Tổng hợp đề thi thử học sinh giỏi lớp 12 môn toán năm 2013 (Phần 1)

Tại mỗi đỉnh của lục giác có một con chim đậu.. Rồi sau đó, cả sáu con lại đậu xuống cùng một lúc, chúng lại đậu xuống các đỉnh nhưng không nhất thiết đậu xuống vị trí cũ của mình.. Chứn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LAO CAI ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12

Câu 1(3 điểm): Cho trước hằng số a và dãy số thực (xn) được xác định như sau:

Chứng minh dãy (xn) hội tụ

Câu 2 (3 điểm): Giải hệ phương trình:

Câu 4 (3 điểm): Cho hình thang ABCD có đáy AB và CD Gọi E là giao điểm của AC và

BD, gọi F, G lần lượt là trực tâm tam giác AED và tam giác EBC Gọi H là trung điểm

FG Chứng minh EH AB

Câu 5 (2 điểm): Cho một lục giác đều Tại mỗi đỉnh của lục giác có một con chim đậu

Vào cùng một lúc, tất cả sáu con chim đều bay lên khỏi vị trí của mình Rồi sau đó, cả sáu con lại đậu xuống cùng một lúc, chúng lại đậu xuống các đỉnh nhưng không nhất thiết đậu xuống vị trí cũ của mình Chứng minh rằng tồn tại 3 con chim sao cho tam giác tạo bởi các đỉnh mà chúng đậu trước khi bay bằng tam giác mà chúng đậu sau khi bay

Câu 6 (3 điểm): Tìm hàm số f(x) thoả mãn: f x( y)  f x f y( ) ( )  2007x y , x,y   R

Câu 7 (3 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) Tiếp tuyến với (O) tại

A cắt đường thẳng BC tại D Gọi E là tâm đường tròn qua A và tiếp xúc BC tại B, gọi F là tâm đường tròn qua A và tiếp xúc BC tại C Chứng minh D, E, F thẳng hàng

Họ và tên thí sinh:………

Số báo danh:………

Chú ý: -Giám thị không giải thích gì thêm

-Thí sinh không được sử dụng tài liệu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LAO CAI ĐÁP ÁN KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN TOÁN 12

1 sao cho f(x )-f(b) '( )

0.5

0.5

0.25

2 2

2 2

4 -Gọi S, R lần lượt là trực tâm tam giác DEC, ABE

- Rõ ràng E là trực tâm các tam giác SCD, RAB, do đó:

giác có hai đỉnh đối ứng nhau qua O, là hai tam giác bằng nhau (1)

-Xét hai con chim mà trước khi bay lên chúng đậu tại hai đỉnh đối xứng

với nhau qua O Có 2 trường hợp xảy ra:

* Trường hợp 1: Sau khi đậu xuỗng, hai con chim đó lại đậu xuống hai

đỉnh đối xứng với nhau qua O, giả sử là A, B Chọn con chim mà trước

khi bay lên nó đậu tại đỉnh C nào đó (C A C; B, A,B là hai đỉnh lúc

đầu của hai con nói trên), ta sẽ có theo (1), 3 con chim này thoả mãn yêu

cầu

* Trường hợp 2: Sau khi đậu xuống, hai con chim nói trên đậu xuống

hai đỉnh không đối xứng nhau qua O Lúc này chọn con thứ 3 là con

chim mà sau khi đậu xuống, nó đậu tại đỉnh C’ đối xứng với A’ qua

O(hoặc đối xứng với B’ qua O Trong đó A’, B’ là hai đỉnh mà hai con

nói trên đậu xuống) Theo (1), 3 con chim thoả mãn yêu cầu bài toán

x x

7 Gọi M là trung điểm AB

Có

2

c BE

2 2

2

(1)

b CF

2./ Tính S = 12C1n + 22C2n + 32C3n + … + n2Cnn

Bài 2: (4 điểm)

Cho hàm số: y= x

2+mx-8x-m có đồ thị (Cm) với m là tham số

1./ Biện luận số tiệm cận của đồ thị (Cm) theo m

2./ Tìm các điểm trên mặt phẳng toạ độ sao cho không có đồ thị (Cm) nào đi qua

Bài 3: (4 điểm)

Cho phương trình 52(x

2

-2)-5x

2

-1+m = 5x

2

- 5x

2

-2 Với m là tham số

1./ Giải phương trình với m = 1

Bài 5: (6 điểm)

