Kỹ thuật giải nhanh hình phẳng Oxy Đặng Thành Nam (Phiên bản mới nhất)

Trong các bài toán về đường thẳng đi qua điểm song song với đường thẳng cho trước, đường trung bình trong tam giác, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông.. Trong các bài

THEO CẤU TRÚC ĐỀ THI MỚI NHẤT CỦA BỘ GD & ĐT

Dành cho h ọc sinh luyện thi quốc gia

B ồi dưỡng học sinh giỏi 10, 11, 12

Giáo viên gi ảng dạy, dạy thêm và luyện thi quốc gia

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

Chủ đề 2 CÁC BÀI TOÁN VÊ TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG 35

Chủ đề 3 BÀI TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ 47

Chủ đề 4 TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC 67

Chủ đề 5 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH GIẢI TÍCH PHẲNG 83

Chương 2 TAM GIÁC, TỨ GIÁC VÀ ĐA GIÁC Chủ đề 1 NHẬN BIẾT TAM GIÁC, TỨ GIÁC VÀ ĐA GIÁC 106

Chủ đề 2 ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN 113

Chủ đề 3 ĐƯỜNG CAO 128

Chủ đề 4 ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC 143

Chủ đề 5 CÁC ĐIỂM VÀ CÁC ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC 167

Chủ đề 6 HÌNH BÌNH HÀNH 226

Chủ đề 7 HÌNH THANG 239

Chủ đề 8 HÌNH THOI 265

Chủ đề 9 HÌNH CHỮ NHẬT VÀ HÌNH VUÔNG 281

Chủ đề 10 VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH TRONG HÌNH GIẢI TÍCH PHẲNG 365

Chủ đề 11 VẬN DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH TRONG HÌNH GIẢI TÍCH PHẲNG 376

Chủ đề 12 BÀI TOÁN CHỌN LỌC 391

Chương 3 ĐƯỜNG TRÒN Chủ đề 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 449

Chủ đề 2 ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP, ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC, TAM GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN 478

Chủ đề 3 TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG TRÒN 502

Chủ đề 4 TIẾP TUYẾN CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN 530

Chủ đề 5 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG TRÒN 540

Chủ đề 6 BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG TRÒN 586

Chủ đề 7 BÀI TOÁN CHỌN LỌC 601

Chương 4 BA ĐƯỜNG CONIC Chủ đề 1 XÁC ĐỊNH CÁC THUỘC TÍNH CỦA BA ĐƯỜNG CONIC 648

Chủ đề 2 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA BA ĐƯỜNG CONIC 656

Chủ đề 3 VỊ TRÍ CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG VỚI BA ĐƯỜNG CONIC 670

Chủ đề 4 ĐIỂM THUỘC BA ĐƯỜNG CONIC 692

Chủ đề 5 BÀI TOÁN CHỌN LỌC 720

Chương 1 ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG

Chủ đề 1 ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

Mặt phẳng tọa độ Đề-các vuơng gĩc Oxy, hệ trục gồm trục hồnh nằm ngang Ox và trục tung Oy vuơng gĩc

với Ox tại O- được gọi là gốc tọa độ Xét điểm M x; y ( ) khi đĩ OMx; y

Các phép tốn đối với véc tơ:

Cho hai véc tơ

II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1 Định nghĩa véc tơ chỉ phương, véc tơ pháp tuyến của đường thẳng

a) Véc tơ chỉ phương của đường thẳng

Véc tơ u được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d u 0

4

b) Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng

Một véc tơ nđược gọi là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng d n 0

Nhận xét Nếu nlà một véc tơ pháp tuyến(vtpt) của đường thẳng d thì mọi véc

tơ kn, với k 0≠ đều là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng đó

- Nếu đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến n=( )a; b

2 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Đường thẳng trong mặt phẳng có dạng tổng quát:

