Luận văn thạc sỹ toán học Định lý nevanlinna cartan padic và áp dụng

Líi cam oanTæi xin cam oan ¥y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng tæi, d÷îi süh÷îng d¨n cõa TS.. Håc vi¶n Phòng Thà H÷ìng... Tr¶n tr÷íng cì sð khæng Acsimet tr÷íng c¡c sè p-adic, l¦n ¦u ti

Líi cam oan

Tæi xin cam oan ¥y l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng tæi, d÷îi süh÷îng d¨n cõa TS Vô Ho i An Luªn v«n ch÷a tøng ÷ñc cæng bè trongb§t k¼ cæng tr¼nh nghi¶n cùu n o v  måi t i li»u tham kh£o trong luªnv«n l  trung thüc

Håc vi¶n

Phòng Thà H÷ìng

Líi c£m ìn

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i Khoa sau ¤i håc, ¤i håc S÷ ph¤m

-¤i håc Th¡i Nguy¶n d÷îi sü h÷îng d¨n cõa Ti¸n s¾ Vô Ho i An Nh¥ndàp n y, Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c nh§t ¸n Ti¸n s¾

Vô Ho i An, ng÷íi ¢ d nh nhi·u thíi gian, tªn t¼nh, h÷îng d¨n gióp

ï v  t¤o i·u ki»n º tæi ho n th nh tèt luªn v«n n y

Mët l¦n núa t¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn ¸n c¡c nh  to¡n håc cõaKhoa To¡n, ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n v  Vi»n To¡n håcVi»t Nam

Xin ch¥n th nh c£m ìn gia ¼nh, b¤n b± v  c¡c th nh vi¶n trong lîpcao håc K21B ¢ luæn õng hë v  gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håctªp v  thüc hi»n luªn v«n n y

Tuy câ nhi·u cè g­ng, song thíi gian v  n«ng lüc cõa b£n th¥n câh¤n n¶n luªn v«n khâ tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât R§t mong nhªn ÷ñcnhúng þ ki¸n âng gâp cõa c¡c nh  khoa håc v  b¤n åc Tæi xin ch¥n

th nh c£m ìn

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 03 n«m 2015

T¡c gi£

Phòng Thà H÷ìng

Möc löc

1 Lþ thuy¸t Nevanlinna cho h m ph¥n h¼nh p-adic 3

1.1 Mët sè ki¸n thùc cì b£n 3

1.1.1 Tr÷íng c¡c sè p-adic 3

1.1.2 H m sinh bði chuéi lôy thøa p-adic 4

1.1.3 H m ph¥n h¼nh p-adic 6

1.2 H m °c tr÷ng cõa h m ph¥n h¼nh p-adic 6

1.2.1 H m °c tr÷ng v  mët sè t½nh ch§t 6

1.2.2 Hai ành lþ ch½nh 17

1.2.3 Bê · quan h» sè khuy¸t 22

2 ành lþ Nevanlinna-Cartan p-adic v  ¡p döng 24 2.1 ành lþ Nevanlinna-Cartan p-adic 24

2.2 Hai ¡p döng cõa ành lþ Nevanlinna-Cartan p-adic 29

Mð ¦u

To¡n håc ÷ñc coi l  ¿nh cao tr½ tu» cõa con ng÷íi, nâ x¥m nhªp v oh¦u h¸t c¡c ng nh khoa håc l  n·n t£ng cõa nhi·u lþ thuy¸t khoa håcquan trång To¡n håc ng y c ng ph¡t triºn m¤nh m³ qua tøng thíi k¼

°c bi»t trong ¦u th¸ k XX l  sü ra íi cõa lþ thuy¸t Nevanlinna,

÷ñc coi l  mët trong nhúng th nh tüu nêi bªt v  s¥u s­c nh§t Trångt¥m cõa lþ thuy¸t n y l  hai ành lþ ch½nh cõa Nevanlinna

