BÀI tập cơ bản và NÂNG CAO về TÍNH CHẤT của các ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC

Vẽ đường phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại N.. Chứng minh trong một tam giác vuông giao điểm của ba đường trung trực của ba cạnh chính là trung điểm của

Trang 1

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH

Trang 2

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn sách này là phiên bản in của sách điện tử tại http://tilado.edu.vn

Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado® Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:

1. Vào trang http://tilado.edu.vn

2. Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng ký

3. Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc

4. Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất

5. Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào

Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới

Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm

để tiện truy cập

Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®

Tilado®

TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG

Trang 3

TUYẾN CỦA TAM GIÁC

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

1. Cho ABC cân tại A, đường trung tuyến AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm

D sao cho HD = HA. Trên tia đối của tia BC lấy điểm E sao cho BE = BC. Đường thẳng AB cắt DE tại M. Chứng minh rằng M là trung điểm của DE

Xem lời giải tại:

http://tilado.edu.vn/320/76411

2. Cho ABC, các đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Cho biết

3. Cho ABC vuông tại A, AB = 5, AC = 12. Ba đường trung tuyến AD, BE, CF gặp nhau tại G. Hãy so sánh GA, GB, GC

4. Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai trung tuyến bằng nhau thì tam giác

đó là tam giác cân

5. Cho ABC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho Trên tia AD lấy điểm E sao cho D là trung điểm của AE. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB

và BC. Chứng minh rằng ba điểm M, N, E thẳng hàng

Trang 4

6. Cho ABC có trọng tâm G và đường trung tuyến AD. Kéo dài GD thêm một đoạn DI = DG. Gọi E là trung điểm của AB. IE cắt BG tại M. Chứng minh M là trọng tâm của ABI

7. Cho ABC có M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng

8. Cho , các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Chứng minh rằng:

b.

9. Cho ABC có các đường trung tuyến AD = 12 cm, BE = 9 cm, CF = 15 cm Tính độ dài cạnh BC theo cm (làm tròn đến số thập phân thứ 2)

10. có trung tuyến AM bằng nửa cạnh huyền. Chứng minh rằng ABC vuông tại A

11. Cho , ba đường trung tuyến AD, BE, CF. Từ F kẻ đường thẳng song

Trang 5

a. Chứng minh rằng IC // BE và IC = BE

b. Cho biết AD BE, chứng minh ICF là tam giác vuông và chu vi của tam giác này bằng tổng độ dài ba đường trung tuyến của

12. có ba đường trung tuyến AA', BB', CC'. Chứng minh rằng:

13. Cho , hai đường trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau tại G. Cho

. Chứng minh rằng:

14. Cho cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E sao cho

TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC

Trang 6

CỦA TAM GIÁC

15. Cho ABC, hai đường phân giác BD và CE của tam giác đó cắt nhau tại O Tia AO cắt BC tại M. Tam giác ABC phải có điều kiện gì để

16. Cho ABC cân tại A, đường phân giác CF. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho

. Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba đường thẳng AD,

BE, CF đồng quy

17. Cho ABC, , đường phân giác AD. Tia phân giác của góc ADC cắt

AC tại I và cắt đường thẳng AB tại K. Gọi tia Cx là tia đối của tia CB. Chứng minh rằng:

a. Tia BI là tia phân giác của góc B

b. Tia CK là tia phân giác của góc ACx

18. Cho ABC, Vẽ đường phân giác AM của tam giác đó

a. Tính số đo của góc AMB

b. Vẽ đường phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại

N. Chứng minh rằng AM = AN

19. Cho ABC vuông tại A. Vẽ MBC vuông cân ở M sao cho M và A thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau. Chứng minh rằng:

Trang 7

a. Điểm M cách đều hai cạnh AB và AC.

b. Tia AM là tia phân giác của góc A

20. Cho ABC cân tại A. Qua A kẻ đường thẳng m // BC. Tia phân giác của cắt đường thẳng m tại M. Chứng minh rằng:

a. Đường thẳng AM là đường phân giác ngoài tại đỉnh A của ABC

b. Đường thẳng CM là đường phân giác ngoài tại đỉnh C của ABC

21. Cho ABC. Gọi I là giao điểm hai phân giác của hai và Qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB ở M, cắt AC ở N. Chứng minh rằng:

22. Cho ABC vuông tại A. Kẻ ( H BC ). Các tia phân giác của các

và cắt nhau ở I. Tia phân giác của cắt BC ở D. Chứng minh rằng: CI đi qua trung điểm của AD

23. Cho vuông tại A. I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác. Gọi là khoảng cách từ I đến ba cạnh của Chứng minh

24. Cho ABC có đường cao AH, đường phân giác BD. Biết: Chứng minh rằng HD // AB

Trang 8

25. Cho góc nhọn và điểm A nằm trên tia phân giác của góc đó. Điểm B thuộc tia Ox sao cho , gọi H là hình chiếu của B lên Oy

a. Chứng minh rằng HA là tia phân giác của góc

b. Tính số đo góc

26. Cho ABC có các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I và ID = IE. CMR:

27. Cho ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Kẻ MH AB. Gọi E là một điểm thuộc đoạn AH. Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho Chứng minh rằng FM là tia phân giác của

TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG

Trang 9

TRỰC, BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM

GIÁC

28. Chứng minh trong một tam giác vuông giao điểm của ba đường trung trực của ba cạnh chính là trung điểm của cạnh huyền

29. Cho góc nhọn aOb và một điểm M nằm trong góc ấy. Từ M kẻ MA Oa và

MB Ob. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng OM và P là trung điểm của đoạn thẳng AB. Chứng minh CP là trung trực của cạnh AB của tam giác ACB

30. Cho ABC nhọn, AB < AC và đường cao AH

b. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD = HB. CM: ABD là tam giác cân

c. Từ D kẻ , từ C kẻ CMR: ba đường thẳng AH, DE, CF cùng

đi qua một điểm

31. Cho ABC có Gọi d là đường trung trực của BC, O là giao điểm của AB và d. Trên tia đối của tia CO lấy điểm E sao cho CE = BA.

Chứng minh rằng: d là đường trung trực của AE

32. Cho ABC, , hai đường cao BH, CK ( ). Gọi E và

Trang 10

a. BEH và CKF là các tam giác đều

33. Cho ABC cân tại A, Vẽ đường phân giác AD. Đường trung trực của AB cắt AC tại M. Trên cạnh AB lấy điểm N sao cho Chứng minh rằng ba đường thẳng AD, BM và CN đồng quy

34. Cho ABC ( AB < AC ). Vẽ đường trung trực m của cạnh BC. Gọi M là một điểm bất kì trên đường thẳng m. Hãy xác định vi trí của M để chu vi tam giác AMB nhỏ nhất

36. Cho vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là trung điểm của BC, E là trung điểm của HC, F là trung điểm của AH. Chứng minh rằng:

37. Cho cân tại A, cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên. Đường trung trực của đoạn thẳng AC cắt đường thẳng BC tại M. Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM.

a. là tam giác gì? Vì sao?

b. cho trước phải có điều kiện gì ?

Trang 11

38. Cho Hai điểm M và N theo thứ tự di chuyển trên hai tia BA và CA sao cho Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định

39. Cho và đường phân giác AK của góc A. Biết rằng giao điểm của ba đường phân giác của trùng với giao điểm ba đường trung trực của

. Tính số đo các góc của

40. Cho điểm A nằm trong góc nhọn xOy, B và C lần lượt là hai điểm di động trên

Ox và Oy. Tìm vị trí của B và C để chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất

41. Chứng minh rằng trong một tam giác thì trực tâm, trọng tâm và giao điểm của các đường trung trực của một tam giác cùng nằm trên một đường thẳng

MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP

Trang 12

42. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ phân giác BD của góc B, kẻ , AI cắt

BC tại E

a. Chứng minh BE = BA

b. Chứng minh tam giác BED là tam giác vuông

c. Đường thẳng DE cắt đường thẳng BA tại F. Chứng minh AE // FC

43. Cho tam giác ABC vuông tại A. AB = 6 cm, AC = 8 cm

a. Tính BC

b. Trung trực của BC cắt AC tại D và cắt AB tại F. Chứng minh rằng

c. Tên tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho DE = DC chứng minh tam giác BCE vuông. Suy ra FD là phân giác của

d. Chứng minh rằng

44. Cho tam giác ABC biết AC < AB, vẽ trung tuyến AM

a. So sánh các góc ABC và ACB

b. Chứng minh rằng

c. Chứng minh rằng điểm D, chân của đường phân giác AD nằm giữa trung

điểm M của cạnh BC và điểm H (chân đường cao kẻ từ đỉnh A)

45. Cho tam giác ABC, phân giác trong của góc B cắt phân giác trong của góc C tại điểm I. Phân giác ngoài của góc B cắt phân giác ngoài của góc C tại điểm J. Tia phân giác trong của góc B cắt tia phân giác ngoài của góc C tại điểm K

Trang 13

b. Tính các góc theo góc A.

c. Áp dụng, tính các góc trên với

d. Chứng minh ba điểm A, I, J thẳng hàng

46. Cho tam giác ABC, kẻ phân giác BD. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với BD, cắt BD

ở E và BC ở F. Gọi M, N là các trung điểm của các cạnh AB, AC

a. Chứng minh rằng AB=BF

b. Chứng minh ME//BC

c. Chứng minh ba điểm M, E, N thẳng hàng

d. Gọi J là trung điểm của đoạn thẳng BF. Chứng minh ba đường thẳng AJ, BE, và

FM đồng quy

47. Cho tam giác ABC; AD và AH theo thứ tự là phân giác và đường cao kẻ từ đỉnh A. Chứng minh rằng nếu AC < AB thì

a.

b.