Cho tam giác ABC có AB = 3a, AC = 2a, góc BAC = 60o Qua A dựng đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Trên (d) lấy điểm S khác A Gọi H, K lần lượt là các hình chiếu của A lên các đường thẳng SB, SC

1./ Chứng minh 5 điểm A, B, C, H, K cùng nằm trên một mặt cầu, tính bán kính mặt cầu đó 2./ Chứng minh đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định khi S chạy trên (d) 3./ Biết SA = 2a Tính số đo góc phẳng nhị diện tạo bởi mp (ABC) và mp (AHK)

- Hết -

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12

a- (2 điểm) : Giải phương trình với m = 1

b- (2 điểm) : Tìm m để phương trình có đúng bảy nghiệm  2

3

1(tgA + tgB + tgC) > 

(Trích đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 tỉnh Hải Phòng

2

3 2 3

1

x x xdx

(Trích PP giải toán hàm số của tác giả Lê Hồng Đức)

Bài 8 (2 điểm) : Giải phương trình : 32sinx3  ( 3 sin  10 ) 3sinx2

Sinx = 0

(Trích đề thi học sinh giỏi Toán 12- tỉnh Đồng Nai

- 1996)

Bài 9 (2 điểm) : Cho ABC biết A (2; -1) và hai đường phân giác

trong của góc B và C lần lượt có phương trình là :

dB : x - 2y + 1 = 0

dC : x + y + 3 = 0 Hãy lập phương trình đường thẳng BC./

(Trích đề thi ĐH Thương mại năm

1999)

HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12

Biến đổi phương trình về dạng :

4cos3x - 3cosx - 2cos2x + 1 + mcosx - 1 = 0

 4cos3x - 2cos2x + (m - 3) cosx = 0 (1) 0,5 Đặt t = cosx, xR thì t [-1; 1] (*)

Với m = 1 thay vào (1) ta được :

t (4t2 - 2t - 2) = 0  t = 0; t = -

2

1; t = 1 thoả mãn (*)

1.00 cosx = 0 x =

3

2 

 + k2 (kz) cosx = 1 x = k2

Để phương trình (1) có đúng 7 nghiệm 

(-2



; 2) thì phương trình (4) phải có nghiệm thoả mãn điều kiện sau : -1 < t1 < 0 < t2 < 1

1 tgx - x

x

2 cos 3

x

2 cos

1) - 1 

3

1 tgx - x > 0  x  (0 ;

3

2sinB +

3

1 tgB - B) + (

3

2sinC +

3

1 tgC - C) > 0

) 2 5

1.00

Vậy : A = lim )

1

2 5

x  1 x  1

1

2 5

)(

1 (

4 5

3 2

)(

1 (

) 1 (

3 2

x x

= - 8 3

) 7 )[(

1 (

1

3 2 2

3 2 2

) 7 (

1

3 2 2

3 x2   x  

= 12 1

1 = - 24 11

1

t t

1 ( 2

1

t dt

Đặt t +

2

1

= 2

3tgu  dt =

2

3(1 + tg2u) du

6

2

2

3 1

4

3 4

3

) 1

( 2

tg

du u tg

I = 3 

6

3 6 3

.

1

1 3

1 2

1

x x x x x

 y  55

4

1  y  5

4 5

 Min y = 5

4

5 (0; + )

= 3 - sinx (7) Nhận thấy sinx = 2 là nghiệm của phương trình (7) vì 30

= 3 - 2 (đúng) 0,5 Chứng minh sinx = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình (7) vì :

Vế trái y = 3sinx - 2 là hàm số đồng biến

Vế phải y = 3 - sinx là hàm số nghịch biến

Gọi A1; A2 theo thứ tự là điểm A(2; -1) dB

đối xứng của A qua (dB) và (dC) dC

*Ghi chú : Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho

điểm tối đa

Người lập đáp án

Lê Thị Minh

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12

Bảng B

Bài I

1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

y = x3 -3x +2 (C) 2.Giả sử A,B,C là ba điểm thẳng hàng phân biệt thuộc (C), tiếp tuyến với (C) tại A,B,C tương ứng cắt lại (C) tại A',B',C' Chứng minh rằng

2 2

) ln(





 (đk a # 0)

Bài IV:

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với AB

=AC =a SA=a Cạnh SA vuông góc với đáy, M là một điểm nằm trên cạnh

SB, N nằm trên cạnh SC sao cho MN song song với BC và AN vuông góc với CM

Tìm tỉ số MS/MB

Bài V:

Xét các tam giác ABC Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

F = 5cotg2A +16cotg2B + 27 cotg2C

HƯỚNG DẪN CHẤM Bài (6 đ )

CâuI (3 đ )

1 Tập xác định: R

2 Sự biến thiên:

a y’ = 3x2 -3 = 3(x2-1) => x =-1 hoặc x = 1

(0.25 đ ) y’>0 trên khoảng (-∞; -1) và (1; +∞) y’<0 với x ∈ (-1;1)

(0.5đ) b Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=-1; yCĐ = y(-1) = 4 Hàm số đạt cực tiểu tại x=1; yCĐ = y(1) = 0

(0.5đ) c Giới hạn: 

 y x lim  x 3 (1 - 3/x2 2/x 3 ) lim x = - ∞;

=

+ ∞ lim→ y x =     x (1-3/x 2/x ) 3 2 3 lim x = + ∞

(0.5đ) d Tính lồi lõm và điểm uốn y” = 6x; y”= 0 <=> x = 0 x - ∞ 0 + ∞

y” - 0 +

đồ thị lồi U(0;2) lõm

(0.5đ) e Bảng biến thiên: x - ∞ -1 0 1 + ∞

y’ + 0 - - 0 +

y 4 2 + ∞

- ∞ 0

(0.25đ) 3.Đồ thị: ( Học sinh tự vẽ) Đồ thị: qua A(-2;0) nhận I(0;2) làm tâm đối xứng

CâuII:(3đ)

Giả sử A,B,C là 3 điểm thẳng hàng thuộc đường thẳng d có phương

trình y=ax+b

Gọi x1,, x2, x3 lần lượt là hoành độ các điểm A,B,C thuộc (d) Tiếp tuyến

với đồ thị (C) của hàm số tại A có phương trình y=(3x12

-3,)(x- x1,) + x1,3 -3x1, + 2 (d1) (0.5 đ )

Phương trình hoành độ giao điểm của (d1) và (C) là:

x3 -3x +2 = (3x1

2 -3,)(x- x1,) + x1,

3 -3x1, + 2

<=> (x- x1,)2(x+2x1) = 0

(0.5 đ ) => d1 cắt (C) lần nữa tại A' có hoành độ: x1' = -2 x1 Tương tự B',C' lần lượt có hoành độ x2' = -2 x2, x3' = -2 x3

(0.5 đ ) Vì A,B,C có hoành độ xi thoã mãn phương trình axi + b = xi 3 -3 xi + 2 (i = 1,2,3) mà xi = - xi'/2 =>a(- xi'/2) + b = (- xi'/2)3 -3(- xi'/2) + 2

(0.5đ) => -4a xi' + 8b = -xi3 -12 xi+16 <=> xi'3-3 xi' + 2 = (4a + 9) xi' + 18 - 8b hay ba điểm A',B',C' nằm trên đường thẳng y = (4a + 9) x' + 18 - 8b Bài II (4đ) Câu I: điều kiện x+y ≥ 0 3x +2y ≥ 0 Đặt u = xy  0 => x –y = 2v2 -5u2

(0.5đ) v = 3x 2y  0 Ta có hệ phương trình đã cho  u – v = -1

(0.5đ)

u + 2v2 -5u2 = 0

u = 2

(0.5đ)



v = 3

Vậy x + y = 4 x = 1

3x + 2y = 9  y = 3

(0.5đ)

Thõa mãn điều kiện

Câu II điều kiện x # -1

Ta có bất phương trình <=>ln

2 1

<=>2x2-x +3 < 0 ( bất phương trình vô nghiệm)

Tóm lại bất phương trình đã cho có nghiệm 1/2 < x < 1 (0.5đ)

Bài III (5đ)

CâuI: (2.5đ) Ta có

) 1 (

1 ) 1 (

1 1

2 3

2 2 2

3 5 3

x x

x x x

x x

(

1

1

x x

1

2

2 2

x x

x x

x x

x d x

dx dx

2

1 ln 1 1

) 1 ( 2

2 2

2 2

1

2 2

) ln( t a t dt

1 2 1

1

2 2

2

) ln(

ln

t a

x MB

MS

(1đ)

Bài V:(2đ)

F = 5cotg2A + 16cotg2B + 27 cotg2C

= (3+2)cotg2A +(12+4) cotg2B +(9+18) cotg2C

= (3 cotg2A +12 cotg2B) + (4 cotg2B+9 cotg2C) +(18 cotg2C + 2

cotg2A) (1đ)