N«m 1933, H.Cartan ¢ mð rëng lþ thuy¸t Nevanlinna cho tr÷íng hñp

÷íng cong ch¿nh h¼nh v  ÷a ra nhi·u ùng döng quan trång V¼ vªy lþthuy¸t Nevanlinna èi vîi c¡c ÷íng cong ch¿nh h¼nh ÷ñc mang t¶nhai nh  to¡n håc xu§t s­c cõa th¸ k XX â l  "lþ thuy¸t Nevanlinna-Cartan" Thæng qua h÷îng nghi¶n cùu n y nhi·u k¸t qu£ µp ³ tronggi£i t½ch h m, trong ¤i sè công nh÷ trong lþ thuy¸t sè ÷ñc ra íi,g­n li·n vîi nhi·u t¶n tuêi cõa c¡c nh  to¡n håc tr¶n th¸ giîi nh÷ Ph.Griffiths, H.Weyl, P.Vojta, G.Faltings,

Tr¶n tr÷íng cì sð khæng Acsimet (tr÷íng c¡c sè p-adic), l¦n ¦u ti¶n

Ha Huy Khoai v  My Vinh Quang ¢ x¥y düng t÷ìng tü p-adic cõa

lþ thuy¸t Nevanlinna thæng qua 2 ành lþ ch½nh Nhi·u k¸t qu£ hay v nhúng ph¡t triºn ti¸p theo cõa lþ thuy¸t Nevanlinna p-adic câ thº t¼mth§y trong nhúng cæng tr¼nh [2], [3], [4], [5],

Cho ¸n nay, lþ thuy¸t Nevanlinna-Cartan d÷íng nh÷ ¢ ÷ñc ho nthi»n trong tr÷íng hñp phùc Tuy nhi¶n sü thº hi»n cõa lþ thuy¸t n ytr¶n tr÷íng cì sð khæng Acsimet mîi ch¿ b­t ¦u v  cán l¥u mîi ÷ñc

ho n thi»n N«m 1983, Ha Huy Khoai v  My Vinh Quang ¢ chùng minh

÷ñc c¡c ành lþ ch½nh cõa lþ thuy¸t Nevanlinna p-adic trong tr÷íng hñp

mët chi·u N«m 1993, W.Cherry ¢ x¥y düng mët b£n sao p-adic h¦uh¸t c¡c k¸t qu£ cõa lþ thuy¸t Nevanlinna èi vîi ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh x¡c

ành tr¶n ¾a thõng cõa m°t ph¯ng p-adic Cp º gâp ph¦n l m phongphó th¶m lþ thuy¸t Nevanlinna-Cartan vîi chi·u cao trong tr÷íng hñpp-adic, v o n«m 1995 Ha Huy Khoai v  Mai Van Tu [5] ¢ ph¡t biºu v chùng minh ành lþ Nevanlinna-Cartan p-adic

Theo h÷îng nghi¶n cùu n y, tæi nghi¶n cùu · t i :

ành lþ Nevanlinna-Cartan p-adic v  ¡p döng

Trong luªn v«n n y tæi s³ ph¡t biºu v  chùng minh l¤i ành lþ Cartan p-adic [5] Sau â ch¿ ra mët sè ùng döng quan trång cõa ành lþNevanlinna-Cartan p-adic v o v§n · nghi¶n cùu sü suy bi¸n cõa ÷íngcong ch¿nh h¼nh p-adic M°t kh¡c, ành lþ Mason v  c¡c v§n · li¶nquan (xem [1-2-3]) l  l¾nh vüc nghi¶n cùu sæi ëng v  thíi sü V¼ vªychóng tæi công tr¼nh b y l¤i t÷ìng tü cõa ành lþ Mason cho c¡c h mnguy¶n p-adic ¥y l  mët trong nhúng v§n · mang t½nh thíi sü v c§p thi¸t cõa gi£i t½ch p-adic, ÷ñc nhi·u nh  to¡n håc quan t¥m nghi¶ncùu

Nevanlinna-Ngo i ph¦n mð ¦u v  t i li»u tham kh£o, luªn v«n ÷ñc chia th nh 2ch÷ìng:

Ch÷ìng 1 Tr¼nh b y l¤i mët sè ki¸n thùc v· lþ thuy¸t Nevanlinna cho

h m ph¥n h¼nh p-adic

Ch÷ìng 2 Tr¼nh b y l¤i ành lþ Nevanlinna-Cartan p-adic, ùng döng

ành lþ v o v§n · nghi¶n cùu sü suy bi¸n cõa ÷íng cong ch¿nh h¼nhp-adic v  t÷ìng tü cõa ành lþ Mason cho c¡c h m nguy¶n p-adic

sè t i li»u tham kh£o b¬ng ti¸ng Anh [2], [3-4] li¶n quan ¸n c¡c ki¸nthùc cì b£n n y Tø â c¡c håc vi¶n cao håc, nghi¶n cùu sinh v  nhúngng÷íi quan t¥m nghi¶n cùu, câ thº tham kh£o bê sung v  mð rëng th¶mki¸n thùc v· lþ thuy¸t Nevanlinna p-adic Thæng qua c¡c t i li»u n y,tr¶n cì sð c¡c ki¸n thùc ¢ bi¸t, trong Ch÷ìng 1 tæi xin tr¼nh b y mët

sè ki¸n thùc v· lþ thuy¸t Nevanlinna cho h m ph¥n h¼nh p-adic º dòngcho Ch÷ìng 2

1.1 Mët sè ki¸n thùc cì b£n

1.1.1 Tr÷íng c¡c sè p-adic

Vîi p l  mët sè nguy¶n tè cè ành, Ostrowski ¢ kh¯ng ành:

Ch¿ câ hai c¡ch trang bà chu©n khæng t¦m th÷íng cho tr÷íng húu t¿ Q

Mð rëng theo chu©n thæng th÷íng ta câ tr÷íng sè thüc R, mð rëng theochu©n p-adic ta câ tr÷íng sè Qp

K½ hi»u Cp = Qbp l  bê sung cõa bao âng ¤i sè cõa Qp Ta gåi Cp l 

1.1.2 H m sinh bði chuéi lôy thøa p-adic

H m sinh bði chuéi lôy thøa p-adic l  h m câ d¤ng

m  |anzn| −→ 0 khi n −→ ∞ (v¼ khi â chuéi hëi tö) B¡n k½nh hëi tö

ρ cõa chuéi (1.1) ÷ñc t½nh bði cæng thùc

D¹ th§y, n¸u chuéi P∞

n=0

anzn hëi tö t¤i z ∈ Cp : |z| = r < ρ th¼lim

n→∞|an|rn = 0, k²o theo d¢y {|an|rn} bà ch°n trong R+ Do â, ta

câ c¡c t½nh ch§t sau:

M»nh · 1.1 [1]

Vîi méi h m sinh bði chuéi lôy thøa ta câ:

1 Vîi méi r : 0 < r < ρ, µ(r, f) luæn tçn t¤i húu h¤n

2 H m µ(r, f) li¶n töc theo r

3 Vîi méi r, ch¿ sè trung t¥m ν(r, f) luæn tçn t¤i húu h¤n v  l  mët

sè nguy¶n khæng ¥m Theo ành ngh¾a ta câ

1.1.3 H m ph¥n h¼nh p-adic

Tr÷íng c¡c h m ph¥n thùc cõa c¡c h m trong H(D) k½ hi»u l  M(D).Mët ph¦n tû f ∈ M(D) ÷ñc gåi l  mët h m ph¥n h¼nh tr¶n D N¸u fkhæng câ cüc iºm tr¶n D th¼ ta gåi f l  ch¿nh h¼nh

Vîi ρ > 0, n¸u f ∈ H(Cp(0; ρ)) th¼ ¾a gi£i t½ch lîn nh§t cõa f t¤i méi

iºm a ∈ Cp(0; ρ) ch½nh l  Cp(0; ρ), do â f ∈ A(ρ(Cp) Nh÷ vªy

f : a ∈ Cp −→ N x¡c ành bði

vfd(a) = vf −d(a) Cè ành sè thüc ρ0 vîi 0 < ρ0 ≤ r

Nf<k(a, r), Nl,f<k(a, r), Nf>k(a, r), Nf≥k(a, r), Nl,f≥k(a, r), Nl,f>k(a, r).