( 2 2 )

d : a x+by+ =c 0, a +b > 0Trong đó a,b,c là các hệ số thực

 Đường thẳng d đi qua điểm M x ; y( 0 0)⇔ax0+by0+ = c 0

 Véc tơ pháp tuyến vuông góc với d là n=( )a; b

 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt M x ; y , N x ; y( 1 1) ( 2 2)

 Phương trình đường thẳng đi qua đi qua điểm M x ; y( 0 0) và có hệ số góc k là: d : y=k x( −x0)+y0

(áp dụng khi chỉ biết đường thẳng đi qua một điểm và thỏa mãn một điều kiện khác)

 Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M x ; y( 0 0)và có véc tơ pháp tuyến n=( )a; b

d : a x−x +b y−y =0, a +b >0 (có thể sử dụng thay thế cho dạng đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc)

4 Vị trí tương đối của điểm so với đường thẳng

 Nếu thì A, B nằm về hai phía so với d

 Nếu thì A, B nằm về cùng một phía so với d

 Nếu T 0= thì hoặc A hoặc B nằm trên d

5 Kho ảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

- Vận dụng công thức phương trình đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc k

- Vận dụng công thức phương trình đoạn chắn

- Vận dụng công thức phương trình đường thẳng đi qua điểm và có véctơ pháp tuyến n=( )a; b

- Vận dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

- Vận dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng

- Vận dụng công thức phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường

Ví dụ 1 Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm M(−1; 2)và N 3; 6( − )

Đường thẳng đi qua hai điểm M, N xác định bởi:

xác định bởi:

xác định bởi:

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng d (phương trình đoạn chắn) đi qua hai

điểm nằm trên các trục tọa độ A a;0 , B 0; b , ab( ) ( ) ( ≠0)

Đường thẳng d xác định bởi:

a + = b

8

Ví dụ 4 Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A 4;0 , B 0;6 ( ) ( )

Đường thẳng d đi qua hai điểm A 4;0 , B 0;6( ) ( )xác định bởi:

Ví dụ 5 Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau đây:

a) Đi qua điểm M 1; 2 và có h( ) ệ số góc k 3=

b) Đi qua điểm A(−3; 2)và tạo với chiều dương trục hoành một góc 45 0

c) Đi qua điểm B 3; 2 và tạo với trục hoành một góc ( ) 60 0

Giải

a) Đường thẳng đi qua điểm M 1; 2 và có hệ số góc k 3( ) = xác định bởi:

d : y=3 x 1− + ⇔2 d : 3x− − = y 1 0b) Đường thẳng đi qua điểm A(−3; 2)và tạo với chiều dương trục hoành một góc

0

45 nên có hệ số góc k=tan 450= 1 ⇒d : y 1 x= ( + + ⇔3) 2 d : x− + = y 5 0c) Đường thẳng đi qua điểm B 3; 2 và t( ) ạo với trục hoành một góc 60 nên có h0 ệ

Đường thẳng d đi qua điểm M 3; 2 và song song v( ) ới đường thẳng : 3x 4y 12 0

Áp d ụng Trong các bài toán về đường thẳng đi qua điểm song song với đường

thẳng cho trước, đường trung bình trong tam giác, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông

Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M x ; y( 0 0)và vuông góc

d : 5 x 1− +4 y−2 = ⇔0 d : 5 x 4 y 13+ − = 0

Áp d ụng Trong các bài toán về đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với

đường thẳng, đường cao, đường trung trực trong tam giác, hình thoi, hình chữ

nhật, hình vuông, hình thang vuông

D ạng 8: Hình chiếu vuông góc H của điểm M trên đường thẳng d cho trước;

