Sáng kiến kinh nghiệm khám phá các bài toán mới bằng tình huống gợi vấn đề

Việc kích thích sự sáng tạo của học sinh không chỉ là dừng ở việc giải các bài toán khó mà còn, đặt ra cho học sinh các tình huống gợi vấn đề, các bài toán được suy từ những bài toán đã

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT HOÀNG MAI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHÁM PHÁ CÁC BÀI TOÁN MỚI

MỤC LỤC Trang

Phần I Đặt vấn đề ……… 1

Phần II Nội dung……… 2

I Những con đường sáng tạo bài toán mới:………… ……… 2

1 Khái niệm về tình huống gợi vấn đề……… 2

2 Các cách tạo tình huống gợi vấn đề:……… 3

II Nội dung cụ thể……… 4

1 Bài toán có nhiều tình huống……… 4

2 Xây dựng bài toán mới từ bài toán ban đầu……… 6

3 Một vài phương án khám phá bài toán trong chương I hình học 11 thông qua việc đặt tình huống gợi vấn đề cho học sinh ……… 17

Phần III Kết luận …… … ……… …… … 22

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… … 24

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Trong quá trình giảng dạy cho các đối tượng học sinh khá giỏi chúng ta luôn tìm cách khai thác tư duy sáng tạo của học sinh thông qua các bài toán từ mức dễ đến khó Việc kích thích sự sáng tạo của học sinh không chỉ là dừng ở việc giải các bài toán khó mà còn, đặt ra cho học sinh các tình huống gợi vấn đề, các bài toán được suy từ những bài toán đã giải quyết, Tuy rằng việc giải các bài toán

đó thậm chí là chưa thể Từ những bài tập trong sách giáo khoa, giáo viên biết kích thích học sinh sáng tạo ra các bài tập khác và học sinh giải quyết được các bài toán

đó thì đó là thành công của người dạy và cả người học

Trong vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm phát hiện, đào tạo những học sinh có năng khiếu toán học và năng lực sáng tạo trong học toán thì yếu tố quan trọng là giáo viên phải tạo được niềm đam mê và phát huy được tính sáng tạo của học sinh

Để đáp ứng những yêu cầu trên trong các tiết dạy bồi dưỡng học sinh giỏi người giáo viên phải tạo được các ví dụ nhằm dẫn đến những tình huống mới, những bài toán mới, phải tạo và kích thích học sinh biết khám phá từ cái ban đầu

để sáng tạo ra những kết quả hay hơn mang tầm cao rộng hơn

Đó chính là lí do tôi chọn đề tài: “ Khám phá các bài toán mới bằng tình huống gợi vấn đề”

Đề tài mà tôi thực hiện có tính mới khác với các bài báo và các nghiên cứu của các đồng nghiệp khi họ thường chọn theo hướng khai thác từ bài toán ban đầu

và áp dụng thêm các kết quả khác để tạo ra bài toán mới, còn đề tài này tôi khai thác bằng các tình huống gợi vấn đề để tạo ra các bài toán mới

Đề tài được bản thân tự nghiên cứu và áp dụng thực nghiệm tại trường THPT Hoàng Mai trong các năm gần đây và có hiệu quả trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi

PHẦN II: NỘI DUNG

Thực trạng hiện nay ở các trường trung học phổ thông không chuyên vấn đề dạy toán cho học sinh đang ở mức độ dạy cho học sinh thi tốt nghiệp và thi đại học Do đó tâm lí của học sinh và cả giáo viên chỉ tập trung dạy và học ở những phần toán phục vụ cho thi tốt nghiệp và đại học, nên việc khai thác thêm nét đẹp của toán học từ đó định hình thêm khả năng sáng tạo cũng như năng lực giải toán

là hạn chế Học sinh chỉ biết làm những dạng toán quen biết, giáo viên cũng chỉ dạy những bài toán có phương pháp giải rõ ràng mà ít khi dạy cho học sinh tự khám phá, tự tìm tòi các bài toán mới hơn từ những bài toán gốc, các phương pháp khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự chưa được chú ý đúng mức

