Chương 5 CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN

Trong chương này, những khái niệm cơ bản về biến đổi Laplace được diễn giải để người đọc không chuyên ngành điều khiển có thể hiểu được.. Hàm truyền Hàm truyền transfer function của hệ

Chương 5

CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN

1 Biến đổi Laplace

Biến đổi Laplace (Laplace transform) là một nội dung nền tảng trong điều khiển Trong

chương này, những khái niệm cơ bản về biến đổi Laplace được diễn giải để người đọc không chuyên ngành điều khiển có thể hiểu được Đây là những kiến thức cần thiết để chúng ta có thể tiếp tục nghiên cứu những nội dung về kỹ thuật điều khiển

Biến đổi hàm số là làm cho hàm số chuyển từ dạng này sang dạng khác Ví dụ, thực

hiện phép biến đổi hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥2 bằng cách nhân hàm số này cho 2, ta được hàm số 𝑔(𝑥) = 2𝑥2 Ta có thể lập bảng giá trị như sau:

Bảng 1: Mô tả giá trị hàm số

Ta có thể biến đổi hàm số g(x) thành f(x) bằng cách chia g(x) cho 2 Đây gọi là phép

biến đổi ngược

Đạo hàm cũng là một phép biến đổi, ví dụ,

ℎ(𝑥) = 𝑑𝑓(𝑥)

𝑑

𝑑𝑥𝑥

2 = 2𝑥

Tích phân là phép biến đổi ngược của đạo hàm,

∫ ℎ(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2+ 𝑐

Cho c = 0, đây chính là hàm f(x)

Phép biến đổi Laplace là phép biến đổi tích phân đặc biệt, được định nghĩa như sau:

Trong đó t là biến thời gian Kết quả phép biến đổi này là một hàm theo s Chúng ta thường dùng chữ in hoa để ký hiệu hàm theo s của kết quả phép biến đổi Laplace Ví dụ,

F(s) = {f(t)}

Ví dụ 1:

Tính {𝑒−3𝑡}

Giải:

Theo định nghĩa biến đổi Laplace, ta có:

MATLAB 1. Tập câu lệnh sau được dùng để tìm đáp án trong Ví dụ 1

syms t

f=exp(-3*t)

laplace(f)

Kết quả:

ans =

1/(s + 3)

Thực hiện tương tự phép tích phân, ta có thể thu được bảng biến đổi Laplace một số hàm

cơ bản như sau:

Bảng 2: Biến đổi Laplace một số hàm cơ bản

Nếu F(s) là biến đổi Laplace của hàm f(t)} thì f(t)} chính là biến đổi Laplace ngược của

hàm F(s), ta có thể viết f(t)}= -1 {F(s)} Bảng biến đổi Laplace ngược một số hàm cơ

bản được cho như sau:

Bảng 2: Biến đổi Laplace ngược một số hàm cơ bản

Ví dụ 2:

Tính:

Giải:

Tồn tại giá trị hằng số A, B sao cho:

5𝑠 + 9

(𝑠 − 1)(𝑠 + 4) =

𝐴 (𝑠 − 1)+

𝐵 (𝑠 + 4)=

𝐴(𝑠 + 4) + 𝐵(𝑠 − 1) (𝑠 − 1)(𝑠 + 4) =

(𝐴 + 𝐵)𝑠 + 4𝐴 − 𝐵 (𝑠 − 1)(𝑠 + 4)

Đồng nhất tử số ta có: A + B = 5; 4A – B = 9 Giải ra ta được:

𝐴 =14

5 ; 𝐵 =

11 5 Biểu thức ban đầu được phân tích thành:

5𝑠 + 9 (𝑠 − 1)(𝑠 + 4)=

14 5(𝑠 − 1)+

11 5(𝑠 + 4)

Vì vậy:

=14

5 𝑒

𝑡 +11

5 𝑒

−4𝑡

MATLAB 2 Tập câu lệnh sau được dùng để tìm đáp án trong Ví dụ 2

syms s

F=(5*s+9)/((s-1)*(s+4))

ilaplace(F)

Kết quả:

ans =

(11*exp(-4*t))/5 + (14*exp(t))/5

Trong kỹ thuật điều khiển, chúng ta thường biến đổi Laplace phương trình vi phân biểu

diễn đặc tính động học và động lực học của một hệ thống Biểu thức biến đổi Laplace của đạo hàm bậc 1 và bậc 2 được cho như sau:

{𝑓′(𝑡)} = 𝑠𝐹(𝑠) − 𝑓(0)

{𝑓′′(𝑡)} = 𝑠2𝐹(𝑠) − 𝑠𝑓(0) − 𝑓′(0)

Để chứng minh kết quả trên, người đọc có thể xem tài liệu tham khảo [1] Trong biểu

thức này, F(s) = {f(t)} f(0) và f ’ (0) là các điều kiện ban đầu, là giá trị của hàm f(t)

và đạo hàm của hàm f(t) tại thời điểm t = 0

2 Hàm truyền

Hàm truyền (transfer function) của hệ thống được định nghĩa là tỉ số biến đổi Laplace

biến đầu ra và biến đổi Lablace biến đầu vào với tất cả điều kiện ban đầu được giả định bằng không

Để làm rõ hơn về khái niệm này, chúng ta hãy đi thiết lập hàm truyền của hệ gồm vật

nặng, lò xo và giảm chấn cho như hình vẽ Vật chịu tác động của lực F(t) thay đổi theo thời gian, chuyển động theo hướng trục x

Hình 1: Hệ thống vật nặng – lò xo – giảm chấn

Ta có thể vẽ sơ đồ vật thể tự do như hình bên dưới Lực lò xo tỉ lệ thuận với khoảng

cách dịch chuyển của vật, x và lực giảm chấn nhớt tỉ lệ thuận với vận tốc của vật, 𝑣 = 𝑥̇

Cả hai lực này trái chiều chuyển động vì vậy được đặt theo hướng chiều âm của trục x

Hình 2: Sơ đồ vật thể tự do

Ứng dụng Định luật II Newton, ta có:

𝐹(𝑡) − 𝑘𝑥 − 𝑏𝑥̇ = 𝑚𝑥̈

Đây là phương trình chủ đạo (governing equation) của hệ, đặc trưng cho động lực của

hệ Giải phương trình vi phân này sẽ giúp chúng ta phân tích tính chất hoạt động của hệ

dưới tác động của lực F(t) Trong phương trình này, F(t) là lực tác động bên ngoài, được xem là đầu vào x(t) là dịch chuyển của vật, kết quả của tác động F(t), được xem là đầu

ra

Biến đổi Laplace hai vế của phương trình, ta được:

𝐹(𝑠) − 𝑘𝑋(𝑠) − 𝑏(𝑠𝑋(𝑠) − 𝑥(0)) = 𝑚(𝑠2𝑋(𝑠) − 𝑠𝑥(0) − 𝑥̇(0))

Giả định rằng, tại thời điểm ban đầu t = 0, vật đang ở vị trí cân bằng x(0) = 0 và đứng

yên 𝑥̇(0) = 0, ta thu được:

𝐹(𝑠) − 𝑘𝑋(𝑠) − 𝑏𝑠𝑋(𝑠) = 𝑚𝑠2𝑋(𝑠) Sắp xếp lại phương trình, ta có:

𝑋(𝑠) 𝐹(𝑠) =

1

𝑚𝑠2+ 𝑏𝑠 + 𝑘 Đây chính là hàm truyền của hệ vật – lò xo – giảm chấn theo định nghĩa

𝑚𝑠2+ 𝑏𝑠 + 𝑘

1 + 𝐺(𝑠)

Để biểu diễn một hệ thống trong điều khiển, người ta thường dùng sơ đồ khối (block

diagram) Sơ đồ khối của hệ vật – lò xo – giảm chấn được biểu diễn như hình bên dưới