điểm M đối xứng với M qua đường thẳng d 1

- Tọa độ H là giao của đường thẳng đi qua M và vuông góc với d

- Tọa độ điểm M1xác định bởi: M1 H M

Ví dụ 8 Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M 7; 4 ( ) trên đường thẳng

d : 3x+4y 12− =0 Tìm điểm M1đối xứng với M qua d

Đường thẳng ∆ đi qua M và vuông góc với d nhận véc tơ chỉ phương

Áp d ụng Bài toán điểm đối xứng qua đường thẳng, đường phân giác trong tam

giác, bài toán cực trị

D ạng 9: Góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

 Kho ảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khi đó góc α ≤ α ≤(0 900) giữa hai đường thẳng được xác định theo công

Áp d ụng Trong các bài toán tính góc và khoảng cách, đường phân giác

Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(−1; 2) và đường thẳng

d : x−2y 1 0+ = Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a) ∆ vuông góc với d

b) ∆ tạo với d một góc 60 0

c) Khoảng cách từ điểm A 2;1 đến ∆ bằng 1 ( )

Vì vậy ∆ ⊥ ⇔d n 1⊥n2 ⇔k.1+ −( ) ( )1 − = ⇔ = −2 0 k 2

Suy ra ∆: y= −2 x 1( + + ⇔ ∆) 2 : y= −2x

b) ∆ tạo với d một góc 60 0

1 2 0

d) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt d , d lần lượt tại hai điểm 1 2phân biệt A và B sao cho MA 2MB=

Giải

a) Đường thẳng d 1 có véc tơ pháp tuyến n1 1; 2

; đường thẳng d 2 có véc tơ pháp tuyến n2=(2; 1− )

Suy ra n n 1 2=1.2+2.( )− =1 0

vì vậy d1⊥d2 (đpcm) Tọa độ giao điểm I của d và 1 d là nghiệm của hệ phương trình 2

a2

2AB

14

11a

Vậy có hai đường thẳng cần tìm là d :5x 45y 26 0+ + = và d :30x 35y 25 0+ − =

Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng

1

d : x−7y 17+ = và 0 d : x2 + − = y 5 0a) Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d và 1 d 2

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A(0; 1) và tạo với hai đường thẳng

Trường hợp 1: d⊥ ∆ suy ra d nh1 ận véc tơ chỉ phương của ∆1làm véc tơ pháp tuyến nên nd = −( 3;1)

, suy ra d : 3 x− ( −0) (+1 y 1− = ⇔) 0 d : 3x− + − = y 1 0Trường hợp 2: d⊥ ∆ suy ra d nh2 ận véc tơ chỉ phương của ∆2làm véc tơ pháp tuyến nên nd =( )1;3

, suy ra d :1 x( −0) (+3 y 1− = ⇔) 0 d : x 3 y 3+ − = 0

Vậy có hai đường thẳng cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1

Bài 5 Viết phương trình đường thẳng ( )d đi qua điểm M 4;1 cắt các trục tọa ( )

độ lần lượt tại hai điểm A a;0 , B 0; b a, b( ) ( )( >0)sao cho

a) Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất

a) Giả sử (d) cắt các trục tọa độ tại A a;0 , B 0; b , a, b( ) ( ) > 0

Khi đó phương trình của (d) là ( ) x y

Vậy có bốn đường thẳng thỏa mãn điều kiện bài toán như trên

Bài 8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1; –1) và hai đường thẳng

d : x− − =y 1 0, d : 2x+ − = Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng y 5 0trên Viết phương trình đường thẳng d đi qua M , cắt hai đường thẳng trên lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC có BC 3AB=

18

1 1 1

Suy ra BC= ≠3 3AB=3 2(nên loại trường hợp này)

TH2: Đường thẳng d không song song với Oy

Giả sử đường thẳng cần tìm đi qua M có hệ số góc k có phương trình là

d : y=k x 1− − 1Khi đó tọa độ B=d1 là nghiệm của hệ phương trình d

( )

kx

Trường hợp k = 2 ⇒ B(2; 1) ≡ A nên loại trường hợp này

Vậy có hai đường thẳng cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán là

Nhận xét Rõ ràng cách 1 nhanh và hiệu quả nhất nếu sử dụng tính chất hình học

trong quá trình giải toán (xem thêm Chương 2 – Chủ đề 10)

