CÁC bài tập TỔNG hợp, NÂNG CAO BIỂU THỨC đại số

Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.. Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in cùng nhau.. Chứng minh rằng

Trang 1

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH

Trang 2

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn sách này là phiên bản in của sách điện tử tại http://tilado.edu.vn

Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado® Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:

1. Vào trang http://tilado.edu.vn

2. Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng ký

3. Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc

4. Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất

5. Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào

Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới

Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm

để tiện truy cập

Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®

Tilado®

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Trang 3

a. ab + bd − ac − cd b. ax + by − ay − bx

c. x2 − xy − xy + y2

a. x2 + x + 3 > 0 ∀x b. − 2x2 + 3x − 8 < 0 ∀x

BÀI TẬP TỔNG HỢP

BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP

1. Đặt thừa số chung để viết các tổng sau thành tích:

Xem lời giải tại:

http://tilado.edu.vn/289/75314

2. Chứng minh rằng:

3. Tính giá trị của biểu thức:

a. A = (x − y)2 x2 + y2 tại x = − 2; y = 2

b. B = x2 − 2xy + 2y3 tại |x| = 1; |y| = 2

c. C = x2 − 1 x2 − 2 x2 − 2015 tại x = 5

4. Tính giá trị của biểu thức:

a. A = 4m − 2n

4m + 5n với

m

n =

1 5

b. B = 2x + 7

3x − y +

2y − 7 3y − x với x − y = 7

c. C = (a + b)(a + 1)(b + 1) biết a + b = 3; ab = − 5

d. D = x10 − 2014x9 − 2014x8 − − 2014x − 1 với x = 2015

Trang 4

a. A = 2 + 3x2 + 2y2

(x + 5)(2y − 1) b. B =

5x2 + 2x + 1

x2 + y2

c. C = x2 + 2x + 3

x − 1

x2 + 1

5. Tìm điều kiện để các biểu thức sau xác định:

6. Cho f(x) = ax3 + 4x x2 − 1 + 8

g(x) = x3 − 4x(bx + 1) + c − 3

Trong đó a; b; c là các hằng số. Xác định a; b; c để f(x) = g(x).

7. Cho f(x) = x 2n − x 2n − 1 + + x2 − x + 1 (x ∈ N)

g(x) = − x 2n + 1 + x 2n − x 2n − 1 + + x2 − x + 1 (x ∈ N) Tính giá trị của hiệu f(x) − g(x) tại x = 1

10.

8. Cho biểu thức A = 3x − 2 − |4x + 5|

a. Thu gọn biểu thức A

b. Tính giá trị của A tại x = − 2; x = 2.

c. Với giá trị nào của x thì A = − 10

9. Cho các đa thức:

M = 2x2y2 − 3xy2 − 2xy + 1

Trang 5

N = 2xy2 + 3 + xy − x2y2

P = xy + 3

2 + xy

2 + 3x2y2

a. Tính M − N + P; M − N − P

b. Chứng minh M + N + P > 0 ∀x; y

10. Cho hai biểu thức của biến x: f(x) = 1

2x − 1

2

và g(x) = 1

4 x

2 − 4x + 4

a. So sánh: f( − 1) với g( − 1); f(0) với g(0); f(1) với g(1).

b. Chứng minh f(x) = g(x) ∀x ∈ R.

11. Cho f(x) = 2x2 + ax + 4

g(x) = x2 − 5x − b

Trong đó a; b là các hằng số. Xác định a; b để f(1) = g(2)

f( − 1) = g(5)

12. Cho hai đa thức:

P(x) = ax4 − 1

5x + x

3 − 2x + 10 (a là hằng số) Q(x) = 3x4 − x + x3 − x2 + 5

a. Tìm P(x) + Q(x); P(x) − Q(x).

b. Tìm a để P(x) + Q(x); P(x) − Q(x)có bậc là 4.

c. Tìm a để P(x) + Q(x); P(x) − Q(x)có bậc khác 4.

{

Trang 6

a. (6x + 3) − (2x + 1)

b. x2 − 5x + 5 − (5x + 5)

c. 2x2 − 3x + 1 + 3x2 + 3x − 6

d. x(2x + 1)

13. A(y) = 4y4 − 5y2 + 3y3 − 2y + 3 − 3y4 + 7y3 − 1

B(y) = √3y4 + 5y − 2y2 − √3y4 + 7y + 2y3 + 1

C(y) = 1

3y

3 + 0, 25y2 + √3y − 1

3y

3 − √3y + 0, 75y2 − 2

a. Thu gọn các đa thức trên

b. Tính A(y) + B(y) + C(y).

c. Tính A(y) − B(y) − C(y).

