Đề thi thử đại học khối A , A1 , B , D môn toán năm 2012 đề số 42

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B, BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy ABC là trung điểm E của AB và SE = 2a.. Viết phương trình mặt

ĐỀ ÔN THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, Môn TOÁN - ĐỀ 1

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH

Câu I (2 điểm) Cho hàm số y=x3 +3mx2 +(m+1)x+1 (1), m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -1

2 Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành

độ x = -1 đi qua điểm A(1;2)

Câu II (2 điểm) 1 Giải phương trình tgx = cotgx + 4cos2 2x

2 Giải phương trình 2x+1 + 3−2x=

2

)12( x− 2 (x ∈ R)

Câu III (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

d1:

1

32

32

−

=+

−

−

.0766

013665

z y x

z y x

1 Chứng minh rằng d1 và d2 cắt nhau

2 Gọi I là giao điểm của d1 và d2 Tìm tọa độ các điểm A,B lần lượt thuộc

d1, d2 sao cho tam giác IAB cân tại I và có diện tích bằng

42

41

Câu IV (2 điểm) 1.Tính tích phân I = ∫

PHẦN RIÊNG Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu: V.a hoặc V.b

Câu V.a Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm)

1 Cho tập hợp E ={0,1,2,3,4,5,7} Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số của E?

2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC các đường cao kẻ

từ đỉnh B và đường phân giác trong của góc A lần lượt có phương trình là 3x + 4y + 10=0 và x - y + 1=0; điểm M(0;2) thuộc đường thẳng AB đồng thời cách điểm C một khoảng bằng 2 Tìm tọa độ các đỉnh cuả tam giác ABC

Câu V.b Theo chương trình phân ban (2 điểm)

1 Giải bất phương trình log

3

1

32log2 ⎟≥

2 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B, BA =

BC = 2a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E của AB và SE = 2a Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC; M

là điểm di động trên tia đối của tia BA sao cho góc ECˆM = α (α <900) và

H là hình chiếu vuông góc của S trên MC Tính thể tích của khối tứ diện EHIJ theo a, α và tìm α để thể tích đó lớn nhất

2 Tìm các giá trị của tham số m …(1,00 điểm)

Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hoành độ x = -1, suy ra M(-1; 2m - 1) 0,25

Ta có y’ = 3x2 + 6mx + (m+1); y’(-1) = 4 – 5m Tiếp tuyến d của đồ thị hàm số đã

cho tại M(-1; 2m – 1) có phương trình là: y = ( 4 -5m)(x + 1) + 2m – 1

y

1 Giải phương trình lượng giác(1,00 điểm)

Điều kiện: sin x cos x ≠0

Phương trình đã cho tương đương với

tgx – cotgx = 4cos2 2x ⇔

sin x

xcos xcossin x − = 4cos2 2x ⇔

2xsin

2x2cos

2

k x

281

4

k x

x=− ⇔ =− +Đối chiếu điều kiện suy ra nghiệm của phương trình đã cho là

282

4

πππ

π

k x

va k

12

22312

x x

x x

−

=+

013665

1

32

32

3

z y x

z y x

z y

Gọi α là góc giữa d1 và d2 ta có cosα =

2 1

2 1u.u

u.urr

r

r

= 21

7,3

5,3

5,3

1,31

10,7

4,7

1

2 3

t2t4

3

t 2

dtt3.2

2t

dt = 4

3

1

2t5

2 Giải phương trình…(1,00 điểm)

Điều kiện: cosx≠0

Dễ thấy sinx=0 không thỏa mãn phương trình

Phương trình đã cho tương đương với

x

e x

e x

x e

x x

x x

cossin

cos

cos 2 2

sin 2 2

cos sin 2

x u

cos

sin Ta có u,v∈(−1;1);u.v≠0

Từ (1) ta có phương trình

v

e u e

v u

2

2 2

x

2 2)( =

= , với x∈(−1;0) ( )∪ 0;1

( ) 0

2

22

122

2 2 2 2

2 2

e x y

x x

suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng (-1;0) và (0;1)