Hình 3: Sơ đồ khối

Sơ đồ khối thể hiện trình tự của thông tin và chỉ theo một chiều nhất định Nếu thông tin

đi tuần tự qua hai hệ thống, chúng ta có thể biểu diễn như Hình 4(a) Thực hiệp phép biến đổi sơ đồ khối, sơ đồ Hình 4(a) được đơn giản thành sơ đồ Hình 4(b)

Hình 4: Sơ đồ khối nối tiếp Nếu thông tin đầu ra được dùng làm một phần tín hiệu điều khiển, ta có hệ thống điều

khiển kín (closed – loop control system) Trên ô tô, chúng ta có thể liên hệ đến hệ thống

điều khiển chạy tự động (cruise control system) Cảm biến tốc độ xe gửi tín hiệu về bộ

điều khiển, đó là tốc độ thực tế của xe Bộ điều khiển so sánh tốc độ cài đặt trước với tốc

độ thực tế để điều chỉnh nếu cần thiết

Sơ đồ một hệ thống như vậy được cho như Hình 5(a) Thực hiện phép biến đổi sơ đồ khối Sơ đồ trên có thể được đơn giản như sơ đồ tương đương Hình 5(b) Để giải thích vì

sao có thể biến đổi như vậy, người đọc có thể xem trong tài liệu tham khảo [2]

Hình 5: Sơ đồ điều khiển kín

Ví dụ 3:

Cho 2 hàm truyền sau:

G(s)

H(s) Y(s)

G(s)H(s)

G(s)

X(s) +

-

G(s)

(a)

(b)

(a)

(b)

𝐺(𝑠) = 1

𝑠2+ 0.5𝑠 + 3 𝐻(𝑠) = 0.1𝑠 + 10

𝑠

a) Tính hàm truyền tương đương khi chúng được mắc nối tiếp như Hình 4 b) Tính hàm truyền tương đương khi G(s) được điều khiển kín như Hình 5

Giải:

a) Khi mắc nối tiếp G(s) và H(s) ta được hàm tương đương của hệ thống:

𝑃(𝑠) = 𝐺(𝑠) 𝐻(𝑠) = 1

𝑠2+ 0.5𝑠 + 3.

0.1𝑠 + 10

0.1𝑠 + 10 𝑠(𝑠2+ 0.5𝑠 + 3)

= 0.1𝑠 + 10

𝑠3+ 0.5𝑠2+ 3𝑠

b) Hàm truyền tương đương của hệ thống điều khiển kín là:

𝑃(𝑠) = 𝐺(𝑠)

1 + 𝐺(𝑠) =

1

𝑠2+ 0.5𝑠 + 3

𝑠2+ 0.5𝑠 + 3

𝑠2+ 0.5𝑠 + 4

MATLAB 3. Các tập câu lệnh sau được dùng để tìm đáp án trong Ví dụ 3

Khai báo hàm truyền G(s)

G=tf(1,[1 0.5 3])

Kết quả:

G =

1

-

s^2 + 0.5 s + 3

a) Mắc nối tiếp

H=tf([0.1 10],[1 0])

P=G*H

Kết quả:

H =

0.1 s + 10

-

s

P =

0.1 s + 10

-

s^3 + 0.5 s^2 + 3 s

b) Hệ thống điều khiển kín

P=feedback(G,1)

Kết quả:

P =

1

-

s^2 + 0.5 s + 4

3 Tính ổn định của hệ thống

Ổn định là một đặc tính rất quan trọng khi thiết kế một hệ thống điều khiển Hình dưới

mô tả trạng thái ổn định và không ổn định Viên bi tròn đặt trong bình bán cầu như hình