Bài 9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M 0; 2 ( ) và hai đường thẳng 1

d : 3x+ + = y 2 0 và đường thẳng d : x2 −3y+ = G4 0 ọi A là giao điểm của

Nhận thấy hai đường thẳng d , d 1 2

vuông góc với nhau Nên nếu gọi H

là hình chiếu vuông góc của A trên

∆ thì ta có:

C B

Từ đó viết được phương trình đường thẳng ∆ là : x y 2 0∆ + − =

Bài 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 3;1 c( ) ắt trục hoành và trục tung lần lượt tại B,C sao cho

a) Tam giác ABC vuông tại A

b) Tam giác ABC cân tại A

Dựa vào hình vẽ nhận thấy chỉ có hai khả năng

TH1: Đường thẳng d đi qua M và cắt các cạnh AB,AC lần lượt tại B’,C’ và

Do AB, AB' 

cùng chiều nên t 0 ; AC,AC' 

cùng chiều nên u 0

y17

24

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình các cạnh tam giác ABC

biết tọa độ trung điểm các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lần lượt là

Bài 2 (ĐH Quốc Gia) Viết phương trình các cạnh và các đường trung trực của

tam giác ABC biết trung điểm các cạnh BC,CA,ABlần lượt là M(2; 3), N(4;-1), P(-3;5) Xác định tọa độ các đỉnh tam giác ABC và tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC

Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có MN=(2; 4 , NP− ) = −( 7;6 , PM) =(5; 2− )

Phương trình cạnh BC đi qua M 2;3 và nhận ( ) NP= −( 7;6)

làm véc tơ chỉ phương nên có phương trình là BC :x 2 y 3 BC : 6x 7y 33 0

Đường trung trực cạnh AB đi qua P(−3;5)và vuông góc với AB nên có phương trình là d :1 x3 ( + −3) (2 y 5− )= ⇔0 d : x3 −2y 13+ = 0

Tọa độ đỉnh A AB AC=  là nghiệm của hệ phương trình

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là giao điểm của ba đường trung trực,

do đó tọa độ tâm I=d1 là nghiệm của hệ phương trình d2

35x

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là x 2 0;x 3y 13 0− = − + =

Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M 3;0( )và hai đường thẳng

1

d : 2x− − = và y 2 0 d : x2 + + = y 2 0Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt d , d lần lượt tại A và B 1 2sao cho M là trung điểm của AB

Bài 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng d đi qua giao

điểm của hai đường thẳng

1

d : 2x− + = và y 5 0 d : 3x2 +2y− = 3 0Trong các trường hợp sau:

a) Song song với đường thẳng x y 9 0+ + =

b) Vuông góc với đường thẳng 2x 3y 7 0− + =

c) Tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 3

2 OAB

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là

6x+ + =y 3 0;3x+2y− = 3 0

Bài 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng d đối xứng

với đường thẳng d : x1 + − =y 1 0qua đường thẳng d : x2 −3y+ = 3 0

y5

Bài 7 (ĐH Kinh Tế) Viết phương trình các cạnh tam giác ABC biết B(–4;–5) và

hai đường cao có phương trình d : 5x1 +3y− = và 4 0 d : 3x2 +8y 13+ = 0

Hướng dẫn giải – đáp số

Dễ thấy B∉d , B1 ∉ nên gid2 ả sử hai đường cao đó lần lượt là

AH : 5 x 3 y 4+ − =0;CH : 3 x 8 y 13+ + = 0Phương trình cạnh AB đi qua B(− − và vuông góc v4; 5) ới CH nên có phương trình dạng AB:8x 3y c 0− + =

