Những minh đoạn thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB cố định.. Tìm tập hợp các trung điểm K của đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông khi điểm M chuyển độ
Trang 1Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết:
a An3n2 n 1 là một số nguyên tố
b
4
n 16 C
có giá trị là một số nguyên
c D = n4 + 4n là một số nguyên tố
Bài 2 Cho a + b +c = 0; abc 0
a Chứng minh: a3 + b3 + c3 -3abc =0
b Tính giá trị của biểu thức:
P
Bài 3:
a Giải phương trình:
x a x c x b x c
1
b a b c a b a c
b Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
x2 - y2 + 2x - 4y -10 = 0 Bài 4 Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm của hai đường chéo Qua
O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E; cắt BC tại F
a Chứng minh : SAOD SBOC
b Chứng minh: OE = OF
c Chứng minh: 1 1 2
ABCD EF
d Gọi K là điểm bất kì thuộc OE Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K
và chia đôi diện tích tam giác DEF
Trang 2Câu 1: Xác định hệ số a sao cho:
a) 27x2 + a chia hết cho 3x + 2
b) 3x2 + ax + 27 chia hết cho x + 5 có số dư bằng 2
Câu2: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn abc = 1999
Rút gọn biểu thức:
ab 1999a 1999 bc b 1999ac c 1
Câu 3: Cho abc 0 và a + b+ c 0 giải phương trình:
1
Câu 4: Gọi M là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB Vẽ về một nửa mặt phẳng có
bờ là AB các hình vuông AMCD, BMEF
a Chứng minh AE vuông góc với BC
b Gọi H là giao điểm của AE và BC Chứng minh ba diểm D, H, F thẳng hàng
c Những minh đoạn thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB cố định
d Tìm tập hợp các trung điểm K của đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông khi điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định
Trang 3Câu 1: Xác định hệ số a sao cho:
a) 27x2 + a chia hết cho 3x + 2
b) 3x2 + ax + 27 chia hết cho x + 5 có số dư bằng 2
Câu2: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn abc = 1999
Rút gọn biểu thức:
ab 1999a 1999 bc b 1999ac c 1
Câu 3: Cho abc 0 và a + b+ c 0 giải phương trình:
1
Câu 4: Gọi M là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB Vẽ về một nửa mặt phẳng có
bờ là AB các hình vuông AMCD, BMEF
a Chứng minh AE vuông góc với BC
b Gọi H là giao điểm của AE và BC Chứng minh ba diểm D, H, F thẳng hàng
c Những minh đoạn thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB cố định
d Tìm tập hợp các trung điểm K của đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông khi điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định
Trang 4Câu 1: ( 4 điểm)
Cho biểu thức:
P
ab
a Rút gọn P
b Có giá trị nào của a, b để P = 0?
c Tính giá trị của P biết a, b thỏa mãn điều kiện:
3a2 + 3b2 = 10ab và a > b > 0
Câu 2: ( 3,5 điểm)
Chứng minh rằng:
a (n2 + n -1)2 – 1 chia hết cho 24 với mọi số nguyên n
b Tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9
Câu 3: ( 3 điểm)
Giải phương trình: x4
+ x2 + 6x – 8 = 0
Câu 4: ( 3 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x 2 = y( y +1)(y + 2)(y + 3)
Câu 5: (7,5 điểm)
Cho tam giác ABC, O là giao điểm của các đường trung tực trong tam giác, H
là trực tâm của tam giác Gọi P, R, M theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, AC,
BC Gọi Q là trung điểm đoạn thẳng AH
a Xác định dạng của tứ giác OPQR? Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện
gì để OPQR là hình thoi?
b Chứng minh AQ = OM
c Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh H, G, O thẳng hàng
d Vẽ ra ngoài tam giác ABC các hình vuông ABDE, ACFL Gọi I là trung điểm của EL Nếu diện tích tam giác ABC không đổi và BC cố định thì I di chuyển trên đường nào?