(a) được xem là ổn định Khi ta xê dịch viên bi ra khỏi vị trí cân bằng, nó có xu hướng

lấy lại vị trí cân bằng Ngược lại như trong hình (b), viên bi rất khó đứng yên ở vị trí cao

nhất đó Viên bi có xu hướng lăn khỏi vị trí và rơi xuống dưới

Hình 6: Ổn định và không ổn định

Trong điều khiển, hệ thống ổn định có đáp ứng bị giới hạn khi chịu một tác động bên ngoài giới hạn Hay nói cách khác, khi có một tín hiệu đầu vào đo được, đáp ứng hệ thống không tăng dần đến khi không thể kiểm soát được và cuối cùng là hư hỏng Trên ô

tô, hệ thống chạy tự động (CCS) duy trì tốc độ xe không đổi Khi có tác động bên ngoài như gió thổi cùng chiều chuyển động xe, xe bị tăng tốc độ nhưng sau một khoảng thời

xe sẽ lấy lái giá trị cài đặt trước Hệ thống CCS được xem là không đạt nếu để tốc độ xe tăng mãi đến khi mất kiểm soát

Để minh họa tính ổn định hệ thống, chúng ta khảo sát hệ vật – lò xo – giảm chấn có hàm truyền:

𝑚𝑠2+ 𝑏𝑠 + 𝑘

Hệ chịu tác động của một xung lực (impulse) Nó là một dạng của hàm Dirac delta, hay

δ(t), có giá trị bằng không trên trục x ngoại trừ tại vị trí 0

Hình 7: Hàm δ(t)

Chúng ta có thể liên tưởng xung lực này tương tự như dùng tay đập mạnh vào mặt bàn rồi nhấc tay lên nhanh, thực hiện động tác này nhanh nhất có thể Khi đó thời gian lực tác động rất ngắn, có thể xem bằng không Chúng ta sẽ khảo sát hệ vật – lò xo – giảm chấn dưới tác động của xung lực với các giá trị giảm chấn khác nhau

Biến đổi Laplace của hàm δ(t) là:

ℒ-1{δ(t)} = 1

Sơ đồ khối biểu diễn hệ vật – lò xo – giảm chấn như trong Hình 3, trong đó,

F(s) = 1

𝑚𝑠2+ 𝑏𝑠 + 𝑘 Khi đó,

𝑋(𝑠) = 𝐹(𝑠) 𝐺(𝑠) = 1

𝑚𝑠2+ 𝑏𝑠 + 𝑘 = 𝐺(𝑠)

Vì vậy, trong trường hợp hệ chịu tác động của xung lực δ(t), khảo sát đáp ứng của hệ thống cũng chính là khảo sát hàm truyền G(s)

Trường hợp 1:

m = 1 kg; k = 1 N.m; b = 3 Ns/m

Giải phương trình đặc trưng:

𝑠2+ 3𝑠 + 1 = 0

Ta được 2 nghiệm: s 1 = -0.38; s 2 = -2.62

MATLAB 4 Dùng tập câu lệnh sau để giải phương trình

Nghiem=solve('s^2+3*s+1=0')

Kết quả:

Nghiem =

5^(1/2)/2 - 3/2

- 5^(1/2)/2 - 3/2

vpa(Nghiem)

Kết quả:

ans =

-0.38196601125010515179541316563436

-2.6180339887498948482045868343656

Hàm truyền G(s) được phân tích thành:

𝑠2+ 3𝑠 + 1=

1

𝑠 + 0.38+

1

𝑠 + 2.62

Biến đổi Laplace ngược hàm G(s):

ℒ−1{𝐺(𝑠)} = ℒ−1{ 1

𝑠 + 0.38+

1

𝑠 + 2.62} = 𝑒−0.38𝑡 + 𝑒−2.62𝑡

Hình 7: Đồ thị dịch chuyển của vật vật trường hợp 1

MATLAB 5 Dùng tập câu lệnh sau để vẽ đồ thị

t=0:0.01:20

yt=exp(-0.38*t)+exp(-2.62*t)

plot(t,yt)