Mặt khác

B − − ∈4; 5 AB⇔8.( 4) 3.( 5)− − − + = ⇔ =c 0 c 17⇒AB : 8 x 3 y 17− + = 0Phương trình cạnh BC đi qua B(− − và vuông góc với AH nên có phương 4; 5)

trình dạng BC :3x 5y c 0− + =

Mặt khác

B − − ∈4; 5 BC⇔3.( 4) 5.( 5)− − − + = ⇔ = − ⇒c 0 c 13 BC : 3x−5y 13− = 0Tọa độ đỉnh A AB AH=  là nghiệm của hệ phương trình

Bài 9 Cho điểm A 2; 2( − )và đường thẳng ( )d đi qua điểm M 3;1 và c( ) ắt các trục

tọa độ tại B,C Viết phương trình đường thẳng (d), biết rằng tam giác ABC cân tại A

Bài 10 Cho 2 đường thẳng ( )d1 : x− + =y 1 0; d( )2 : 2x+ + =y 1 0và điểm M 2;1 ( )

Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng trên

tại A,B sao cho M là trung điểm của AB

t3

Gi ải

Đường thẳng cần tìm đi qua M và vuông góc với đường phân giác của góc tạo

bởi hai đường thẳng

Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng d , d là: 1 2

11b2

Vậy có hai điểm M(−22; 11 ; 2;1− ) ( ) cần tìm

Bài 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x1 +2y− = và 3 0đường thẳng d : 2x2 − − = y 1 0 cắt nhau tại I Viết phương trình đư ờng thẳng

d đi qua O và cắt d , d lần lượt tại A,B sao cho 2IA IB1 2 =

Đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến 1 n (1; 2)1

, gọi n(a;b) là véc tơ pháp tuyến của d

Ta có:

32

1

2 2 1

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là: x 0= và 3x 4y 0− =

Bài 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x1 +2y− = và 3 0

đường thẳng d : x2 +2y− =5 0; điểm A(1;3) Viết phương trình đường thẳng d

đi qua A và cắt d , d l1 2 ần lượt tại B,C sao cho diện tích tam giác OBC bằng 5

4

Giải TH1: Nếu d Ox⊥ ⇒d : x 1 0− =

y2k 1

y2k 1

17

k6

Dạng toán này xem chương 3

Bài 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x1 2y 1 0, đường

thẳng d : 3x2   y 7 0và điểm M 1; 2 Viết phương trình đường thẳng d đi  

qua M và cắt d , d lần lượt tại A và B sao cho AI1 2  2AB(với I là giao điểm của d , d ) 1 2

34

Bài 21 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x1 2y 3 0, đường

thẳng d : x2 2y 5 0và điểm A 1;3 Vi  ết phương trình đường thẳng d đi qua A cắt d , d lần lượt tại B,C sao cho diện tích tam giác OBC bằng 1 2 5

A 1;7 , B 6; 2 , C 2; 4 , D 1;1 Viết phương trình đường thẳng d đi qua C và

chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau

Giải

Theo giả thiết ta có:

SACD3,SABD25SABCD28, BC2 13

Phương trình đường thẳng BC :3x 2y 14 0  

Phương trình đường thẳng AB: x y 8 0  

TH1: Nếu d đi qua C và cắt cạnh AD tại K ta có

ABCD CKD ADC

TH2: Nếu d đi qua C và cắt cạnh AB tại H ta cĩ

d : 22x3y56 0

Chủ đề 2 CÁC BÀI TOÁN VÊ TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG

DẠNG 1: ĐIỂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐIỂM QUA MỘT ĐIỂM, ĐIỂM ĐỐI XỨNG QUA ĐƯỜNG THẲNG

Bài tốn 1 Tìm điểm M đối xứng với M qua điểm 1 I a; b ( )

Ví dụ 1 Tìm điểm M đối xứng với điểm 1 M 3;5( )qua điểm I(−4;1)