Mặt khác trong vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi của các trường THPT không chuyên hiện nay thường nhồi nhét kiến thức học sinh trong một khoảng thời gian nhất định (cuối lớp 11 đầu lớp 12 để phục vụ cho các kỳ thi chon học sinh giỏi)

mà ít đề cập đến vấn đề phát huy năng lực sáng tạo của học sinh ngay từ ban đầu Trong chương trình đổi mới sách giáo khoa và phương thức giảng dạy hiện nay, học sinh trong việc chủ động trong mọi hoạt động học tập và lĩnh hội tri thức, việc kích thích tính học tập chủ động của học sinh là rất cần thiết trong từng tiết dạy lý thuyết và đặc biệt là tiết luyện tập, ôn tập đòi hỏi người giáo viên luôn luôn sáng tạo trong từng bài dạy từng tiết dạy để tránh việc " thông báo kiến thức", ''chữa bài tâp'' qua đó học sinh thấy hứng thú và chủ động tìm tòi cái mới từ cái đã có

I Những con đường sáng tạo bài toán mới:

1 Khái niệm về tình huống gợi vấn đề

Tình huống gợi vấn đề trong dạy học là một tình huống thõa mãn các điều kiện :

- Tồn tại một vấn đề, tức là khó khăn đối với học sinh

- Gợi nhu cầu nhận thức, tức là học sinh ý thức được khó khăn, nhận thấy có nhu cầu tìm hiểu, giải quyết vấn đề đặt ra

- Khơi dậy niềm tin ở bản thân, tức là khó khăn vừa sức học sinh, khơi dậy cho họ cảm nghĩ rằng tuy chưa có ngay lời giải đáp nhưng vốn kiến thức đã có và tích cực suy nghĩ thì có nhiều hy vọng giải quyết được vấn đề đặt ra

2 Các cách tạo tình huống gợi vấn đề:

Để thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, điểm xuất phát là tạo ra tình huống có vấn đề, tốt nhất là tình huống gây được cảm xúc và làm cho học sinh ngạc nhiên Dưới đây là một số cách thường dùng để tạo ra các tình huống gợi vấn đề nhằm xây dựng các bài toán mới

II Nội dung cụ thể :

1 Bài toán có nhiều tình huống :

Đây là những bài toán có thể từ thực tế , có thể có nhiều tình huống nhằm tạo cho các em những hứng thú tốt trong việc tìm kiến thức và tư duy Giáo viên

sử dụng trong việc khai thác tiếp cận kiến thức bài mới hoặc trong tiết luyện tập Bài toán gốc 1: Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O M là điểm di động trên cung BC chứng minh MB+MC-MA =0 (1)

Cách 1: Bài toán này được đưa vào trong phần luyện tập các phép biến hình lớp

11

Hệ thống câu hỏi tình huống:

 Câu hỏi 1: Để chứng minh đẳng thức

MB+MC-MA=0 ta sẽ chứng minh MA-MB=MC Hãy tìm

MB? Trên hình vẽ hãy xác định hiệu

MA-MB?

 Trả lời: Lấy M’ trên MA để MM’=MB

 Câu hỏi: Để chứng minh (1) ta chỉ cần chứng minh

điều gì?

 Trả lời: Ta cần chứng minh AM’=MC

 Câu hỏi: Để chứng minh đẳng thức đó ta sẽ vận dụng trực tiếp một phép biến hình nào đã được học? ( Tịnh tiến, đối xứng tâm, đối xứng trục, quay,

vị tự)?

 Câu hỏi: Liệu có phép tịnh tiến biến CM thành AM’? vì sao?

 Trả lời: Không xảy ra vì phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Tương tự cho phép vị tự, đối xứng tâm

 Câu hỏi: Dựa vào các tính chất của các phép biến hình thì những phép biến hình nào có thể sử dụng được cho bài toán này?

 Trả lời: Chúng ta chỉ có thể sử dụng được phép quay?

 Câu hỏi: Tại sao ta không thể dùng được phép đối xứng trục?

 Trả lời: Vì lúc đó MM’ và AC ( Hoặc MA và M’C) có chung đường trung trực, điều này là vô lý

 Câu hỏi: Vậy hãy xác định phép quay đó? Để xác định phép quay ta cần xác định yếu tố nào?