Trang 5Câu 1: Cho a + b = 1 Tính giá trị biểu thức:
M = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2) Câu 2: Chứng minh rằng:
ab+a+1 bc+a+1 ac+c+1 biết abc = 1
2
*
không là phân số tối giản
Câu 3: Cho biểu thức:
P
a Tìm điều kiện để P xác định
b Rút gọn P
c Tính giá trị của P biết a3 - a2 + 2 = 0
Câu 4*: Tìm số tự nhiên n để đa thức:
A(x) = x2n + xn +1 chia hết cho đa thức x2
+ x + 1 Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB Kẻ đường thẳng qua C và vuông góc với AB tại E Gọi M là trung điểm của AD
a Chứng minh: tam giác EMC cân
b Chứng minh: Góc BAD = 2 góc AEM
c Gọi P là một điểm thuộc đoạn thẳng EC Chứng minh tổng khoảng cách từ P đến Me và đến MC không phụ thuộc vào vị trí của P trên EC
Trang 6Câu 1: Cho a + b = 1 Tính giá trị biểu thức:
M = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2) Câu 2: Chứng minh rằng:
ab+a+1 bc+a+1 ac+c+1 biết abc = 1
2
*
không là phân số tối giản
Câu 3: Cho biểu thức:
P
a Tìm điều kiện để P xác định
b Rút gọn P
c Tính giá trị của P biết a3 - a2 + 2 = 0
Câu 4*: Tìm số tự nhiên n để đa thức:
A(x) = x2n + xn +1 chia hết cho đa thức x2
+ x + 1 Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB Kẻ đường thẳng qua C và vuông góc với AB tại E Gọi M là trung điểm của AD
a Chứng minh: tam giác EMC cân
b Chứng minh: Góc BAD = 2 góc AEM
c Gọi P là một điểm thuộc đoạn thẳng EC Chứng minh tổng khoảng cách từ P đến Me và đến MC không phụ thuộc vào vị trí của P trên EC
Trang 7Câu 1:
Cho x =
2 2 2
2
b c a
bc
; y =
2 2
( ) ( )
a b c
b c a
Tính giá trị P = x + y + xy
Câu 2:
Giải phương trình:
a, 1
a b x =
1
a+1
b+1
x (x là ẩn số)
b,
2 2
(b c)(1 a)
x a
2 2
(c a)(1 b)
x b
2 2
(a b)(1 c)
x c
(a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau)
Câu 3:
Xác định các số a, b biết:
3
(3 1)
( 1)
x
x
( 1)
a
x + 2
( 1)
b
x
Câu 4:
Chứng minh phương trình:
2x2 – 4y = 10 không có nghiệm nguyên
Câu 5:
Cho ABC; AB = 3AC
Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C
Trang 8Câu 1:
Cho x =
2 2 2
2
b c a
bc
; y =
2 2
( ) ( )
a b c
b c a
Tính giá trị P = x + y + xy
Câu 2:
Giải phương trình:
a, 1
a b x =
1
a+1
b+1
x (x là ẩn số)
b,
2 2
(b c)(1 a)
x a
2 2
(c a)(1 b)
x b
2 2
(a b)(1 c)
x c
(a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau)
Câu 3:
Xác định các số a, b biết:
3
(3 1)
( 1)
x
x
( 1)
a
x + 2
( 1)
b
x
Câu 4:
Chứng minh phương trình:
2x2 – 4y = 10 không có nghiệm nguyên
Câu 5:
Cho ABC; AB = 3AC
Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C
Trang 9Câu 1:
Phân tích thành nhân tử:
a, a3 + b3 + c3 – 3abc b, (x-y)3 +(y-z)3 + (z-x)3
Câu 2:
Cho A =
2 2 2
(1 )
1
x x
x
:
a, Rút gọn A b, Tìm A khi x= -1
2 c, Tìm x để 2A = 1
Câu 3:
a, Cho x+y+z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x2 + y2 + z2
b, Tìm giá trị lớn nhất của P = 2
( 10)
x
x
Câu 4:
a, Cho a,b,c > 0, CMR: 1 < a
a b +
b
b c +
c
ca< 2
b, Cho x,y 0 CMR:
2 2
x
y +
2 2
y
x x
y +y
x
Câu 5:
Cho ABC đều có độ dài cạnh là a, kéo dài BC một đoạn CM =a
a, Tính số đo các góc ACM
b, CMR: AM AB
c, Kéo dài CA đoạn AN = a, kéo dài AB đoạn BP = a CMR MNP đều