Gi£ sû f l  mët h m ph¥n h¼nh tr¶n Cp, khi â tçn t¤i hai h m f2, f1sao cho f1, f2 khæng câ khæng iºm chung v  f = f1

f2 Vîi a ∈ Cp∪ {∞},

ta ành ngh¾a h m ¸m sè khæng iºm nf(a, r) cõa f t¤i a hay cán gåi

h m ¸m sè a - iºm cõa f bði:

Nf(0, r) − Nf(∞, r) = log |f |r− log |am1|

|bm | = log |f |r − log |f

∗( 0)|,

Trong â f∗(0) = am1

bm2 Ta câ

f∗(0) = lim

z−→0zm2 −m 1f (z) ∈ Cp∗.Hìn núa ta câ

mf(∞, r) = max {0, log |f |r} Vîi méi a ∈ Cp, °t

Gi£ sû fi l  h m ph¥n h¼nh khæng çng nh§t 0 tr¶n Cp, i = 1, 2, , k.Khi â vîi méi r > 0, ta câ

Chùng minh Vîi méi k½ hi»u fi = fi1

fi2, trong â fi1, fi2 ∈ A (Cp) Khi

1≤i≤2log|fi|r+ O(1).

f ÷ñc gåi l  si¶u vi»t n¸u lim

r−→∞

Tf(r)log r = ∞

M»nh · 1.5 [1]

Gi£ sû fi l  c¡c h m ph¥n h¼nh khæng çng nh§t 0 tr¶n Cp, i = 1, 2, , k.Khi â vîi méi ρ0 < r, ta câ

Trong lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà, cæng thùc Poisson-Jensen sau ¥y l  k¸tqu£ quan trång

Vîi c¡c k½ hi»u ¢ ÷ñc x¡c ành n y v  chó þ r¬ng sè c¡c ph¦n tû cõa

Γf(T ) l  húu h¤n, chóng ta ph¡t biºu v  chùng minh ành lþ sau ¥y

Do â

Tf(r) − a = M = M6

N¸u Γ 6= ∅ th¼ sè ph¦n tû cõa Γ l  húu h¤n Gi£ sû Γ gçm n ph¦n tû

n+f(t(1)) = 0, Tf(b1) = a

Do â

M = (n−f(t(1)) − n+f(t(1)))(t(1)− t) = Tf(r) − a

Khi â 0 < bn < bn−1 < < b1 < r v  v¼ vªy

T < t(1) < < t(n) p döng gi£ thi¸t quy n¤p ta câ

1log p

Tø (1.4) , (1.5) , (1.6) ta câ

M = Tf(r) − a = M6 + s(T − t(1)) + s(t(1)− T ) = M6

X²t b1 = r

Khi â ta câ 0 < bn < < b2 < b1 = r v  do â

T = t(1) < t(2) < < t(n) p döng gi£ thi¸t quy n¤p ta câ

Khi â f = f1f2 vîi f1 = z`

M = Tf2(r) − a + ` log r = Tf(r) − a = M5.Chùng minh t÷ìng tü nh÷ tr¶n ta nhªn ÷ñc

N¸u f l  mët h m kh¡c h¬ng tr¶n Cp(0, ρ) th¼ vîi måi a ∈ Cp ta câ

mf(a, r) + Nf(a, r) = Tf(r) + O(1)

Chùng minh Ta câ

mf(a, r) + Nf(a, r) = Tf(a, r) = Tf −a(r) − log|f − a|ρ0

Ta l¤i câ

Tf −a(r) ≤ Tf(r) + log+|a|,

Tf(r) ≤ Tf −a(r) + log+|a|

Tø â ta câ k¸t luªn cõa ành lþ

M»nh · sau l  Bê · ¤o h m logarit

M»nh · 1.9 [1]

N¸u f l  h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n Cp(0, ρ) th¼ vîi méi sè nguy¶n

k > 0 ta câ

f(k)f

r

≤ 1

rk,

trong â f(0) = f.

B¥y gií x²t f = g

h ∈ M(ρ(Cp) Khi â

f0f

r

=