 Trả lời: Tâm quay B và góc quay 600

a

O A

M M'

 Câu hỏi: Liệu Q(B, 600) có biến MC thành M’A? hãy chứng minh điều đó? Học sinh xây dựng lại lời giải:

- Dùng phép quay tâm B góc quay 600:

- Khi đó C biến thành A, B biến thành B, M biến thành M’ nằm trên AM, (Vì tam giác BMM’ là đều )

Vậy MC=AM’, BM=M’M ta suy ra điều phải chứng minh

Với hướng giải này chúng ta đã giải quyết một cách trọn vẹn bài toán tuy nhiên đối với học sinh lớp 11 việc tính toán cụ thể các đại lượng hình học phẳng

đã có tương đối đầy đủ phương tiện vì vậy ta sẽ gợi ý cho học sinh bằng cách giải thứ hai

Cách 2: Sử dụng định lý sin

 HD1: Vì (O,R) cố định, tam giác ABC đều ta có thể

tính được các độ dài MA, MB, MC?

 TL1: Các độ dài đó thay đổi nên rất khó tính được

độ dài

 HD2: Nếu đặt MAB a  ,00  a 600 khi đó có thể

tính được các độ dài đó không?

 TL2: Ta tính được: MB2 sinR a , MC2 sin(60R 0 , a)

0

2 sin(60 )

MA R  a

 HD3: Vậy ta cần chứng minh điều gì nữa?

 TL3: sin(600 a) 12sina 23cosa

có kết quả tốt

a O A

M

2 Xây dựng bài toán mới từ bài toán ban đầu

Phần này tôi xin giới thiệu một số tình huống gợi vấn đề để tạo ra một số bài toán mới từ bài toán ban đầu, với cách làm này việc học luyện tập và ôn tập giúp học sinh luôn thấy hứng thú tránh cho giáo viên việc dạy các tiết này chỉ là tiết chữa bài tập , học sinh thấy được sự đa dạng trong toán học

2.1 Lập bài toán tương tự bài toán ban đầu

Cơ sở: Tương tự :

- Có đường lối giải quyết giống nhau , phương pháp giống nhau

- Có những nét giống nhau trong nội dung

- Cùng đề cập đến một vấn đề

Từ việc đối chiếu so sánh các đối tượng có thể đưa ra các giả thuyết tương

tự và loại trừ

Chúng ta bắt đầu từ bài toán 1

Bài toán ban đầu: Cho tam giác đều ABC nội tiếp

trong đường tròn tâm O M là điểm di động trên

cung nhỏ BC chứng minh MB+MC-MA =0

Đặt AOM1 2a và M chạy trên cung nhỏ A A1 2 1 n  Ta có

Bài toán hình học bây giờ thực chất là bài toán biến đổi biểu thức lượng giác

a n

Suy ra điều phải chứng minh

Vậy ta có bài toán:

đề chứng minh đẳng thức lượng giác trên cũng phải trải qua kinh nghiệm giải toán lượng giác khi tính các tổng hữu hạn của dãy số

a 2a

+ Ta xét bài toán với n=2:

Cho AB là đường kính của (O) M di động trên 1 nủa đường tròn Liệu kết quả tương tự có xảy ra hay đẳng thức MA=MB có tồn tại?

Rõ ràng ta thấy khi M di chuyển thì đẳng thức MA=MB không đúng

Với định hướng đặt góc như trên ta có  2MOB a MA R2 sina MB R2 cosa

hay MA tan a MB cos(cos2aa).MB

Ta xét trường hợp với n=4 ta hãy tìm một đẳng thức tương tự:

Khi M chạy trên cung nhỏ AD

Vậy ta có bài toán:

Bài toán 1.3 Cho hình vuông ABCD nội tiếp (O,R),

M chạy trên cung nhỏ AD

Ta dự đoán MA MA1 3  MA2 1n  k MA MA  2  4   MA2n từ hai bài

toán đặc biệt trên với n=2, 4 ta dự đoán

(2 1)

n n

Cho đa giác đều 2n-cạnh A A A1 2 2n nội tiếp trong đường tròn (O,R)

