a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 1.. b Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A− 1 ; 1 và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của C.. Một ngân hàng đề
Trang 1TRƯỜNG THPT VIỆT TRÌ MA TRẬN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015-2016
Mức độ Nhận biết Thông
Ứng dụng của đạo hàm
Câu 1.a 1.0 đ
Câu 1.b Câu 2 2.0đ
3.0
Hàm số mũ, hàm số logarit Câu 3a
0,5 đ
0.5
Phương trình- BPT – HPT đại số
Câu 5 Câu 8 2.0 đ
2.0
Đại số tổ hợp và xác suất-Nhị thức
Niu Tơn
Câu 4.a Câu 4.b 1.0 đ
1.0
Trang 2
TRƯỜNG THPT VIỆT TRÌ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015-2016- LẦN 1
Môn: Toán
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2.0 điểm) Cho hàm số y=x3 − 6x2 + 9x− 2 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(− 1 ; 1) và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C)
Câu 2 (1.0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :y=x4 − 2x2 + 3 trên đoạn [ ]0 ; 4
Câu 3 (1.0 điểm)
a) Cho
2
1
4 cos(
).
cot 1 (
=
b) Giải phương trình: 3 4 − x= 9 5 3 − −x x2
Câu 4 (1.0 điểm)
a)Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển :
14 2
2
+
x
b) Trong bộ môn Toán, thầy giáo có 40 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 15 câu hỏi trung bình, 20 câu hỏi dễ Một ngân hàng đề thi mỗi đề thi có 7 câu hỏi đựơc chọn từ 40 câu hỏi đó Tính xác suất để chọn được đề thi từ ngân hàng đề nói trên nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không
ít hơn 4
Câu 5 (1.0 điểm)
Giải bất phương trình: 9x2 +3+9x−1≥ 9x2 +15
Câu 6 (1.0 điểm).
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C', có đáyABC là tam giác vuông tại A, AB=a,AC=a 3, mặt bên BCC ' B' là hình vuông, M , N lần lượt là trung điểm của CC' và B 'C' Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A ' B' và MN .
Câu 7 (1.0 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn ( )C :x2 + y2 − 3x− 5y+ 6 = 0 Trực tâm của tam giácABC là H( )2 ; 2 và đoạn BC = 5
Tìm tọa độ các điểm A ,,B C biết điểm A có hoành độ dương
Câu 8 (1.0 điểm)
Giải hệ phương trình :
−
− +
=
− + +
= +
− +
− +
−
y x y x y x
y x y
x y x
2 4 4
2
0 6 3 10 2
5
2 3
2 2 3 3
Câu 9 (1.0 điểm)
Cho ba số thực dương a b c, , và thỏa mãn điều kiện a2 +b2 +c2 = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a c
a c c b
c b b a
b a S
2 2
2
3 3 3 3 3 3
+
+ + +
+ + +
+
-Hết -Thí sinh không được dùng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:………SBD:……… …
Môn: Toán
Trang 3Câu Nội dung Điểm
1a
Câu 1 (2.0 điểm) Cho hàm số y=x3 −6x2 +9x−2 (C)
• y’= 3x 2 -12x+9 , y’=0 <=>
−
=
=
⇒
=
=
2
2 3
1
y
y x
x
• - Giới hạn tại vô cực: xlim y ; limx y
BBT
KL: Hàm số đồng biến trên khoảng (− ∞ ; 1) (; 3 ; +∞)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)
Hàm số đạt cực đại tại xcđ =1 , y cđ= 2
Hàm số đạt cực tiểu tại xct =3 , y ct =- 2
0.25
• Đồ thị
f(x)=x*x*x-6*x*x+ 9*x-2
-3 -2 -1
1 2 3 4 5
x
y
0.25
1b
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(− 1 ; 1) và vuông góc với
Đuờng thẳng đi qua 2 c ực trị A(1;2) và B(3;-2) là y=-2x+4 0.5
Ta có pt đt vuông góc với (AB) nên có hệ số góc k= ½ 0.25
Vậy PT đ ư ờng thẳng cần tìm là
2
3 2
1
+
= x
2
Câu 2 (1.0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
3
2 2
4 − +
y’= 0 <=> x=0, x=1 ∈[ ]0 ; 4 x= -1 loại 0.25
x y’
y
∞ +
∞
+
−
∞
−
2
-2
∞+
Trang 4Ta có: f(0) =3 , f(1)=2 , f(4)=227 0.25
Vậy GTLN y = 227 , trên [ ]0 ; 4 khi x=4
3 a) Cho
2
1
4 cos(
).
