một ngôn ngữ phức tạp