Ta thấy u,v cùng dấu nên u, v cùng thuộc một khoảng (-1;0) hoặc (0;1)

Từ giả thiết f(u) = f(v) ⇔ u = v ⇔ tgx = 1 ⇔ x=π +kπ

Số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau của E có dạng: abcd , trong đó

{0,2,4},

Xét d = 2 (hoặc d = 4), khi đó a có 5 cách chọn, ứng với mỗi cách chọn a ta có 5

cách chọn b, ứng với mỗi cách chọn hai chữ số a, b ta có 4 cách chọn chữ số c

Vậy có tất cả 5.5.4 = 100 số

Vậy có 120 + 100.2 = 320 số

0,50

2 Tìm tọa độ các đỉnh…(1,00 điểm)

Gọi d1 ,d2 lần lượt là đường cao kẻ từ đỉnh B và đường phân giác trong của góc A

Gọi M’(a; b) là điểm đối xứng của M qua d2 và I là trung điểm của MM’

;

I b a

MM Vectơ chỉ phương của d2 là u=( )1;1

12

22

020

.2

'

b

a b

a

b a d

I

u MM

0,25

Khi đó M’(1 ; 1) thuộc đường thẳng AC Mặt khác vectơ chỉ phương v=(4;−3)

của đường cao d1 chính là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AC Do đó phương

trình đường thẳng AC là 4(x - 1) – 3(y - 1) = 0 ⇔ 4x – 3y – 1 = 0

AC d

24

25

20

x y

x

AB d

Đường thẳng AC: 4x – 3y – 1 = 0, do đó

3

14

;2531

1

;125

31

12

23

142

2

1 2

2

C

C c

c c

c MC

31,4

1

;3,5

0,25

V.b

Bất phương trình đã cho tương đương với

21

32111

32log

+

<

x

x x

x

0,50

.21

12

011

012

021

32

011

32

>

−+

+

x x x

x

x x

x x x x

Nghiệm của bất phương trình là x < - 2

0,50

ĐỀ ÔN THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, Môn TOÁN - ĐỀ 2

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH

Câu I (2 điểm) Cho hàm số y=x4−8x2+7(1)

1 Khảo sát sự biết thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Tìm các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = mx – 9 tiếp xúc với đồ

thị của hàm số (1)

2

24

sin42

2 Giải bất phương trình

1

311

1

2 2

2

3:x− = y = z+

d và ba điểm A(4 ; 0 ; 3), B( - 1 ; - 1 ; 3), C(3 ; 2 ; 6)

1 Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt

phẳng (P)

2 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo

một đường tròn có bán kính lớn nhất

Câu IV (2 điểm) 1 Tính tích phân

2cossin

43

2sin2

0

=π

x x

xdx I

2 Chứng minh rằng phương trình 4x(4x2+1)=1 có đúng 3 nghiệm thực phân

biệt

PHẦN RIÊNG Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu: V.a hoặc V.b

Câu V.a Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm)

1 Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức Niutơn của (1 + 3x)2n,

biết rằng 100A n3+2A n2 = (n là số nguyên dương, k

n

A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử)

2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 =1 Tìm các

giá trị thực của m để trên đường thẳng y = m tồn tại đúng 2 điểm mà từ mỗi

điểm có thể kẻ được hai tiếp tuyến với (C) sao cho góc giữa hai tiếp tuyến đó

bằng 60o

Câu V.b Theo chương trình phân ban (2 điểm)

1 Giải phương trình log 9 6

log

133

x

x

2 Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông, SA = SB = SC

= a Gọi N, M, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC ; D là điểm

đối xứng của S qua E ; I là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng

(SMN) Chứng minh rằng AD vuông góc với SI và tính theo a thể tích của

khối tứ diện MBSI

Đồ thị :

0,25

2 Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng … (1,00 điểm)

Đường thẳng y = mx – 9 tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương

−

)2(16

4

)1(97

83

2 4

m x x

mx x

Thay (2) vào (1) ta được

(4 16 ) 97

4− x + = x − x x−

x

0168

3 4 − 2 − =

.2

Phương trình tương với

(cos sin )(2cos 1) 0

2

2cos

sin2

22

cos2sin2

x

x x

x x

-9

x

( )1.021

31

1

311

1

2 2

2 2

2

2 2

x x

x x

x x

Đặt

2

1 x

x t

5

521

x

Tập nghiệm của bất phương trình (3) là ;1

5

52

;5

522

1

;12

Tâm I(a ; b ; c) của (S) xác định bởi hệ

IC IA

−+

−+

−+

−

=

−+

−+

−

−+

−

−+

−

−

=

−+

−+

−

.321

01332

62

33

04

31

13

04

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

c b a

c b a

c b

a c

b a

c b

a c

Mặt phẳng (Q) cần tìm chính là mặt phẳng chứa d và đi qua tâm I

cos.sinπ

x x

xdx x

−

=+

0

1 0

1 0

1 0

1

dt t

t t

td t

tdt I

ln2

2

11

ln2

0 =− ++

2 Chứng minh p t có đúng 3 nghiệm thực phân biệt (1,00 điểm)

Phương trình đã cho tương đương với: 4x(4x2 +1)−1=0

Từ bảng biến thiên của f(x) suy ra phương trình f(x) = 0 có không

quá 3 nghiệm phân biệt

2

1,

0 10 10 2

x C x

C C x

Đường tròn có tâm O(0 ; 0) và bán kính R=1

Giả sử PA, PB là hai tiếp tuyến (A, B là các tiếp điểm)

• Nếu A PˆB=60o⇒OP=2⇒Pthuộc đường tròn (C1) tâm

O bán kính R=2

• Nếu A P B= o ⇒OP= ⇒P

3

2120

tâm O bán kính R =

3

2

0,50

Đường thẳng y = m thỏa mãn yêu cầu bài toán cắt đường tròn (C1)

và không có điểm chung với đường tròn (C2)

69

10

x x x

Phương trình đã cho tương đương với ( ) ⎟

x

69log3

⇒ AD ⊥ SI

Ta có AD= SA2+SD2 =a 3

.3

32

DA

SD DI DA DI

.2

22

a AB MB

AI BD

IH

.33

.2

2.2

2.6

1 6

1

3

đvtt a a a a IH BM SM S

SM

0,50

ĐỀ ÔN THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, Môn TOÁN - ĐỀ 3

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH

Câu I (2 điểm) Cho hàm số 3 1 (1).

1

x x

+ +

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2 Tính diện tính của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) tại điểm M(-2;5)

Câu II (2 điểm) 1 Giải phương trình 4(sin4x+cos4x)+cos4x+sin2x=0

2 Giải bất phương trình (x+1)(x-3) −x2+2x+3< 2 – (x-1)2

Câu III (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

(α ):2x – y + 2z + 1 = 0 và đường thẳng d:

22

11

1 Tìm tọa độ giao điểm của d với (α ); tính sin của góc giữa d và (α )

2 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với hai mặt phẳng (α ) và Oxy

E

C

N

H M

Câu IV (2 điểm) 1 Tính tích phân I =

PHẦN RIÊNG -Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu:V.a hoặcV.b

Câu V.a Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm)

3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x-4)2 + y2 = 4 và

điểm E(4;1) Tìm tọa độ điểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ được hai tiếp

tuyến MA, MB đến đường tròn (C) với A, B là các tiếp điểm sao cho đường

thẳng AB đi qua điểm E

Câu V.b Theo chương trình phân ban (2 điểm)

2 Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD, AC

sao cho BC = 4BM, AC = 3AP, BD = 2BN Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q

)2(

22

Đồ thị :

0,25

2 Tính diện tích tam giác (1,00 điểm)

Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số tại M là:

4

8192

92

1

Phương trình đã cho tương đương với

(sin2 1)(4sin2 5) 00

52sin2sin4

02sin2sin212sin2

11

4

2

2 2

=

−+

−+

x x

x x

24

2

2

2 2

3 2

2

>

++

>

⇔

>

++

−

⇔

>

−+

⇔

−+

<

−

t t vi t

t t t t

t t

t t

#

0,25

Ta được

.313

10221

y

x

11

1

0122

−

M z

y x

z y x

0,50

Vec tơ pháp tuyến của (α) là n=(2;−1;2), vec tơ chỉ phương của d

là u=(1;2;−2) Gọi φ là góc giữa d và (α) Ta có

.9

43

.3

422

u n

u n

2 Viết phương trình mặt cầu (1,00 điểm)

Gọi I = (1+t;1+2t;-2t) ∈d là tâm của mặt cầu (S) cần tìm

Do (S) tiếp xúc với (α) và mặt phẳng (Oxy) nên

7

;5

6

I và bán kính R =

5

2 nên (S) có

25

45

25

75

xe dx x

x xe

0

1 0

2 2

2

12

1

dx e xe

e xd dx

1 0

2 2

cos2

cosx+y ≤ xy Ta có

0,25

xy y

x y

x y x y

2cos22

cos2cos2cos

1 – cos1

0

9cosπ2

0,50

9cosπ2 >

3

;0,

( ) ( )2.cos

1cos

22

12

1 2

1 1 1

0 1

'

1 1

1 0

−+

=+

=

⇒

++

++

=+

=

n n

n n n n

n n n

n n

n n

n n

n n n

C x

C n

x C n x

n x f

C x C x

C x C x

2

0 + − − 1 1 + + n− 1 = n− 1

n n

n n

2 Tìm tọa độ điểm M (1,00 điểm)

Gọi I là tâm đường tròn (C) suy ra I(4;0) Xét M(0;a) thuộc trục

tung mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C)

Vì A thuộc (C) nên 4x1− ay1−12=0 Suy ra A thuộc đường thẳng

Vì tiếp tuyến qua M(0;a) nên có (x1- 4 ( 4))- + y a1 - 4= 0

Tương tự, tọa độ B(x2;y2) thỏa (x2- 4 ( 4))- + y a2 - 4= 0

2 Tính tỷ số … (1,00 điểm)

Gọi E = MN ∩ CD Khi đó Q = PE∩ AD Gọi F là trung điểm của

BC và G là điểm trên AC sao cho DG//PQ Nhận thấy FD//MN

Ta có

3

53

21

21

21

21

ED PC

PG AP

PG AP

P

FM

ABMNQP, V2 là thể tích khối đa diện CDNMPQ Khi đó V2=V-V1

Ta có V1 = VABMN + VAMPN + VAPQN

2

1,

8

3S

S ,8

1S

Snên 2

1,

4

1

BCD

MNC BCD

BN BC

BM

Suy ra

.10

15

3.3

1,

8

13

1V

,8

Vrasuy ,20

ĐỀ ÔN THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, Môn TOÁN - ĐỀ 4

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH

Câu I (2 điểm) Cho hàm số y x= 3−3x2 −3 (m m+2)x−1 (1), với m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=0

2 Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có hai giá trị cực trị cùng dấu

Câu II (2 điểm) 1 Giải phương trình 2sin sin 2 1

1

PHẦN RIÊNG:Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu : V.a hoặc V.b.

Câu V.a Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm)

1 Cho số nguyên n thỏa mãn đẳng thức

3 3

35( 1)( 2)

trọng tâm của tam giác ABC thuộc đường thẳng x + y – 2 = 0 Hãy tìm tọa

độ các đỉnh A và B

Câu V.b Theo chương trình phân ban (2 điểm)

1 Giải phương trình 2 1

22log (2x+ +2) log (9x− = 1) 1

2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a,

3

SA a= và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối

tứ diện SACD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC

0

0 -1

m m

Phương trình đã cho tương đương với phương trình

Đường thẳng d2 đi qua điểm A(5; 4; 3) và có vectơ chỉ phương

Đường thẳng d1 qua M(1; 2; 3), có vectơ chỉ phương (2;3;1).ur=

Ta có: ,⎡⎣u ABr uuur⎤ = −⎦ ( 6;3;3) à MA=(4; 2;0).v uuuur

Gọi IJ là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 (I ∈ d1, J ∈ d2) Ta có I(1 + 2t; 2 + 3t; 3 + t), J(5 + s; 4 + 3s; 3 - s), 0,25

(4 2 ; 2 3 3 ; ).