M di dộng trên cung nhỏ A A 1 2n đặt 2a MOA1 ta có

2.3 Khái quát hóa bài toán:

Từ bài toán khái quát hóa này này chúng ta có thể đặt ra các giả thuyết: liệu

có thể xảy ra điều này với các bài toán tương tự cho đa giác đều hay không hay nói cách khác các bài toán 1.1, 1.4 có thể có bài toán khái quát hóa hay không? Vấn đề đặt ra này bản thân tôi và học sinh đang tìm hướng giải quyết

2.4 Lập bài toán đảo:

*Tình huống gợi vấn đề 7:

Từ bài toán 1 và kết quả của bài toán khái quát ta có thể lập bài toán đảo của nó:

Bài toán 1.6: Cho tam giác đều ABC M là điểm di động trong góc A thõa mãn

MB MC MA  Chứng minh M nằm trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Từ bài toán đảo này chúng ta có thể đặt ra các giả thuyết: liệu có thể xảy ra điều này với các bài toán tương tự cho đa giác đều hay không hay nói cách khác các bài

A

D

M

2.5 Thay đổi một số yếu tố của bài toán ban đầu :

Khi thay đổi một số yếu tố của bài toán đã cho thì chắc chăn sẽ bài toán sẽ thay đổi Nhưng mục đích để làm gì ? Các bạn có thể trả lời ngay câu hỏi này , học sinh sẽ thấy dễ đi có thể làm được bài toán ban đầu , hoặc khó đi tổng hợp hơn, rộng hơn

*Tình huống gợi vấn đề 8:

Chúng ta hãy nhìn bài toán 1 với cách phát biểu khác:

Bài toán 1’: Trong mặt phẳng cho các tia phân biệt Mx, My, Mz biết

cos

an

*Tình huống gợi vấn đề 9:

Với cách xây dựng như vậy liệu chúng ta có thể xây dựng bài toán trên trong không gian được hay không?

Bài toán 1.7: Trong không gian cho hình chóp đa giác đều S A A A 1 2 2n

một mặt cầu đí qua đỉnh S cắt các tia SA SA1, 2, , SA2n lần lượt tại

   ta có điều phải chứng minh

Nhận xét: Trên đây là một số hướng khai thác thêm các bài toán từ một bài toán gốc ban đầu Quá trình tìm tòi lời giải bài toán 1 tạo cho ta phương án xây dựng bài toán mới tổng quát hơn và có cùng phương án giải tương tự nhau… Nếu người giáo viên biết khơi dậy niềm đam mê tìm tòi và sáng tạo của học sinh thì kết quả dạy học sẽ ngày càng được nâng cao hơn, kích thích tính tự học, tự nghiên cứu của học sinh

Chúng ta tiếp tục khai thác thêm một bài toán gốc khác bằng các phương

án như trên

Bài toán gốc 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O M là điểm di động trên đường tròn chứng minh S MA MB MC 2 2 2 không đổi HD: Đây là bài toán cơ bản trong sách bài tập hình học 10 chúng ta có thể hướng dẫn học sinh giải quyết bằng công cụ vectơ một cách đơn giản, hoặc yêu cầu học sinh làm theo phương án đặt góc như bài toán 1 ta sẽ có kết quả

2

S MA MB MC    R

Từ bài toán này chúng ta có thể khai thác các bài toán khác theo 2 hướng

- Hướng 1: Tổng quát theo số đỉnh của đa giác đều

- Hướng 2: Tổng quát theo số mũ

Bài toán 2.1: Cho đa giác đều n-cạnh A A A1 2 n nội tiếp trong đường tròn  O R ;

và 1 điểm M di động trên đường tròn này Chứng minh   2

2

1

n i i



 không đổi ( Bài toán trong sách bài tập Hình học nâng cao 11)

Bài toán này dễ dàng giải quyết bằng phương pháp vectơ hoặc chúng ta có thể áp dụng cách đặt góc như các bài trên là có thể giải quyết được Sau đó chúng

ta có thể hướng dẫn học sinh khám phá một kết quả tương tự bằng một bài toán tổng quát theo số mũ