14. Xét đa thức P(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Chứng minh rằng:

a. Nếu a + b + c = 0 thì x = 1; x = c

a là hai nghiệm của P(x).

b. Nếu a − b + c = 0 thì x = − 1; x = − c

a là hai nghiệm của P(x).

c. Áp dụng tìm hai nghiệm đa thức

A(x) = √5 − 1 x2 − √5x + 1

d. Áp dụng tìm hai nghiệm đa thức

B(x) = 1 + √3 x2 + x − √3

15. Tìm nghiệm của mỗi đa thức sau:

16. Cho hai đa thức:

Trang 7

P(x) = 10x5 + 2x + 1 − 8x4 − 4x2 + 6x3

Q(x) = 10 − 8x − 10x5 + 2x4 + 6x2 − 4x3

a. Sắp xếp P(x); Q(x) theo thứ tự tăng dần của các số mũ.

b. Tìm các đa thức f(x) = P(x) + Q(x); g(x) = P(x) − Q(x).

c. Cho biết bậc của f(x); g(x).

17. Cho các đa thức:

g(x) = 4x2 + 3x + 1

h(x) = 3x2 − 2x − 3

a. Tính f(x) = g(x) − h(x).

b. Chứng tỏ x = − 4 là nghiệm của f(x).

c. Tìm tập hợp nghiệm của f(x).

18. Cho đa thức P = 2x(x + y − 1) + y2 + 1

a. Tính giá trị của P với x = − 5; y = 3.

b. Chứng minh rằng P ≥ 0 ∀x; y.

19. Chứng minh rằng mỗi đa thức sau không có nghiệm:

a. x2 − x + 1

b. x4 + 2x2 + 1

c. x8 − x5 + x2 − x + 1

20. Tìm nghiệm của mỗi đa thức sau:

a. x3 − 8x

b. x3 + 64

Trang 8

a. |5x + 4| + 7 = 26 b. 3|9 − 2x| − 17 = 16

c. 3 − 4|5 − 6x| = 7 d. ||x + 5| − 4| = 3

a. |9 − 7x| = 5x − 3 b. 8x − |4x + 1| = x + 2

c. |17x − 5| − |17x + 5| = 0 d. |3x + 4| = 2|2x − 9|

c. x2 − 5x + 4

21. Cho đa thức:

f(x) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + + a1x + a0 a0; a1; a n ∈ Z