c. Điểm H nằm trên tia DC

48. Cho tam giác ABC, AB < BC; AC < BC. Trên cạnh BC có hai điểm D, E sao cho BD=AB; CE=AC, kẻ , BK cắt AE ở điểm N, kẻ , CP cắt AD ở điểm F.

a. BK giao CP tại I. Chứng minh AI là phân giác của góc BAC

b. Chứng minh

c. Cho biết AB=7(cm); AC=5(cm); BC=8(cm). Hãy tính độ dài KP theo (cm)

49. Cho tam giác ABC, trên nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa điểm C vẽ tia

và lấy trên đó một điểm E sao cho AE=AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC,

Trang 14

không chứa điểm B, vẽ tia và lấy trên đó một điểm F sao cho AF=AC Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Trên tia đối của tia DA lấy điểm A’ sao cho A’D=AD

a. Chứng minh rằng

b. Chứng minh EF=2AD

c. Chứng minh

d. Qua E kẻ đường thẳng song song với Ay và qua F kẻ đường thẳng song song với Ax. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I. Chứng minh rằng ba điểm A, I, trung điểm K của EF thẳng hàng

50. Từ các trung điểm I, K, L của cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC, ta kẻ các đường trung trực, và trên các đường trung trực ấy, về phía ngoài của tam giác theo thứ tự ta lấy các điểm M, N, P sao cho

a. Chứng minh MK=KP và

b. Chứng minh MC=NP

c. Chứng minh

d. Chứng minh ba đường thẳng AP, BN, MC đồng quy

51. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A, phân giác trong tại đỉnh B cắt cạnh

AC tại điểm D. từ D ta kẻ DE vuông góc với BC (E thuộc BC). Tia ED và tia BA cắt nhau tại điểm F

a. So sánh DA và DC

b. Chứng minh

c. Chứng minh BC=BF

d. Chứng minh AE//FC

52. Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác trong BD, CE; BD và CE cắt nhau tại điểm

Trang 15

I. Biết .

a. Tính góc A

b. Chứng minh

53. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh C. Kẻ đường cao CH, lấy điểm M trên

AB và lấy điểm N trên AC sao cho BM=BC, CN=CH

a. Chứng minh

b. Từ kết quả trên suy ra mệnh đề “ Trong một tam giác vuông, tổng hai cạnh góc vuông bé hơn tổng của cạnh huyền và đường cao tương ứng với cạnh huyền”

54. Cho đoạn thẳng AB, từ A và B trong cùng nửa mặt phẳng bờ AB, ta kẻ các tia

Ax, By cùng vuông góc với AB, gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB, và C là một điểm bất kỳ nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, chứa các tia Ax, By sao cho OC=OA, đường vuông góc với OC kẻ qua điểm C cắt Ax ở P và cắt By ở Q Chứng minh rằng:

a.

b. Tam giác POQ là tam giác vuông

c. Tam giác ACB là tam giác vuông

d. AC//OQ và BC//OP

55. Cho hai góc xOy và yOz kề nhau và bằng nhau, kẻ tia phân giác Om của góc xOy và On của góc yOz lấy trên các tia Ox, Om, Oy, On, Oz theo thứ tự các điểm A,

a. So sánh các đoạn thẳng AB, BC, CD, DE

b. So sánh các góc BAC và DCE

c. So sánh các đoạn thẳng AD và BE

d. Chứng minh rằng

Trang 16

56. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A, kẻ đường cao AH. Từ H kẻ

a. Chứng minh rằng

b. Chứng minh IK=AH

c. Gọi O là giao điểm của AH và IK, chứng minh OI=OK=OA=OH

d. Gọi M là trung điểm của cạnh huyền BC. Chứng minh

57. Cho hai đường thẳng p và p’ song song với nhau. Một đường thẳng q cắt p và p’ lần lượt tại các điểm A, B. Một đường thẳng q’//q cắt p và p’ lần lượt tại các điểm D, C

a. Chứng minh AD=BC; AB=DC

b. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh O là trung điểm của AC, đồng thời cũng là trung điểm của BD

c. Một điểm M thuộc đoạn AD và một điểm P thuộc đoạn BC sao cho AM=CP Chứng minh điểm O là trung điểm của đoạn thẳng MP

d. Một đường thẳng đi qua O, cắt đoạn thẳng AB tại điểm Q và cắt đoạn thẳng

DC tại điểm N. Chứng minh MN//PQ và MQ//NP

58. Cho tam giác ABC, gọi E, F theo thứ tự là các trung điểm của các cạnh AB, AC Trên tia đối của FB ta lấy điểm P sao cho PF=BF. Trên tia đối của tia EC, ta lấy điểm Q sao cho QE=CE

a. Chứng minh AP=AQ

b. Chứng minh ba điểm P, A, Q thẳng hàng

c. Chứng minh BQ//AC và CP//AB

d. Gọi R là giao điểm của hai đường thẳng PC và QB, chứng minh rằng

Chu vi của tam giác PQR bằng hai lần chu vi của tam giác ABC

e. Chứng minh ba đường thẳng AR, PB, CQ đồng quy

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	659,56 KB