≥12(cotgA cotgB + cotgC cotgB + cotgA cotgC) =12

Đẳng thức xảy ra khi cotgA = 1,cotgB = 1/2, cotgC =1/3

(1đ)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12

Bảng B

Bài I

1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

y = x3 -3x +2 (C) 2.Giả sử A,B,C là ba điểm thẳng hàng phân biệt thuộc (C), tiếp tuyến với (C) tại A,B,C tương ứng cắt lại (C) tại A',B',C' Chứng minh rằng

2 2

) ln(





 (đk a # 0)

Bài IV:

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với AB

=AC =a SA=a Cạnh SA vuông góc với đáy, M là một điểm nằm trên cạnh

SB, N nằm trên cạnh SC sao cho MN song song với BC và AN vuông góc với CM

Tìm tỉ số MS/MB

Bài V:

Xét các tam giác ABC Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

F = 5cotg2A +16cotg2B + 27 cotg2C

HƯỚNG DẪN CHẤM Bài (6 đ )

CâuI (3 đ )

Hàm số đạt cực đại tại x=-1; yCĐ = y(-1) = 4

Hàm số đạt cực tiểu tại x=1; yCĐ = y(1) = 0

CâuII:(3đ)

Giả sử A,B,C là 3 điểm thẳng hàng thuộc đường thẳng d có phương

trình y=ax+b

Gọi x1,, x2, x3 lần lượt là hoành độ các điểm A,B,C thuộc (d) Tiếp tuyến

với đồ thị (C) của hàm số tại A có phương trình y=(3x12

-3,)(x- x1,) + x1,3 3x1, + 2 (d1) (0.5 đ )

-Phương trình hoành độ giao điểm của (d1) và (C) là:

x3 -3x +2 = (3x1

2-3,)(x- x1,) + x1,

3 -3x1, + 2

<=> (x- x1,)2(x+2x1) = 0

(0.5 đ )

=> d1 cắt (C) lần nữa tại A' có hoành độ: x1' = -2 x1

Tương tự B',C' lần lượt có hoành độ x2' = -2 x2, x3' = -2 x3

(0.5 đ )

Vì A,B,C có hoành độ xi thoã mãn phương trình

axi + b = xi

3 -3 xi + 2 (i = 1,2,3)

Thõa mãn điều kiện

Câu II điều kiện x # -1

Ta có bất phương trình <=>ln

2 1

<=>2x2-x +3 < 0 ( bất phương trình vô nghiệm)

Tóm lại bất phương trình đã cho có nghiệm 1/2 < x < 1 (0.5đ)

Bài III (5đ)

CâuI: (2.5đ) Ta có

) 1 (

1 ) 1 (

1 1

2 3

2 2 2

3 5 3

x x

x x x

x x

(

1

1

x x

1

2

2 2

x x

x x

x x

x d x

dx dx

2

1 ln 1 1

) 1 ( 2

2 2

2 2

1

2 2

) ln( t a t dt

1 2 1

1

2 2

2

) ln(

ln

t a

x MB

MS

(1đ)

Bài V:(2đ)

F = 5cotg2A + 16cotg2B + 27 cotg2C

= (3+2)cotg2A +(12+4) cotg2B +(9+18) cotg2C

= (3 cotg2A +12 cotg2B) + (4 cotg2B+9 cotg2C) +(18 cotg2C + 2

cotg2A) (1đ)

≥12(cotgA cotgB + cotgC cotgB + cotgA cotgC) =12

Đẳng thức xảy ra khi cotgA = 1,cotgB = 1/2, cotgC =1/3

(1đ)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12

MÔN: TOÁN Thời gian 180 phút Bài 1: (2đ) Cho hàm số: y = x3 - 2 3

2

1 2

1 

Bài 3: (2điểm)

Bài 4: (2 điểm)

Giải bất phương trình

2 3

2 x + x 2  3 4 ( 3x 2 )(x 2 )Bài 5: (2điểm)

sin

cos cos

2 2

2 2







B A

B A

(cotg2A + cotg2 B) Chứng minh rằng ABC cân

Bài 8: ( 2 điểm)

Giải phương trình

x- x2  5 x-1- x2  5

4 - 12 2 + 8 = 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x+y

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1, yct = 0

Giao điểm với trục ox: (1;0) và (-1/2; 0)

Giao điểm với trục oy: (0; 1/2)

3mx2 x m3  (1)

Đường thẳng y = x cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt A,B,C pt (1) có