a. Chứng minh nếu f(x) có nghiệm x = x0 ∈ Z thì a0 ⋮ x0

b. Áp dụng chứng tỏ đa thức g(x) = − 4x4 + 2x3 − 3x2 + x + 1 không có nghiệm

nguyên

22. Cho biểu thức A =

xy2 + y2 y2 − x + 1

x2y4 + 2y4 + x2 + 2

a. Rút gọn biểu thức A

b. Tìm giá trị của các biến để A đạt giá trị lớn nhất

23. Tìm x biết:

24. Tìm x biết:

25. Tìm x biết:

a. |10x + 7| < 37

Trang 9

b. |3 − 8x| ≤ 19

c. |15x − 1| > 31

d. |2x − 5| + 4 ≥ 25

26. Tính giá trị biểu thức:

a. A = x5 − 2010x4 + 2010x3 − 2010x2 + 2010x − 2020 tại x = 2009

b. B = (x + y)(y + z)(x + z) biết x + y + z = 0; xyz = 2010

c. C = 3x7 − 5y6 + 1 biết (x + 1)2010 + (y − 1)2000 = 0

27. Tính giá trị biểu thức:

a. A = 5x3 − 3x2 + 6x − 7 với x2 = 1

b. B = 3x4 − 5x3y + 6x2 − 10xy + 2010 với 3x − 5y = 0

c. C = 2a + 3b

a + 3b với

a

b =

10 3

28. Tìm các giá trị của các đa thức sau:

a. A = x15 + 3x14 + 5 biết x + 3 = 0

b. B = x2007 + 3x2006 + 1 2007 biết x = − 3

c. C = 21x4 + 12x3 − 3x2 + 24x + 15 biết 7x3 + 4x2 − x + 8 = 0

d. D = − 16x5 − 28x4 + 16x3 − 20x2 + 32x + 2007 biết

− 4x4 − 7x3 + 4x2 − 5x + 8 = 0

29. Chứng minh rằng các đa thức sau có nghiệm:

a. f(x) = mx2 + 7n với 4m + 7n = 0

Trang 10

b. g(x) = ax2 + bx + c với 4a − 2b + c = 0

c. h(x) = ax3 + bx2 + cx + d với −8a + 4b − 2c + d = 0

d. k(x) = m2x3 − 2mx2 + 4mx − 8m2

30. Tìm x biết:

a. |x + 2| + |x − 5| = 7

b. |x + 3| − 2x = |x − 4|

31. Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của mỗi biểu thức sau:

a. A = (x + 10)2 + (y − 10)2 + 2015

b. B = (3x − y)2 + (2x − 1)2 + 7

c. C = − 2(x + 3)2 + √2

(x + 3)2 + 20

32. Chứng minh hai đa thức A và B không đồng thời có giá trị dương

a. A = 5x4 − 7x2 + 4xy + y2 và B = − 9x4 − 4xy − 7y2

b. A = − 3x4 + 5x2 − 6xy + 2y2 và B = − 6x2 + 6xy − 8y2

c. A = 1

2x3 + 5x2 − 7xy + y2 và B = − x4 −

1

2x3 − 5x2 + 7xy − 3y2

33. Chứng minh hai đa thức A và B không đồng thời có giá trị âm

a. A = 5x2 − 12xy + 2y2 và B = − 4x2 + 12xy − y2

b. A = 10x2 − 7

3xy + y

2 và B = x2 + 7

3xy + 2y

2

Trang 11

c. A = − 15x2 + 17xy + 4y2 và B = 15x2 − 17xy + 8y2

34. Cho đa thức Q(x) = ax2 + bx + c

a. Biết 5a + b + 2c = 0. Chứng minh Q(2) Q( − 1) ≤ 0

b. Biết Q(x) = 0 ∀x. Chứng minh a = b = c = 0

35. Cho đa thức f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Chứng minh rằng:

a. Nếu a + b + c + d = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm là x = 1.

Áp dụng: Tìm một nghiệm của đa thức: A(x) = − 17x3 + 8x2 − 3x + 12.

b. Nếu a − b + c − d = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm là x = − 1.

Áp dụng: Tìm một nghiệm của đa thức: B(x) = 11x3 + 5x2 + 4x + 10.

36. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức:

a. A = 5

4 − x có giá trị lớn nhất.

b. B = 8 − x

x − 3 có giá trị nhỏ nhất.

c. C = 9x + 5

3x − 1 có giá trị lớn nhất.

37. Chứng minh rằng với n ∈ N∗:

a. 8.2n + 2n + 1 có chữ số tận cùng là 0

b. 3n + 3 − 2.3n + 2n + 5 − 7.2n ⋮ 25

c. 4n + 3 + 4n + 2 − 4n + 1 − 4n ⋮ 300

Trang 12

38. Rút gọn các biểu thức:

a. A = 219.273 + 15.49.94

69.210 + 1210

b. B = x24 + x20 + x16 + + x4 + 1

x26 + x24 + x22 + + x2 + 1

39. Cho đa thức với a; b; c đôi một khác nhau:

P(x) = (x − a)(x − b)

(c − a)(c − b) +

(x − a)(x − c) (b − a)(b − c) +

(x − b)(x − c) (a − b)(a − c) − 1

a. Chứng tỏ đa thức P(x) có ít nhất ba nghiệm.

b. Từ đó suy ra kết luận về giá trị của đa thức P(x).

40. Cho nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b với a ≠ 0

a. Tìm các giá trị của a; b để với hai giá trị bất kì x1; x2 ta có:

f(x1) + f(x2) = f(x1 + x2)

b. Chứng minh rằng với mọi a ≠ 0 thì f(x) = ax + b có một nghiệm và chỉ có một

nghiệm

c. Cho nhị thức g(x) = cx + d. Tìm sự liên hệ của a; b; c; d để f(x) = g(x).

41. Cho F = x3 + y3 + z3 + mxyz, (x, y, z ∈ N). Tìm m để F chia hết cho (x + y + z).

42. Tồn tại hay không đa thức f(x) có tất cả các hệ số nguyên mà

Trang 13

f(8 !) = 2012, f(9 !) = 2072.

