TOÁN bồi DƯỠNG kĩ NĂNG CHỨNG MINH về NHÂN, CHIA đa THỨC

Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.. Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in cùng nhau.. Chứng minh giá

Trang 1

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH

Trang 2

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn sách này là phiên bản in của sách điện tử tại http://tilado.edu.vn

Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado® Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:

1. Vào trang http://tilado.edu.vn

2. Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng ký

3. Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc

4. Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất

5. Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào

Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới

Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm

để tiện truy cập

Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®

Tilado®

Trang 3

BÀI TẬP

1. Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x

a. A = − 3x(x − 5) + 3 x2 − 4x − 3x + 10

b. B = 4x x2 − 7x + 2 − 4 x3 − 7x2 + 2x − 5

Xem lời giải tại:

http://tilado.edu.vn/662/81162

2. Chứng minh giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến

a. A = x(2x + 1) − x2(x + 2) + x3 − x + 3

b. B = 4(6 − x) + x2(2 + 3x) − x(5x − 4) + 3x2(1 − x)

3. Chứng minh rằng biểu thức n(2n − 3) − 2n(n + 1) luôn chia hết cho 5 với

n ∈ Z .

4. Cho a, b là các số nguyên. CMR

a. Nếu 2a + b ⋮ 13 ; 5a − 4b ⋮ 13 thì a − 6b ⋮ 13

b. Nếu 100a + 4b ⋮ 7 thì 4a + b ⋮ 7

5. Chứng minh:

a. (x − 1)(x2 + x + 1) = x3 − 1

b. (x3 + x2y + xy2 + y3)(x − y) = x4 − y4

Trang 4

6. Cho a và b là hai số tự nhiên. Biết a chia cho 3 dư 1; b chia cho 3 dư 2. Chứng minh rằng ab chia cho 3 dư 2

7. Chứng minh rằng biểu thức (n − 1)(3 − 2n) − n(n + 5) ⋮ 3 ∀n

8. Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào x

a. A = 5x2 − (2x + 1)(x − 2) − x(3x + 3) + 7

b. B = (3x − 1)(2x + 3) − (x − 5)(6x − 1) − 38x

c. C = (5x − 2)(x + 1) − (x − 3)(5x + 1) − 17(x − 2)

d. D = − 3(x − 4)(x − 2) + x(3x − 18) − 25

9. Chứng minh đa thức sau vô nghiệm:

a. f(x) = (x − 1)(x + 2) − (x − 3)

b. g(x) = (3 − x)(4 + x) − (13 − x)

10. Cho biểu thức: B = (x2 + 1)(y2 + 1) − (x + 4)(x − 4) − (y − 5)(y + 5)

Chứng minh B ≥ 42 ∀x, y. Với giá trị nào của x; y thì B = 42.

11. Chứng minh rằng:

a. Nếu x; y ∈ N thì: A = (2x2 + x)(2y2 − y) − xy(4xy − 1) ⋮ 2

Trang 5

b. Nếu x; y ∈ N và x + y ⋮ 13 thì: B = x n (x + 1) + x n (y − 1) ⋮ 13

12. Chứng minh rằng nếu x; y ∈ Z thì:

M = (xy − 1)(x2015 + y2015) − (xy + 1)(x2015− y2015) ⋮ 2

13. CMR các bất đẳng thức sau thỏa mãn với mọi x, y:

a. A = x2 + xy + y2 + 1 > 0

b. B = x2 + 5y2 + 2x − 4xy − 10y + 14 > 0

c. C = 5x2 + 10y2 − 6xy − 4x − 2y + 3 > 0

14. Xét biểu thức f(x) = (2x − 5)2 − 4(2x − 5) + 5

a. Chứng minh f(x) ≥ 1 với mọi giá trị của x.

b. Với giá trị nào của x thì f(x) đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó

15. Cho x2 − y2 − z2 = 0 . Chứng minh rằng

(5x − 3y + 4z)(5x − 3y − 4z) = (3x − 5y)2

16. Cho a2 + b2 + c2 + 3 = 2(a + b + c) . Chứng minh rằng a = b = c = 1.

Trang 6

a. n2(n + 1) + 2n(n + 1) ⋮ 6 ∀n ∈ Z.