3 nghiệm phân biệt xA, xB, xC Theo Vi et ta có : xA + xB +xC =

2 3

m (2)

m x mx

m

+ 4

3

m

(0,25)

3 

Đặt x = sin t, t    

2

; 2



dx = cost dt (0,5)

x = 0  t = 0, x=1  t =

2

 

t t

x 1 sin cos

1  2   2 

 I = sin cos  ( 1  cos ) cos 2 (cos ) 

2 0

2 2

2 0

3

t d t t

dt t t

1 cos 5

1 ( ) (cos ).

t d t

Ta có ’ = (m-1)2

– (2m2 – 3m + 1) = - m2 + m (0,25)

PT (1) có nghiệm  ’  0 - m2 + m  0 0  m 1 (0,25)

Vậy 0  m 1 thì pt (1) có nghiệm

b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1)

Theo Vi ét ta có: x1 + x2 = 2(m-1)

x1 x2 = 2m2 – 3m + 1 (0,25)

-1

| = 2 |(m -

4

1)2 -16

9

| (0,25)

Với 0  m 1 thì ( m -

4

1)2  0

 | (m -

4

1

)2 - 16

9 |

16 9(0,25)

Vậy | x1 + x2 + x1 x2 |  2

16

9 = 8 9

Đặt t = 4

2

2 3

BPT 2t2 – 3t + 1  0  0  t 

2

1 hoặc t  1 (0,25)

* Với 0  t 

2

1 thì 4

2

2 3

* Với t  1 thì 4

2

2 3

Vậy tập nghiệm của BPT (1): T =  47 

34

; 3

2

 2 ;  (0,25)

Bài 5: Giải phương trình

k t

t

t t

t

4 2

0

cos

2 sin 2

1 1 0 cos

B A

2 2

2 2

sin sin

cos cos





= 2

1 (cotg2A + cotg2B)



B A

B A

2 2

2 2

sin sin

) sin (sin

1

) 1 sin

1 1 sin

1 ( 2

1 1 sin

sin

2

2 2

2 2

2 2

sin sin 2

sin sin 

(0,25)

 4 sin2 A sin2 B = 2 2 2

) sin

(0,25)

=

1 lim



x

1

2 5

lim 1

)(

1 (

2 5

)(

2 5

( lim ) 4 2 7 )

7 ( )(

1 (

) 4 2 7 )

7 ( )(

2 7 (

2

2 2

1 x 3

3 2

3

3 2 3

x x

x x

x x

x

x x

)(

1 (

) 4 5

( lim ) 4 7 2 ) 7 ( )(

1

(

) 8 7 (

2 2 1

x x

x x

x

(0,25)

1 lim

4 7 2 ) 7 (

1

2 1

(0,5)

12

0 8 6

x

x x

AD AB

AF

(025)

trong tam giác vuông SAF ta có:

36

49 9

10 4

1 1 1

1

2 2

2     

AF SA

AH

(0,25)

Vậy d (AC,SD) = AH =

7 6

2 3

) 3 2

6 3 2

2 2

y x

y x

6 2

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

2 Tìm m để (Cm) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt, mà 2 tiếp tuyến tại

đó vuông góc với nhau

Câu 2: (3 điểm)

1 Giải phương trình sau: x - 22006

+ x - 12006

= 1

2 Giải bất phương trình sau: x log2

2 x - 2x log2 x  - log22 x + 5 log2 x -

2

2 sin

2 Cho Parabol (P): y2 = 8x Tìm quỹ tích tất cả các điểm M sao cho từ

M ta kẻ được hai tiếp tuyến tới (P) vuông góc với nhau

Câu 5: (3 điểm)

Cho lăng trụ tam giác ABC A1B1C1 đứng có tất cả các cạnh bằng a Gọi

M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BB1 và CC1, I là trọng tâm tam giác

ABC Đường thẳng d qua I cắt AB1 và MN lần lượt tại P và Q Tính độ dài

 y’ > 0 <=> x (- ; 0) U (2; + )

y’ < 0  x(0;1) U (1; 2)

Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ; 0) và (2; + )

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0;1) và (1; 2)

( '

0 1

2

1 y x x y x

m x

m m

2 1 2

3 2 0 1 3 1

3

2

2 2

2

2

1 1

3

x log

x x log x x log (*)

: x x

10.5đ

) x cos x (sin dx

x cos x sin

) x cos x (sin

4 2

1 1

2

2,0đ

= - cosx + sinx + C1 -  

 ) x sin(

dx 4 2

) x sin(

) x sin(

dx

4

4 4

2

dx

0.5đ