Bài toán 3: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn  O R; và điểm M di động trên đường tròn này Tìm các giá trị tự nhiên của k sao cho tổng

Với k  3 việc tính tổng S Mk  trở nên khá phức tạp, nhất là với k lẻ thì ta

không còn dùng được công cụ vectơ để tính tổng này Còn với k chẵn thì khi k=4

Không mất tính tổng quát ta có thể cho R=1 Khi đó

Tìm các giá trị của k sao cho tổng

' sin sin sin

Để cho tiện tôi cũng ký hiệu S 'k là S k Ta nhận thấy

sin 3 sin 3ti 3sinti 4sin ti

Suy ra 3 số xi sintiđều là nghiệm của phương trình 4x3 3 sin3x  0

Từ đây ta có thể tính được mọi tổng: T x x xk   1k 2k 3k

Nhờ vào công thức truy hồi 4Tk 3Tk  2sin3 Tk  3

Bài toán 3.1: Cho hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn (O,R) và điểm M di động trên đường tròn này Tìm các giá trị tự nhiên của k sao cho tổng

k

S M MA MB MC MD   không phụ thuộc vị trí của M

Với hướng giải tương tự ta

Tìm các giá trị của k sao cho tổng

Đến đây phương án giải quyết là tương tự bài trên

Đến đây việc tổng quát cho bài toán n-giác đều là có hy vọng giải quyết, tác giả đang xây dựng cách giải nhưng vẫn chưa có kết quả tốt

3 Một vài phương án khám phá bài toán trong chương I hình học 11 thông qua việc đặt tình huống gợi vấn đề cho học sinh

Thực tế giảng dạy ở trường Trung học phổ thông chúng tôi đã thực hiện trong phần dạy học phép biến hình 11 chúng tôi luyện tập cho các em một số bài toán nổi tiếng của các nhà toán học và từ đó đặt ra những bài toán mở rộng theo các hướng trong mặt phẳng và trong không gian để học sinh nghiên cứu và giải quyết:

a Dạy tiết luyện tập phép vị tự:

Bài toán 4: Bài toán về đường thẳng và đường tròn Ơle

Cho tam giác ABC G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

a) Chứng minh G, H, O nằm trên một đường thẳng ( Đường thẳng Ơle)

b) Chứng minh trung điểm 3 cạnh M,N,P, chân 3 đường cao A’, B’ , C’, trung điểm 3 đoạn thẳng nối trực tâm với 3 đỉnh E, P, F là 9 điểm cùng năm trên một đường tròn (Đường tròn Ơle)

Đây là một bài toán được giới thiệu trong sách

bài tập 11 Bài toán này có nhiều cách giải bằng

phép biến hình Trong các tiết luyện tập về Phép

tịnh tiến, phép đối xứng tâm, trục, phép vị tự

chúng tôi yêu cầu học sinh sử dụng các phép

biến hình này để giải quyết bài toán

*Tình huống gợi vấn đề: Chúng tôi

thường đặt ra câu hỏi sau khi giải quyết xong một

bài toán: Liệu có thể mở rộng hay tổng quát được bài toán hay không? Bài toán trên được giải trong mặt phẳng vậy liệu nó còn đúng trong không gian, tam giác có đường thẳng Ơle, đường tròn Ơle thì liệu tứ diện nào có kết quả như vậy và các kết quả đó còn mang tên Ơle hay mang tên ai khác? Và chúng tôi đề xuất bài toán trong không gian đối với tứ diện trực tâm ABCD cho các em tự nghiên cứu

Bài toán 4.1 Cho tứ diện trực tâm ABCD với H là trực tâm, G, O là trọng tâm , tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

a) Chứng minh H, G, O thẳng hàng và G là trung điểm HO

b) Chắng minh rằng: Các trực tâm, trọng tâm của các mặt, điểm chia trong các đoạn thẳng HA, HB, HC, HD theo tỉ số 1:2 nằm trên cùng một mặt cầu

I

Q F

E C'

N P

G M

H 1

H 2

H B'A' O

A

H 3