b. 55n + 1 − 55n ⋮ 54 ∀n ∈ N.

a. 719 + 720 + 721 ⋮ 57

b. 2102.850 − 3277 ⋮ 31

19. Chứng minh rằng: a = b = c biết a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca

20. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì

a. (n + 3)2 − (n − 1)2 chia hết cho 8

b. (n + 6)2 − (n − 6)2 chia hết cho 24

21. Cho a2 + b2 = 1; c2 + d2 = 1; ac + bd = 0 . Chứng minh rằng ab + cd = 0.

22. Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên lẻ thì: A = n3 + 3n2 − n − 3 ⋮ 8

a. a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca)

Trang 7

a. 29 − 1 ⋮ 73 b. 56 − 104 ⋮ 9

b. (a + b + c)3 − a3 − b3 − c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)

25. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì A = (2n − 1)3 − (2n − 1) luôn chia

hết cho 24

26. Chứng minh rằng giá trị mỗi biểu thức sau luôn luôn không âm với mọi giá trị của biến

a. A = (x − y)2 z2 − 2z + 1 − 2(z − 1)(x − y)2 + (x − y)2

b. B = x2 + y2 z2 − 4z + 4 − 2(z − 2) x2 + y2 + x2 + y2

27. Chứng minh rằng với mọi số nguyên m thì

a. m3 − m ⋮ 6

b. m3 + 5m và m3 − 19m cũng luôn chia hết cho 6.

28. Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a = b = c hoặc a + b + c = 0.

Trang 8

29. Chứng minh giá trị của mỗi đa thức sau luôn không âm với mọi giá trị của các biến

a. A = (x − y)2(z2 − 2z + 1) − 2(z − 1)(x − y)2 + (x − y)2

b. B = (x2 + y2)(z2 − 4z + 4) − 2(z − 2)(x2 + y2) + x2 + y2

30. Chứng minh rằng các biểu thức sau là bình phương của một số nguyên với

n ∈ Z.

a. A = (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) + 1

b. B = n4 − 4n3 − 2n2 + 12n + 9

31. Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd với a, b, c, d là các số dương

thì a = b = c = d

32. Chứng tỏ rằng đa thức A = x2 + 1 4 + 9 x2 + 1 3 + 21 x2 + 1 2 − x2 − 31 luôn luôn không âm với mọi giá trị của biến x

33. Cho x, y, z là các số tự nhiên. Chứng minh rằng

B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là một số chính phương

Trang 9

a. 251 − 1 ⋮ 7 b. 270 + 370 ⋮ 13

34. Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng biểu thức

M = (a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4) + 1 là bình phương của một số nguyên

35. Cho x là số nguyên. Chứng minh rằng B = x4 − 4x3 − 2x2 + 12x + 9 là bình

phương của một số nguyên

36. Cho đa thức f(x) = 3x3 − 7x2 + 4x − 4

a. Chứng minh rằng f(x) ⋮ x − 2

b. Tìm thương trong phép chia đa thức f(x) cho x − 2 từ đó phân tích f(x)ra thừa

số

37. Chứng minh đa thức f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 chia hết cho đa thức g(x) = x2 + 8x + 10

38. Cho x; y; z ∈ Z∗, biết a = x2 − xy; b = y2 − xz; c = z2 − xy.

Chứng minh rằng: ax + by + cz ⋮ a + b + c

39. Chứng minh rằng

Trang 10

a. 1719 + 1917 ⋮ 18 b. 24n − 1 ⋮ 15 , n ∈ N

a. Tích của hai số tự nhiên chẵn liên tiếp chia hết cho 8

b. Tích ba số tự nhiên chẵn liên tiếp chia hết cho 48

42. Chứng minh rằng với a ∈ Z

a. Nếu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 với x; y ≠ 0 thì a

x =

b y

b. Nếu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 với x; y; z ≠ 0 thì a

x =

b

y =

c z Xem lời giải tại:

44. Chứng minh rằng n6 + n4 − 2n2 chia hết cho 72

45. Chứng minh rằng: Nếu x4 + y4 + z4 + t4 = 4xyzt và x , y, z, t là các số dương

thì x = y = z = t

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	434,2 KB