Trường hợp 2:

m = 1 kg; k = 1 N.m; b = 0.2 Ns/m

Giải phương trình đặc trưng:

𝑠2+ 0.2𝑠 + 1 = 0

Ta được 2 nghiệm phức:

s 1 = -0.1 – i; s 2 = -0.1 + i

Để thực hiện phép biến đổi Laplace ngược cho G(s) trong trường hợp phương trình đặc

trưng có nghiệm phức, ta áp dụng công thức:

2

𝑠2+ 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2} = 𝜔𝑛

√1 − 𝜁2𝑒−𝜁𝜔𝑛 𝑡sin 𝜔𝑛√1 − 𝜁2𝑡

Từ phương trình đặc trưng, ta xác định được các tham số:

ω n = 1; 2 ζ ω n = 0.2, suy ra ζ = 0.1

√1 − 0.12𝑒−0.1𝑡sin √1 − 0.12𝑡

0 0.5 1 1.5 2

Thời gian [s]

Hình 8: Đồ thị dịch chuyển của vật trường hợp 2

MATLAB 6 Dùng tập câu lệnh sau để vẽ đồ thị

t=0:0.01:20

yt=1/sqrt(1-0.1^2)*exp(-0.1*t).*sin(sqrt(1-0.1^2)*t) plot(t,yt)

Trường hợp 3:

m = 1 kg; k = 1 N.m; b = -3 Ns/m

Giải phương trình đặc trưng:

𝑠2− 3𝑠 + 1 = 0

Ta được 2 nghiệm: s 1 = 0.38; s 2 = 2.62

Hình 9: Sự dịch chuyển của vật trường hợp 3 Trường hợp 4:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0

500 1000 1500 2000 2500 3000

Thời gian [s]

-1 -0.5 0 0.5 1

Thời gian [s]

m = 1 kg; k = 1 N.m; b = - 0.2 Ns/m

Giải phương trình đặc trưng:

𝑠2− 0.2𝑠 + 1 = 0

Ta được 2 nghiệm phức:

s 1 = 0.1 – i; s 2 = 0.1 + i

Hình 10: Sự dịch chuyển của vật trường hợp 4

Trường hợp 1, 2 hệ thống ổn định, ngược lại trường hợp 3, 4 hệ thống không ổn định

Quan sát nghiệm s 1 , s 2 trong các trường hợp ta có thể thấy, hệ thống ổn định khi nghiệm thực hoặc phần thực của nghiệm phức âm Ngược lại nếu nghiệm thực hoặc phần thực

của nghiệm phức dương, biến đổi Laplace ngược làm cho phần mũ của hàm e dương

Đáp ứng của hệ có xu hướng tăng dần theo thời gian, kết quả sẽ làm cho hệ thống không

ổn định

Trong trường hợp 3 và 4, giá trị hệ số giảm chấn b chỉ là giả định để khảo sát hoạt động của hệ thống vì b không lấy giá trị nhỏ hơn không Trong thực tế, hệ vật – lò xo – giảm

chấn không có đáp ứng giống như trường hợp 3 và 4 Hay nói cách khác hệ thống luôn

ổn định Trong điều khiển, chúng ta thường xuyên phải đối mặt những hệ thống không

ổn định như trường hợp 3 và 4 Nhiệm vụ của chúng ta là phải thiết kế các cơ cấu điều khiển để đưa các hệ thống không ổn định về hệ thống ổn định với các chỉ số hoạt động tốt nhất có thể

Xét phương trình đặc trưng

𝑠2+ 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2 = 0 Trong trường hợp phương trình có 2 nghiệm phức:

𝑠1 = −𝜁𝜔𝑛+ 𝜔𝑛√1 − 𝜁2𝑖

𝑠2 = −𝜁𝜔𝑛− 𝜔𝑛√1 − 𝜁2𝑖

ζ được gọi là hệ số giảm chấn

-10 -5 0 5 10

Thời gian [s]