cot 1 (
=
α
α α
α α
α α
sin
sin 2 1 ) sin (cos
sin
cos
=
thay
2
1
đưa về cùng cơ số 3 khi đó phương trình tđ với x2 + 2x− 3 = 0 0.25
4
a)Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển :
14 2
2
+
x
14 2
2
+
x
x =(x+ 2x− ) =∑C k x14 − 3k 2k
14
14 2
số hạng chứa x5 trong khai triển ứng với k thoả mãn 14 - 3k = 5 => k=3
Hệ số cần tìm là 3 2 3 2912
14 =
C
0.25 0.25
b) Trong môn học Toán, thầy giáo có 40 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu
hỏi khó, 15 câu hỏi trung bình, 20 câu hỏi dễ Một ngân hàng đề thi mỗi đề thi
có 7 câu hỏi đựơc chọn từ 40 câu hỏi đó Tính xác suất để chọn được đề thi từ
ngân hàng đề nói trên nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ)
và số câu hỏi dễ không ít hơn 4
0.5
Không gian mẫu của việc tạo đề thi là : 7 18643560
40 =
=
Gọi A là biến cố chọn đựợc đề thi có đủ 3 loại câu hỏi(khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 4
4433175
.
15
1 5
5 20
2 15
1 5
4 20
1 15
2 5
4
=
0.25
Xác suất cần tìm là ( ) = 3848915
Ω
Ω
A
2
2 + + x− ≥ x +
Nhận xét :
9
1 0
3 9 15 9
1
( 9 2 + 3 − 2)+ 3 ( 3 − 1 ) ≥ 9 2 + 15 − 4
bpt
0.25
4 15 9
1 9 )
1 3 ( 3 2 3 9
1 9
2
2 2
2
≥ + +
−
−
− + + +
−
⇔
x
x x
x
x
0.25
4 15 9
1 2
3 9
1 1
3 1
3
0 3 4 15 9
1 3 2
3 9
1 3 1
3
2 2
2 2
≥
⇔
≥
−
⇒
≥
+
+ +
− + + +
−
≥
+ + +
+
− + +
+
−
x x
x x
x x
x
x x
x x
0.25
Trang 5kết hợp các Đk suy ra nghiệm của BPT là
3
1
≥
6
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C'.Có đáyABClà tam giác vuông tại A,
3
a
AB= = , mặt bên BCC ' B' là hình vuông, M, N lần lượt là trung điểm
của CC’ và B’C’ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B’ và MN
1.0
Ta có BC= BB’=2a
2
1 2
' '
'
V ABC B C = ∆ABC = =
0.25
0.25
gọi P là trung điểm của A’C’ mp(CA’B’) //mp(PMN) nên suy ra khoảng cách
d(A’B’;MN)= d(A’B’;(MNP))= d(A’;(MNP))= d(C’;(MNP))= C’H (H là hình
chiếu vuông góc của C’ lên mp(MNP)
Cm được H thuộc cạnh PM áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông MPC’
0.25
7
21 '
'
' ' '
2 2
a M C P C
P C M C H
+
7
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn ( )C :x2 + y2 − 3x− 5y+ 6 = 0 Trực tâm của tam giácABC là H( )2 ; 2 ,
5
=
1.0
Gọi tâm đường tròn (C) là
2
5
; 2
3