43. Cho ba đa thức:

P(x) = 4x2 − 7x + 5;

Q(x) = 2x2 + 4x − 3;

R(x) = − 5x2 + 3x − 2.

Chứng minh rằng trong 3 đa thức trên có ít nhất một đa thức có giá trị không âm

44. Tìm hai đa thức f(x), g(x) thỏa mãn cả hai điều kiện sau:

f(x) + g(x) = 2x4 + 5x2 − 3x; (1)

f(x) − g(x) = x4 − x2 + 2x (2)

BÀI TẬP NÂNG CAO VÀ MỞ RỘNG

Trang 14

MỘT SỐ BÀI TẬP HAY,KHÓ

45. Cho biểu thức:

A = 1 + 1

1.3 1 +

1 2.4 1 +

1 99.101 Chứng minh A không phải là một số nguyên

46. Cho biểu thức:

a + b +

b

b + c +

c

c + a với a; b; c ∈ N∗

Chứng minh B không phải là một số nguyên

47. Xác định đa thức:

a. Biết đa thức P(x) có bậc 4 biết P( − 1) = 0 và

P(x) − P(x − 1) = x(x + 1)(2x + 1) ∀x ∈ R.

b. Áp dụng tính tổng S = 1.2.3 + 2.3.5 + + n(n + 1)(2n + 1).

48. Cho đa thức P(x) thỏa mãn:

P(1) = 1; P 1

1

x2P(x) ∀x ≠ 0 P(x1 + x2) = P(x1) + P(x2) ∀x1; x2 ∈ R

Tính P 5

7 .

( )( ) ( )

( ) ( )

Trang 15

49. Xác định đa thức:

a. Biết đa thức P(x) có bậc là 2 biết P(x) − P(x − 1) = x ∀x ∈ R.

b. Áp dụng tính tổng: S = 1 + 2 + 3 + + n.

50. Tìm ba chữ số đầu tiên bên trái của số A biết

A = 1 + 22 + 33 + 44 + + 999999 + 10001000

51. So sánh giá trị của biểu thức A = 3

4 +

8

9 +

15

16 + +

9999

10000 với các số 98 và 99

a. Ba đơn thức − 1

4x3y4, −

4

5x4y3,

1

2xy không thể cùng có giá trị âm.

b. Các đơn thức ad, − bc, − ac, − bd không thể cùng có giá trị âm hoặc cùng

dương

53. Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c với a, b, c là các số thực. Biết rằng

f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên. Chứng minh rằng:

a. 2a và 2b có giá trị nguyên

b. Với mọi giá trị của n ∈ Z thì f(n) ∈ Z

Trang 16

54. Tính giá trị của biểu thức

A = 12 + 22 + + 20162 (a + b)(a + 2b) (a + 2015b)(a + 2016b).

Với a = 3

5; b = − 0, 2

a. Tổng của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 3

b. Tổng của 5 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5

c. Tổng của 2k + 1 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 2k + 1

56. Cho số tự nhiên

¯

abc(a > b > c) sao cho

¯

abc +

¯

bca +

¯

cab = 666 . Tìm ba số tự

nhiên a, b, c đó

57. Tính A

B (kết quả ở dạng phân số tối giản) biết:

A = 1

2.32 +

1 3.33 + +

1

n(n + 30) + +

1 1979.2009

2.1980 +

1 3.1981 + +

1

n(n + 1978) + +

1 31.2009

Trang 17

58. Cho đa thức P(x) = a x2 + b x + c trong đó các hệ số a, b, c là các số nguyên.

Biết giá trị của đa thức luôn chia hết cho 3 với mọi giá trị x nguyên. Chứng minh rằng các hệ số a, b, c cũng chia hết cho 3

59. Chứng minh rằng đa thức a x2 − x√a + 2015 không có nghiệm với a là tham

số và a > 0

60. Tìm nghiệm nguyên của đa thứcsau: 2x6 + y2 − 2x3y = 320

61. Tìm nghiệm nguyên của đa thức sau:

19x2 + 28y2 = 729

62. Tìm x, y ∈ Z biết 1 + x + x2 + x3 = y3

63. Tìm các số nguyên dương x, y z sao cho x + 1

y + 1 z

= 10

7 .

Trang 18

x +

xz

y +

xy

z = 3 .

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	478,85 KB