Vì I(−4;1) là trung điểm của MM nên 1

Cách 1: Thực hiện theo các bước

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d1đi qua M và vuơng gĩc với d Bước 2: Tọa độ H=d1 là nghiệm của hệ tạo bởi phương trình của d và d d , 1

giải hệ này ta tìm được tọa độ điểm H

Cách 3: Viết phương trình của d dưới dạng tham số 0

, giải phương trình này tìm được t⇒ H

Bài toán 3 Tìm điểm M đối xứng với 1 M x ; y( M M) qua đường thẳng

Giải (I) ta tìm được x suy ra tọa độ điểm H 0

Bước 2: Vì H là trung điểm của MM nên 1 M1 H M

Cách 2: Thực hiện theo các bước

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và vuông góc với d khi

Cách 3: Thực hiện theo các bước

Bước 1: Gọi điểm M1(xM1; yM1) tọa độ trung điểm của MM là 1

Bước 2: Yêu cầu bài toán

  , giải hệ này ta tìm được tọa độ điểm M1

Ví dụ 2 Tìm tọa độ điểm M1đối xứng với điểm M(−1; 4)qua đường thẳng

Vì H 1;1( )là trung điểm của MM1⇒M 3; 21( − )

Cách 2: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d

Vì Hlà trung điểm của MM1⇒M 3; 21( − )

Cách 3: Gọi M1( )x; y là điểm cần tìm khi đó trung điểm I của MM có t1 ọa độ là

Bài toán 1 Viết phương trình đường thẳng d 1 đối xứng với đường thẳng d qua

đường thẳng ∆ cho trước

PHƯƠNG PHÁP

Ta xét hai trường hợp:

TH1: Nếu d∆ =I Thực hiện theo các bước

Bước 1: Xác định tọa độ giao điểm I

38

Bước 2: Lấy một điểm A d∈ từ đó xác định tọa độ điểm A đối xứng với A 1qua ∆

Bước 3: Đường thẳng d1là đường thẳng đi qua hai điểm I và A 1

TH2: Nếu d / /∆ Thực hiện theo các bước

Cách 1: Lấy điểm A d∈ tìm điểm A1đối xứng với A qua ∆

- Viết phương trình đường thẳng đi qua A và song song với d ta được phương 1trình của d 1

Cách 2: Viết lại phương trình của d,∆ dưới dạng

Cách 1: Thực hiện theo các bước

Bước 1: Với điểm M x ; y( 1 1)∈ td ồn tại điểm M1( )x; y ∈ nhd1 ận I a; b làm ( )

trung điểm, ta được 1

Cách 2: Thực hiện theo các bước

Bước 1: Lấy điểm A d∈ , từ đó xác định điểm A1đối xứng với A qua I Bước 2: Vì d / /d nên 1 d : Ax1 +By+ = D 0

Bước 3: Thay tọa độ của A vào 1 d1⇒ , từ đó suy ra phương trình của D d 1

Nh ận xét Tính chất đối xứng được sử dụng khá hiệu quả trong các bài toán khác

liên quan đến tam giác(đường phân giác) và tứ giác(hình bình hành)

a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên d

b) Xác định điểm M' là điểm đối xứng của M qua d

Gi ải

a) Để tìm tọa độ hình chiếu của M lên d ta có hai cách như sau

Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đối xứng 1

với đường thẳng d qua đường thẳng ∆ , biết

y17

Vì AH⊥ ∆ ⇒AH :1 x( −0) (+1 y− = ⇔3) 0 AH : x+ − = y 3 0

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình

3x

y2

 =

+ − =

Đường thẳng d1đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆ chính là đường

thẳng đi qua hai điểm I(− −1; 1 ; A 3;0) 1( )nên có phương trình là

Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình là d : 6x1 −3y+ = 5 0

Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x 2y 2 0− + = và hai điểm A 0;6 , B 2;5 ( ) ( )

a) Tìm điểm M trên d sao cho MA2+MB2 đạt giá trị nhỏ nhất

b) Tìm điểm N trên d sao cho NA NB+ đạt giá trị nhỏ nhất