I và A(x;y) suy ra AH( 2 −x; 2 −y) M là trung điểm của BC
Học sinh tính được AH = 5 ⇔ x2 + y2 − 4x− 4y+ 3 = 0 0.25
kết hợp với A thuộc đường tròn (C) nên ta có hệ phương trình 0.25
B
A
C
P B’
M
N
A’
C’
H
Trang 6
= +
−
− +
= +
−
− +
0 6 5 3
0 3 4 4
2
2
2
2
y x y
x
y x y
x
Giải hệ ta được (x;y)=(0;3) (loại);Hoặc(x;y)=(1;4) (Nhận) Suy ra toạ độ của A(1;4) ,chứng minh được AH = 2IM
Từ AH = 2IM ta tính được M(2;3/2) Do (BC ) vuông góc với IM nên ta viết được phương trình (BC): x-2y+1 =0 <=> x= 2y-1 thay vào phương trình đường tròn (C)
=
=
⇒
=
=
⇔
= +
−
⇔
= +
−
−
− +
−
3
1 2
1 0
2 3 0
6 5 ) 1 2 ( 3 1
x
x y
y y
y y
y y
y
Suy ra toạ độ của B(1;1) , C(3;2) hoặc B(3;2) , C(1;1)
Vậy A( 1;4), B(1;1) , C(3;2) hoặc A( 1;4), B(3;2) , C(1;1)
0.25
0.25
8
Câu 8: Giải hệ
−
− +
=
− + +
= +
− +
− +
−
) 2 ( 2 4 4
2
) 1 ( 0 6 3 10 2
5
2 3
2 2 3 3
y x y x y x
y x y x y x
1.0
Điều kiện x ≥ -2; y ≤ 4
y y y x
x x
3 2 )
1 ( 3 1 2 1
3 2 6
10 5
)
1
(
2 3 2
3
2 3 2
3
+ +
= + + + + +
⇔
+ +
= + + +
⇔
Xét hàm số f(t) =t3 + 2t2 + 3t, f' (t) = 3t2 + 4t+ 3 > 0 ∀t∈R
Suy ra f(x+1) = f(y) => y= x+1 thay và pt (2) ta đuợc
Phương trình : x+ 2 + 3 −x = x3 +x2 − 4x− 1
0.25
( )( )
2 3
2 3
3 2
) 2 (
2
) 2 (
2 2
3 2 3
3 2
4 3
2 2
4 1
3 3
2
2 3
2 2
4 4 3
3 2
2 2
2
2 2
3
=
−
− +
− +
− + +
− + +
+ +
−
⇔
−
− +
= +
− + +
− + +
−
− +
⇔
− +
= +
− + +
−
− +
⇔
−
− +
=
−
− + +
⇔
x x x x
x x
x
x x
x x x x
x x
x
x x
x x x
x
x x
x x x x
x
0.25
) 2 (
0
0 2 3
2 3
3 2
2 2
2
2
−
≥
>
=
+
− + +
− + + + +
−
−
⇔
x vi
x x
x x
x x x
−
=
=
⇔
=
−
−
⇔
1
2 0
2
2
x
x x
x
Vậy hệ pt có nghiệm (x; y) = (2;3) , (x;y)= (-1; 0)
0.25
9
Câu 9 : Cho ba số thực dương a b c, , và thỏa mãn điều kiện a2 +b2 +c2 = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
a c
a c c b
c b b a
b a S
2 2
2
3 3 3 3 3 3
+
+ + +
+ + +
+
Trước tiên ta chứng minh BĐT : ( 0 )( )*
18
5 18
7 2
3
>
+
≥ +
+
x x
x
x
0.25
( 1) (11 8) 0
5 7 2 )
1 ( 18
*
2
2 3
≥ +
−
⇔
+ +
≥ +
⇔
x x
x x
x
luôn đúng với mọi x>0, d ấu “=” sảy ra khi x=1 0.25
Áp dụng (*) cho x lần lượt là
a
c c
b b
a
;
;
; 18
5 18
7 2
2 2 3
b
a
b
+
+
; 18
5 18
7 2
2 2 3
c b
c
+
+
; 18
5 18
7 2
2 2 3
a c
a
+ +
0.25
Trang 7Từ các đảng thức trên suy ra ( ) 2
18
a 12
Vậy MinS =2 khi a=b=c=1
0.25