IJ = − +t s − +t s t s− −uur

IJ là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 nên

n +x − +n n− +x − x C= + C x+ +n C x − 0,50

Thay x = -1 và n = 30 vào đẳng thức trên ta được

x y

Thể tích của khối tứ diện SACD là

ĐỀ ÔN THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, Môn TOÁN - ĐỀ 5

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH

Câu I (2 điểm) Cho hàm số

2 (3 2) 1 2

(1)2

2 Tìm các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

Câu II (2 điểm) 1 Giải phương trình 3sin cos 2 sin2x =4sinxcos2

.4

x dx I

C

D

B

S

2 Cho số nguyên n (n ≥ 2) và hai số thực không âm x, y Chứng minh rằng n x n+y n ≥n+1x n+1+y n+1.

Đẳng thức xảy ra khi nào?

PHẦN RIÊNG : Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu: V.a hoặc V.b

Câu V.a Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm)

2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(3; 0), B(0; 4)

Chứng minh rằng đường tròn nội tiếp tam giác OAB tiếp xúc với đường tròn đi qua trung điểm các cạnh của tam giác OAB

Câu V.b Theo chương trình phân ban (2 điểm)

1 Giải bất phương trình 32x+ 1−22x+ 1−5.6x ≤ 0

2 Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a, các mặt ACD và BCD vuông góc với nhau Hãy tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AD, BC

05

−

−

10

1

−

−

-2 -1

Ta có vectơ AB→ = (1; 3; 0), vectơ uuurAC

= (0; 3; 2) Suy ra tích có hướng của hai vectơ AB, AC là vectơ →n = (6; -2; 3)

Phương trình của đường thẳng d là : 1

2 Viết phương trình tham số của đường thẳng (1,00 điểm)

− Phương trình mặt phẳng (α) qua C và vuông góc với AB là:

2 Chứng minh bất đẳng thức (1,00 điểm) Với x = 0 hoặc y = 0, bất đẳng thức đúng và dấu bằng xảy ra

Với xy ≠ 0, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

1 1

= ta được điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0 hoặc y = 0

0,50

1 Chứng minh đẳng thức tổ hợp (1,00 điểm) Xét khai triển (2 1)n 0(2 )n 1(2 )n 1 n 1(2 ) n

+∞

+

10(1)

f

−

Mặt khác tam giác OAB vuông tại O nên đường tròn nội tiếp tam giác

ĐỀ ÔN THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, Môn TOÁN - ĐỀ 6

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH

Câu I ( 2 điểm) Cho hàm số y= − +x3 3x2+mx− (1) 2

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0

2 Tìm các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (0; 2)

Câu II ( 2 điểm) 1 Giải phương trình

2 2

1 Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d

2 Tìm tọa độ các điểm B, C thuộc d sao cho tam giác ABC vuông tại C và

BC = 29

Câu IV ( 2 điểm) 1 Tính tích phân

1 2 0

PHẦN RIÊNG Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu: V.a hoặc V.b

Câu V.a Theo chương trình KHÔNG phân ban ( 2 điểm)

1 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau mà mỗi số đều lớn hơn

2500

2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

biết rằng đường thẳng AB, đường cao kẻ từ A và đường trung tuyến kẻ từ

B lần lượt có phương trình là x + 4y – 2 = 0, 2x – 3y + 7 = 0 và 2x + 3y –

9 = 0

Câu V.b Theo chương trình phân ban ( 2 điểm)

1 Giải phương trình ( 5 1+ ) (x+2 5 1− )x=3.2 x

2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B, AB =

a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Mặt phẳng qua A vuông

góc với SC cắt SB, SC lần lượt tại H, K Tính theo a thể tích khối tứ diện